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1Exerccios de EDO
Professor: Alexandre Lima
1. Encontre a solucao geral da equacao diferencial dada:
(a) y+ 3y = t+ e2t
(b) y+ y = t+ et + 1
(c) y 2y = 3et
(d) y+ (1
t)y = 3cos2t
2. Considere o problema de valor inicial
y+ 2
3y = 1 1
2t, y(0) = y0.
Encontre o valor de y0 para o qual a solucao toca, mas nao cruza, o eixo dos t.
3. Mostre que, se a e sao constantes positivas e se b e um numero real arbitrario,
entao toda solucao da equacao
y+ ay = bet
tem a propriedade de que y 0 quando t.
4. Mostre que, o angulo que um pendulo de comprimento L e massa m oscilando faz
com a vertical, satisfaz a equacao
d2
dt2+g
Lsen = 0
5. Resolva a equacao diferencial dada:
(a) y=x2
y
(b) y+ y2senx = 0
(c) y= (cos2x)(cos22y)
(d) xy= (1 y2) 12
6. Resolva o problema de valor inicial
-
2y=
2 ex3 + 2y
, y(0) = 0
7. Algumas vezes e possvel resolver uma equacao nao linear fazendo uma mudanca
da variavel dependente que a transforma em uma equacao linear. O exemplo mais
importamte de tal equacao e da forma
y+ p(t)y = q(t)yn
e e chamada de equacao de Bernoulli.
(a) Resolva a equacao de Bernoulli quando n = 0 e n = 1.
(b) Mostre que, se n 6= 0 e n 6= 1, entao a substituicao v = y1n reduz a equacaode Bernoulli a uma equacao linear.
8. Para cada equacao abaixo determine se e exata, se for, encontre a solucao.
(a) (2x+ 3) + (2y 2)y = 0
(b) (2xy2 + 2y) + (2x2y + 2x)y= 0
(c) (exseny + 3y)dx (3x exseny)dy = 0
9. Mostre que qualquer equacao separavel
M(x) +N(y)y= 0
tambem e exata.
10. Para cada uma das equacoes abaixo mostre que nao e exata, mas torna-se exata
quando multiplicada por um fator integrante (t). Depois resolva a equacao.
(a) x2y3 + x(1 + y2)y= 0, (t) = 1
xy3
(b) ydx+ (2x yey)dy = 0, (t) = y
11. Na teoria de aprendizagem, supoe-se que a taxa segundo a qual um assusto e mem-
orizado e proporcional a` quantidade a ser memorizada. Suponha que M denote a
quantidade total de um assunto a ser memorizado e A(t) a quantidade memorizada
no instante t. Determine uma equacao diferencial para a quantidade A(t).
12. Ache a solucao particular da equacao
-
3xy (senx)y = 0
no intervalo (0,) que passa pelo ponto (1,1).
13. Suponha que um buraco tenha sido feito atraves do centro da Terra, atravessando-a
de ponta a ponta, e uma bola de boliche com massa m seja jogada no buraco, con-
forme a figura abaixo. Construa um modelo matematicoque descreva o movimento
da bola. Denote por r a distancia do centro da Terra ate a massa no instante t,M ,
a massa da Terra, Mr, a massa da parte da Terra dentro de uma esfera de raio r e
, a densidade constante da Terra.
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