ludwig krippahl, 2009 programação para as ciências experimentais 2008/9 teórica 7

Ludwig Krippahl, 2009

Programação para as Ciências Experimentais

2008/9

Teórica 7

Ludwig Krippahl, 2009 2

Na aula de hoje...

Métodos estocásticos (Monte Carlo)• Calculo de áreas

• Integração de funções

Simulação• Contar unidades formadoras de colónias

Trabalho 1 (dúvidas)

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Monte Carlo

Nome cunhado pelo matemático Nicholas Constantine Metropolis• (1915-1999)

Conjunto de métodos baseados em números aleatórios.

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Calcular uma área

x>1

y<x-1y2+x2<4

Ludwig Krippahl, 2009 5

Calcular uma área

x>1

y<x-1y2+x2<4

Área?

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Algoritmo

Pontos ao acaso no quadrado -2, 2.

Área?

Ludwig Krippahl, 2009 7

Algoritmo

Contamos os pontos dentro e fora.

Área?

Ludwig Krippahl, 2009 8

Algoritmo

Contamos os pontos dentro e fora. A fracção de pontos dentro da área será

a proporção entre a área a medir e a área do quadrado.

Quanto mais pontos melhor.

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Implementação

Separar as tarefas:• Dentro ou fora?

• Uma função que recebe x, y e devolve true ou false conforme x, y está dentro da área que queremos.

• Contar os pontos• Outra função que recebe o nome da função que

testa, o rectângulo que inclui a área a medir, e o número de pontos, e devolve a área pretendida.

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Implementação

Função triangcirc testa se está dentro do triângulo e circulo

function dentro=triangcirc(x,y)

dentro= ( x^2+y^2<4 && x>1 && y<x-1);

endfunction

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Implementação

Função areamc:• devolve área

• recebe• nome da função teste (string, para o feval)

• mínimos de x e y

• máximos de x e y (definem o rectângulo)

• número de pontos

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Implementação

Função areamc:

function a=areamc(testfn,minx,miny,maxx,maxy,pontos)

• valor a devolver com a área

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Implementação

Função areamc:

function a=areamc(testfn,minx,miny,maxx,maxy,pontos)

• string com o nome da função que testa cada ponto

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Implementação

Função areamc:

function a=areamc(testfn,minx,miny,maxx,maxy,pontos)

• rectângulo que contêm a área a determinar

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Implementação

Função areamc:

function a=areamc(testfn,minx,miny,maxx,maxy,pontos)

• número de pontos a testar

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Implementação

Função areamc:• área (variável a) começa a zero

• calcular a largura e altura do rectângulo

• ciclo para testar o número especificado de pontos.

• no final, a área é o número de pontos dentro a dividir pelo total de pontos e multiplicar pela área do rectângulo

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Implementação

Função areamc:• ciclo para testar o número especificado de

pontos.• criar coordenadas x,y aleatórias, de minx a maxx,

e miny a maxy respectivamente.

• se feval(testefn, x, y) for verdadeiro então incrementar a variável a (para contar o número de pontos dentro da área)

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Implementação

Para fazer os gráficos:• Além da área devolver também duas matrizes

com as coordenadas x,y dos pontos dentro e fora.

function [a,dentros,foras]=areamc(testfn,minx,miny, maxx,maxy,pontos)

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Exemplo de utilização

octave:13> areamc("triangcirc",-2,-2,2,2,1000)

ans = 1.7440

Nota: chamando assim ignora os outros valores devolvidos, dentros e foras.

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Exemplo de utilização

pontos=1000;[a,ds,fs]=areamc("triangcirc",-2,-2,2,2,pontos);hold offaxis("equal") eixos iguaistitle([num2str(pontos)," pontos"]);plot(ds(:,1),ds(:,2),"og;;");hold on;plot(fs(:,1),fs(:,2),"or;;");“or;;” – circulo, red, ;; indica que não tem legenda

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Dicas

Mais pontos, mais rigor:

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Dicas

Mais pontos, mais rigor. O rectângulo deve estar o mais próximo

possível da área que queremos.• Em vez de (-2,-2) a (2,2), usar (1, -2) a (2,1)

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Dicas

• Em vez de (-2,-2) a (2,2)

usar (1, -2) a (2,1)

• Área=1.7

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Integrar função

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Integrar função

O integral de f(x)=exp(-x3) não tem solução analítica.

Mas o integral é a área:

Ludwig Krippahl, 2009 31

Integrar função

Podemos usar a areamc, só precisamos de uma função nova:

function dentro=expxcubo(x,y)

dentro=y<=exp(-x^3);

endfunction

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Integrar função

Basta usar:

areamc("expxcubo",0,0,2,1.2,5000);

ans= 0.89952

Nota: neste caso só é devolvido o primeiro valor (a).

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Integrar função Para fazer o gráfico:pontos=5000;[a,ds,fs]=areamc("expxcubo",0,0,2,1.2,pontos);clearplotaxis("equal")title([num2str(pontos)," pontos"]);plot(ds(:,1),ds(:,2),"og;;");hold on;plot(fs(:,1),fs(:,2),"or;;");

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Contar microorganismos no ar

Bomba aspira ar. Orifícios sobre placa. Contar colónias. Estimar UFCs.

Ludwig Krippahl, 2009 36

Contar microorganismos no ar

Problema:• Podem entrar vários esporos ou bactérias

pelo mesmo orifício, resultando numa só colónia.

Ar

Ludwig Krippahl, 2009 37

Contar microorganismos no ar

Problema:• Podem entrar vários esporos ou bactérias

pelo mesmo orifício, resultando numa só colónia.

• Sabendo o número de colónias na placa, quantas UFCs no ar?

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Contar microorganismos no ar

Dividir em 2 fases• Simular o processo para calcular quantas

colónias sabendo o número de UFCs.

• Usar a simulação com diferentes valores de UFCs até que obter o número de colónias observado.

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Simulação

Temos N orifícios e X UFCs. Cada UFC pode entrar por qualquer dos

N orifícios. O número de colónias será o número de

orifícios diferentes por onde entraram UFCs

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Algoritmo

Para cada UFC seleccionar um orifício aleatoriamente e marcar esse orifício.

Contar o número de orifícios marcados. Repetir um número grande de vezes (50,

100, ...) e tirar o valor médio.

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Implementação

Função

function cs=colonias(buracos,ufcs,tentativas)

• Devolve o número de colónias

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Implementação

Função

function cs=colonias(buracos,ufcs,tentativas)

• Número de orifícios

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Implementação

Função

function cs=colonias(buracos,ufcs,tentativas)

• Número de UFCs no ar

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Implementação

Função

function cs=colonias(buracos,ufcs,tentativas)

• Número de vezes que repete a simulação para calcular a média

Ludwig Krippahl, 2009 45

Implementação

Dois ciclos for:• número de tentativas e, para cada tentativa

• número de ufcs.

A cada tentativa somar a um contador o número de orifícios marcados.

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Implementação

Dois ciclos for:

for a=1:4

for b=1:3

disp([a,b])

endfor

endfor

Ludwig Krippahl, 2009 47

Implementação

Dois ciclos for:

for a=1:4

for b=1:3

[a,b]

endfor

endfor

Repetido 4 vezes

Ludwig Krippahl, 2009 48

Implementação

Dois ciclos for:

for a=1:4

for b=1:3

[a,b]

endfor

endfor

Repetido 3 vezes cada uma das 4 do ciclo de fora (12 vezes no total)

Ludwig Krippahl, 2009 49

Implementação

Os orifícios podem ser representados como um vector de zeros, e marcados com 1.

O total de orifícios marcados é o somatório do vector.

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Implementação

Como seleccionar o orifício aleatoriamente.• É preciso arredondar:

• round(x) inteiro mais próximo de x

• floor(x) maior inteiro menor que x

ix=floor(rand*buracos)+1; (de 1 a buracos)

Nota: o rand nunca devolve 1. Ver help.

Ludwig Krippahl, 2009 51

Implementação

Exemplo: 10 orifícios e 3 UFCs,

[0 0 0 0 0 0 0 0 0 0] inicio, todos vazios

[0 0 1 0 0 0 0 0 0 0] 3

[0 0 1 0 0 0 1 0 0 0] 5

[0 0 1 0 0 0 1 0 0 0] 3

2 Colónias

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Problema real: saber UFCs

A função colonias dá-nos o número de colónias formadas na placa sabendo as UFCs no ar.

O problema real é o inverso: as colónias na placa é o que se observa, e o que queremos saber é as UFCs do ar.

Ludwig Krippahl, 2009 53

Algoritmo

O número de colónias será sempre igual ou inferior ao número de UFCs no ar.

Começar por UFCs= colónias, e ir incrementando os UFCs até obter da função colonias o número certo de colónias.

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Implementação

Função contaufcs

function u=contaufcs(buracos,cs,tentativas)• Recebe o número de orifícios, colónias

observadas, e o número de tentativas para estimar as colónias para cada valor de u.

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Implementação

Função contaufcs• u = cs

• Enquanto o número estimado de colónias for inferior a cs, incrementar u e recalcular a estimativa

• Para estimar o número de colónias em função de u usar a função colonias, com o número de tentativas no argumento do contaufcs

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Para pensar

Outra maneira de implementar• Por bipartição, começando com um

intervalo, e.g., entre nc e nc*4.

• Como?

Ludwig Krippahl, 2009 57

Dúvidas