matemÁtica - comunidades.net · 2019. 4. 1. · matemÁtica, 9º ano pontos no plano...

MATEMÁTICA 1º ANO

ANÁLISE COMBINATÓRIA

PROBABILIDADE - INTRODUÇÃO

PROFESSOR: ALEXSANDRO DE SOUSA

E.E. Dona Antônia Valadares

http://donaantoniavaladares.comunidades.net

MATEMÁTICA, 9º Ano Pontos no plano cartesiano/pares ordenados

Prof: Alexsandro de Sousa

TEORIA DAS PROBABILIDADES

A teoria das probabilidades busca estimar as chances de ocorrer um determinado acontecimento. É um ramo da matemática que cria, elabora e pesquisa modelos para estudar experimentos ou fenômenos aleatórios.



Embora o seu nascimento esteja ligado ao jogo, as Probabilidades

têm, nos nossos dias, aplicações em muitas outras ciências,

nomeadamente, na Economia, na Psicologia, na Medicina e até na

Física e na Química. Uma área onde a Teoria das Probabilidades é

muito utilizada é a dos seguros. Hoje, quando fazemos um contrato

com uma companhia de seguros (seja esse contrato um seguro de

vida, um seguro de incêndios, um seguro automóvel ou qualquer

outro), o “prémio” a pagar à companhia foi determinado em função

da maior ou menor probabilidade de se verificar um acidente. Por

exemplo, num seguro automóvel, o valor que se paga:



É mais caro para carros com mais de 5 anos, já que a

probabilidade de se ter um desastre com um carro já com

algum desgaste é maior do que com um carro novo;

Há até companhias de seguros que fazem descontos para as

mulheres condutoras!...

É mais caro se o condutor tiver habilitação de condução há

menos de dois anos (a sua inexperiência torna maior a

probabilidade do acidente).

Para o cálculo do valor do seguro é levado em conta também

o modelo do automóvel, a região que esse veículo circula, a

idade do condutor...


Há muitos experimentos que mesmo repetidos em condições

idênticas apresentam resultados diferentes.

Pode-se dizer que o resultado de cada um desses eventos é

imprevisível.

EXEMPLOS

Ao lançarmos um dado não viciado, não

é possível prever qual dos números 1, 2,

3, 4, 5 ou 6 poderá ser obtido.

O lançamento de uma moeda tem

como resultados imprevisíveis

cara ou coroa.


As dezenas da Mega-Sena, da

Lotofácil, da Dupla Sena, da

Quina, e de outras loterias

também não podem ser

previstas antes do sorteio.

Quando a roleta é girada não

é possível prever em qual

número “a bolinha” vai parar.

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/26/Roulette_wheel.jpg


Fenômenos desse tipo, cujos resultados dependem do acaso, são

chamados de fenômenos aleatórios.

Pelo fato de não sabermos antecipadamente os resultados de

fenômenos aleatórios, é importante aprendermos calcular as

chances de um resultado ocorrer.

ESPAÇO AMOSTRAL (ou de probabilidades)


O conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento

aleatório é o espaço amostral (S)

Jogar uma moeda

S = {cara, coroa}

Sortear um número inteiro de um a cem

S = {1,2,...,100}

Lançar um dado

S = {1,2,3,4,5,6}

EVENTO

Evento é qualquer subconjunto do espaço

amostral

E = {cara} (sortear cara)

E = {25, 27, 26} (sortear no. entre 24 e 28)

E = {3, 5, 1} (lançar no. impar no dado)


Obs.: Dizemos que um espaço amostral é equiprovável quando seus

elementos têm a mesma chance de ocorrer



EVENTO CERTO E EVENTO IMPOSSÍVEL

Evento certo: Ocorre quando um evento coincide com o

espaço amostral.

Evento impossível: Ocorre quando um evento é vazio.



Exemplos:

1 - Lançar um dado e registrar os resultados:

Espaço amostral: S = 1, 2, 3, 4, 5, 6

Evento A: Ocorrência de um número menor que 7 e

maior que zero.

A = 1, 2, 3, 4, 5, 6

Portanto A = S , logo o evento é certo.



Evento B: Ocorrência de um número maior que 6.

B =

Não existe número maior que 6 no dado, portanto

o evento é impossível.



Evento C: Ocorrência de um número par.

Evento D: Ocorrência de múltiplo de 3.

Evento E: Ocorrência de número par ou número múltiplo de 3.

E = C D E = 2, 4, 6 3, 6

E = 2, 3, 4, 6 - União de eventos

Evento F: Ocorrência de número par e múltiplo de 3.

F = C D F = 2, 4, 6 3, 6 F = 6

Intersecção de eventos

C = 2, 4, 6

D = 3, 6



PROBABILIDADE DE OCORRER UM EVENTO

)(

)()()(

Sn

AnAP

SAP

de elementos de número

Ade elementos de número

P = _____(o que você quer)_______

(total de possibilidades)



Exemplos 1 – Consideremos o experimento Aleatório do lançamento de

um moeda perfeita. Calcule a probabilidade de sair cara.

Espaço amostral: S = cara, coroa n(S) = 2

Evento A: A = cara n(A) = 1

50% 0,50 ou temos Como

2

1)(,

)(

)()( AP

n

AnAP



2 – No lançamento de um dado perfeito, qual é a

probabilidade de sair número maior do que 4?

Espaço amostral: = 1, 2, 3, 4, 5, 6 n(S) = 6

Evento A: A = 5, 6 n(A) = 2

3

1)(

6

2)(

)(

)()( APAP

Sn

AnAP



3 – No lançamento simultâneo de 3 moedas perfeitas

distinguíveis, qual é a probabilidade de serem obtidas:

a) Evento A : Pelo menos 2 caras?

b) Evento B: Exatamente 2 caras?

C = cara K = coroa

S = CCC, CCK, CKC, CKK, KCC, KCK, KKC, KKK n(S) = 8

a) A = CCC, CCK, CKC, KCC n(A) = 4

b) B = CCK, CKC, KCC n(B) = 3

2

1)(

8

4)(

)(

)()( APAP

Sn

AnAP

8

3)(

)(

)()( BP

Sn

BnBP



4 – Num grupo de 75 jovens, 16 gostam de música, esporte e

leitura; 24 gostam de música e esporte; 30 gostam de música

e leitura; 22 gostam de esporte e leitura; 6 gostam somente de

música; 9 gostam somente de esporte e 5 gostam somente de

leitura. CALCULE a probabilidade de escolher, ao acaso, um

desses jovens:

a) Ele gostar de música;

b) Ele não gostar de nenhuma dessas atividades.



n(S) = 75

gostam de música: 6 + 8 + 16 + 14 = 44

não gostam de nenhuma dessas atividades:

75 – (6 + 9 + 5 + 8 + 6 + 14 + 16) = 75 – 64 = 11

9

M

L

E 6 8

16

6 14

5

11



a) a probabilidade de gostar de música:

b) probabilidade de não gostar de nenhuma

dessas atividades:

%5875

44

)(

)()(

Sn

AnAP

%1475

11

)(

)()(

Sn

BnBP



5 – Caixa com Sorteio:

Uma caixa contém 16 bolas. Destas, 10 são azuis, 4 são pretas e 2 são amarelas.

Qual a probabilidade de:

a) Tirar uma bola sem olhar e ela ser azul?

b) Tirar uma e ela ser amarela?

c) Tirar duas azuis seguidas?

d) Tirar uma preta e depois uma azul?

e) Tirar uma só, e ela ser azul ou amarela?

f) Tirar uma e ela não ser preta?

g) Tirar uma bola vermelha?



Total:16 bolas 10 azuis , 4 pretas e 2 são amarelas .

Tirar uma bola sem olhar e ela ser azul? P = 10/16 = 5/8 Tirar uma e ela ser amarela? P = 2/16 = 1/8 Tirar duas azuis seguidas? (AZUL e AZUL) P = (10/16) . (9/15) = 90/240 = 9/24 Tirar uma preta e depois uma azul? (PRETA e AZUL) P = (4/16).(10/15) = 40/240 = 4/24



Tirar uma só, e ela ser azul ou amarela? P = 12/16 = ¾ (75%) Tirar uma e ela não ser preta? P = 12/16 = ¾ (veja que é a mesma que a pergunta de cima!!) Tirar uma bola vermelha? P = 0/16 = 0 (impossível)!



6 – Ao lançar um dado duas vezes, qual é a probabilidade de se obter soma 5?



Eventos probabilísticos estão na base da propagação de

características físicas genéticas e doenças, ao combinar genes

dos pais.

O estudo da Probabilidade permite o trabalho nesse campo da

ciência.

Questões

a) Qual a chance de ter um só filho e ser homem?

b) Ter três homens?

c) Ter três filhos todos do mesmo sexo?

d) Qual a chance deles terem três meninas?

e) E de ter uma menina e dois meninos?



P = 1/8

a) Qual a chance de ter um só filho e ser homem? P = ½ (50%)

b) Ter três homens?

Mapa: HHH MMM HHM HMH MHH MMH HMM MHM

P = 2/8 = ¼ (25%) c) Ter três filhos todos do mesmo sexo?

d) Qual a chance deles terem três meninas? P = 1/8 = 0,125 = 12,5%

e) E de ter uma menina e dois meninos? P = 3/8 = 0,375 = 37,5%


A cor dos olhos é uma característica transmitida geneticamente.

Ela é comandada pela combinação de dois genes, que vêm um da

mãe e outro do pai.

O gene dominante é A e o recessivo é a

Nesse caso, quando aparece na combinação o gene dominante A a

pessoa terá a característica marcada por esse gene.

Para cor dos olhos, o gene A determina olhos castanhos, então para

ter olhos azuis a pessoa deve ter genótipo aa

Um casal tem o homem com genótipo aa e a

mulher é Aa.

Qual a probabilidade do filho ter olhos azuis?



Veja as combinações possíveis para cor dos olhos:

Aa = olhos castanhos

aA = olhos castanhos

AA = olhos castanhos

Aa = olhos azuis

A a

a aA aa

a aA aa

%505,02

1

4

2P

Aa Mulher

aa Homem



EXERCÍCIOS

1 – Um casal de olhos castanhos tem quatro filhos, três

deles de olhos azuis.

a) Qual o genótipo do casal?

b) Qual a probabilidade deles terem um quinto filho de

olhos azuis?



2 – Um baralho comum tem 52 cartas, sendo 13 (A, 2, 3, 4, 5,

6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K) de cada um dos naipes, que são paus,

ouros, copas e espadas. Ao escolhermos aleatoriamente uma

das 52 cartas, qual a probabilidade de que ela seja:

a) O valete de ouros?

b) Um valete vermelho, isto é, copas ou ouros?

c) Um valete?

d) Uma carta de naipe vermelho, isto é, copas ou ouros?

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