POLIEDROS: POLI = Muitos E EDROS = Lados → Muitos

lados.

Toda figura geométrica espacial de três dimensões (comprimento,

largura e altura), formada por POLÍGONOS (figura plana

composta de n lados) é chamada de poliedro.

Os poliedros são figuras geométricas formadas por vértices,

arestas e faces. Através da expressão de Euler, é possível

determinar o número de vértices, arestas e faces dos poliedros.

Essas formas espaciais estão presentes no mundo a nossa volta. Por exemplo:

- Uma caixa de sabão em pó;

- O dado, que faz parte de muitos jogos e brincadeiras,

- Etc...

Esses objetos são estudados pela matemática através da geometria. Eles possuem características e propriedades muito importantes para sua compreensão.

EIS UM EXEMPLO, O CUBO:

O cubo possui comprimento, largura e altura (3 dimensões),

e é formado por 6 quadrados (figuras planas). Tais

quadrados estão unidos, dois a dois, pelas arestas. São 12

arestas e 8 vértices.

OUTRO EXEMPLO, A PIRÂMIDE DE BASE

QUADRANGULAR:

Essa pirâmide tem por base um retângulo. Por isso, é

chamada de pirâmide de base quadrangular, ou apenas de

pirâmide quadrangular. Ela possui 5 vértices, 4 faces

triangulares e 8 arestas.

VEJA:

- Polígono = figura plana;

- Poliedro = sólido, em 3 dimensões, no espaço,

formado por polígonos;

- Arestas = lados dos polígonos que formam o poliedro;

- Vértices = os pontos onde as arestas se interceptam;

- Faces = cada um dos polígonos que formam o

poliedro.

MAS ATENÇÃO: NÃO SÃO POLIEDROS OS

SÓLIDOS QUE POSSUEM FORMAS

ARREDONDADAS, COMO O CILINDRO E O

CONE:

POLIEDROS CONVEXOS Um poliedro é chamado convexo, em relação a uma de

suas faces, se está todo contido no mesmo semi-espaço

determinado por esta mesma face.

Complicado?

Vamos entender melhor isso!

Considere um poliedro e uma de suas faces: um

octaedro, por exemplo.

Imagine um plano apoiado nessa face.

O poliedro ficou todo de um lado só desse plano?

Então ele é convexo! Veja:

POLIEDRO CONVEXO

POLIEDRO NÃO CONVEXO

POLIEDROS CONVEXOS E SUAS PLANIFICAÇÕES:

OS NOMES DOS POLIEDROS CONVEXOS DEPENDEM

DO NÚMERO DE FACES:

Tetraedro Quatro Faces

Pentaedro Cinco Faces

Hexaedro Seis Faces

Heptaedro Sete Faces

Octaedro Oito Faces

Dodecaedro Dez Faces

Icosaedro Vinte Faces

POLIEDROS REGULARES

Vamos lembrar o conceito de polígono regular: aquele em

que todos os lados são congruentes (iguais) e todos os

ângulos são também congruentes.

Então, um poliedro é regular se suas faces são polígonos

regulares, todos com o mesmo número de lados e, em

cada vértice do poliedro, encontram-se (convergem)

sempre o mesmo número de arestas.

Não existem muitos poliedros regulares; não é possível

construir senão uns poucos tipos destes poliedros -

apenas o suficiente para uma correspondência com os

dedos de uma mão!

Isto mesmo! Ainda que dispuséssemos de todos os

recursos imagináveis, não seria possível construir mais

do que cinco tipos de poliedros regulares:

EXISTEM APENAS CINCO POLIEDROS REGULARES:

Por volta do século VI antes de Cristo, o filósofo Platão estudou

os poliedros platônicos relacionando-os aos elementos da

natureza. Veja a associação feita por ele:

Tetraedro: fogo

Hexaedro (cubo): terra

Octaedro: ar

Icosaedro: água

Dodecaedro: universo

RELAÇÃO DE EULER

A fórmula de Euler está atribuída à relação de

dependência entre os elementos de um poliedro.

A expressão matemática desenvolvida por

Leonhard Euler (1707-1783), matemático suíço,

é a seguinte:

V – A + F = 2

Onde:

V = vértice

A = arestas

F = Faces

Essa expressão determina o número de faces,

arestas e vértices de qualquer poliedro convexo.

EXERCÍCIO:

1) Num poliedro convexo, o número de vértices é 5 e o de

arestas é 10. Qual é o número de faces? V + F = A + 2

5 + F = 10 + 2

F = 12 - 5

F = 7

2) Em um poliedro convexo de 20 arestas, o número de

faces é igual ao número de vértices. Quantas faces tem

esse poliedro?

V + F = A + 2

V + F = 20 + 2

V + F = 22

F = V

F+F = 22

2F = 22

F = 11

V = 11