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UEM – CCE – DMA
Disciplina: Cálculo Numérico
Cursos: Engenharia Mecânica (Turma 01), Engenharia de Produção (turmas 33 e 34)
1º Lista de exercícios – Solução de equação não lineares
1) Considere as equações abaixo:
(i) ( ) (ii)
( ) (iii) ( ) (iv)
(v) (vi) ( ) (vii) (viii) ( )
Para elas resolva os itens abaixo:
a) determine o intervalo, usando o método gráfico, a(s) raiz (raízes).
b) confirme o resultado obtido em (a), usando uma tabela de valores.
c) prove que existe raiz única no intervalo considerado em (a) ou (b).
d) use o método da bissecção e determine a(s) raiz (raízes) tal que | | .
e) use o método da posição falsa e determine a(s) raiz (raízes) tal que | | .
f) use o método do ponto fixo, quando possível, e determine a(s) raiz (raízes) tal que | | .
g) use o método de Newton-Raphson e determine a(s) raiz (raízes) tal que | | .
h) use o método da secante e determine a(s) raiz (raízes) tal que | | .
2) A equação tem como raiz √ . Considere o método do ponto fixo com ( )
:
a) comprove que ( ) ;
b) o que acontece com a sequencia { } tal que ( )
c) sua conclusão do item (b) pode ser generalizada para qualquer equação f(x) = 0 que tenha | ( )| ?
3) Seja ( )
[ ( ) ]. Determine seus pontos críticos com auxílio de um método numérico.
4) O problema: resolva ( ) ( ) pode ser transformado num problema equivalente da forma
( ) Para o processo iterativo definido por ( ); analisar a convergência, no intervalo [0,5 0,6],
quando:
a) ( ) ( )
b) ( )
5) Na engenharia química, reatores do tipo PFR são frequentemente usados para converter reagentes em produtos.
Sabe-se que a eficiência de conversão às vezes pode ser melhorada reciclando uma fração do produto como
mostrado na Figura 1:
Figura 1
A taxa de reciclo, R, é definida por:
Supondo que um reagente A gere um produto B de acordo com a expressao autocatalitica: A+BB+B, mostra-
se que R ótima satisfaz a equação:
[ ( )
( )]
[ ( )]
onde xA é a fração de reagente A convertido no produto B. A taxa ótima de reciclo corresponde ao reator de
menor tamanho possível para se atingir o nível de conversão desejado. Determinar as razões de reciclo
necessárias para minimizar o tamanho do reator, resolvendo a equação para os seguintes valores de xA: 0.99,
0.995 e 0.999.
6) Um tanque de vaporização flash é alimentado com F moles/h por uma corrente de gás natural de n
componentes, como mostrado na Figura 2.
Figura 2
As correntes de líquido e vapor são designadas por L e V moles/h, respectivamente. As frações molares dos
componentes na alimentação, nas correntes de vapor e de líquido são designadas por zi,yi e xi, respectivamente.
Assumindo equilíbrio líquido-vapor em estado estacionário, segue que:
F = L +V (1)
ziF = xiL + yiV (2)
, i = 1, 2, 3, … (3)
onde: (1) é o balanço global, (2) é o balanço individual , (3) é a relação de equilíbrio, e, Ki é constante de
equilíbrio para o i-ésima componente na pressão e temperatura do tanque. Das equações acima e do fato de
∑ ∑
, mostra-se que:
∑ ( )
( )
(4)
Supondo que F = 1000 moles/h, calcule o valor de V, com duas casas decimais corretas, resolvendo a equação
(4), para a corrente de gás natural, à temperatura de 120ºF e pressão de 1600 psia, para cada um dos
componentes da tabela a seguir:
7) O calor específico a pressão constante do oxigênio em função da temperatura pode ser expresso
pela seguinte equação:
(cal/mol.K)
em que T é a temperatura absoluta. Determinar a temperatura para a qual Cp = 5,82 cal/mol.K.
8) Lee and Duffy (A. I. Ch. E Journal, 1976) relacionaram o fator de atrito para escoamentos de partículas
fibrosas em suspensão com o número de Reynolds, pela seguinte equação empírica:
.
Nesta relação f é o fator de atrito, RE é o número de Reynolds e k é uma constante determinada pela
concentração de partículas em suspensão. Para uma suspensão de 0.08% de concentração temos que k = 0.28.
Determine o valor de f quando RE = 5000. Use um método numérico a sua escolha.
9) Muitas equações de estado foram desenvolvidas para descrever as relações entre pressão, P, volume molar,
V, e temperatura, T, de gases. Uma das equações mais utilizadas é equação de Beattie-Bridgeman:
onde R é a constante universal dos gases são parâmetros característicos do gás em estudo. O segundo,
terceiro e quarto termos da equação de Beattie-Bridgeman podem ser vistos como correções da lei dos gases
ideais, PV = RT, para o comportamento não ideal de um gás. Os parâmetros definidos por:
onde: A0,B0, a, b e c são constantes determinadas experimentalmente e são diferentes para cada gás. Dados os
valores de pressão, P, temperatura, T, e das constantes R, A0, B0, a, b, c é possível determinar o volume molar
de qualquer gás resolvendo equação de Beattie-Bridgeman, usando como estimativa inicial para o volume
molar a lei dos gases ideais: V0 = RT/P. Para o gás metano, tem-se que: A0 = 2.2769, B0 =0,05587, a =0,01855,
b = - 0,01587 e c = 12,83×104. Considere temperaturas de 0º e 200º e as seguintes pressões em atm: 1, 2, 5, 20,
40, 60, 80, 120, 140, 160, 180 e 200. Com esses dados, determine:
a) o volume molar do gás metano, com precisão de 10−6
.
b) o fator de compressibildade z, onde z = PV/RT.
c) compare os seus resultados com valores experimentais do fator de compressibilidade para o metano de 0º e
200º, apresentados na Figura 3.
Figura 3
10) Uma gamela de comprimento L tem seção transversal semicircular com raio r (veja a figura 4). Quando a
gamela está cheia com água até uma distância h do topo, o volume V de água é:
[ (
) ( ) ]
Figura 4
Suponha L = 10 m, r = 1 m e V = 12,4m3. Determine a profundidade da água na gamela com precisão de 0,01.
11) A soma de dois números é 20. Se cada número for adicionado à respectiva raiz quadrada, o produto das
somas será 155,55. Determine os dois números com precisão de 10-4
.
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