matemática atualizado 27.11.12

INSTRUTOR ALBERTO

A Matemática oferece-nos um conjunto

singular de ferramentas poderosas para

compreender e mudar o mundo. Estas

ferramentas incluem o raciocínio lógico,

técnicas de resolução de problemas, e a

capacidade de pensar em termos abstratos.

MATEMÁTICA PRA QUE?

O mundo em que vivemos hoje, depende

fundamentalmente da Matemática, por exemplo,

as ondas eletromagnéticas, que são responsáveis

pela informação que chega ao nosso televisor, a

informação telefônica que via satélite liga pontos

distantes do nosso planeta, tiveram a sua

existência primeiramente descoberta na

Matemática, e com sucesso, descobriu-se a sua

existência física.

A computação que revoluciona a vida

moderna foi desenvolvida inicialmente

(em seus aspectos teóricos) por

matemáticos como Von Neuman e A.

Turing.

Para se desenvolver um motor, um

circuito elétrico ou um "chip" de

computador, uma enorme quantidade de

cálculos matemáticos e Teorias

Matemáticas são necessárias.

CONTEÚDO

AS 4 OPERAÇÕES BÁSICAS

RAZÃO E PROPORÇÃO

CLASSIFICAÇÃO NUMÉRICA

PORCENTAGEM

JUROS

SISTEMA DE MEDIDAS

SISTEMA DE EQUAÇÕES

FRAÇÕES

REGRA DE TRÊS SIMPLES

REGRA DE TRÊS COMPOSTA

GABARITO TESTE DE SONDAGEM

1) 120 minutos

2) a) 5º dia b) 200 minutos

3) 6200 gramas ou 6,2 kg

4) 7 dias e meio

5) 4.080 metros

6) 4588

7) 15 vezes

8) 2x100 + 4x20 + 1x5

9) 6 balas

10) 135 passageiros

CONJUNTOS NUMÉRICOS

Podemos entender como conjunto uma

coleção de elementos. Conjuntos

numéricos são aqueles elementos cujos

elementos são números.

CLASSIFICAÇÃO DOS CONJUNTOS NUMÉRICOS

Reúne números com a mesma

propriedade. Estão classificados em:

- Naturais (N)

Um número natural está relacionado a

uma quantidade de objetos que podem

ser contados. Exemplos: dez dedos, duas

pessoas, uma dúzia de laranjas.

N= {0,1,2,3,4,...}

N*= {1,2,3,4,...} (Não nulos)

CONJUNTOS NUMÉRICOS

Inteiros (Z): É formado por todos os números

pertencentes ao conjunto dos números naturais mais

seus respectivos opostos ou simétricos (negativos).

Exemplo: Se devo ao banco 200 reais, meu saldo é de -

200; se tenho 100 reais guardados na poupança, meu

saldo é +100 ou simplesmente 100.

Conjunto dos números inteiros:

Z= {...,-2,-1,0,1,2,...}

Conjunto dos números inteiros não nulos:

Z*= {...-2, -1,1,2,...}

CONJUNTOS NUMÉRICOS

Racionais (Q): è formado por todos números

pertencentes ao conjunto dos números

inteiros mais todas as frações que estão entre

dois números inteiros consecutivos. Todo

número racional pode ser representado por

uma fração de dois números inteiros.

Q={a/b l a z e b z*}

Irracionais (I): É formado por todo

número que, em forma decimal, é uma

dízima não periódica.

I= {xlx é dízima não periódica}

Ex.: =3,14159...; ; o número e=

2,71828183...

CONJUNTOS NUMÉRICOS

Reais (R): É formado pela união do

conjunto dos números racionais e o

conjunto dos números irracionais.

CONJUNTOS NUMÉRICOS

NÚMEROS

Número é um objeto da matemática

usado para descrever quantidade, ordem

ou medida. O conceito de número

provavelmente foi um dos primeiros

conceitos matemáticos assimilados pela

humanidade no processo de contagem.

NÚMEROS

CARDINAL: Indica quantidade. Ex.: um,

dois, três, dez, vinte;

ORDINAL: Indica ordem. Ex.: primeiro,

segundo, terceiro;

MULTIPLICATIVO: Indica multiplicação.

Ex.: duplo, triplo, quádruplo;

FRACIONÁRIO: Indica divisão, fração. Ex.:

meio, um sexto, um décimo.

NUMERAIS COLETIVOS

biênio - período de dois anos

bíduo - período de dois dias

casal - par, composto de macho e

fêmea

centena - de cem

década ou decênio - período de

dez anos

dezena - de dez

dúzia - de doze

grosa - doze dúzias ou cento e

quarenta e quatro

dístico - dois versos

lustro - período de cinco anos

milênio - período de mil anos

novena - período de nove dias

quadriênio - período de quatro anos

quarentena - período de quarenta dias

quinquênio - período de cinco anos

quinzena - período de quinze dias

século - período de cem anos

semana - período de sete dias

semestre - período de seis meses

tríduo - período de três dias

Certos numerais indicam um conjunto de seres. São os numerais

coletivos. Eles indicam número delimitado. Eis alguns deles:

4ºquarto

9ºnono

14ºdécimo quarto

10ºdécimo

20ºvigésimo

50ºquinquagésimo

70ºseptuagésimo

80ºoctogésimo

90ºnonagésimo

100ºcentésimo

EXEMPLO DE NÚMEROS ORDINAIS

101ºcentésimo primeiro

200ºducentésimo

300ºtrecentésimo

400ºquadringentésimo

500ºquingentésimo

600ºsexcentésimo

700ºsetingentésimo

800ºoctingentésimo

900ºnoningentésimo

1000ºmilésimo

EXEMPLO DE NÚMEROS ORDINAIS

Multiplicação: Multiplicamos dois números decimais

como se fossem inteiros e separamos os resultados

a partir da direita, tantas casas decimais quantos

forem os algarismos decimais dos números dados.

Ex.: 5,32 x 3,8 => 5,32 = 2 casas decimais após a

vírgula e 3,8= 1 casa decimal após a vírgula.

5,32

x3,8

4256

1596

20,216 = 3 casas após a vírgula

OPERAÇÕES COM NÚMEROS DECIMAIS

Divisão: Igualamos as casas decimais entre o

dividendo e o divisor e quando o dividendo

for menor que o divisor acrescentamos um

zero antes da vírgula no quociente.

3:4 3 I4

30 0,75

20

0

OPERAÇÕES COM NÚMEROS DECIMAIS

AS 4 OPERAÇÕES BÁSICAS

ADIÇÃO:

Usamos a operação de adição quando

queremos juntar duas ou mais quantidades e

acrescentar uma unidade a outra.

Exemplos:5243

+ 1978

7221

57

112

+ 8359

8528

AS 4 OPERAÇÕES BÁSICAS

SUBTRAÇÃO:

Usamos a operação de subtração quando

queremos tirar uma quantidade de outra,

comparar duas quantidades (quanto a mais?) e

para saber quanto falta a uma quantidade para

atingir a outra.

Exemplos:

276

- 152

124

3462

- 1476

1986

AS 4 OPERAÇÕES BÁSICAS

MULTIPLICAÇÃO:

Usamos a operação de multiplicação quando

queremos adicionar quantidades iguais e

quando temos uma situação de combinação.

Exemplos:642

x 5

3210

32

x 12

64

32+

384

AS 4 OPERAÇÕES BÁSICAS

DIVISÃO:

Usamos a operação de divisão quando

queremos repartir uma quantidade em partes

iguais e para calcular quantas vezes uma

quantidade cabe em outra.

Exemplos:

AGORA É COM VOCÊ!

“Veja!

Não diga que a canção

Está perdida

Tenha fé em Deus

Tenha fé na vida

Tente outra vez!...”

(RAUL SEIXAS)

RAZÃO

É a relação entre duas grandezas de

espécies iguais ou diferentes, expressa

geralmente por a:b, ou “a para b”, em

que a denomina-se antecedente e b,

conseqüente.

Exemplos de razão: Escala, velocidade

média, densidade de um corpo, densidade

demográfica, porcentagem, gramatura, etc.

RAZÃO

Leitura:

8:3 (lê-se: oito está para três ou oito para três).

Exemplo:

Em uma classe há 18 rapazes e 16 moças,

determine a razão entre o número de rapazes

e o número de moças.

Resolução: = , o que indica que na sala de

aula há 9 rapazes

Determine a razão entre o número de

rapazes e o total de alunos:

Resolução:

= , o que indica que há 9 rapazes para

cada 17 alunos.

RAZÃO

PROPORÇÃO

É a igualdade entre duas razões, expressa

geralmente por:

a : b :: c : d ou = .

Leitura:

= (lê-se: a está para b, assim como c

está para d).

Exemplo:

= é uma proporção que pode ser escrita

assim: 10:15 = 6:9

Os números 10, 15, 6 e 9 são

denominados termos, sendo que 10 e 9

são termos dos extremos e 15 e 6,

termos dos meios.

A propriedade fundamental da proporção

diz que “em uma proporção, o produto

dos extremos é igual ao produto dos

meios”, isto é, 10x9 = 15x6 = 90

PROPORÇÃO

PORCENTAGEM

É uma parte proporcional calculada sobre

100 unidades, ou seja, toma-se como base

o número 100.

Por exemplo: Havia 100 doces na padaria.

João comprou 60. Dizemos então que João

comprou 60% dos doces, isto é, de 100

unidades, ele comprou 60.

Símbolo Lê-se

% Por cento

CÁLCULO DE PORCENTAGEM

Quantos são 20% de 300?

Existem 3 modos de calcular:

1º) 300x20 = 6000, 6000÷100=60

2º) 20/100 de 300=

20/100x300/1=6000/100=60

3º) 20÷100=0,20, 300x0.20=60

TAXA PORCENTUAL OU PORCENTAGEM

Chama-se taxa porcentual ou porcentagem

de um número a sobre um número b,

b≠0, à razão tal que =

Indica-se por x%

Ex: 3 equivale a quantos por cento de 5?

= 5x=300 / x=60. A taxa é de 60%

JUROS

Juros é um acréscimo calculado sobre

determinado valor. Os juros são indicados

geralmente em porcentagem, em relação a

um período de tempo (10% ao mês; 12% ao

ano etc.).

J = P . i . n

Onde:

J = juros / P = principal (capital)

i = taxa de juros / n = número de períodos

Exemplo1: Temos uma dívida de R$ 1000,00

que deve ser paga com juros de 8% a.m. pelo

regime de juros simples e devemos pagá-la em

2 meses. Os juros que pagarei serão:

J = 1000 x 0.08 x 2 = 160

Ao somarmos os juros ao valor principal temos

o montante.

Montante = Principal + Juros

JUROS

Exemplo 2: Pedro depositou R$ 600,00 na

poupança. A taxa mensal de juros é de

2%. Quanto Pedro ganhará de juros em

um mês?

600x2=1200, 1200÷100=12

JUROS

AGORA É COM VOCÊ!

“Veja!

Não diga que a canção

Está perdida

Tenha fé em Deus

Tenha fé na vida

Tente outra vez!...”

(RAUL SEIXAS)

1º) Seu José comprou 400 cabeças de gado. Vendeu 30%

e comprou mais 50 cabeças. Quantas cabeças de gado

ele tem?

2º) Meu tio emprestou R$980,00 a um amigo no mês

passado agora o amigo dele vai devolver o dinheiro com

7% de juros. Que valor corresponde ao juros? Quanto

meu tio vai receber?

3º) Fui comprar material escolar e, na primeira loja, o

preço era R$80,00 com um desconto de 15%. Na

segunda loja, o preço era R$100,00, mas o desconto era

de 32%. Em qual loja vale mais a pena comprar? Por

quê?

4º)O preço de um fogão é R$1000,00. Dona Maria

comprou à vista e teve desconto de 5%. Por quanto

Dona Maria comprou o fogão?

5º) Se 20% de um número corresponde a 16, qual é

esse numero?

GABARITO

1º) 330

2º) 68,60/1.048,60

3º)12,00(68,00)/32,00(68,00) IGUAL NAS

DUAS LOJAS

4º) R$950,00

5º) 80

SISTEMA DE MEDIDAS

Para medir a altura das pessoas ou a largura

de uma janela, por exemplo, usamos as

medidas de comprimento. O metro é a

unidade principal, seu símbolo e m. Existem

os múltiplos do metro que são unidades

maiores, e os submúltiplos, que são

unidades menores.

1 km 1000 m 1 dm 0,1m

1 hm 100 m 1 cm 0,01

1 dam 10 m 1 mm 0.001 m

EXEMPLOPara convertermos 2,5 metros em centímetros, devemos

multiplicar (porque na tabela metro está à esquerda de

centímetro) 2,5 por 10 duas vezes, pois para passarmos

de metros para centímetros saltamos dois níveis à direita.

Primeiro passamos de metros para decímetros e depois

de decímetros para centímetros:

Isto equivale a passar a vírgula duas casas para a direita.

Portanto:

2,5 m é igual a 250 cm

MEDIDAS DE MASSA

Balança é um aparelho usado para medir a

massa (ou o peso) de pessoas, animais e

objetos, entre outras coisas. Para isso,

utilizamos as medidas de massa. O grama

é a principal unidade, seu símbolo é g,

existem ainda a tonelada e a arroba.

EXEMPLO

Passe 5.200 gramas para quilogramas

Para passarmos 5.200 gramas para quilogramas, devemos dividir (porque na tabela grama está à direita de quilograma) 5.200 por 10 três vezes, pois para passarmos de gramas para quilogramas saltamos três níveis à esquerda. Primeiro passamos de grama para decagrama, depois de decagrama para hectograma e finalmente de hectograma para quilograma:

Isto equivale a passar a vírgula três casas para a esquerda.

Portanto:

5.200 g é igual a 5,2 kg

MEDIDAS DE CAPACIDADE

Para medir a quantidade de líquido existente em um

recipiente, empregamos as medidas de capacidade. O litro é a

unidade principal, seu símbolo é L.

Exemplo:

Quantos centilitros equivalem a 15 hl?

Para irmos de hectolitros a centilitros, passaremos quatro

níveis à direita. Multiplicaremos então 15 por 10 quatro vezes:

Isto equivale a passar a vírgula quatro casas para a direita.

Portanto:

150.000 cl equivalem a 15 hl.

MEDIDAS DE TEMPO

Usamos as horas, os minutos e os segundos

para medir o tempo. Uma hora tem 60

minutos, seu símbolo é h. Um minuto tem

60 segundos, seu símbolo é min. O

símbolo de segundo é s.

MEDIDAS ANTIGAS

1 braça = 2 varas = 2,2 m

1 vara = 5 palmos = 1,1 m

1 côvado = 3 palmos = 0,66 m

1 palmo = 8 polegadas = 0,22 m

1 pé = 12 polegadas = 0,33 m

1 polegada = 0,0254 m

SISTEMA DE EQUAÇÕES

Muitos dos problemas requerem a

transformação de textos em equações

matemáticas, associadas de forma a organizar

o raciocínio e a favorecer sua resolução. Um

sistema de equações lineares com duas

incógnitas (grandezas) nada mais é que uma

reunião de equações.

SISTEMA DE EQUAÇÕES – MÉTODO

DA SUBSTITUIÇÃO

Exemplo 1

A população de uma cidade A

é três vezes maior que a

população da cidade B.

Somando a população das duas

cidades temos o total de

200.000 habitantes. Qual a

população da cidade A?

Cidade A = x Cidade B = y

x = 3y

x + y = 200 000

Substituindo x = 3y

x + y = 200 000

3y + y = 200 000

4y = 200 000

y = 200 000/4

y = 50 000

x = 3y , substituindo y = 50 000

Temos

x = 3 * 50 000

x = 150 000

População A = 150 000

População B = 50 000

AGORA É COM VOCÊ!

“Veja!

Não diga que a canção

Está perdida

Tenha fé em Deus

Tenha fé na vida

Tente outra vez!...”

(RAUL SEIXAS)

FRAÇÕES

Há 3000 antes de Cristo, os geômetras dos

faraós do Egito realizavam marcação das

terras que ficavam às margens do rio Nilo,

para a sua população. Mas, no período de

junho a setembro, o rio inundava essas

terras levando parte de suas marcações.

Logo os proprietários das terras tinham

que marcá-las novamente e para isso, eles

utilizavam uma marcação com cordas, que

seria uma espécie de medida,

denominada estiradores de cordas.

FRAÇÕES

FRAÇÕES

As pessoas utilizavam as cordas, esticando-as e

assim verificavam quantas vezes aquela unidade

de medida estava contida nos lados do terreno,

mas raramente a medida dava correta no

terreno, isto é, não cabia um número inteiro de

vezes nos lados do terreno; sendo assim eles

sentiram a necessidade de criar um novo tipo

de número - o número fracionário, onde eles

utilizavam as frações.

Os numerais que representam números

racionais não-negativos são chamados frações e

os números inteiros utilizados na fração são

chamados numerador e denominador,

separados por uma linha horizontal ou traço de

fração.

FRAÇÕES

Numerador

Denominador

Onde Numerador indica quantas partes são

tomadas do inteiro, isto é, o número inteiro

que é escrito sobre o traço de fração

e Denominador indica em quantas partes

dividimos o inteiro, sendo que este número

inteiro deve necessariamente ser diferente de

zero.

FRAÇÕES

FRAÇÕES

Observação:A linguagem HTML (para construir

páginas da Web) não proporciona ainda um

método simples para a implementar a barra de

fração, razão pela qual, às vezes usaremos a

barra / ou mesmo o sinal ÷, para entender a

divisão de dois números.

Exemplo: Consideremos a fração 1/4, que pode

ser escrita como:

1

4

LEITURA DE FRAÇÕES

(a) O numerador é 1 e o denominador é um inteiro 1<d<10

A leitura de uma fração da forma 1/d, onde d é o denominador que

é menor do que 10 é feita como:

Quando a fração for da forma 1/d, com d maior do que 10, lemos: 1,

o denominador e acrescentamos a palavra avos.

Avos é um substantivo masculino usado na leitura das frações,

designa cada uma das partes iguais em que foi dividida a unidade e

se cujo denominador é maior do que dez.

PROPRIEDADES FUNDAMENTAIS

(1) Se multiplicarmos os termos (numerador e denominador)

de uma fração por um mesmo número natural, obteremos uma

fração equivalente à fração dada:

(2) Se é possível dividir os termos (numerador e denominador)

de uma fração por um mesmo número natural, obteremos uma

fração equivalente à fração dada:

OPERAÇÕES COM FRAÇÕES

Adição e Subtração

1º caso: Frações com denominadores iguais,

conservamos o denominador e somamos

ou subtraímos os numeradores

Exemplos: + = =

- = = =

2º caso: Frações com denominadores

diferentes, reduzimos as frações ao mesmo

denominador e efetuamos a operação indicada.

Ex: + = = =

OPERAÇÕES COM FRAÇÕES

MULTIPLICAÇÃO DE FRAÇÕES

Multiplicamos os numeradores das frações

entre si, assim como seus denominadores.

Ex: x = =

DIVISÃO DE FRAÇÕES

Conservamos a 1º e multiplicamos pelo

inverso da 2º.

Ex: : = x = =

SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÕESSimplificar frações é o mesmo que escrevê-la em uma forma mais

simples, para que a mesma se torne mais fácil de ser manipulada.

O objetivo de simplificar uma fração é torná-la uma fração

irredutível, isto é, uma fração para a qual o Máximo Divisor

Comum entre o Numerador e o Denominador seja 1, ou seja, o

Numerador e o Denominador devem ser primos entre si. Essa

simplificação pode ser feita através dos processos de divisão

sucessiva e pela fatoração.

A divisão sucessiva corresponde a dividir os dois termos da

fração por um mesmo número (fator comum ) até que ela se

torne irredutível.

REGRA DE TRÊS SIMPLESRegra de três simples é um processo prático para resolver problemas que

envolvam quatro valores dos quais conhecemos três deles. Devemos,

portanto, determinar um valor a partir dos três já conhecidos.

Passos utilizados numa regra de três simples:

1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em

colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de espécies diferentes em

correspondência.

2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente

proporcionais.

3º) Montar a proporção e resolver a equação.

Exemplos:

1) Com uma área de absorção de raios solares de 1,2m2, uma lancha

com motor movido a energia solar consegue produzir 400 watts por hora de

energia.Aumentando-se essa área para 1,5m2, qual será a energia produzida?

Solução: montando a tabela:

Identificação do tipo de relação:

Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna).

Observe que: Aumentando a área de absorção, a energia solar aumenta.

Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são diretamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no mesmo sentido (para baixo) na 1ª coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

Logo, a energia produzida será de 500 watts por hora.

2) Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de

400Km/h, faz um determinado percurso em 3 horas. Em quanto

tempo faria esse mesmo percurso, se a velocidade utilizada

fosse de 480km/h?

Solução: montando a tabela:

Velocidade (Km/h)Tempo (h)

Identificação do tipo de relação:

REGRA DE TRÊS COMPOSTA

A regra de três composta, é uma forma de se

descobrir valores de grandezas a partir de

outros valores já existentes. É utilizada

quando se quer descobrir um único valor a

partir de três, cinco ou mais valores já

conhecidos, tendo em conta que os valores

referentes a uma mesma classe de objeto

devem estar na mesma unidade de medida.

Para resolver, deve-se levar em conta se as grandezas

relacionadas são diretamente ou inversamente

proporcionais.

Ex: O dono de uma carpintaria sabe que precisa de

50 operários para fazer 10 estantes em 5 dias, mas

sabendo ele que para fazer as estantes tem apenas 2

dias, de quantos operários vai precisar?

REGRA DE TRÊS COMPOSTA

ESTANTES OPERÁRIOS DIAS

10 50 5

10 X 2

REGRA DE TRÊS COMPOSTA

Se aumentarmos ( ) o número de operários,

faz-se mais ( ) ou menos ( ) estantes?

Se aumentarmos ( ) o número de operários,

precisa-se de mais ( ) ou menos ( ) dias?

ESTANTES OPERÁRIOS DIAS

10 50 5

10 X 2

REGRA DE TRÊS COMPOSTA

Vamos criar e resolver a equação:= x

= , x=125

AGORA É COM VOCÊ!

“Veja!

Não diga que a canção

Está perdida

Tenha fé em Deus

Tenha fé na vida

Tente outra vez!...”

(RAUL SEIXAS)