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Anlise Real.Curso de vero 2015 - UFPE

1. Demonstre que

Toda funo constante integrvel A funo de Dirichlet no integrvel.

2. Seja f (x) = x3 para 0 x 1 e seja Pn :=0; 1n ;

2n ; :::;

nn

uma partio

de [0; 1]. Calcule s (f; Pn), S (f; Pn) eR 10x3dx: [Sugesto: Use a frmula

13 + 23 + :::+m3 =12m (m+ 1)

23. Seja I := [a; b]. Demonstre que

Se f : I ! R montona em I, ento f integrvel em I: Se f : I ! R contnua I, ento f integrvel em I:

4. Seja f : [a; b] ! R limitada. Se para cada c 2 [a; b], f j[a;c] integrvel,ento f integrvel.

5. Seja f : [a; b] ! R limitada com um nmero nito de descontinuidades.Ento f integrvel.

6. Seja f : [a; b] ! R denida por f (x) = 0 se x irracional ou zero, efpq

= 1q se

pq uma frao irredutvel, p 6= 0. Demonstre que f

integrvel no intervalo [a; b] : [Exemplo do Elon]

7. Seja f : [a; b]! R integrvel, mostre que jf (x)j integrvel eR ba f (x) dx R b

ajf (x)j dx

8. Seja f : [a; b]! R integrvel. As seguintes armaes so equivalentes

R bajf (x)j dx = 0

Se f contnua no ponto c, ento f (c) = 0 X = fx 2 [a; b] ; f (x) 6= 0g tem interior vazio.

9. Seja f : [a; b] ! R contnua. Se f no identicamente nula entoR bajf (x)j dx > 0:

10. D um exemplo de uma funo integrvel que seja descontnua num con-junto innito.

11. Seja f : R ! R derivvel tal que f (0) = 0 e para todo x 2 R valef0(x) = [f (x)]

2: Mostre que f (x) = 0 para todo x 2 R.

12. D um exemplo de uma funo no-integrvel que possua primitiva. [Sug-esto: Ache uma funo f , derivvel em [1; 1] com f 0 ilimitada]

1

13. Seja g 0 integrvel. Se R bag (x) dx = 0 ento

R baf (x) g (x) dx = 0 seja

qual for f integrvel.

14. Se g : [c; d] ! R contnua e f : [a; b] ! [c; d] integrvel, ento g f :[a; b]! R integrvel.

15. Demonstre!

Seja f : [a; b] ! R integrvel. Se f contnua em c 2 [a; b], ento afuno F : [a; b] ! R, F (x) := R x

af (t) dt derivvel em c e tem-se

f (c) = F0(c) :

Se uma funo integrvel f : [a; b] ! R possui uma primitiva F :[a; b]! R, ento Z b

a

f (x) dx = F (b) F (a)

Em outros termos, se uma funo F : [a; b] ! R possui derivadaintegrvel, ento Z b

a

F0(t) dt = F (b) F (a) :

16. Demonstre ou refute

Toda funo contnua denida num intervalo compacto admite prim-itiva.

Nem toda funo integrvel f possui primitiva F Duas primitivas de uma funo f diferem por uma constante.

17. Seja f : [a; b]! R contnua em [a; b] e H : [a; b]! R denida por

H (x) :=

Z bx

f (t) dt

Encontre H0(x).

18. Sejam f : [a; b] ! R contnua em [a; b] e v : [c; d] ! R derivvel em[c; d]. Suponha que v ([c; d]) [a; b], demonstre que se G : [c; d]! R estdenida por

G (x) :=

Z v(x)a

f (t) dt

para todo x 2 [c; d], ento G0 (x) = (f v) (x) :v0 (x) para todo x 2 [c; d] :19. Sejam f; p : [a; b]! R com f contnua. Demonstre

Existe c 2 (a; b) tal que R baf (x) dx = f (c) (b a)

2

Se p integrvel e p (x) 0, ento existe c 2 (a; b) tal que R baf (x) p (x) dx =

f (c)R bap (x) dx:

20. Sejam f : [a; b] ! R contnua e g : [c; d] ! R derivvel com g0 integrvele g ([c; d]) [a; b]. EntoZ g(d)

g(c)

f (x) dx =

Z dc

f (g (t)) :g0(t) dt

21. Se f; g : [a; b]! R possuem derivadas integrveis, entoZ ba

f (t) g0(t) dt = [f (b) g (b) f (a) g (a)]

Z ba

f0(t) g (t) dt:

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