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Lista 3:
1) Resolva as seguintes equaçáes modulares em β:
π) |4π₯ β 5| = 11 π)|3π₯ β 1| = |π₯ + 4| π) |π₯ β 10| = 10 β π₯ π)|2π₯ β 8| = 6π₯
2) Seja π uma função com domΓnio nos inteiros definida por π(π₯) = 2π₯ + 3. Calcule:
a) π(0) b) π(1) c) π(β2) d) Explique por que nΓ£o Γ© possΓvel calcular π (1
2)
3) Seja π uma função com domΓnio nos reais definida por π(π₯) = π₯2 β 3π₯ + 4. Calcule:
a) π (1
2) b) π(β3) c) π(1 β β2) d) π(0)
4) SΓ£o dadas as funçáes π(π₯) =3π₯
5β 1 e π(π₯) =
4π₯
3+ π. Calcule π(3) β 3π (
1
5), sabendo-se que
π(0) β π(0) =1
3.
5) Dadas as funçáes β(π₯) = 2π₯ + 3π e π‘(π₯) = ππ₯ β 5, determine π e π, sabendo que β(2) = 0 e que
π‘(β1) = 2.
6) Dados π΄ e π΅, construa, em cada caso, o grΓ‘fico de π: π΄ β π΅.
7) Os grΓ‘ficos de π e π sΓ£o dados:
a) DΓͺ os valores de π(β4) e π(3);
b) Para quais valores, temos π(π₯) = π(π₯);
c) Encontre os valores de π₯ para o qual π(π₯) = β1;
d) Em qual intervalo π Γ© decrescente;
e) DΓͺ o domΓnio de π;
f) DΓͺ o domΓnio de π.
INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAΓΓO, CIΓNCIA E TECNOLOGIA DE SANTA CATARINA
DEPARTAMENTO ACADΓMICO DE LINGUAGEM, TECNOLOGIA, EDUCAΓΓO E CIΓNCIA
PROFESSOR: Jeremias Stein RodriguΓͺs
DISCIPLINA: CΓ‘lculo A
CONTEΓDO: Funçáes, funçáes polinomiais, funçáes racionais e funçáes modulares.
a) π΄ = { β2, β1, 0, 1, 2, 3}
π΅ = {π¦ β β€ | β 7 β€ π¦ < 4}
π(π₯) = π₯ β 1
b) π΄ = {π₯ β β | 3 < π₯ β€ 8}
π΅ = {π¦ β β | β 2 < π¦ β€ 6}
π(π₯) =π₯
2β 2
c) π΄ = {π₯ β β€ | β 3 β€ π₯ < 6}
π΅ = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12}
π¦ = 6
d) π΄ = {β2, β1, 0, 1, 2}
π΅ = β
π¦ = π₯2
e) π΄ = [2, 6]
π΅ = [β7, 7]
π(π₯) = 2π₯ β 6
8) Construa o grÑfico de cada função de variÑveis reais.
9) Construa o grΓ‘fico para a função dada a seguir e determine o seu domΓnio e sua imagem.
π(π₯) = {π₯ + 2 π π π₯ < β1
π₯2 π π β 1 β€ π₯ < 23π₯ β 6 π π π₯ β₯ 2
10) Encontre o domΓnio e esboce o grΓ‘fico das seguintes funçáes.
π) π(π₯) = 5 π) π(π₯) =1
2(π₯ + 3) π) π(π‘) = π‘2 β 6π‘ π) π»(π‘) =
4 β π‘2
2 β π‘
π) π(π‘) = βπ₯ β 5 π) πΉ(π₯) = |2π₯ + 1| π) πΊ(π₯) =3π₯ + π₯
π₯ β) π(π₯) =
|π₯|
π₯2
π) π(π₯) = {π₯ π π π₯ β€ 0 π₯ + 1 π π π₯ > 0
π) π(π₯) = {2π₯ + 3 π π π₯ < β1 3 β π₯ π π π₯ β₯ β1
π) π(π₯) = {π₯ + 2 π π π₯ β€ β1 π₯2 π π π₯ > β1
π) π(π₯) = { β1 π π π₯ β€ β1
3π₯ + 2 π π β 1 < π₯ < 17 β 2π₯ π π π₯ β₯ 1
11) Verifique quais grÑficos representam funçáes de varÑvel real em x.
a) b) c)
d) e) f)
12) Determine o domΓnio das funçáes reais.
π) π¦ = 4π₯ β 2
π) π(π₯) =3
2π₯ β 6
π) π¦ = β4 β 2π₯
π) π¦ = β3π₯ β 12
π) π(π₯) =π₯
8 β 3π₯
π) π¦ = βπ₯ + 23
π) π(π₯) =2
3π₯ β 1/2
β) π(π₯) =7
β1 β 2π₯
π) π(π₯) =βπ₯
βπ₯ + 6
π) π(π₯) =βπ₯ + 23
π₯ β 3
a) π(π₯) = β2
b) π(π₯) = β3π₯ + 1
c) π¦ = 0
d) π¦ =
2π₯+1
3
e) π¦ =1
π₯
π) π(π₯) =1
β2π₯ + 3 3 π) π(π₯) =
1
βπ₯2 β 5π₯4 π) π(π’) = βπ’ + β4 β π’
π) π(π₯) = βπ₯
2 β π₯
13) Determine o domΓnio e a imagem de cada uma das funçáes representadas pelos grΓ‘ficos.
a) b) c)
d) e) f)
g) h) i)
j) k) l)
14) Analise os grΓ‘ficos e indique, quando existirem, as raΓzes das funçáes.
a) b)
c) d)
15) O grΓ‘fico abaixo representa uma função π definida em um subconjunto de β. Determine:
16) Faça o estudo dos sinais de cada função representada pelos grÑficos.
a) b) c)
d) e) f)
a) o domΓnio da função;
b) o conjunto imagem da função;
c) os valores de π(β1), π(0) π π(3);
d) em que intervalo(s) π Γ© crescente;
e) em que intervalo(s) π Γ© decrescente;
f) Existe π(β50)? Qual seria o seu βpalpiteβ
para esse valor?
17) Escreva para quais intervalos de β as funçáes reais representadas sΓ£o crescentes, decrescentes ou
constantes.
a) b) c)
d) e) f)
18) Para cada par de funçáes π e π, determine πππ e πππ e determine seus domΓnios.
π) π(π₯) = 2π₯2 + π₯ π π(π₯) = 3π₯ + 2
π) π(π₯) = 1 β π₯3 π π(π₯) =1
π₯
π) π(π₯) = π ππ π₯ π π(π₯) = 1 β βπ₯
π) π(π₯) = 1 β 3π₯ π π(π₯) = 5π₯2 + 3π₯ + 2
π) π(π₯) = π₯ +1
π₯ π π(π₯) =
π₯ + 1
π₯ + 2
π) π(π₯) = β2π₯ + 3 π π(π₯) = π₯2 + 1
19) Encontre ππππβ.
π) π(π₯) = π₯ + 1, π(π₯) = 2π₯ π β(π₯) = π₯ β 1
π) π(π₯) = 2π₯ β 1, π(π₯) = π₯2 π β(π₯) = 1 β π₯
π) π(π₯) = βπ₯ β 1, π(π₯) = π₯2 + 2 π β(π₯) = π₯ + 3
π) π(π₯) =2
π₯ + 1, π(π₯) = πππ π₯ π β(π₯) = βπ₯ + 3
20) Sendo π(π₯) = βπ₯ β 3 e π(π₯) = 4π₯ + π. Determine π de modo que πππ = πππ.
21) Determine quais das seguintes funçáes sΓ£o pares, Γmpares ou nem par nem Γmpar:
π) π(π₯) = 2π₯5 β 3π₯2 + 2
π)π(π₯) = π₯3 β π₯7
π) π(π₯) = πβπ₯2
π) π(π₯) = 1 + π ππ (π₯)
π) π(π₯) = 1
2(ππ₯ + πβπ₯)
22) Em cada um dos exercΓcios determine a fΓ³rmula da função inversa. Fazer os grΓ‘ficos da função dada e
de sua inversa.
π) π(π₯) = 3π₯ + 4
π) π(π₯) =1
π₯ β π
π) π(π₯) =π₯ + π
π₯ β π
π) π(π₯) = βπ₯ β 1 π₯ β₯ 1
π) π(π₯) = π₯2 β 4 , π₯ β€ 0
π) π(π₯) = ππ₯3
π) π¦ = π π(π₯ + 3)
23) Se π¦ =(5π₯+3)
(4π₯β5), demonstre que π₯ = π(π¦).
24) Dada a função π(π₯) = 2π₯2 β 3π₯ + 1, calcule:
a) π, para que π(π β 1) = 0 b) π₯, de modo que π(π₯ + 2) = 1
25) Seja a função quadrΓ‘tica π(π₯) = ππ₯2 + ππ₯ + 3, onde π(2) = π(β2) e π(1) =1
2. Nessas condiçáes,
determine o valor de π(β4).
26)
27) Dada a função π¦ = (πβ1
π+2) π₯2 + π₯ + 4, calcule π β β, de modo que a parΓ‘bola tenha a concavidade
voltada para cima.
28) Determine o parΓ’metro real π, de modo que a função π(π₯) = π₯2 β 2π₯ + π tenha:
a) dois zeros reais diferentes;
b) um zero real duplo;
c) nenhum zero real.
29) Calcule π de modo que a função π¦ = ππ₯2 β 2π₯ + 3 admita 2 como zero.
30) Considere a função π: β βΆ β definida por π(π₯) = π₯2 + 2ππ₯ + 16. Determine π β β de modo que:
a) a função nΓ£o tenha raΓzes reais.
b) o grΓ‘fico da função π passe pelo ponto (2, β4)
c) a parΓ‘bola que representa a função seja tangente ao eixo π₯.
Oscar arremessa uma bola de basquete cujo centro segue
uma trajetΓ³ria plana vertical de equação π¦ = β1
7π₯Β² +
8
7π₯ + 2, na qual os valores de x e y sΓ£o dados em metros.
Oscar acerta o arremesso e o centro da bola passa pelo
centro da cesta, que estΓ‘ a 3 m de altura. Determine a
distΓ’ncia do centro da cesta ao eixo y.
31) Resolva as equaçáes biquadradas em β.
π) 9π₯4 β 13π₯2 + 4 = 0
π) π₯4 + 6π₯2 + 8 = 0
π) β π₯4 β π₯2 + 6 = 0
π) π₯4
4β
π₯2 β 1
3= 7
π) (π₯2 β 3)2 = (π₯ + 1)(π₯ β 1)
π) 35π₯4 β 42π₯2 + 14 = 0
32) Determine o vértice e o conjunto imagem das seguintes funçáes quadrÑticas:
π) π(π₯) = π₯2 β 10π₯ + 9
π) π(π₯) = 3π₯2 β 2π₯ β 1
π) π(π₯) = π₯2 β 5π₯ + 4
π) π(π₯) = β2π₯2 + 1
π) π(π₯) = π₯2 β 6π₯
π) π(π₯) = β3π₯2 + 2π₯ β 1
π) π(π₯) = π₯2 β π₯ β 1
β) π(π₯) = βπ₯2 + 4
π) π(π₯) = βπ₯2 + 6π₯ β 10
33) Calcule π, π π π de modo que o vΓ©rtice da parΓ‘bola que representa a função π(π₯) = ππ₯2 + ππ₯ + π seja
(1, β6) e que β3 seja zero da função.
34) Determine se as funçáes abaixo possuem valor mΓ‘ximo ou mΓnimo, a seguir calcule esse valor.
π) π(π₯) = 3π₯2 β 6π₯ + 2
π) π(π₯) = β2π₯2 + 4π₯ β 1
π) π(π₯) = π₯2 β 1
π) π(π₯) = 4 β π₯2
35) Suponha que Ana tenha uma corda de 12m e com ela deseje construir retΓ’ngulos, onde cada lado Γ©
representado por um nΓΊmero inteiro de metros.
a) DΓͺ as medidas dos lados dos possΓveis retΓ’ngulos construΓdos por Ana.
b) Dentre todos os retΓ’ngulos construΓdos por Ana, qual deles tem a maior Γ‘rea
36) Uma pedra Γ© lanΓ§ada do solo verticalmente para cima. Ao fim de π‘ segundos, atinge a altura β, dada
por: β = 40π‘ β 5π‘2.
a) Calcule a posição da pedra no instante π‘ = 2 π .
b) Calcule o instante em que a pedra passa pela posição 75 π, durante a subida.
c) determine a altura mΓ‘xima que a pedra atinge.
d) Construa o grΓ‘fico da função β para 0 β€ π‘ β€ 8.
37) (UFOP-MG) Certo dia, numa praia, a temperatura atingiu o seu valor MΓ‘ximo Γ s 14 horas. Suponhamos
que, nesse dia, a temperatura π(π‘) em graus era uma função do tempo π‘, medido em horas, dada por
π(π‘) = β π‘2 + ππ‘ β 160, quando 8 β€ π‘ β€ 20. Obtenha:
a) o valor de b.
b) a temperatura mΓ‘xima atingida nesse dia.
38) (Unemat-MT) Uma empresa apresenta o lucro mensal de acordo com a equação πΏ = βπ‘2 + 25π‘,
onde π‘ Γ© a quantidade de toneladas vendidas mensalmente e πΏ (lucro) que Γ© dado na proporção de 1 (um)
por π $ 1000,00 (um mil reais). Analise cada uma das afirmativas a seguir, classificando-as (verdadeiro ou
falso), justificando sua conclusΓ£o.
( ) Quanto maior for a venda mensal maior serΓ‘ o lucro.
( ) O lucro obtido com a venda de 10 toneladas Γ© de π $ 150 000,00, porΓ©m Γ© o mesmo lucro obtido com
a venda de 15 toneladas.
( ) Se a venda mensal for maior que 20 toneladas, a empresa terΓ‘ um lucro superior a π $ 175 000,00.
( ) O lucro mΓ‘ximo que esta empresa pode ter Γ© de π $ 156 250,00.
39) A velocidade π£ do sangue, no interior de uma artΓ©ria, Γ© dada em centΓmetros por segundo (ππ/π ),
pela lei π£(π) = 1,28 β 20 000π2, onde π Γ© a distΓ’ncia de um ponto considerado ao centro da artΓ©ria.
Sabendo-se que o raio da artΓ©ria Γ© π = 8 β 10β3ππ, pede-se:
a) a velocidade do sangue no centro da artΓ©ria;
b) a velocidade do sangue junto Γ parede da artΓ©ria.
40) (Unic-MT) Na agricultura, em certas regiáes são lançados foguetes com cargas de sais. Estes sais são
responsÑveis pela condensação das moléculas de Ñgua em gotas que posteriormente caem na forma de
chuva. Observe o movimento do foguete mostrado na figura e considere que a altura, em metros, do
mesmo em relação a nuvem em função do tempo (segundos) é dada pela função
π(π₯) = β1
2π₯2 + 30π₯.
Em que intervalo de tempo o cronΓ΄metro do foguete deve ser programado para disparar acima da nuvem?
TrajetΓ³ria do foguete
Nuvem
400 π
Foguete
πππππ«π’ππ¨:
1) a) {β3
2, 4} b) {
5
2, β
3
4} c) (ββ, 10] d) {1}
2) a) 3 b) 5 c) β1 d) 1
2 nΓ£o pertence ao domΓnio. 3) a)
1
4 b) 7 β 3β3 c) 4 + β2 d) 4
4) 4 5) π = β4
3 π π = β7
6) a) b)
c) d) e)
7) a) π(β4) = β2 e π(3) = 4 b) π₯ = β2 π π₯ = 2 c) π₯ = β3 π π₯ = 4
d) (0, 4) e) π·π = [β4, 4] f) π·π = (β4, 3)
8) a) b) c)
d) e)
9)
10) a) π· = β b) π· = β c) π· = β d) π· = β β {2} e) π· = [5, +β)
f) π· = β g) π· = ββ h) π· = ββ i) π· = β j) π· = β
k) π· = β l) π· = β
11) a) sim b) nΓ£o c) sim d) sim e) sim f) nΓ£o
12) a) π· = β b) π· = β β {3} c) π· = {π₯ β β |π₯ β€ 2} d) π· = {π₯ β β |π₯ β₯ 4}
e) π· = β β {8
3} f) π· = β g) π· = β h) π· = {π₯ β β |π₯ <
1
2} i) π· = β+ β {6}
j) π· = β β {3} k) π· = β β {β3
2} l) (ββ, 0) βͺ (5, +β) m) [0,4]
n) (ββ, 0] βͺ (2, +β)
13) a) π· = ββ; πΌπ = {β2, 2} b) π· = β; πΌπ = β
c) π· = β; πΌπ = [β2, 2] d) π· = β; πΌπ = [0, 2] βͺ]4, +β) e) π· = β; πΌπ = {1} βͺ [2, +β)
f) π· = β; πΌπ =] β β, 1] g) π· = {β3, β2, β1, 0, 1, 2, 3}; πΌπ = {1, 2, 3, 4}
h) π· = [β3, 7); πΌπ = [1, 3[ i) π· = [β2, 3]; πΌπ = [β3, 2] j) π· = [β4, 4]; πΌπ = [β4, 4]
k) π· = [β2, 4]; πΌπ = [2, 6] l) π· = [β3,4[; πΌπ = {β3, β2, β1, 0, 1, 2, 3}
14) a) π₯ = β2 b) π₯ = β5 ππ’ π₯ = 1 c) β d) β
15) a) π· = (ββ,9
2) b) πΌπ = (β4, 4] c) π(β1) = 4; π(0) = 4; π(3) = 0 d) (ββ, β2) e)
(3
2,
9
2) f) Sim β50 pertence ao domΓnio de π. Um valor muito prΓ³ximo de zero.
16)
a) π₯ < β1 βΉ π(π₯) > 0
π₯ = β1 βΉ π(π₯) = 0
π₯ > β1 βΉ π(π₯) < 0
c) β4 β€ π₯ < β2 ππ’ 2 < π₯ β€ 4 βΉ
π(π₯) > 0
π₯ = β2 ππ’ π₯ = 2 βΉ π(π₯) = 0
β2 < π₯ < 2 βΉ π(π₯) < 0
d) π₯ < β3 ππ’ π₯ > 0 βΉ π(π₯) < 0
π₯ = β3 ππ’ π₯ = 0 βΉ π(π₯) = 0
β3 < π₯ < 0 βΉ π(π₯) > 0
b) β π₯ β β β π(π₯) < 0
e) π₯ < β5 ππ’ π₯ > 1 βΉ π(π₯) < 0
π₯ = β5 ππ’ π₯ = 1 βΉ π(π₯) = 0
β5 < π₯ < 1 βΉ π(π₯) > 0
f) π₯ =2
3βΉ π(π₯) = 0
π₯ β 2
3βΉ π(π₯) > 0
17) a) β π₯ β β βΉ π(π₯) Γ© ππππππ ππππ‘π b) β2 < π₯ β€ 2 βΉ π(π₯) Γ© ππππ ππππ‘π
18) a) πππ = 18π₯2 + 27π₯ + 10, π· = β πππ = 6π₯2 + 3π₯ + 2, π· = β
b) πππ = 1 β1
π₯3 , π· = ββ πππ =1
1βπ₯3 , π· = β β {1}
c) πππ = sen(1 β βπ₯), π· = β+ πππ = 1 β βsen π₯ , π· = {π₯ β β| 0 β€ π₯ β€ π + 2ππ}
d) πππ = β15π₯2 β 9π₯ β 5, π· = β πππ = 45π₯2 β 39π₯ + 10, π· = β
e) πππ =2π₯2+6π₯+5
(π₯+1)(π₯+2), π· = β β {β1, β2} πππ =
π₯2+π₯+1
π₯2+2π₯+1, π· = β β {β1}
f) πππ = β2π₯2 + 5, π· = β πππ = 2π₯ + 4, π· = {π₯ β β| π₯ β₯ β3
2}
19) a) ππππβ = 2π₯ β 1 b) ππππβ = 2π₯2 β 4π₯ + 1 c) ππππβ = βπ₯2 + 6π₯ + 10
d) ππππβ =2
cos(βπ₯+3)+1
20) π =9
2
21) a) Nem par nem Γmpar b) Γmpar c) par d)Nem par nem Γmpar e) par
22) a) πβ1 =π₯β4
3 b) πβ1 =
1+ππ₯
π₯ c) πβ1 =
ππ₯+π
π₯β1 d) πβ1 = π₯2 + 1
e) πβ1 = ββπ₯ β 4 f) πβ1 = βln π₯3
g) π¦β1 = ππ₯ β 3
23) Demonstração!
24) a) π =3
2 ππ’ π = 2 b) π = β
1
2 ππ’ π = β2
25) β37
26) 7 π
27) π < β2 ππ’ π > 1
28) a) π < 1 b) π = 1 c) π > 1
29) π =1
4
30) a) β4 < π < 4 b) π = β6 c) π = β4 ππ’ π = 4
31) a) raΓzes β1, β2
3,
2
3 π 1 b) nΓ£o existe raiz real c) π₯ = ββ2 ππ’ π₯ = β2
c) π₯ < 0 βΉ π(π₯) Γ© ππππ ππππ‘π
π₯ > 0 βΉ π(π₯) Γ© ππππππ ππππ‘π
d) π₯ < 0 βΉ π(π₯) Γ© ππππ ππππ‘π
0 β€ π₯ < 2 βΉ ππππ π‘πππ‘π
π₯ > 2 βΉ π(π₯) Γ© ππππππ ππππ‘π
e) π₯ < β2 ππ’ π₯ > 0 βΉ π(π₯) Γ© ππππ ππππ‘π
β2 < π₯ < 0 βΉ ππππ π‘πππ‘π
f) π₯ < 1 ππ’5
2< π₯ < 4 βΉ π(π₯) Γ© ππππππ ππππ‘π
1 < π₯ <5
2 ππ’ π₯ > 4 βΉ ππππ ππππ‘π
d) π₯ = β2 ππ’ π₯ = 2 e) ππΓπ§ππ Β±β5 e Β±2 f) nΓ£o tem raiz real
32) a) π(5, β16); πΌπ = {π¦ β β | π¦ β₯ β16 }
b) π (1
3, β
4
3) ; πΌπ = {π¦ β β | π¦ β₯ β
4
3 }
c) π (5
2, β
9
4) ; πΌπ = {π¦ β β | π¦ β₯ β
9
4 }
d) π(0, 1); πΌπ = {π¦ β β | π¦ β€ 1 }
e) π(3, β9); πΌπ = {π¦ β β | π¦ β₯ β9 }
f) π (1
3, β
2
3) ; πΌπ = {π¦ β β | π¦ β€ β
2
3 }
g) π (1
2, β
5
4) ; πΌπ = {π¦ β β | π¦ β₯ β
5
4 }
h) π(0, 4); πΌπ = {π¦ β β | π¦ β€ 4 }
i) π(3, β1); πΌπ = {π¦ β β | π¦ β€ β1 }
33) π = 1, π = β2 π π = β15
34) a) mΓnimo π¦π£ = β1 b) mΓ‘ximo π¦π£ = 1 c) mΓnimo π¦π£ = β1 d) mΓ‘ximo π¦π£ = 4
35) a) 1 Γ 5; 2 Γ 4 π 3 Γ 3 b) O quadrado de lado 3
36) a) 60 π b) 3 π c) 80 π d)
37) a)28 b) 36Β° c)
38) F V F V
39)a) 1,28 cm/s b) 0 cm/s
40) de 20 atΓ© 40 segundos.
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