matemática atualizado 27.11.12
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CURSO RÁPIDO DE MATEMÁTICATRANSCRIPT
INSTRUTOR ALBERTO
A Matemática oferece-nos um conjunto
singular de ferramentas poderosas para
compreender e mudar o mundo. Estas
ferramentas incluem o raciocínio lógico,
técnicas de resolução de problemas, e a
capacidade de pensar em termos abstratos.
MATEMÁTICA PRA QUE?
O mundo em que vivemos hoje, depende
fundamentalmente da Matemática, por exemplo,
as ondas eletromagnéticas, que são responsáveis
pela informação que chega ao nosso televisor, a
informação telefônica que via satélite liga pontos
distantes do nosso planeta, tiveram a sua
existência primeiramente descoberta na
Matemática, e com sucesso, descobriu-se a sua
existência física.
A computação que revoluciona a vida
moderna foi desenvolvida inicialmente
(em seus aspectos teóricos) por
matemáticos como Von Neuman e A.
Turing.
Para se desenvolver um motor, um
circuito elétrico ou um "chip" de
computador, uma enorme quantidade de
cálculos matemáticos e Teorias
Matemáticas são necessárias.
CONTEÚDO
AS 4 OPERAÇÕES BÁSICAS
RAZÃO E PROPORÇÃO
CLASSIFICAÇÃO NUMÉRICA
PORCENTAGEM
JUROS
SISTEMA DE MEDIDAS
SISTEMA DE EQUAÇÕES
FRAÇÕES
REGRA DE TRÊS SIMPLES
REGRA DE TRÊS COMPOSTA
GABARITO TESTE DE SONDAGEM
1) 120 minutos
2) a) 5º dia b) 200 minutos
3) 6200 gramas ou 6,2 kg
4) 7 dias e meio
5) 4.080 metros
6) 4588
7) 15 vezes
8) 2x100 + 4x20 + 1x5
9) 6 balas
10) 135 passageiros
CONJUNTOS NUMÉRICOS
Podemos entender como conjunto uma
coleção de elementos. Conjuntos
numéricos são aqueles elementos cujos
elementos são números.
CLASSIFICAÇÃO DOS CONJUNTOS NUMÉRICOS
Reúne números com a mesma
propriedade. Estão classificados em:
- Naturais (N)
Um número natural está relacionado a
uma quantidade de objetos que podem
ser contados. Exemplos: dez dedos, duas
pessoas, uma dúzia de laranjas.
N= {0,1,2,3,4,...}
N*= {1,2,3,4,...} (Não nulos)
CONJUNTOS NUMÉRICOS
Inteiros (Z): É formado por todos os números
pertencentes ao conjunto dos números naturais mais
seus respectivos opostos ou simétricos (negativos).
Exemplo: Se devo ao banco 200 reais, meu saldo é de -
200; se tenho 100 reais guardados na poupança, meu
saldo é +100 ou simplesmente 100.
Conjunto dos números inteiros:
Z= {...,-2,-1,0,1,2,...}
Conjunto dos números inteiros não nulos:
Z*= {...-2, -1,1,2,...}
CONJUNTOS NUMÉRICOS
Racionais (Q): è formado por todos números
pertencentes ao conjunto dos números
inteiros mais todas as frações que estão entre
dois números inteiros consecutivos. Todo
número racional pode ser representado por
uma fração de dois números inteiros.
Q={a/b l a z e b z*}
Irracionais (I): É formado por todo
número que, em forma decimal, é uma
dízima não periódica.
I= {xlx é dízima não periódica}
Ex.: =3,14159...; ; o número e=
2,71828183...
CONJUNTOS NUMÉRICOS
Reais (R): É formado pela união do
conjunto dos números racionais e o
conjunto dos números irracionais.
CONJUNTOS NUMÉRICOS
NÚMEROS
Número é um objeto da matemática
usado para descrever quantidade, ordem
ou medida. O conceito de número
provavelmente foi um dos primeiros
conceitos matemáticos assimilados pela
humanidade no processo de contagem.
NÚMEROS
CARDINAL: Indica quantidade. Ex.: um,
dois, três, dez, vinte;
ORDINAL: Indica ordem. Ex.: primeiro,
segundo, terceiro;
MULTIPLICATIVO: Indica multiplicação.
Ex.: duplo, triplo, quádruplo;
FRACIONÁRIO: Indica divisão, fração. Ex.:
meio, um sexto, um décimo.
NUMERAIS COLETIVOS
biênio - período de dois anos
bíduo - período de dois dias
casal - par, composto de macho e
fêmea
centena - de cem
década ou decênio - período de
dez anos
dezena - de dez
dúzia - de doze
grosa - doze dúzias ou cento e
quarenta e quatro
dístico - dois versos
lustro - período de cinco anos
milênio - período de mil anos
novena - período de nove dias
quadriênio - período de quatro anos
quarentena - período de quarenta dias
quinquênio - período de cinco anos
quinzena - período de quinze dias
século - período de cem anos
semana - período de sete dias
semestre - período de seis meses
tríduo - período de três dias
Certos numerais indicam um conjunto de seres. São os numerais
coletivos. Eles indicam número delimitado. Eis alguns deles:
4ºquarto
9ºnono
14ºdécimo quarto
10ºdécimo
20ºvigésimo
50ºquinquagésimo
70ºseptuagésimo
80ºoctogésimo
90ºnonagésimo
100ºcentésimo
EXEMPLO DE NÚMEROS ORDINAIS
101ºcentésimo primeiro
200ºducentésimo
300ºtrecentésimo
400ºquadringentésimo
500ºquingentésimo
600ºsexcentésimo
700ºsetingentésimo
800ºoctingentésimo
900ºnoningentésimo
1000ºmilésimo
EXEMPLO DE NÚMEROS ORDINAIS
Multiplicação: Multiplicamos dois números decimais
como se fossem inteiros e separamos os resultados
a partir da direita, tantas casas decimais quantos
forem os algarismos decimais dos números dados.
Ex.: 5,32 x 3,8 => 5,32 = 2 casas decimais após a
vírgula e 3,8= 1 casa decimal após a vírgula.
5,32
x3,8
4256
1596
20,216 = 3 casas após a vírgula
OPERAÇÕES COM NÚMEROS DECIMAIS
Divisão: Igualamos as casas decimais entre o
dividendo e o divisor e quando o dividendo
for menor que o divisor acrescentamos um
zero antes da vírgula no quociente.
3:4 3 I4
30 0,75
20
0
OPERAÇÕES COM NÚMEROS DECIMAIS
AS 4 OPERAÇÕES BÁSICAS
ADIÇÃO:
Usamos a operação de adição quando
queremos juntar duas ou mais quantidades e
acrescentar uma unidade a outra.
Exemplos:5243
+ 1978
7221
57
112
+ 8359
8528
AS 4 OPERAÇÕES BÁSICAS
SUBTRAÇÃO:
Usamos a operação de subtração quando
queremos tirar uma quantidade de outra,
comparar duas quantidades (quanto a mais?) e
para saber quanto falta a uma quantidade para
atingir a outra.
Exemplos:
276
- 152
124
3462
- 1476
1986
AS 4 OPERAÇÕES BÁSICAS
MULTIPLICAÇÃO:
Usamos a operação de multiplicação quando
queremos adicionar quantidades iguais e
quando temos uma situação de combinação.
Exemplos:642
x 5
3210
32
x 12
64
32+
384
AS 4 OPERAÇÕES BÁSICAS
DIVISÃO:
Usamos a operação de divisão quando
queremos repartir uma quantidade em partes
iguais e para calcular quantas vezes uma
quantidade cabe em outra.
Exemplos:
AGORA É COM VOCÊ!
“Veja!
Não diga que a canção
Está perdida
Tenha fé em Deus
Tenha fé na vida
Tente outra vez!...”
(RAUL SEIXAS)
RAZÃO
É a relação entre duas grandezas de
espécies iguais ou diferentes, expressa
geralmente por a:b, ou “a para b”, em
que a denomina-se antecedente e b,
conseqüente.
Exemplos de razão: Escala, velocidade
média, densidade de um corpo, densidade
demográfica, porcentagem, gramatura, etc.
RAZÃO
Leitura:
8:3 (lê-se: oito está para três ou oito para três).
Exemplo:
Em uma classe há 18 rapazes e 16 moças,
determine a razão entre o número de rapazes
e o número de moças.
Resolução: = , o que indica que na sala de
aula há 9 rapazes
Determine a razão entre o número de
rapazes e o total de alunos:
Resolução:
= , o que indica que há 9 rapazes para
cada 17 alunos.
RAZÃO
PROPORÇÃO
É a igualdade entre duas razões, expressa
geralmente por:
a : b :: c : d ou = .
Leitura:
= (lê-se: a está para b, assim como c
está para d).
Exemplo:
= é uma proporção que pode ser escrita
assim: 10:15 = 6:9
Os números 10, 15, 6 e 9 são
denominados termos, sendo que 10 e 9
são termos dos extremos e 15 e 6,
termos dos meios.
A propriedade fundamental da proporção
diz que “em uma proporção, o produto
dos extremos é igual ao produto dos
meios”, isto é, 10x9 = 15x6 = 90
PROPORÇÃO
PORCENTAGEM
É uma parte proporcional calculada sobre
100 unidades, ou seja, toma-se como base
o número 100.
Por exemplo: Havia 100 doces na padaria.
João comprou 60. Dizemos então que João
comprou 60% dos doces, isto é, de 100
unidades, ele comprou 60.
Símbolo Lê-se
% Por cento
CÁLCULO DE PORCENTAGEM
Quantos são 20% de 300?
Existem 3 modos de calcular:
1º) 300x20 = 6000, 6000÷100=60
2º) 20/100 de 300=
20/100x300/1=6000/100=60
3º) 20÷100=0,20, 300x0.20=60
TAXA PORCENTUAL OU PORCENTAGEM
Chama-se taxa porcentual ou porcentagem
de um número a sobre um número b,
b≠0, à razão tal que =
Indica-se por x%
Ex: 3 equivale a quantos por cento de 5?
= 5x=300 / x=60. A taxa é de 60%
JUROS
Juros é um acréscimo calculado sobre
determinado valor. Os juros são indicados
geralmente em porcentagem, em relação a
um período de tempo (10% ao mês; 12% ao
ano etc.).
J = P . i . n
Onde:
J = juros / P = principal (capital)
i = taxa de juros / n = número de períodos
Exemplo1: Temos uma dívida de R$ 1000,00
que deve ser paga com juros de 8% a.m. pelo
regime de juros simples e devemos pagá-la em
2 meses. Os juros que pagarei serão:
J = 1000 x 0.08 x 2 = 160
Ao somarmos os juros ao valor principal temos
o montante.
Montante = Principal + Juros
JUROS
Exemplo 2: Pedro depositou R$ 600,00 na
poupança. A taxa mensal de juros é de
2%. Quanto Pedro ganhará de juros em
um mês?
600x2=1200, 1200÷100=12
JUROS
AGORA É COM VOCÊ!
“Veja!
Não diga que a canção
Está perdida
Tenha fé em Deus
Tenha fé na vida
Tente outra vez!...”
(RAUL SEIXAS)
1º) Seu José comprou 400 cabeças de gado. Vendeu 30%
e comprou mais 50 cabeças. Quantas cabeças de gado
ele tem?
2º) Meu tio emprestou R$980,00 a um amigo no mês
passado agora o amigo dele vai devolver o dinheiro com
7% de juros. Que valor corresponde ao juros? Quanto
meu tio vai receber?
3º) Fui comprar material escolar e, na primeira loja, o
preço era R$80,00 com um desconto de 15%. Na
segunda loja, o preço era R$100,00, mas o desconto era
de 32%. Em qual loja vale mais a pena comprar? Por
quê?
4º)O preço de um fogão é R$1000,00. Dona Maria
comprou à vista e teve desconto de 5%. Por quanto
Dona Maria comprou o fogão?
5º) Se 20% de um número corresponde a 16, qual é
esse numero?
GABARITO
1º) 330
2º) 68,60/1.048,60
3º)12,00(68,00)/32,00(68,00) IGUAL NAS
DUAS LOJAS
4º) R$950,00
5º) 80
SISTEMA DE MEDIDAS
Para medir a altura das pessoas ou a largura
de uma janela, por exemplo, usamos as
medidas de comprimento. O metro é a
unidade principal, seu símbolo e m. Existem
os múltiplos do metro que são unidades
maiores, e os submúltiplos, que são
unidades menores.
1 km 1000 m 1 dm 0,1m
1 hm 100 m 1 cm 0,01
1 dam 10 m 1 mm 0.001 m
EXEMPLOPara convertermos 2,5 metros em centímetros, devemos
multiplicar (porque na tabela metro está à esquerda de
centímetro) 2,5 por 10 duas vezes, pois para passarmos
de metros para centímetros saltamos dois níveis à direita.
Primeiro passamos de metros para decímetros e depois
de decímetros para centímetros:
Isto equivale a passar a vírgula duas casas para a direita.
Portanto:
2,5 m é igual a 250 cm
MEDIDAS DE MASSA
Balança é um aparelho usado para medir a
massa (ou o peso) de pessoas, animais e
objetos, entre outras coisas. Para isso,
utilizamos as medidas de massa. O grama
é a principal unidade, seu símbolo é g,
existem ainda a tonelada e a arroba.
EXEMPLO
Passe 5.200 gramas para quilogramas
Para passarmos 5.200 gramas para quilogramas, devemos dividir (porque na tabela grama está à direita de quilograma) 5.200 por 10 três vezes, pois para passarmos de gramas para quilogramas saltamos três níveis à esquerda. Primeiro passamos de grama para decagrama, depois de decagrama para hectograma e finalmente de hectograma para quilograma:
Isto equivale a passar a vírgula três casas para a esquerda.
Portanto:
5.200 g é igual a 5,2 kg
MEDIDAS DE CAPACIDADE
Para medir a quantidade de líquido existente em um
recipiente, empregamos as medidas de capacidade. O litro é a
unidade principal, seu símbolo é L.
Exemplo:
Quantos centilitros equivalem a 15 hl?
Para irmos de hectolitros a centilitros, passaremos quatro
níveis à direita. Multiplicaremos então 15 por 10 quatro vezes:
Isto equivale a passar a vírgula quatro casas para a direita.
Portanto:
150.000 cl equivalem a 15 hl.
MEDIDAS DE TEMPO
Usamos as horas, os minutos e os segundos
para medir o tempo. Uma hora tem 60
minutos, seu símbolo é h. Um minuto tem
60 segundos, seu símbolo é min. O
símbolo de segundo é s.
MEDIDAS ANTIGAS
1 braça = 2 varas = 2,2 m
1 vara = 5 palmos = 1,1 m
1 côvado = 3 palmos = 0,66 m
1 palmo = 8 polegadas = 0,22 m
1 pé = 12 polegadas = 0,33 m
1 polegada = 0,0254 m
SISTEMA DE EQUAÇÕES
Muitos dos problemas requerem a
transformação de textos em equações
matemáticas, associadas de forma a organizar
o raciocínio e a favorecer sua resolução. Um
sistema de equações lineares com duas
incógnitas (grandezas) nada mais é que uma
reunião de equações.
SISTEMA DE EQUAÇÕES – MÉTODO
DA SUBSTITUIÇÃO
Exemplo 1
A população de uma cidade A
é três vezes maior que a
população da cidade B.
Somando a população das duas
cidades temos o total de
200.000 habitantes. Qual a
população da cidade A?
Cidade A = x Cidade B = y
x = 3y
x + y = 200 000
Substituindo x = 3y
x + y = 200 000
3y + y = 200 000
4y = 200 000
y = 200 000/4
y = 50 000
x = 3y , substituindo y = 50 000
Temos
x = 3 * 50 000
x = 150 000
População A = 150 000
População B = 50 000
AGORA É COM VOCÊ!
“Veja!
Não diga que a canção
Está perdida
Tenha fé em Deus
Tenha fé na vida
Tente outra vez!...”
(RAUL SEIXAS)
FRAÇÕES
Há 3000 antes de Cristo, os geômetras dos
faraós do Egito realizavam marcação das
terras que ficavam às margens do rio Nilo,
para a sua população. Mas, no período de
junho a setembro, o rio inundava essas
terras levando parte de suas marcações.
Logo os proprietários das terras tinham
que marcá-las novamente e para isso, eles
utilizavam uma marcação com cordas, que
seria uma espécie de medida,
denominada estiradores de cordas.
FRAÇÕES
FRAÇÕES
As pessoas utilizavam as cordas, esticando-as e
assim verificavam quantas vezes aquela unidade
de medida estava contida nos lados do terreno,
mas raramente a medida dava correta no
terreno, isto é, não cabia um número inteiro de
vezes nos lados do terreno; sendo assim eles
sentiram a necessidade de criar um novo tipo
de número - o número fracionário, onde eles
utilizavam as frações.
Os numerais que representam números
racionais não-negativos são chamados frações e
os números inteiros utilizados na fração são
chamados numerador e denominador,
separados por uma linha horizontal ou traço de
fração.
FRAÇÕES
Numerador
Denominador
Onde Numerador indica quantas partes são
tomadas do inteiro, isto é, o número inteiro
que é escrito sobre o traço de fração
e Denominador indica em quantas partes
dividimos o inteiro, sendo que este número
inteiro deve necessariamente ser diferente de
zero.
FRAÇÕES
FRAÇÕES
Observação:A linguagem HTML (para construir
páginas da Web) não proporciona ainda um
método simples para a implementar a barra de
fração, razão pela qual, às vezes usaremos a
barra / ou mesmo o sinal ÷, para entender a
divisão de dois números.
Exemplo: Consideremos a fração 1/4, que pode
ser escrita como:
1
4
LEITURA DE FRAÇÕES
(a) O numerador é 1 e o denominador é um inteiro 1<d<10
A leitura de uma fração da forma 1/d, onde d é o denominador que
é menor do que 10 é feita como:
Quando a fração for da forma 1/d, com d maior do que 10, lemos: 1,
o denominador e acrescentamos a palavra avos.
Avos é um substantivo masculino usado na leitura das frações,
designa cada uma das partes iguais em que foi dividida a unidade e
se cujo denominador é maior do que dez.
PROPRIEDADES FUNDAMENTAIS
(1) Se multiplicarmos os termos (numerador e denominador)
de uma fração por um mesmo número natural, obteremos uma
fração equivalente à fração dada:
(2) Se é possível dividir os termos (numerador e denominador)
de uma fração por um mesmo número natural, obteremos uma
fração equivalente à fração dada:
OPERAÇÕES COM FRAÇÕES
Adição e Subtração
1º caso: Frações com denominadores iguais,
conservamos o denominador e somamos
ou subtraímos os numeradores
Exemplos: + = =
- = = =
2º caso: Frações com denominadores
diferentes, reduzimos as frações ao mesmo
denominador e efetuamos a operação indicada.
Ex: + = = =
OPERAÇÕES COM FRAÇÕES
MULTIPLICAÇÃO DE FRAÇÕES
Multiplicamos os numeradores das frações
entre si, assim como seus denominadores.
Ex: x = =
DIVISÃO DE FRAÇÕES
Conservamos a 1º e multiplicamos pelo
inverso da 2º.
Ex: : = x = =
SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÕESSimplificar frações é o mesmo que escrevê-la em uma forma mais
simples, para que a mesma se torne mais fácil de ser manipulada.
O objetivo de simplificar uma fração é torná-la uma fração
irredutível, isto é, uma fração para a qual o Máximo Divisor
Comum entre o Numerador e o Denominador seja 1, ou seja, o
Numerador e o Denominador devem ser primos entre si. Essa
simplificação pode ser feita através dos processos de divisão
sucessiva e pela fatoração.
A divisão sucessiva corresponde a dividir os dois termos da
fração por um mesmo número (fator comum ) até que ela se
torne irredutível.
REGRA DE TRÊS SIMPLESRegra de três simples é um processo prático para resolver problemas que
envolvam quatro valores dos quais conhecemos três deles. Devemos,
portanto, determinar um valor a partir dos três já conhecidos.
Passos utilizados numa regra de três simples:
1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em
colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de espécies diferentes em
correspondência.
2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente
proporcionais.
3º) Montar a proporção e resolver a equação.
Exemplos:
1) Com uma área de absorção de raios solares de 1,2m2, uma lancha
com motor movido a energia solar consegue produzir 400 watts por hora de
energia.Aumentando-se essa área para 1,5m2, qual será a energia produzida?
Solução: montando a tabela:
Identificação do tipo de relação:
Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna).
Observe que: Aumentando a área de absorção, a energia solar aumenta.
Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são diretamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no mesmo sentido (para baixo) na 1ª coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
Logo, a energia produzida será de 500 watts por hora.
2) Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de
400Km/h, faz um determinado percurso em 3 horas. Em quanto
tempo faria esse mesmo percurso, se a velocidade utilizada
fosse de 480km/h?
Solução: montando a tabela:
Velocidade (Km/h)Tempo (h)
Identificação do tipo de relação:
REGRA DE TRÊS COMPOSTA
A regra de três composta, é uma forma de se
descobrir valores de grandezas a partir de
outros valores já existentes. É utilizada
quando se quer descobrir um único valor a
partir de três, cinco ou mais valores já
conhecidos, tendo em conta que os valores
referentes a uma mesma classe de objeto
devem estar na mesma unidade de medida.
Para resolver, deve-se levar em conta se as grandezas
relacionadas são diretamente ou inversamente
proporcionais.
Ex: O dono de uma carpintaria sabe que precisa de
50 operários para fazer 10 estantes em 5 dias, mas
sabendo ele que para fazer as estantes tem apenas 2
dias, de quantos operários vai precisar?
REGRA DE TRÊS COMPOSTA
ESTANTES OPERÁRIOS DIAS
10 50 5
10 X 2
REGRA DE TRÊS COMPOSTA
Se aumentarmos ( ) o número de operários,
faz-se mais ( ) ou menos ( ) estantes?
Se aumentarmos ( ) o número de operários,
precisa-se de mais ( ) ou menos ( ) dias?
ESTANTES OPERÁRIOS DIAS
10 50 5
10 X 2
REGRA DE TRÊS COMPOSTA
Vamos criar e resolver a equação:= x
= , x=125
AGORA É COM VOCÊ!
“Veja!
Não diga que a canção
Está perdida
Tenha fé em Deus
Tenha fé na vida
Tente outra vez!...”
(RAUL SEIXAS)