matemÁtica poliedros professor joel. 2 definição poliedros poliedros: denomina-se poliedro o...
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MATEMÁTICAMATEMÁTICA
POLIEDROSPOLIEDROS
Professor Joel
2
DefiniçãoDefinição
Professor Joel
POLIEDROSPOLIEDROS: Denomina-se poliedro o sólido limitado
por polígonos planos, de modo que:
Dois desses polígonos não estão num mesmo plano;
Cada lado de um polígono é comum a dois e somente
dois polígonos.
VÉRTICE
ARESTAFACE
3
Poliedros...Poliedros...
Professor Joel
10 vértices
15 arestas
7 faces
6 vértices
12 arestas
8 faces
4
Poliedro convexoPoliedro convexo
Um poliedro se diz convexo se, em relação a
qualquer de suas faces, está todo situado num
mesmo semi-espaço determinado pelo plano
que contém esta face. Caso contrário, o
poliedro é dito não-convexo.
Professor Joel
5
Poliedro convexo...Poliedro convexo...
Professor Joel
a
convexo
convexo
Não-convexo
6
NomenclaturaNomenclatura dos poliedros dos poliedros
Professor Joel
De acordo com o número de faces, os poliedros convexos ou não, possuem nomes especiais.
Nº de faces Nome do poliedro
4 Tetraedro
5 Pentaedro
6 Hexaedro
7 Heptaedro
8 Octaedro
7
Nomenclatura dos Nomenclatura dos poliedros...poliedros...
Professor Joel
Nº de faces Nome do poliedro
9 Eneaedro
10 Decaedro
11 Undecaedro
12 Dodecaedro
13 Tridecaedro
14 Tetradecaedro
15 Pentadecaedro
20 Icosaedro
8
PoliedrosPoliedros regularesregulares
Professor Joel
Um poliedro convexo se diz regular quando:
Suas faces são polígonos regulares congruentes entre si;
Seus ângulos poliédricos são congruentes entre si. Os poliedros regulares são chamados de sólidos platônicos, em homenagem ao filósofo grego Platão(427 – 347 a.C.) que os utilizava para explicar cientificamente os fenômenos naturais.
9
Poliedros regulares...Poliedros regulares...
Professor Joel
Existem somente cinco poliedros regulares.
TETRAEDRO
4 faces triangulares equiláteras
4 vértices
6 arestas
10
Poliedros regulares...Poliedros regulares...
Professor Joel
HEXAEDRO(cubo)
6 faces quadradas
8 vértices
12 arestas
11
Poliedros regulares...Poliedros regulares...
Professor Joel
OCTAEDRO
8 faces triangulares equiláteras
6 vértices
12 arestas
12
Poliedros regulares...Poliedros regulares...
Professor Joel
ICOSAEDRO
20 faces triangulares equiláteras
12 vértices
30 arestas
13
Poliedros regulares...Poliedros regulares...
Professor Joel
DODECAEDRO
12 faces pentagonais
20 vértices
30 arestas
14
Relação de EulerRelação de Euler
Professor Joel
Em todo poliedro convexo vale a relação:
HEXAEDRO OU PARALELEPÍPEDO F = 6
V = 8
A = 12
V + F = A + 2
8 + 6 = 12 + 2
V + F = A + 2
ONDE V: Nº de vérticesA: Nº de arestasF: Nº de faces
15
Propriedades...Propriedades...
Professor Joel
Consideremos um poliedro convexo em que n é o número de lados de cada face e p é o número de arestas que concorrem em cada vértice.
2A = nF = pV
2A = nF 2A = pV nF = pV
Ex: CUBO
A= 12, V= 8, F= 6
2 . 12 = 4 . 6 = 3 . 8
Assim, temos:
16
Propriedades...Propriedades...
Professor Joel
SOMA DOS ÂNGULOS DAS FACES DE UM POLIEDRO CONVEXO
A soma S dos ângulos das faces de um poliedro convexo que possui V vértices é:
S = (V – 2) . 360º
Ex: Uma pirâmide de base quadrada.
V = 5, S = (5 – 2) . 360º , S = 3 . 360º , S = 1080º
17
Exercícios...Exercícios...
Professor Joel
1) Um poliedro convexo tem 3 faces triangulares, 1 face quadrangular, 1 face pentagonal e 2 faces hexagonais. Obtenha:a) O número total de vértices, faces e arestas do poliedro.b) A soma dos ângulos internos de todas as faces.Resolução:
a)
F = 3 + 1 + 1 + 2
F = 7
V + F = A + 2V + 7 = 15 + 2V = 17 – 7V = 10
2.A=n.F
2.A = 3.3 + 1.4 + 1.5 + 2.6
2.A = 9 + 4 + 5 + 12
2.A = 30
A = 15
b)S = (10 – 2).360º
S = 8.360º
S = 2880º
18
Exercícios...Exercícios...
Professor Joel
2) Determine o número de vértices de um poliedro convexo que tem três faces triangulares, duas faces quadrangulares, uma face pentagonal e duas faces hexagonais.
Resolução:
F = 3 + 2 + 1 + 2
F = 8
V + F = A + 2
V + 8 = 17 + 2
V = 19 – 8
V = 11
2.A = n.F
2.A = 3.3 + 2.4 + 1.5 + 2.6
2.A = 9 + 8 +5 +12
2.A = 34
A = 17
19
Exercícios...Exercícios...
3
2
Professor Joel
3) Em um poliedro convexo o número de vértices corresponde a do número de arestas e o número de faces é 3 unidades a menos do que o de vértices. Descubra quantas são as faces, os vértices e as arestas desse poliedro.
Resolução:
3
2 V = . A
F = V – 3
V = F + 3 3
2 . A = F + 3
V + F = A + 2
3
2
3
2V = . 15
3
2F = . 15 – 3
F = . A – 3
3
2
3
2 .A + .A – 3 = A + 2
2A + 2A -9 = 3A + 6
A = 15
V = 10
F = 10 – 3 F = 7
FIMFIM
Prof. Joel Ferreira
“O temor a Deus é o princípio de toda sabedoria”.
Professor Joel
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