matemática unificado
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Geometria Analítica
y
A
B 1
2
A (2 , 2)
B (- 2 , 1)
C (- 1, - 3)
D (3 , - 2)
x
C
D
2 3-1
-2
-2
-3
D (3 , - 2)
Ex.: O ponto médio entre A (2 ,5) e B (x , y) temcoordenadas iguais a (4 , 2). O valor de 2x + 5y é igual a
(A) 3.(B) 5.(C) 7.(D) 9.(E) 11.
2
24
2
A BM
B
X XX
X
2
52
2
A BM
B
Y YY
Y
(E) 11.2
8 2
6
B
B
X
X
2
4 5
1
B
B
Y
Y
2 5
2 6 5 1
12 5 7
x y
Ex.: A distância entre os pontos A(3 , 1) e B(- 1 , y)é 5. Um possível valor de y é
(A) 4(B) 6(C) 8(D) 9(E) 10
2 2
a b a bd AB x x y y
2 2
5 3 1 1 y
2 2
5 3 1 1 y
2
25 16 1 y
2
9 1 y
9 1 y (E) 10 5 3 1 1 y
2 225 3 1 1 y
2225 4 1 y
9 1 y
' 4y
" 2y
Alinhamento de 3 Pontos
A(2 , 3)
B(3 , 5)
C(0 , - 1)0
0 1
2 3
3 5
0 1
2
10
- 3
0 1
7
- 9
0
- 7
Como 7 – 7 = 0 concluímos que os pontos estão alinhados
Considere os pontos: A(2 , 3), B (5 , - 1) e C (1 , 3)
A(2 , 3)
B(5 , - 1)
C(1 , 3)- 2- 15
2 3
5 1
1 3
2 3
15
3
16
1
- 6
- 20
Como – 20 + 16 = - 4 concluímos que os pontos formam um triângulo
2 3
Equações da Reta
Pelos pontos A (1 , 5) e B (3 , 2) passa uma reta cujas equações são:
1 5
x y
5x
2
3y
5x + 3y + 2
- y
- 15
- 2x
– 2x – y – 15
1 5
3 2
x y
5x + 3y + 2 – 2x – y – 15 = 0
Somando as duas expressões obtidas, e igualando a zero encontramos:
5x – 2x + 3y – y + 2 – 15 = 0
3x + 2y – 13 = 0 Equação Geral da Reta3x + 2y – 13 = 0
2y = – 3x + 13
y = – 3x + 13
2Equação Reduzida da Reta
UFRGS: Considere a figura abaixo (Dado: )
x
y
30º
0
3tan30º
3
1 x0
r
Uma equação cartesiana da reta r é
3
3y x
31
3y x
1 3y x
3 1y x
3 1y x (A)
(B)
(C)
(D)
(E)
1
E se o questionamento anterior fosse a equaçãogeral da reta?
31
3y x
3 3
3 3y x
3 30
3 3y x
3 3 3 0y x
3 3 3 0x y
3 3 3 0y x
Dado o ponto A(3, -6) e r: 4x + 6y + 2 = 0.Estabeleça a distância entre A e r utilizando aexpressão dada anteriormente.
0 0
2 2,
Ax By Cd P r
A B
2 2
4 3 6 6 2,
4 6d P r
12 36 2
,d P r
22
,52
d P r
22
,52
d P r ,16 36
d P r
,52
d P r ,52
d P r
22 52
,52 52
d P r
11 13
,13
d P r
22 52
,52
d P r 11 4 13
,26
d P r
Semelhança de Triângulos
Dois triângulos são chamados de semelhantes se possuírem os mesmos valores numéricos de ângulos
y
A
x
y
BC
D
E
AB BC AC
BD BE DE
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