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Lista – Conjuntos – Paulo Vinícius Exercícios resolvidos

Questão 01. (Fuvest 2018) Dentre os

candidatos que fizeram provas de

matemática, português e inglês num

concurso, 20 obtiveram nota mínima

para aprovação nas três disciplinas.

Além disso, sabe-se que:

I. 14 não obtiveram nota mínima em

matemática;

II. 16 não obtiveram nota mínima em

português;

III. 12 não obtiveram nota mínima em

inglês;

IV. 5 não obtiveram nota mínima em

matemática e em português;

V. 3 não obtiveram nota mínima em

matemática e em inglês;

VI. 7 não obtiveram nota mínima em

português e em inglês e

VII. 2 não obtiveram nota mínima em

português, matemática e inglês.

A quantidade de candidatos que

participaram do concurso foi

a) 44.

b) 46.

c) 47.

d) 48.

e) 49.

Resposta:

[E]

Sejam M,P e I, respectivamente, o

conjunto dos alunos que não obtiveram

nota mínima em matemática, o conjunto

dos alunos que não obtiveram nota

mínima em português e o conjunto dos

alunos que não obtiveram nota mínima

em inglês.

Logo, pelo Princípio da Inclusão-

Exclusão, temos n(M P I) 14 16 12 5 3 7 2 29.

Por conseguinte, sabendo que 20

alunos foram aprovados nas três

disciplinas, segue que a resposta é

29 20 49.

Questão 02. (Pucrj 2017) Em uma

pesquisa, constatou-se que, das 345

pessoas de um determinado local, 195

jogavam tênis, 105 jogavam tênis e

vôlei, e 80 não jogavam nem vôlei nem

tênis.

Qual é o número de pessoas que

jogavam vôlei e não jogavam tênis?

a) 70

b) 75

c) 105

d) 180

e) 195

Resposta:

[A]

Do enunciado, podemos montar o

seguinte diagrama:

Assim, 90 105 x 80 345

x 70

Logo, o número de pessoas que

jogavam vôlei e não jogavam tênis era

igual a 70.

Questão 03. (Uem 2017) Considere os

conjuntos

A {x | 3 x 5},

B {x | x 0},

C {x | 1 x 8} e

D {x |1 x 9},

e assinale o que for correto.

01) (A D) (A D) [ 3, 0].

02) (B C) D ]0,1].

04) (C D) B ]0, 9[.

08) (B D) C.

16) B ] , 0[.

Resposta:

02 + 04 = 06.

[01] Falsa. Na verdade, temos

(A D) (A D) [ 3, 9[ ]1, 5[ [ 3,1] [5, 9[.

[02] Verdadeira. De fato, pois (B C) D ]0, 8] ]1, 9[ ]0,1].

[04] Verdadeira. Com efeito, pois (C D) B ] 1, 9[ ]0, [ ]0, 9[.

[08] Falsa. Na verdade, temos

B D ]1, 9[ e, portanto,

]1, 9[ C ] 1, 8].

[16] Falsa. Na verdade, tem-se que

B ] , 0].

Questão 04. (G1 - ifal 2017) Em um

certo grupo de pessoas, 40 falam

inglês, 32 falam espanhol, 20 falam

francês, 12 falam inglês e espanhol, 8

falam inglês e francês, 6 falam

espanhol e francês, 2 falam as 3

línguas e 12 não falam nenhuma das

línguas. Escolhendo aleatoriamente uma

pessoa desse grupo, qual a

probabilidade de essa pessoa falar

espanhol ou francês?

a) 7,5%.

b) 40%.

c) 50%.

d) 57,5%.

e) 67,5%.

Resposta:

[D]

Seja o diagrama de Venn com todas as

pessoas e as línguas que falam:

Para obter a probabilidade de quem

fala espanhol ou francês deve-se obter a

probabilidade de quem fala espanhol

mais a probabilidade de quem fala

francês menos a probabilidade de quem

fala espanhol e francês, ou seja:

Sabendo que o total de pessoas é 80,

temos a seguinte probabilidade:

(espanhol) (francês) (espanhol francês)P P P P

32 20 6P

80 80 80

P 0,4 0,25 0,075

P 0,575

P 57,5%

Questão 05. (Fatec 2017) Uma

pesquisa foi realizada com alguns

alunos da Fatec São Paulo sobre a

participação em um Projeto de Iniciação

Científica (PIC) e a participação na

reunião anual da Sociedade Brasileira

para o Progresso da Ciência (SBPC).

Dos 75 alunos entrevistados:

17 não participaram de nenhuma dessas

duas atividades;

36 participaram da reunião da SBPC e

42 participaram do PIC.

Nessas condições, o número de alunos

entrevistados que participaram do PIC e

da reunião da SBPC é

a) 10.

b) 12.

c) 16.

d) 20.

e) 22.

Resposta:

[D]

Sendo x o número de alunos que

participaram do PIC e da reunião da

SBPC , temos os seguintes diagramas.

42 x x 36 x 17 75

x 95 75

x 20

x 20

Resposta 20.

Questão 06. (Fac. Albert Einstein -

Medicin 2017) Sejam A, B e C

subconjuntos do conjunto dos números

naturais {0,1, 2, 3, 4, }, de modo

que:

- A é o conjunto dos números de 3

algarismos, todos distintos.

- B é o conjunto dos números que

possuem exatamente 1 algarismo 5.

- C é o conjunto dos números pares.

E sejam os conjuntos:

C C

C

P A C

Q A B

R B C

onde a notação CX indica o conjunto

complementar do conjunto X.

São elementos respectivos dos

conjuntos P, Q e R os números

a) 204, 555, 550

b) 972,1234, 500

c) 1234, 505, 5555

d) 204,115, 550

Resposta:

[B]

Como 550 B e c550 C , temos

550 R. Ademais, 1234 A implica em

1234 P. Portanto, sendo 972 um

número par de três algarismos, 1234

um número de quatro algarismos que

não possui nenhum dígito 5 e 500 um

número que apresenta um único

algarismo 5, segue o resultado.

Questão 07. (G1 - ifsul 2017) Três

irmãos trabalham na mesma indústria,

porém em turnos diferentes: um

trabalha no intervalo das 8 h às 16 h;

outro das 4 h às 12 h e o terceiro das

10 h às 18 h. Em qual intervalo de

tempo esses irmãos trabalham juntos

nessa indústria?

a) Das 4 h às 18 h.

b) Das 8 h às 16 h.

c) Das 10 h às 16 h.

d) Das 10 h às 12 h.

Resposta:

[D]

Para obter em qual intervalo de tempo

os três irmãos trabalham juntos, deve-

se fazer a intersecção entre os três

intervalos 3(I ) de tempo:

3

3

3

I [8,16] [4,12] [10,18]

I [8,12] [10,18]

I [10,12]

Intervalo: Das 10 h às 12 h.

Observe a intersecção através da reta

real:

Questão 08. (Uerj 2017) Crianças de

uma escola participaram de uma

campanha de vacinação contra a

paralisia infantil e o sarampo. Após a

campanha, verificou-se que 80% das

crianças receberam a vacina contra a

paralisia, 90% receberam a vacina

contra o sarampo, e 5% não receberam

nem uma, nem outra.

Determine o percentual de crianças

dessa escola que receberam as duas

vacinas.

Resposta:

Seja p o percentual pedido. Tem-se que

(80% p) p (90% p) 5% 100% p 75%.

Questão 09. (Espm 2017) Três

emissoras de TV apresentam progra-

mação infantil durante o dia. Na

emissora A, o horário dessa

programação vai de 11h 40 min até

18 h 30 min. Na emissora B, vai de

9 h 30 min até 16 h 40 min e na emissora

C vai de 10 h 50 min até 13 h 20 min e

de 14 h 50 min até 17 h10 min. O tempo

em que as três emissoras apresentam

essa programação simultaneamente é

de:

a) 3 h 20 min

b) 3 h 30 min

c) 3 h 40 min

d) 3 h 50 min

e) 4 h

Resposta:

[B]

O tempo em que as três emissoras

apresentam a programação

simultaneamente é dado por (13 h 20min 11h 40min) (16 h 40min 14 h 50min) 1h 40min 1h 50min

3 h 30min.

Questão 10. (Ita 2017) Sejam

A {1, 2, 3, 4, 5} e B { 1, 2, 3, 4, 5}.

Se C {xy : x A e y B}, então o

número de elementos de C é

a) 10.

b) 11.

c) 12.

d) 13.

e) 14.

Resposta:

[E]

Fazendo as multiplicações pertinentes

entre x e y e desconsiderando os

elementos repetidos, conclui-se que o

número de elementos em C é 14.

Questão 11. (Esc. Naval 2017) A é um

conjunto com n elementos e B é seu

subconjunto com p elementos, com

n p e n, p . Determine o número de

conjuntos X tais que B X A e

assinale a opção correta.

a) n p2

b) n p 12

c) n p2

d) n p 12

e) n p 12

Resposta:

[A]

Do enunciado, temos:

1 2 3 p 1 p n

1 2 3 p

1 2 3 p

n p elementos

A x , x , x , ..., x , x , ..., x

B x , x , x , ..., x

X x , x , x , ..., x , , , , ...,

Cada um dos n p elementos podem

pertencer ou não ao conjunto X, assim,

pelo princípio da multiplicação, há n p2 possibilidades para montar o

conjunto X.

Questão 12. (Uepg 2017) Dados os

conjuntos abaixo, assinale o que for

correto.

x 1A x 0

3x 1

B x | 3 2x 1 5

01) B A .

02) A B tem 4 elementos.

04) A B é um conjunto unitário.

08) A B.

16) O produto cartesiano A B tem 4

elementos.

Resposta:

02 + 08 = 10

Tem-se que x 1 x 1 1

0 0 1 x13x 1 3

x3

e 3 2x 1 5 4 2x 4 2 x 2.

Portanto, vem A { 1, 0} e

B { 2, 1, 0,1}.

[01] Falsa. Na verdade, temos B A { 2,1}.

[02] Verdadeira. De fato, pois

A B B. [04] Falsa. Tem-se que A B A.

[08] Verdadeira. Com efeito, pois { 1, 0} { 2, 1, 0,1}.

[16] Falsa. O produto cartesiano A B

tem 2 4 8 elementos.

Questão 13. (G1 - cftmg 2017) Sejam

os conjuntos A {x | 0 x 5},

B {x | x 5} e C {x | x 0}.

Pode-se afirmar que

a) (A B) C C

b) (A C) B

c) (B C) A

d) (B C) A A

Resposta:

[A]

Representamos os conjuntos A, B e C

na reta numérica.

Análise das alternativas:

[A] Verdadeira: A B C C C

[B] Falsa: A C B A B A

[C] Falsa: B C A A A

[D] Falsa: (B C) A 5,0 A

Questão 14. (G1 - ifsul 2017) Em uma

enquete no centro olímpico, foram

entrevistados alguns atletas e verificou-

se que 300 praticam natação, 250

praticam atletismo e 200 praticam

esgrima. Além disso, 70 atletas

praticam natação e atletismo, 65

praticam natação e esgrima e 105

praticam atletismo e esgrima, 40

praticam os três esportes e 150 não

praticam nenhum dos três esportes

citados. Nessas condições, o número de

atletas entrevistados foi

a) 1180

b) 1030

c) 700

d) 800

Resposta:

[C]

Utilizando o Diagrama de Venn temos:

Observe que o valor 40 representa a

intersecção entre as três modalidades.

Como 70 é a intersecção entre natação

e atletismo, temos 70 40 30. Dessa

forma, como 65 é a intersecção entre

natação e esgrima, e, 105 representa a

intersecção entre atletismo e esgrima,

temos: 65 40 25 e 105 40 65,

valores a serem completados no

diagrama. Logo,

Fazendo as diferenças das partes

comuns pelo total de cada modalidade

temos: 300 30 40 25 205

250 30 40 65 115

200 25 40 65 70

Completando o diagrama, temos:

Desta maneira, para obter o total de

pessoas entrevistadas, basta somar

todos os valores:

205 115 70 30 40 25 65 150 700

pessoas entrevistadas.

Questão 15. (Unicamp 2017) Sabe-se

que, em um grupo de 10 pessoas, o

livro A foi lido por 5 pessoas e o livro

B foi lido por 4 pessoas. Podemos

afirmar corretamente que, nesse grupo,

a) pelo menos uma pessoa leu os dois

livros.

b) nenhuma pessoa leu os dois livros.

c) pelo menos uma pessoa não leu

nenhum dos dois livros.

d) todas as pessoas leram pelo menos

um dos dois livros.

Resposta:

[C]

A única alternativa correta é a [C]. Se

cinco pessoas leram o livro A e quatro

pessoas distintas leram o livro B, há um

total de 9 pessoas, sendo possível que

ao menos uma pessoa não tenha lido

nenhum dos livros.

Questão 16. (G1 - ifsul 2017)

Analisando os conteúdos nos quais os

alunos possuem maiores dificuldades de

aprendizagem em uma escola com 500

alunos, percebeu-se que: 208 têm

dificuldades de aprendizagem em

matemática; 198, em português; 154,

em física; 62, em matemática e física;

38, em português e física; 52, em

matemática e português e 20 têm

dificuldades nas três disciplinas.

Por esse viés, o número de alunos que

não tem dificuldades em nenhuma

dessas disciplinas é de

a) 92 alunos.

b) 72 alunos.

c) 60 alunos.

d) 20 alunos.

Resposta:

[B]

Utilizando o diagrama de Venn temos:

Subtraindo o total de cada matéria

pelas intersecções temos:

Logo, somando todos os valores e

subtraindo 500 temos:

500 428 72

Questão 17. (G1 - ifsul 2017) Em uma

consulta à comunidade acadêmica sobre

a necessidade de melhorias na área

física de um determinado campus do

IFSul, foi obtido o seguinte resultado:

- 538 sugerem reformas nas salas de

aula.

- 582 sugerem reformas na biblioteca.

- 350 sugerem reformas nas salas de

aula e na biblioteca.

- 110 sugerem reformas em outras

instalações.

Quantas pessoas foram entrevistadas

nessa consulta?

a) 770

b) 880

c) 1.120

d) 1.580

Resposta:

[B]

Tome reforma nas salas de aula como

x e reformas na biblioteca como y.

Sabendo que 350 pessoas sugerem

reformas nas salas de aula e na

biblioteca, ou seja, a intersecção entre

x e y.

Logo, pode-se aplicar o Diagrama de

Venn para tal situação da seguinte

maneira:

Como 350 representa a intersecção

entre reformas nas salas de aula e na

biblioteca, basta achar a diferença da

parte das duas partes com a parte em

comum. Desta forma:

538 350 188 e 582 350 232

Transcrevendo para o Diagrama de

Venn, temos:

Para obter a quantidade de pessoas

entrevistadas basta somar todos os

valores. Note que a amostra possui 110

pessoas que opinaram reformas em

outras instalações. Somando todos os

valores:

188 350 232 110 880 pessoas.

Questão 18. (G1 - ifpe 2017) No IFPE

Campus Olinda foi feita uma pesquisa

com alguns alunos do curso de

computação gráfica a respeito do

domínio sobre três aplicativos. As

repostas foram as seguintes:

78 dominam o Word;

84 dominam o Excel;

65 dominam o Powerpoint;

61 dominam o Word e Excel;

53 dominam o Excel e Powerpoint;

45 dominam o Word e Powerpoint;

40 dominam os três aplicativos;

03 não dominam aplicativo algum.

Com base nas informações acima, o

número de estudantes do curso de

computação gráfica que responderam a

essa pesquisa é

a) 112.

b) 227.

c) 230.

d) 111.

e) 129.

Resposta:

[D]

Considere a seguinte situação, segundo

os dados apresentados:

Somando todos os valores: 12 21 10 5 40 13 7 3 111

Questão 19. (G1 - ifsul 2016) Em um

grupo de 60 jovens praticantes de vôlei,

basquete e futsal, sabe-se que:

- 03 praticam os três esportes citados,

- 01 não pratica nenhum esporte,

- 07 jogam vôlei e basquete,

- 25 jogam vôlei,

- 27 praticam basquete,

- 10 praticam basquete e futsal,

- 30 jogam futsal,

- 08 praticam vôlei e futsal.

Quantos jovens praticam apenas dois

esportes?

a) 16

b) 17

c) 19

d) 25

Resposta:

[A]

Dentre os jovens que praticam dois ou

três esportes, tem-se:

- 03 praticam os três esportes citados,

- 07 jogam vôlei e basquete (incluindo-

se aqui os 3 jovens que praticam os três

esportes),

- 10 praticam basquete e futsal

(incluindo-se aqui os 3 jovens que

praticam os três esportes),

- 08 praticam vôlei e futsal (incluindo-

se aqui os 3 jovens que praticam os três

esportes).

Logo, 4 jovens jogam apenas vôlei e

basquete, 7 jovens jogam apenas

basquete e futsal e 5 jovens jogam

apenas vôlei e futsal, portanto, 16

jovens praticam apenas dois esportes.

Ou ainda:

Questão 20. (Ufjf-pism 1 2016) Uma

agência de viagens oferece aos seus

primeiros clientes, na primeira semana

do ano, três pacotes promocionais:

Básico, Padrão e Luxo. No regulamento

da promoção há uma cláusula que não

permite que o cliente que opte por

apenas 2 pacotes, simultaneamente,

adquira os pacotes Padrão e Luxo. No

final da semana, constatou-se que:

- 37 clientes ficaram com pelo menos

um dos pacotes promocionais;

- 13 clientes adquiriram,

simultaneamente, os pacotes Básico e

Padrão;

- 19 clientes ficaram com apenas um

pacote.

A quantidade de clientes que

adquiriram, simultaneamente, apenas os

pacotes Básico e Luxo foi de:

a) 5

b) 6

c) 18

d) 24

e) 32

Resposta:

[A]

Considere o diagrama, em que x é o

resultado pedido.

Sendo y z w 19 e

x 13 y z w 37, temos

x 13 19 37 x 5.

Questão 21. (G1 - ifce 2016) A

quantidade de subconjuntos X que

satisfazem a inclusão

{1, 2} X {1, 2, 3, 4} é

a) 4.

b) 5.

c) 3.

d) 2.

e) 1.

Resposta:

[A]

Para os elementos 1 e 2 temos apenas

1 possibilidade, ou seja, participam do

subconjuntos e para cada um dos

elementos 3 e 4 temos duas

possibilidades, ou seja, participar ou

não participar do subconjunto.

Portanto, a quantidade de subconjuntos

pedida será dada por:

1 1 2 2 4

Questão 22. (Udesc 2016) Seja X um

conjunto com 6 elementos distintos e

seja P(X) o conjunto das partes de X. O

número de elementos de P(X) é:

a) 62

b) 64

c) 6

d) 7

e) 63

Resposta:

[B]

Sabendo que n(X) 6, é imediato que 6n(P(X)) 2 64.

Questão 23. (G1 - cp2 2016) Numa

creche com 32 crianças:

- 5 crianças moram na Tijuca, vão de

ônibus e jantam na creche.

- 3 crianças moram na Tijuca, vão de

ônibus, mas não jantam na creche.

- 9 crianças não moram na Tijuca, não

vão de ônibus e não jantam na creche.

- 11 crianças moram na Tijuca e jantam

na creche.

- 16 crianças moram na Tijuca.

- 9 crianças vão de ônibus e jantam na

creche.

- 13 crianças vão de ônibus.

Quantas crianças jantam na creche?

a) 11.

b) 15.

c) 17.

d) 18.

Resposta:

[C]

Utilizando as informações contidas no

problema, podemos construir o seguinte

diagrama.

Logo, o número de crianças que jantam

na creche será dado por:

5 6 4 2 17.

Questão 24. (Espm 2016) Em uma aula

de Matemática, o professor propôs 2

problemas para serem resolvidos pela

turma. 76% dos alunos resolveram o

primeiro problema, 48% resolveram o

segundo e 20% dos alunos não

conseguiram resolver nenhum dos dois.

Se apenas 22 alunos resolveram os dois

problemas, pode-se concluir que o

número de alunos dessa classe é:

a) maior que 60

b) menor que 50

c) múltiplo de 10

d) múltiplo de 7

e) ímpar

Resposta:

[C]

Seja n o número de alunos da classe.

Tem-se que 0,76n 0,48n 22 0,2n n 0,44n 22 n 50.

Desse modo, como 50 é múltiplo de 10,

segue o resultado.

Questão 25. (Uepg 2016) Interessado

em lançar os modelos A, B e C de

sandálias, em uma determinada região

do estado, foi realizada uma pesquisa

sobre a preferência de compra dos

moradores, a qual apresentou os

seguintes resultados:

- 600 moradores comprariam apenas o

modelo A;

- 1.000 moradores comprariam apenas o

modelo B;

- 1.400 moradores comprariam apenas o

modelo C;

- 100 moradores comprariam apenas os

modelos A e B;

- 200 moradores comprariam apenas os

modelos A e C;

- 300 moradores comprariam apenas os

modelos B e C;

- 100 moradores comprariam qualquer

um dos três modelos;

- 1.300 moradores não comprariam

nenhum dos três modelos.

A partir do que foi exposto, assinale o

que for correto.

01) O modelo A tem a preferência de

menos que 17% dos moradores.

02) 70% dos moradores não

comprariam o modelo B.

04) 14% dos moradores comprariam

pelo menos dois dos modelos

oferecidos.

08) Mais do que 50% dos moradores

não comprariam os modelos A ou

C.

16) O modelo C é o de maior

preferência.

Resposta:

02 + 04 +16 = 22.

Considere o diagrama.

Seja U o conjunto universo da pesquisa.

Temos

n(U) 600 200 100 100 300 1.000 1.400 1.300

5.000.

[01] Falsa. Sendo

n(A) 600 200 100 100 1.000 o

número de pessoas que preferem o

modelo A, segue que o percentual

correspondente é 1.000

100% 20% 17%.5.000

[02] Verdadeira. De fato, o número de

pessoas que comprariam o modelo

B é igual a

n(B) 1000 100 100 300 1.500.

Portanto, o percentual mencionado

é dado por

5.000 1.500

100% 70%.5.000

[04] Verdadeira. Com efeito, o número

de pessoas que comprariam ao

menos dois dos modelos é

200 100 100 300 700, o que

corresponde a 700

100% 14%5.000

do total de entrevistados.

[08] Falsa. O número de moradores

que não comprariam os modelos A

ou C é igual a 1.000 1.300 2.300,

correspondendo, portanto, a um

percentual de

2.300

100% 46% 50%.5.000

[16] Verdadeira. De fato, pois sendo n(C) 1.400 200 100 300 2.000

o número de moradores que

preferem C, temos

n(C) n(B) n(A).

Questão 26. (G1 - ifsp 2016) A

empresa The Sound of Perseverance,

originalmente instalada na região

centro-oeste do País, está abrindo mais

duas filiais: uma no estado do Paraná e

outra no estado de Minas Gerais. No

entanto, as duas novas filiais

necessitarão de mão de obra qualificada,

e a alguns funcionários foi oferecida a

oportunidade de escolher onde

desejariam trabalhar, de forma que 36

funcionários escolheram a filial do

Paraná, 30 escolheram a filial de Minas

Gerais, enquanto 22 funcionários

mostraram-se indiferentes quanto ao

destino de transferência. De acordo com

as informações oferecidas, assinale a

alternativa que apresenta a quantidade

total de funcionários que a empresa

transferiu.

a) 88 funcionários.

b) 66 funcionários.

c) 58 funcionários.

d) 52 funcionários.

e) 44 funcionários.

Resposta:

[E]

Considerando que os 22 funcionários

indiferentes estejam contidos nos 36

que escolheram a filial do Paraná e nos

30 que escolheram a filial de Minas

Gerais, podemos escrever a seguinte

equação, sendo x o número de

funcionários que a empresa transferiu.

x 36 30 22 x 44.