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1 Profa. Msc. Érica Siqueira

Matemática Financeira

Conteúdo Juros Compostos

Profaª Msc. Érica Siqueira

Mini Currículo Professora: Érica Siqueira

• Formação:

Doutoranda em Administração pela FGV.

Mestre em Administração pela FEA USP (2014),

Especialista em Administração pela FGV (2011) e

Bacharel em Sistemas de Informação pelo Mackenzie.

• Professora convidada para cursos de pós graduação.

• Foi professora nos cursos de Administração nas faculdades

Unisant´anna e Estácio.

• Consultora de empresas para elaboração/análise de viabilidade de

projetos de inovação.

• Atua há 17 anos implantando e desenhando sistemas para gestão

empresarial, gestão pública, gestão financeira, cadeia de

suprimentos, etc..

Profaª Msc. Érica Siqueira

Matemática Financeira

Objetivos de aprendizagem:Depois de ler e discutir este tópicovocê será capaz entender

• Utilizar a calculadora HP12c e o Excel para calcularFluxo de Caixa, Valores Presentes e futuros, Taxa ePeríodos

• Usar a calculadora HP12c e o Excel para calcularTIR

• Usar Excel para Calcular VPL e Payback• Usar o Excel para simular sistema PRICE e SAC

Agenda do Curso

Data Conteúdo

27/08/2018

Apresentação da Disciplina

Revisão de Porcentagens

Juros Simples: Montante

Exercícios

03/09/2018

Juros Simples: Capital, Taxa, Prazo

Desconto de Duplicata

Taxas Equivalentes e Proporcionais em Juros Simples

Exercícios

10/09/2018Juros Compostos

Exercícios

17/09/2018

Taxa Equivalente em Juros Compostos

Inflação, Taxa Real e Taxa Aparente

Taxa Acumulada, Taxa Nominal e Taxa Efetiva

Exercícios

24/09/2018

Pagamentos e Depósitos Constantes

Fluxo de Caixa

Payback Simples e Descontado, VPL, TIR

Sistema de Amortização: SAC e PRICE

Observações

• Usar HP12C

• Para estudar:

• Slides como grandes tópicos

• Livros indicados na bibliografia

• Lista de Exercícios

• Na prova poderá utilizar todo material: livros,

cadernos, calculadoras, slides, etc..., mas não poderá

utilizar celular

Juros Compostos

Fonte: http://excelplanilhasprontas.com.br/

Cálculo do Montante em Juros Compostos

• Determinar o montante, ao fim de 5 meses,

correspondente a uma aplicação no valor de R$

6.000,00, à taxa de 4% ao mês, no regime de juros

simples e compostos.

Exemplo Comparativo

Cálculo do Valor Atual Juros Compostos

Cálculo da Taxa em Juros Compostos

Cálculo do Tempo em Juro Compostos

O LOG pode ser

substituído, nesse

caso, pelo LN

• Trata-se de aplicar o sistema de juros compostos para

a parte inteira do período e juros simples para a parte

fracionada.

• Exemplo:

Convenção Linear

Convenção

Exponencial

Convenção

Linear

Exercício

• (MathFinanceira) -Seja o capital de R$100.000,00

emprestado à taxa de 18% ao ano pelo prazo de 4

anos e 9 meses. Calcular o montante deste

empréstimo pela convenção linear.

• Resultados para Conferência:

• FV (Conv. Linear) = R$ 220.051,30

• FV (Conv. Exponencial) = R$ 219.502,50

Convenção Linear na HP

• A HP 12C resolve problemas em ambas as convenções.

• Quando o período n é um número fracionário, é necessário

verificar a letra C está aparecendo no visor

• A letra C pode ser colocada ou retirada pressionando-se as teclas

STO EEX.

• Se a letra C estiver aparecendo no visor, a HP 12C está realizando

os cálculos segundo a convenção exponencial.

• Caso contrário, a HP 12C está realizando os cálculos segundo a

convenção linear.

• Para o uso da HP 12C, no regime de juros compostos ou simples,

a unidade de referência do período deve ser a mesma da taxa de

• Quando uma taxa de aplicação ou empréstimo é informada em

uma determinada unidade de tempo mas a capitalização ocorre

em outra unidade de tempo, temos aí a distinção entre Taxa

Nominal e Efetiva.

• Exemplo: Se o banco te oferece um investimento com taxa

nominal de 24% a. a. mas com capitalização mensal, isso

significa que a taxa nominal é 24% a.a porém a taxa efetiva, a

qual seu rendimento estará sujeito é de 24/12

• Ou seja, a taxa efetiva é 2% a.m

• Para achar a taxa efetiva anual, basta achar a taxa anual

equivalente a 2% a.m, no caso 26,82% a.a.

Taxa Nominal e Efetiva

• Você faz um empréstimo pessoal de R$5.000,00 que será

liquidado em 36 parcelas mensais de R$256,35.

• O gerente do banco informa que a taxa nominal do empréstimo

é de 45,33% a.a.

• Calcule a taxa efetiva mensal e anual

Exercício Taxa Nominal e Efetiva

• Para calcular sucessivos aumentos, que produziram

uma taxa acumulada, usa-se a formula abaixo caso a

taxa já esteja em índice

Exemplo de Taxa Acumulada

• Caso contrário, é preciso dividir a taxa por 100

Taxa Acumulada de Inflação

Mês IPCA (%)

Janeiro 0,5

Fevereiro 0,4

Março 0,3

Abril 0,5

Maio 0,7

Junho 0,4

Julho -0,2

Agosto -0,5

Setembro 0,3

Outubro 0,7

Novembro 0,9

Dezembro 1

• Qual a taxa de inflação

acumulada no período de 12

meses da tabela ao lado?

• [(1,005)x(1,004)x(1,003)x(1,0

05)x(1,007)x(1,004)x(0,998)x(

0,995)x(1,003)x(1,007)x(1,00

9)x(1,01) – 1] x 100.

• =5,1%

• A taxa aparente é formada por dois componentes: a

taxa real e a inflação.

• A taxa real, portanto, é a taxa aparente, descontada

da inflação

• Fórmula para achar a taxa real:

• 1 + ia = ( 1 + ir ) * ( 1 + I )

• Onde:

• ia = taxa aparente

ir = taxa real

I = inflação

Inflação, Taxa Real e Taxa Aparente

• (BrasilEscola) - Um empréstimo foi realizado a uma taxa de

32% ao ano. Considerando-se que a inflação do período foi de

21%, determine a taxa real anual.

• Taxa aparente = 32% = 0,32 e Inflação = 21% = 0,21

• 1 + 0,32 = (1 + ir) * (1 + 0,21)

1,32 = (1 + ir) * 1,21

1,32/1,21 = 1 + ir1,09 = 1 + irir = 1,0909 – 1

ir = 0,0909

ir = 9,09%

• A taxa real anual foi equivalente a 9,09%.

Exemplo de Taxa Real e Aparente

Taxas Over

• É a taxa de juros de um dia útil, multiplicada por 30 (convenção de mercado, pois um mês tem 23 dias úteis).

• É uma forma de expressar a taxa de juros muito usada no mercado financeiro, mais especificamente no mercado aberto (open market)

• Muitos produtos do mercado tem sua rentabilidade ou custo expresso na taxa de OVER (exemplo, CDI, HOT MONEY).

• Toda taxa nominal “over’ deve informar o número de dias úteis que os juros serão capitalizados de forma que se possa apurar a taxa efetiva do período.

Taxas Over - Exemplo

• Suponha que a taxa “over” em determinado

momento esteja definida em 5,4% a.m..

• No período de referência da taxa, estão previstos

22 dias úteis.

• Qual a taxa efetiva do período?

• Achar a taxa efetiva (diária)

• Achar a taxa efetiva para o período mensal,

considerando o mês de 22 dias úteis

Taxas Over - Exemplo

Fluxo de Caixa

Aplicações

• Investimentos, aplicações ou empréstimos com

pagamento constante

• Registro de Saídas e Entradas no Fluxo de Caixa

• Avaliação de projetos e investimentos: Payback,

VPL, TIR

• Simulação de financiamentos pelo sistema PRICE e

• Representação gráfica das transações financeiras em

um período de tempo:

• O tempo é representado na horizontal dividido pelo número

de períodos relevantes para análise.

• As entradas ou recebimentos são representados por setas

verticais apontadas para cima.

• As saídas ou pagamentos são representados por setas

verticais apontadas para baixo.

Fluxo de Caixa

Fluxo de Caixa - Gráfico

• No tempo 0 há uma saída de 800

• Depois uma entrada de 500 e 200 nos tempos 1 e 2

respectivamente

Fluxo de CaixaExemplo ponto de vista do cliente

• Um banco concede um empréstimo de R$50.000,00 a um

cliente, para pagamento em seis parcelas iguais de

R$10.000,00.

50.000,00

01 2 3 4 5 6

10.000 10.000 10.000 10.000 10.000 10.000

Fluxo de CaixaExemplo ponto de vista do Banco

50.000,00

01 2 3 4 5 6

10.000 10.000 10.000 10.000 10.000 10.000

Fluxo de Caixa - Excel

Séries de Pagamento

1. Série de pagamentos iguais com termosvencidos (postecipadas);

2. Série de pagamentos iguais com termosantecipados;

3. Série de pagamentos variáveis com termosvencidos;

4. Série de pagamentos variáveis com termosantecipados.

Observações sobre Séries de Pagamento

1. A diferença de prazo entre dois termosconsecutivos é sempre constante;

2. O número de termos é finito (quando onúmero de termos é infinito trata-se derendas perpétuas.

3. Os cálculos são baseados no sistema decapitalização composta (juros compostos).

Séries de Pagamento: Cálculos

• Montante após uma série de pagamentos;

• O valor do pagamento mensal (semestral,anual, etc.) para alcançar o montantedesejado;

• O valor atual ou presente de uma série depagamentos;

• Número de prestações ou pagamentos paraformar um montante

• Taxa de juros de uma série de pagamentos.

Fórmula do VF

• Calcular o montante após uma série depagamentos ou depósitos constantespostecipados.

Exemplo de VF

Determinar o valor do montante, no final do5º mês, de uma série de 5 aplicaçõesmensais, iguais e consecutivas, no valor de$1000,00 cada uma, a uma taxa de 4% aomês, sabendo-se que a primeira parcela éaplicada no final do primeiro mês, ou seja, a30 dias da data tomada como base, e que aúltima, no final do 5º mês, é coincidente como momento em que é pedido o montante.

Fórmula do VP

• Calcular o valor atual de uma série depagamentos constantes e postecipados.

Exemplo de VP

Calcular o valor atual de uma série de 24prestações iguais, mensais e consecutivas de$ 3.500,00 cada uma, considerando uma taxade 5% a.m

Renda Perpétua

• A renda perpétua constante é a de duração infinita, na

qual os montantes de capital são sempre iguais (por

exemplo, um título de dívida pública em perpetuidade

a uma taxa fixa).

• Como a renda temporária, a renda perpétua pode ser

pós-pagável (os montantes originam-se no final de

cada sub-período) ou pré-pagável (originam-se ao

começo dos sub-períodos).

Usos de Renda Perpétua

• Previdência

• Direitos Autorais

Valor Atual de uma Renda Perpétua

• O valor atual de uma renda perpétua imediata é

dado pela fórmula:

P = R / i

• P = Valor do Capital

• R = Renda ou pagamento

• i = taxa de juros

Exemplo Renda Perpétua de R$ 2.000

• Durante 10 anos um investidor pretende depositar

mensalmente uma certa quantia para, após o término

dos depósitos, ter uma renda perpétua de $ 2,000 por

mês. Considere a convenção de fim de período e

juros de 1 % a m.

1° Passo: Renda Perpétua

• Calcular o valor que proporciona uma renda mensal

vitalícia

• P = R / i

• P = 2.000 / 0,01

• P = $ 200.000

2° Passo: Renda Perpétua de R$ 2.000

• Dado o Montante de R$ 200.000, achar a Renda (R),

sabendo que i = 1% a.m. e que n= 120 meses

• S = R . ((1 + i)n - 1) / i

• 200,000 = R . ((1 + 0,01)120 – 1) / 0,01

• 200,000 = R . (1,01120 – 1) / 0,01

• 200,000 = R . (1,01120 – 1)/ 0,01

• R = 200,000 x 0,01 / (1,01120– 1)

• R = 2000 / 2,3003841

• R = $ 869,42

Projeção de Renda Perpétua

• http://www.confiancainvestimentos.com/ferramenta-1

VPL, Payback e TIR

• Orçamento de capital é um processo que envolve a

seleção de projetos de investimento e a quantificação

dos recursos a serem empregados e busca responder

a questões como:

• O projeto vai se pagar?

• O projeto vai aumentar a riqueza dos acionistas ou vai

diminuí-la?

• Esta é a melhor alternativa de investimentos?

Questões sobre Projetos

• Payback Descontado

• Valor Presente Líquido – VPL

• A Taxa Interna de Retorno – TIR

Critérios para Avaliação de Projetos

• Payback Descontado é o período de tempo

necessário para recuperar o investimento, avaliando-

se os fluxos de caixa descontados, ou seja,

considerando-se o valor do dinheiro no tempo.

Payback Descontado

• O Valor Presente Líquido é a ferramenta mais

utilizada pelas grandes empresas na análise de

investimentos (COPELAND, 2005), sendo definido

como o somatório do valor presente das entradas de

caixa e o valor presente das saídas de caixa.

• Portanto, o VPL (Valor Presente Líquido) é o valor

presente do fluxo de caixa ao longo do projeto.

• O valor de um projeto (ou de uma empresa) depende

de sua capacidade de gerar fluxo de caixa futuro

(renda econômica).

VPL – O que é

• O cálculo do Valor Presente Líquido – VPL leva em conta o valor do dinheiro no tempo. Portanto, todas as entradas e saídas de caixa são tratadas no tempo presente.

• O VPL de um investimento é igual ao valor presente do fluxo de caixa líquido do projeto em análise, descontado por uma taxa, que pode ser o custo médio ponderado de capital, por exemplo.

• Essa taxa, usualmente chamada de taxa de desconto ou Taxa Mínima de Atratatividade, é o retorno mínimo que deve ser esperado para que o projeto seja aceito (BREALEY, 1992).

VPL e o Fluxo de Caixa Descontado

• Se o fluxo de caixa do projeto, após ser descontado

ao valor da taxa de desconto, for maior ou igual a zero

significa que executar o projeto é viável, pois este

remunera o capital investido a uma taxa igual ou

maior que a taxa mínima de retorno.

• Quando o VPL for menor do que zero, rejeita-se o

projeto (COSTA, 1987).

VPL - Critério

• A Taxa Interna de Retorno (TIR), em inglês IRR (Internal Rate of Return), é uma taxa de desconto hipotética que, quando aplicada a um fluxo de caixa, faz com que os valores das despesas, trazidos ao valor presente, seja igual aos valores dos retornos dos investimentos, também trazidos ao valor presente.

• O conceito foi proposto por John Maynard Keynes, de forma a classificar diversos projetos de investimento: os projetos cujos fluxos de caixa tivessem uma taxa interna de retorno maior do que a taxa mínima de atratividade deveriam ser escolhidos.

TIR – O que é

• A Taxa Interna de Retorno – TIR é a taxa “i” que se

iguala as entradas de caixa ao valor a ser investido

em um projeto. Em outras palavras, é a taxa que

iguala o VPL de um projeto a zero.

• A Taxa Interna de Retorno de um investimento pode ser:

• Maior do que a Taxa Mínima de Atratividade: significa que o investimento é economicamente atrativo.

• Igual à Taxa Mínima de Atratividade: o investimento está economicamente numa situação de indiferença.

• Menor do que a Taxa Mínima de Atratividade: o investimento não é economicamente atrativo pois seu retorno é superado pelo retorno de um investimento com o mínimo de retorno já definido.

Avaliando a TIR

• Tanto o projeto A e B são previstos para durar 6 anos

e tem, ambos, previsão de investimento de R$

5.000,00

• Levando em consideração que o dono da empresa

considera que os investimentos devem ter uma taxa

de rentabilidade de no mínimo 18% responda:

• Os projetos se pagam?

• Qual é mais recomendável, A ou B? Por que?

Exemplo: Investir no Projeto A ou B

• Investimento no aplicativo A

Projeto A Fluxo de Caixa

Investimento em t₀ -R$ 5.000,00

Retorno em t₁ R$ 2.000,00

Retorno em t₂ R$ 1.500,00

Retorno em t₃ R$ 1.500,00

Retorno em t₄ R$ 1.000,00

Retorno em t₅ R$ 1.000,00

Retorno em t₆ R$ 1.000,00

TOTAL R$ 3.000,00

Projeto A

• Investimento no aplicativo B

Projeto B Fluxo de Caixa

Investimento em t₀ -R$ 5.000,00

Retorno em t₁ R$ 2.700,00

Retorno em t₂ R$ 1.800,00

Retorno em t₃ R$ 1.300,00

Retorno em t₄ R$ 800,00

Retorno em t₅ R$ 500,00

Retorno em t₆ R$ 500,00

TOTAL R$ 2.600,00

Projeto B

Período

Fluxo de Caixa VP

0 -R$ 5.000,00 -R$ 5.000,00

1 R$ 2.000,00 R$ 1.694,92

2 R$ 1.500,00 R$ 1.077,28

3 R$ 1.500,00 R$ 912,95

4 R$ 1.000,00 R$ 515,79

5 R$ 1.000,00 R$ 437,11

6 R$ 1.000,00 R$ 370,43

TotalR$

3.000,00 R$

Projeto A - VPL

Período Fluxo de Caixa VPAcumulado

0 -R$ 5.000,00 -R$ 5.000,00 -R$ 5.000,00

1 R$ 2.000,00 R$ 1.694,92 -R$ 3.305,08

2 R$ 1.500,00 R$ 1.077,28 -R$ 2.227,81

3 R$ 1.500,00 R$ 912,95 -R$ 1.314,86

4 R$ 1.000,00 R$ 515,79 -R$ 799,07

5 R$ 1.000,00 R$ 437,11 -R$ 361,96

6 R$ 1.000,00 R$ 370,43 R$ 8,47

Total R$ 3.000,00 R$ 8,47

Do quinto para o sexto ano

resultado fica positivo

TIR projeto A = 18%

Projeto A - Payback

Período

Fluxo de Caixa VP

0 -R$ 5.000,00 -R$ 5.000,00

1 R$ 2.700,00 R$ 2.288,14

2 R$ 1.800,00 R$ 1.292,73

3 R$ 1.300,00 R$ 791,22

4 R$ 800,00 R$ 412,63

5 R$ 500,00 R$ 218,55

6 R$ 500,00 R$ 185,22

Total R$ 2.600,00 R$ 188,49 VPL

Projeto B - VPL

Período Fluxo de Caixa VPAcumulado

0 -R$ 5.000,00 -R$ 5.000,00 -R$ 5.000,00

1 R$ 2.700,00 R$ 2.288,14 -R$ 2.711,86

2 R$ 1.800,00 R$ 1.292,73 -R$ 1.419,13

3 R$ 1.300,00 R$ 791,22 -R$ 627,91

4 R$ 800,00 R$ 412,63 -R$ 215,28

5 R$ 500,00 R$ 218,55 R$ 3,27

6 R$ 500,00 R$ 185,22 R$ 188,49

Total R$ 2.600,00 R$ 188,49

Do quarto para o quinto ano

resultado fica positivo

TIR projeto B = 20%

Projeto B - Payback

Sistema SAC e Sistema PRICE

Financiamento de Habitação

• Há duas formas de amortização de um contrato de

financiamento reconhecido pelo Sistema Financeiro

da Habitação: Sistema SAC e Sistema PRICE

Sistema PRICE

• As prestações calculadas neste sistema são

constantes.

• Cada prestação é composta de uma cota de

amortização e juros, que variam em sentido inverso

ao longo do prazo de financiamento.

• A prestação inicial tende a ser menor, é só é

aumentada em razão da aplicação da TR.

• Outro ponto importante a destacar, é que só se

percebe a diminuição do Saldo Devedor, com

aproximadamente 50% das prestações pagas.

Sistema SAC

• SAC (Sistema de Amortização Constante): Trata-se

do sistema atualmente mais utilizado pelos bancos.

• Ao longo do prazo a amortização é constante,

reduzindo o principal.

• Como os juros são calculados com base no principal,

este tende a ser decrescente.

• Assim, neste sistema a parcela inicial é maior, porém

decresce ao longo do prazo.

• O Saldo devedor decresce a partir do 1º pagamento

das prestações.

Comparativo PRICE x SAC

Fonte: financiamento.com.br

Exemplo PRICE x SAC

Fonte: financiamento.com.br

Exemplos de Mercado

Debenture

• Dívida de empresas S/A (captação de recursos)

• Maior rentabilidade que o tesouro pois tem maior

• Algumas debentures podem ser livres de IR

(incentivadas - infraestrutura) – lei 12.431

• Podem ser nominais ou Escriturárias

• Selo: CETIP Certifica

• Não garantido pelo FGC

Bibliografia

BibliografiaI. Básica:

1. Lima, Iran Siqueira; Galardi, Ney & Neubauer, Ingrid. Mercados de Investimentosfinanceiros. 2ª ed.: manual para certificação profissional ANBID Série 20 (CPA - 20).São Paulo: Atlas, 2008.

2. Neto, Alexandre Assaf. Mercado Financeiro. 12ª ed. São Paulo: Atlas, 2014.

3. Securato, José Roberto. Decisões financeiras em condições de riscos. São Paulo:Atlas, 1996.

II. Complementar1.Freund John E.; Simon, Gary A. Estatística aplicada: economia, administração econtabilidade. 9. ed. Porto Alegre: Bookman, 2000

2. LAPPONI, Juan Carlos. Estatística usando Excel 5 e 7. São Paulo: LapponiTreinamento, 1997.

3. Levine, David M.; Bereson, Mark L.; Stephan, David. Estatística: teoria eaplicações, usando o Microsoft Excel em português. 3.ed. Rio de Janeiro: LTC, 2005.

4.-MORETTIN, Luiz Gonzaga. Vol. 1. Estatística básica. 7.ed. São Paulo:Pearson/Makron Books, 2000.

5. MORETTIN, Luiz Gonzaga. Vol. 2. Estatística básica. 7.ed. São Paulo:Pearson/Makron Books, 2000.

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