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Matemática, 3º ano, Equações polinomiais
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIASEnsino Médio, 3º ano
Equações Polinomiais
Matemática, 3º ano, Equações polinomiais
“A diferença entre o cubo de um número real e o seu quadrado é igual à soma do triplo do quadrado desse número com 25. Qual é esse número?”,
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Matemática, 3º ano, Equações polinomiais
EQUAÇÕES POLINOMIAIS
Denominamos equações polinomiais ou algébricas, às equações da forma: P(x) = 0, onde P(x) é um polinômio de grau n > 0. As raízes da equação algébrica, são as mesmas do polinômio P(x). O grau do polinômio, será também o grau da equação.
Exemplos: x4 + 9x2–10x + 3 = 0 x10 + 6x2 + 9 = 0
Para resolver estas equações é preciso encontrar as raízes do polinômio. As raízes de um polinômio podem ser reais e/ou complexas.
Matemática, 3º ano, Equações polinomiais
TEOREMA FUNDAMENTAL DA ÁLGEBRA (T.F.A.)
Toda equação algébrica de variável complexa e grau n, com n ≥ 1, admite pelo menos uma raiz complexa (real ou imaginária).
A equação 2x – 6 = 0 admite a raiz real 3.
a equação x2 + 4 = 0 admite as raízes imaginárias 2i e –2i.
A equação x4 – 81 = 0 admite a raiz real 3 e a raiz imaginária –3i, entre outras.
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FATORAÇÃO DE UM POLINÔMIO
Uma consequência imediata do T.F.A. é o teorema a seguir.
Toda equação algébrica de variável complexa e grau n, com n ≥ 1, admite exatamente n raízes complexas (reais ou imaginárias).
Portanto, uma equação tem sempre tantas raízes quanto for o seu grau.
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DEMONSTRAÇÃO
Suponhamos a equação p(x) = 0, em que o polinômio p(x), de variável complexa e grau n ≥ 1, é dado pela seguinte expressão, com a0 ≠ 0.
Vamos provar que p(x) admite n raízes complexas.
p(x) = a0xn + a1xn–1 + a2xn–2 + ... + an–1x + an
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DEMONSTRAÇÃO
Pelo T.F.A., p(x) admite uma raiz complexa k1.
p(k1) = 0 e que p(x) é divisível por (x – k1).
⇒ p(x) = (x – k1).q1(x) (1)
q1(k2) = 0 e que q1(x) é divisível por (x – k2).
⇒ q1(x) = (x – k2).q2(x) (2)
Pelo T.F.A., q1(x) admite uma raiz complexa k2.
Substituindo (2) em (1), concluímos que
⇒ p(x) = (x – k1).(x – k2).q2(x)
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DEMONSTRAÇÃO
Aplicando esse raciocínio n vezes, o último quociente, de grau zero, é justamente o coeficiente dominante a0. Concluímos que:
p(x) = a0.(x – k1).(x – k2).(x – k3). ... (x – kn)
O polinômio tem exatamente n raízes complexas k1, k2, k3, ... kn reais ou imaginárias;
Pode ser decomposto no produto de seu coeficiente dominante por n fatores de 1º grau do tipo (x – ki), em que ki, representa cada uma das raízes do polinômio.
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EXEMPLO 1
Mostrar pelo dispositivo de Briot-Ruffini que 1, –1 e –2 são as raízes de p(x) = 2x3 + 4x2 – 2x – 4 e escrever p(x) na forma fatorada.
4
– 2
06 21
– 44 2
04 2–1
–2 2 0
p(x) = (x – 1).(2x2 + 6x + 4) = (x – 1).(x + 1).(2x + 4)
p(x) = 2.(x – 1).(x + 1).(x + 2)
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EXEMPLO 2
Quais são os graus das equações (x – 1)2 = 0, (x – 1)5 = 0. A partir do grau, quantas raízes complexas tem cada uma delas? Quais são as raízes, em cada caso?
(x – 1)2 = 0 é de 2º grau.
(x – 1)2 = (x – 1).(x – 1) = 0
⇒ a equação admite duas raízes iguais a 1.
(x – 1)5 = 0 é de 5º grau.
(x – 1)5 = (x – 1).(x – 1).(x – 1).(x – 1).(x – 1) = 0
⇒ a equação admite cinco raízes iguais a 1.
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EXEMPLO 3
Escrever o polinômio p(x) = (x2 – 3x)(x2 – 9) como produto de fatores de 1º grau e identificar seu grau e suas raízes.
Fatorando as expressões entre parênteses,
p(x) =(x2 – 3x)(x2 – 9) = x(x – 3)(x + 3)(x – 3)
O polinômio é de 4º grau e suas raízes são os valores que anulam cada um dos seus quatro fatores:
x = 0 ou x – 3 = 0 ou x + 3 = 0 ou x – 3 = 0
⇒ x = 0 ou x = 3 ou x = –3 ou x = 3
⇒ raízes são 0, 3 , –3 e 3.
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EXEMPLO 4
Construir o polinômio p(x) de 3o grau, coeficiente dominante –1 e raízes 2, –1 e 3.
Coeficiente dominante a0 = –1 e raízes k1 = 2, k2 = –1 e k3 = 3
p(x) = a0.(x – k1).(x – k2).(x – k3)
⇒ p(x) = –1(x – 2)(x + 1)(x – 3)
⇒ p(x) = –1(x – 2)(x2 – 3x + x – 3)
⇒ p(x) = –1(x – 2)(x2 – 2x – 3) = –1(x3 – 2x2 – 3x – 2x2 + 4x + 6)
⇒ p(x) = –x3 + 4x2 – x – 6
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EXEMPLO 5
Fatorar o polinômio p(x) = x2 – 5x + 6.
Primeiro vamos resolver a equação x2 – 5x + 6 = 0 a partir da fórmula de Baskhara.
As raízes são x’ = 2 e x” = 3 e o coeficiente dominante de p(x) é 1.
p(x) = a0.(x – k1).(x – k2)
⇒ p(x) = 1.(x – 2)(x – 3)
⇒ p(x) = (x – 2)(x – 3)
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EXEMPLO 6
Mostrar que p(x) = x3 – x2 – 5x – 3 é divisível por x – 3. Em seguida, escrever p(x) como produto de fatores de 1º grau e identificar suas raízes.
Pelo dispositivo de Briot-Ruffini, vamos dividir p(x) por x – 3.
⇒ p(x) = (x – 3)(x2 + 2x + 1)
⇒ p(x) = (x – 3)(x + 1)(x + 1)
1
– 5
02 13
– 3– 1 1
= (x – 3)(x + 1)2
⇒ raízes de p(x) são 3 , –1 e –1.
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MULTIPLICIDADE DE UMA RAIZ
Observe o seguinte polinômio
–4 é raiz tripla ou de multiplicidade três;
p(x) = 8(x + 4)(x – 7)(x – 5)(x + 4)(x – 7)(x + 4)
p(x) é o produto de uma constante (8) por 6 fatores de 1º grau. Ele é de 6º grau. Suas raízes são –4, 7, 5, –4, 7 e –4.
7 é raiz dupla ou de multiplicidade dois;
5 é raiz simples ou de multiplicidade um.
p(x) = 8(x + 4)3(x – 7)2(x – 5)
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EXEMPLO 1
Em p(x) = –3(x + 1)6(x – 3)2(3x + 2), indicar as raízes e a multiplicidade de cada uma delas.
(x + 1)6 = 0 ⇒ raiz –1 (multiplicidade 6)
(x – 3)2 = 0 ⇒ raiz 3 (multiplicidade 2)
3x + 2 = 0 ⇒ raiz –2/3 (multiplicidade 1)
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RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES ALGÉBRICAS
No ensino fundamental, aprendemos métodos algébricos simples para resolução de equações de 1º e 2º graus.
A resolução de equações de 3º grau ou grau superior, no entanto, é mais complicada. Em geral, são necessárias informações adicionais que permitem a obtenção de suas raízes.
Existem algumas regras especiais que ajudam a identificar raízes inteiras ou racionais de uma equação.
Matemática, 3º ano, Equações polinomiais
EXEMPLO 2
O polinômio p(x) = –x3 + x2 + ax + b admite –1 como raiz dupla. Obter os valores das constantes a e b, bem como a outra raiz real de p(x).
p(x) = –1(x + 1)2(x – k)
Escrever p(x) na forma fatorada, temos
= –1(x2 + 2x + 1)(x – k)
= (–x2 – 2x – 1)(x – k) = –x3 + kx2 – 2x2 +2kx – x + k
= –x3 + (k – 2)x2 + (2k – 1)x + k
k – 2 = 1 ⇒ k = 32k – 1 = ak = b
⇒ 6 – 1 = a ⇒ a = 5 ⇒ b = 3
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EXEMPLO 3
Dado o polinômio p(x) = x5 – 6x4 + 13x3 – 14x2 + 12x – 8. Identificar a multiplicidade da raiz 2.Vamos utilizar o dispositivo de Briot-Ruffini para isso.
5212
0
–2
–4
–14
1
1
5
13
012
0–212
04–412
–812–6 1
Obtivemos resto zero nas três primeiras divisões ⇒ 2 é raiz tripla.
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REGRA 1
Se uma equação algébrica de coeficientes inteiros admite uma raiz inteira e não-nula, essa raiz é um divisor (positivo ou negativo) do termo independente.
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EXEMPLO
Identificar as raízes inteiras da equação 2x3 – 5x2 – 4x + 3 = 0.
As possíveis raízes inteiras da equação são 1, –1, 3 e –3, divisores do termo independente.
p(1) = 2 – 5 – 4 + 3 = –4 (soma dos coeficientes)
p(–1) = 2(–1)3 – 5(–1)2 – 4(–1) + 3 = –2 – 5 + 4 + 3 = 0 p(3) = 2(3)3 – 5(3)2 – 4(3) + 3 = 54 – 45 – 12 + 3 = 0
p(–3) = 2(–3)3 – 5(–3)2 – 4(–3) + 3 = 54 – 45 + 12 + 3 = –84
As únicas raízes inteiras da equação são –1 e 3.
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REGRA 2
Se uma equação algébrica de coeficientes inteiros admite uma raiz racional não-nula p/q, com p e q inteiros e primos entre si, então p é divisor do termo independente e q é divisor do coeficiente dominante da equação.
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EXEMPLO
Encontrar todas as raízes racionais da equação 2x4 + 5x3 + 3x2 + x – 2 = 0.As possíveis raízes racionais são do tipo p/q, p e q inteiros, sendo que p é divisor do termo independente –2
⇒ p = –1 ou p = 1 ou p = –2 ou p = 2
q é divisor do coeficiente dominante 2
⇒ q = –1 ou q = 1 ou q = –2 ou q = 2
Fazendo todas as combinações possíveis desses valores,
p/q {1, –1, 2, –2, 1/2, –1/2}.∊
Matemática, 3º ano, Equações polinomiais
EXEMPLO Encontrar todas as raízes racionais da equação 2x4 + 5x3 + 3x2 + x – 2 =
0.
p(1) = 2 + 5 + 3 + 1 – 2 = 9 (soma dos coeficientes)
p(–1) = 2(–1)4 + 5(–1)3 + 3(–1)2 + (–1) – 2 = –3
p(2) = 2(2)4 + 5(2)3 + 3(2)2 + 2 – 2 = 84
p(–2) = 2(–2)4 + 5(–2)3 + 3(–2)2 + (–2) – 2 = 0
p(1/2) = 2(1/2)4 + 5(1/2)3 + 3(1/2)2 + (1/2) – 2 = 0
p(–½) = 2(–½)4 + 5(–½)3 + 3(–½)2 + (–½) – 2 = –9/4
As únicas raízes racionais da equação são –2 e 1/2.
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REGRA 3
Se uma equação algébrica de coeficientes reais admite como raiz o número z = a + bi, então ela admite também, como raiz, o número imaginário z = a – bi, conjugado de z, com a mesma multiplicidade.
Isso significa que as raízes imaginárias de uma equação algébrica de coeficientes reais aparecem aos pares.
No caso, o total de raízes imaginárias da equação só pode ser par: 0, 2, 4, 6, ...
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EXEMPLO 1
Construir o polinômio de 2º grau, de coeficientes reais e coeficiente dominante –1, sabendo que uma de suas raízes é 2 – 3i.
O polinômio tem coef. reais. Se 2 – 3i é raiz, o seu conjugado, 2 + 3i também é.
p(x) = a0.(x – k1).(x – k2)
p(x) = –1.[x – (2 – 3i)].[x – (2 + 3i)]
p(x) = –1.(x – 2 + 3i).(x – 2 – 3i)
p(x) = –1.(x – 2)2 – 9i2) = –1.(x2 – 4x + 4 + 9)
p(x) = –x2 +4x + 9
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EXEMPLO 2
Um polinômio de coeficientes reais admite a raiz simples 5, a raiz dupla 2 – i e a raiz tripla –3. Qual é o menor grau possível do polinômio?
Se 2 – i é raiz dupla, seu conjugado 2 + i também é raiz dupla. 5 (raiz simples) 1 raiz;⇒ 2 – i (raiz dupla) 2 raízes;⇒ 2 + i (raiz dupla) 2 raízes;⇒ –3 (raiz simples) 3 raízes;⇒
Se o polinômio tem pelo menos essas 8 raízes, ele é de 8º grau, no mínimo.
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RELAÇÕES DE GIRARD
Em 1629, o matemático Albert Girard publicava em obra intitulada Invention nouvelle em l’algébre. Nela, mostrava relações importante envolvendo raízes e coeficientes de uma equação algébrica.
Elas são conhecidas, por isso, como relações de Girar.
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EXEMPLO
Em 3x2 – 5x – 2 = 0, a0 = 3, a1 = –5 e a2 = –2
Soma das raízes: x1 + x2 = –a1
a0
53
=
produto das raízes: x1 + x2 =a2
a0
–23
=
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RELAÇÕES NA EQUAÇÃO DE 2º GRAU
A forma geral de uma equação de 2º grau é a0x2 + a1x + a2 = 0, com a0 ≠ 0. Se x1 e x2 são suas raízes complexas, podemos escrever:
a0x2 + a1x + a2 = a0.(x – x1).(x – x2) (: a0)
x2 +a1a0
a2
a0= (x – x1).(x – x2) = x2 – x2x – x1x + x1x2
x2 +a1
a0
a2
a0x + = x2 – (x1 + x2)x + x1x2
x +
= – (x1 + x2)a1
a0
a2
a0= x1x2
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RELAÇÕES NA EQUAÇÃO DE 2º GRAU
Chegamos às relações que fornecem a soma e o produto das raízes da equação de 2º grau, em função de seus coeficientes.
x1 + x2 = – a1
a0
a2
a0e x1x2 =
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RELAÇÕES NA EQUAÇÃO DE 3º GRAU
A forma geral da equação de 3º grau, é a0x3 +a1x2 + a2x + a3 = 0, com a0 ≠ 0. Suponhamos que x1, x2 e x3 sejam as suas raízes. As relações de Girard, nesse caso, fica assim:
x1 + x2 + x3 = – a1
a0
a2
a0x1x2 + x1x3 + x2x3 =
x1x2x3 = –a3
a0
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1º) Obter a soma, o produto e a soma dos inversos das raízes da equação 2x3 + 4x2 + 9x – 6 = 0.
2º) Achar as raízes da equação x3 – 3x2 + 4 = 0, sabendo que uma é dupla.
3º) Resolver a equação 2x3 – 3x2 – 3x + 2 = 0, sabendo que uma é o inverso da outra.
QUESTÕES http://zonadaponte.com.sapo.pt/gifs/escola/esc003.gif
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EXTRAS
GEOGEBRA
Utilizar o software geogebra para a representação gráfica de equações polinomiais ou algébricas.
Este programa é de uso livre e pode ser obtido no endereço: http://www.baixaki.com.br/download/geogebra.htm.
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REFERÊNCIAS
Sites: http://www.brasilescola.com/matematica/equacao-polinomial.htm http://pt.wikipedia.org/wiki/Equa%C3%A7%C3%A3o_polinomial
Livros: I. Silva, Cláudio Xavier da. II. Filho, Benigno Barreto. Matemática aula por aula, 3:
ensino médio – São Paulo : FTD, 2009. Dante, Luiz Roberto. Matemática : volume único - Ática. São Paulo : Ática, 2005. I. Iezzi,Gelson. II. Dolce, Osvaldo. III. Degenszajn, David. IV. Périgo, Roberto.
Matemática : volume único – São Paulo : Atual, 2002.
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