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LFA:Unidade 02 – Parte A

Engenharia/Ciência da Computação

Prof. Françoisprofrancois@yahoo.com.br

CONJUNTOS 1.1: CONJUNTOS Um conjunto é uma coleção de zero ou

mais elementos. Conjuntos podem conter qualquer tipo de objeto incluindo (números, símbolos e outros conjuntos). Os objetos no conjunto são chamados de elementos ou membros do conjunto.

Um conjunto finito de objetos pode ser representado pela listagem de seus objetos entre colchetes

CONJUNTOS Exemplos: {0,1} representa o

conjunto formado pelos números 0 e 1.

Outros exemplos: a) {a, b, c, d} b) {#,@,%,A,B,C} c) {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} d) {a,1,2,3,c, #,@,$}

CONJUNTOS Os símbolos e denotam respectivamente

que um elemento pertence ou não pertence a um conjunto.

Exemplos: a) a {a, b, c, d} e f {#,@,%,A,B,C} b) # {#,@,%,A,B,C} e 0

{1,2,3,6,7,8,9,10} Quando se utiliza conjuntos, a ordem em que

os elementos são apresentados e a repetição destes não são importantes.

CONJUNTOS Considere os seguintes exemplos: a) {a, b, c} é equivalente a {c, b,

a} b) {#,@,%} é equivalente a {@,

%,#,@,%} Costumeiramente não se costuma

representar os elementos repetidos de um conjunto.

CONJUNTOS Um conjunto é dito ser infinito quando

possui uma quantidade infinita de elementos. Como é impossível listar todos os elementos de um conjunto infinito, utiliza-se a notação “...” que significa “continue a seqüência eternamente”.

Exemplos: a) ℕ = { 1, 2, 3, ... } NATURAIS b) ℤ = { ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}

INTEIROS c) ℚ = números da forma i/j , i, j ℤ,

j 0 RACIONAIS

CONJUNTOS

ℙ primos

ℕ

ℤℚ

Iℝ reais

ℂ complexos

2

CONJUNTOS O conjunto com zero elemento é chamado

de conjunto vazio e é denotado pelo símbolo ou {}

A notação utilizada até agora se torna pouco prática quando se tenta representar um conjunto finito com uma grande quantidade de elementos. Além disso, esta notação não permite especificar um conjunto onde os elementos seguem uma determinada regra. Em situações como esta se utiliza a notação: { x | regra sobre x}

CONJUNTOS Exemplos: a) {x| x = m2 para qualquer m ℕ}= {1, 4,

9, 16, 25, ...} conjuntos dos números naturais elevados ao quadrado

b) {i | i é um inteiro positivo e existe j tal que i = 2j }= {2, 4, 6, 8, 10, ...} conjuntos dos números inteiros pares.

c) {x | x = 2y para qualquer y ℕ e y < 11}= {2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024}

CONJUNTOS Os conjuntos podem ser

representados graficamente através do diagrama de Venn. Assim o conjunto do exemplo c) seria representado graficamente por:

PROPRIEDADES DE CONJUNTOS

1.2: Cardinalidade: número de elementos do conjunto (A)

1.3: Igualdade: A = B x A x B

1.4: Subconjunto: A B , se a A a B [caso contrário: A B] A

B

PROPRIEDADES DE CONJUNTOS

Obs 1: A B A está contido em B B / A B contém A Obs. 2: Subconjunto próprio: A B

(A é subconjunto de B, mas AB) Obs. 3: A = B A B e B A Obs. 4 : A A e A A

PROPRIEDADES DE CONJUNTOS

1.5: Conjunto Potência ou Conjunto das Partes: Conjunto de todos os subconjuntos de um conjunto A. Representação: 2A.

Ex.: A = {1, 2, 3} então 2A = { , {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3} , {1,2,3} }

Obs.: A = {a1, a2, ..., an} e #2A = 2n 1.6: Complemento. ~A (A/) = {u | u

A}. Obs: u U (conjunto universo)

OPERAÇÕES SOBRE CONJUNTOS

1.7: União A B = {u | u A ou u B} 1.8: Intersecção A B = {u | u A e u B } 1.9: Diferença relativa: A - B = {a | a A e a B }

A

U UUU

AB

AB

AB

OPERAÇÕES SOBRE CONJUNTOS - TUPLAS

1.10: Conjuntos disjuntos: A B = (A e B são disjuntos) 1.11: R-tupla Seqüência ordenada escrita na

forma (a1, a2, ..., ar). O i-ésimo termo i-ésima coordenada. Se r = 2 par ordenado

PRODUTO CARTESIANO 1.12: Produto Cartesiano: Se A1, A2, ..., Ar conjunto com r elementos Produto cartesiano: todas as r-tuplas (a1,

a2, ..., ar) tal que a1 A1, a2 A2, a3 A3, ..., ar Ar

Representação: A1 x A2 x .... x Ar Se os A1 são idênticos então A1 x A2 x ....

x Ar = Ar

PRODUTO CARTESIANO Ex.:A = {0, 1} e B = {1, 2, 3} A B = {(0,1), (0,2), (0,3), (1,1),

(1,2), (1,3) } B A = { (1,0), (1,1), (2,0), (2,1),

(3,0), (3,1) } A A = A2 = { (0,0), (0,1), (1,1),

(1,0) }

OPERAÇÕES SOBRE CONJUNTOS

1.13: Idempotência A A = A e A A = A 1.14: Comutatividade A B = B A e A B = B A 1.15: Associatividade A (B C) = (A B) C) e A (B

C)= (A B) C

OPERAÇÕES SOBRE CONJUNTOS

1.16: Distributiva A (B C) = (A B) (A C) e A (B C)= (A B) (A C) 1.17: Duplo complemento ~(~A) = A 1.18: Leis de Morgan ~(A B) = ~A ~B ~(A B) = ~ A ~ B

RELAÇÕES 1.19. Relações Uma relação binária R de A em B é um

subconjunto de um produto cartesiano AxB, ou seja, R AxB sendo que

A é domínio, origem ou conjunto de partida

B é contradomínio, codomínio, destino ou conjunto de chegada

RELAÇÕES A relação R AxB é constituída de três

partes: A é domínio, B contradomínio, e o conjunto de pares R.

A relação R é denotada também R: A B e um elemento (a,b) R é denotado aRb.

Ex.: A = {2, 3, 4} e B = {2, 3, 4, 5, 6} Seja R de A em B: a R b a divide b, ou

seja resto(b/a) = 0. R = { (2, 2), (2,4), (2,6), (3,3) , (3,6),

(4,4) }

PROPRIEDADES DE RELAÇÕES

1.20: Endorelação ou Auto-relação (quando o domínio e o contradomínio no mesmo conjunto), ou seja, R: A A e denotada por (A, R)

1.21: Relação conexa Sejam um conjunto A e uma relação R; R

é conexa quando para elementos distintos x e y (x ≠ y) temos xRy ou yRx.

Ela não é convexa, se existe ao menos um par de elementos distintos x e y (x ≠ y) para os quais temos x R/ y e y R/ x.

PROPRIEDADES DE RELAÇÕES

Exemplos: R = {(1,1), (1,2), (3,1),(3,2)} em

A={1,2,3} é conexa pois: 1≠ 2 e 1R2; 1≠3 e 1R3; 2≠3 e 3R2;

R = {(1,1), (3,2), (2,3)} em A={1,2,3} não é conexa pois: para 1≠3 temos 1 R/ 3 e 3 R/ 1; para 1≠2 temos 1 R/ 2 e 2 R/ 1.

PROPRIEDADES DE RELAÇÕES

1.22: Reflexiva: se para todo aA, aRa

1.23: Simétricas: se a R b, então b R a

1.24: Antissimétricas: se a R b e b R a, então a = b

1.25: Transitivas: se a R b e b R c, então a R c

Relações de Ordem

Sejam A um conjunto e R uma relação em A. Então R é uma: Ordem, se é transitiva; Ordem Parcial, se é reflexiva, antissimétrica e

transitiva; Ordem Total, se é uma relação de ordem parcial

e conexa. Exemplos:

As relações (N, ), (2A, ), (Z, <), (Q, =) são de ordem. As relações (N, ), (2A, ), (Q, =) são de ordem parcial. A relação (N, ) é de ordem total

Relações de Equivalência Relação de Equivalência: reflexiva, transitiva e

simétrica; Exemplo:

R = {(a, b) N2 | a MOD 2 = b MOD 2} onde MOD é o resto de uma divisão inteira.

Uma relação de equivalência induz um particionamento do conjunto para o qual a relação é definida em subconjuntos disjuntos e não vazios denominados classes de equivalência.. A relação acima induz uma partição de N em classes de equivalência [0] (dos números pares com resto 0) e [1] (dos números impares com resto 1).

Fecho de uma relação Seja R uma relação e P um

conjunto de propriedades. Então, o Fecho de R em relação a P, denotado por FECHO-P(R) é a menor relação que contém R e que satisfaz às propriedades em P

Fecho Transitivo O fecho de R em relação ao conjunto

de propriedades {transitiva}, denominado Fecho transitivo de R é definido como: R+

Se (a, b) R, então (a, b) R+

Se (a, b) R+ e (b, c) R+ então (a, c) R+

Os únicos elementos de R+ são obtidos assim.

Fecho Transitivo e Reflexivo

O fecho de R em relação ao conjunto de propriedades {transitiva, reflexiva}, denominado Fecho transitivo-reflexivo de R: R*

R* = R+ {(a,a) | a R} Exemplo: Seja R = {(1,2), (2,2), (2,3) }

uma relação do conjunto {1,2,3}. Então: R+ = {(1,2), (2,2), (2,3), (1,3)} R* = {(1,2), (2,2), (2,3), (1,3), (1,1), (3,3)}

GRAFOS Uma relação pode ser representada por

um grafo e árvores. Grafos Um grafo, denotado por G=(V, E), consiste

de um grupo finito de vértices (V) ou nós, e um conjunto de pares E chamados de arestas (edges). Os vértices são representados graficamente por círculos enquanto que as arestas são representadas por linhas conectando dois vértices.

GRAFOS Exemplo: Para um grafo G = (V, E)

onde V={1,2,3,4,5} e E={n,m} | n+m = 4 ou n+m=7}, a figura abaixo ilustra o grafo:

GRAFOS O grafo acima é composto de 5 vértices

identificados pelos símbolos 1,2,3,4,5 e representados pelos círculos. As arestas são representadas por linhas ligando os vértices. Entre os vértices 1 e 3, existe uma aresta (1,3)

Um caminho em um grafo é uma seqüência de vértices v1, v2, ..., vk , k ≥ 1, no qual existe uma aresta (vi, vi+1), para cada i, 1 ≤ i <k.

O tamanho de um caminho é igual a k-1.

GRAFOS – GRAFOS DIRIGIDOS DÍGRAFOS

No grafo acima, a seqüência de vértices 1, 3, 4 representa um caminho cujo tamanho é 2.

Quando v1 = vk o caminho é um ciclo. Assim o caminho formado pelo vértice 2 origina em 2 e chega em 2.

Grafos dirigidos Um grafo dirigido ou dígrafo, é denotado por

G = (V, E) onde V representa um conjunto finito de nós e E um grupo de pares de vértices ordenados chamados de arcos.

DÍGRAFOS Um arco de vértice v para o vértice w é

representado pela seguinte notação v w. A figura abaixo representa um dígrafo.

Um caminho em um dígrafo é uma seqüência de vértices v1, v2, ..., vk , k ≥ 1 sendo que cada vi vi+1 é um arco para cada i, 1 ≤ i <k.

DÍGRAFOS = ÁRVORES No exemplo acima, a seqüência de vértices 1

2 3 4 é um caminho do vértice 1 para o vértice 4.

Se v w é um arco, então v é o predecessor de w e w é o sucessor de v.

Árvores Uma árvore é um dígrafo com as seguintes

propriedades; a. existe um vértice, chamado de raiz, que não

possui predecessor e a partir do qual existe um caminho para cada vértice.

ÁRVORES b. cada vértice, exceto a raiz, possui

exatamente um predecessor c. os sucessores de cada vértice são

ordenados da esquerda para a direita. Uma árvore é desenhada com a raiz no

topo e os arcos apontando para baixo. Os sucessores de cada vértice são desenhados da esquerda para a direita.

A figura abaixo apresenta um exemplo de

ÁRVORES árvore que ilustra a estrutura de uma

sentença em português para a frase “ a gato faminto agarrou o rato”.

ÁRVORES A seguinte simbologia é adotada para

árvores: a. o sucessor de um vértice é chamado

filho e o predecessor é chamado pai. b. se existe um caminho do vértice v1 para

o vértice v2, v1 é dito ser o ancestral e v2 é o sucessor de v2.

c. vértices sem filhos são chamados folhas e os demais são chamados de interiores.

Funções Parciais Uma Função Parcial é uma relação f A x B

tal que se (a, b) f e (a, c) f, então b = c; normalmente é denotada por f: A B. (a, b) f é usualmente denotado por f(a) =

b. Neste caso, f está definida para a, e b é imagem de a.

O conjunto: { b B | existe a A tal que f(a) = b } é denominado conjunto imagem de f e é denotado por f(A) ou Img(f).

Funções Totais ou Aplicações

Uma função total é uma função parcial f: A B onde para todo a A existe b B tal que f(a) = b

Exemplos Função Identidade: Para o conjunto A, a função

total IdA: A A é tal que para todo a A, IdA(a) = a Adição nos Naturais: A operação ad: N x N N tal

que ad(a, b) = a + b é uma função total Divisão nos Reais: A operação div: R x R R tal

que div(x, y) = x/y é uma função parcial pois não é definida para (x, 0), qualquer que seja x R

Composição de Funções Sejam f: A B e g: B C funções. A Composição de f e g é a função g o f: A

C tal que (g o f)(a) = g(f(a)). Exemplo:

A composição das funções ad (N x N N) e quadrado (N N) é a função quadrado o ad (N x N N) e, para (3, 1) temos:

(quadrado o ad)(3, 1) = quadrado(ad(3, 1)) = quadrado(4) = 16

Função Injetora, Sobrejetora, Bijetora ou Isomorfismo

Uma função f: A B é dita: Injetora se, para todo b B, existe

no máximo um a A tal que f(a) = b; Sobrejetora se, para todo b B,

existe pelo menos um a A tal que f(a) = b;

Bijetora ou Isomorfismo se é injetora e sobrejetora.

Cardinalidade de Conjuntos

A cardinalidade de um conjunto (#A) é uma medida de seu tamanho e é definida usando funções bijetoras. Cardinalidade Finita: se existe uma

bijeção entre A e o conjunto { 1, 2, 3, ..., n }, para algum n. Neste caso, afirma-se que #A = n

Infinita: se existe uma bijeção entre A e um subconjunto próprio de A.

Conjuntos Contáveis e Não Contáveis

Um conjunto infinito A é dito: Contável ou Contavelmente Infinito, se

existe uma bijeção entre o conjunto A e um subconjunto infinito de N;

Não-Contável, caso contrário.Obs: A bijeção que define se um conjunto A é

contável é denominada enumeração de A.Exemplos: Os conjuntos ℤ e ℚ são

enumeráveis e I e R são não-contáveis.

Demonstração de Teoremas

Um teorema é uma proposição do tipo p q a qual prova-se ser verdadeira sempre, ou seja: p q.

As proposições p e q são denominadas hipótese e tese, respectivamente.

Dado um teorema a ser demonstrado, é fundamental, antes de iniciar a demonstração, identificar claramente a hipótese e a tese.

Técnicas de Demonstração Para um determinado teorema p q

existem diversas técnicas para provar (demonstrar) que, de fato, p q: Dedutiva; Contraposição; Redução ao absurdo; Indução.

PROVA DEDUTIVA Consiste em uma seqüência de afirmações

cuja verdade nos leva de alguma afirmação inicial, chamada de hipótese, a uma afirmação de conclusão. Com freqüência, a hipótese consiste de várias afirmações independentes conectadas por um e lógico.

Exemplo: prove que a seguinte afirmação “se x é a soma dos quadrados de 4 números inteiros positivos, então 2x ≥ x2

PROVA DEDUTIVA

PROVA CONTRADIÇÃO Em algumas situações tem-se de provar

uma afirmação do tipo “se H então C”, pode se utilizar a técnica da prova por contradição e provar a afirmação “H e não C implica em falsidade”. Se for provada a segunda afirmação então a primeira é dita ser verdadeira.

Assim, o processo de prova se baseia em supor que a condição é falsa. Então

PROVA CONTRADIÇÃO utiliza-se a suposição como partes da

hipótese, para provar o oposto de uma afirmação feita no hipótese. Posteriormente, mostra-se que é impossível que todas as partes da hipótese sejam verdadeiras e a conclusão falsa. Nesse caso, a única possibilidade é que a conclusão seja verdadeira sempre que a hipótese é verdadeira, ou seja, o teorema é verdadeiro.

PROVA CONTRADIÇÃO Exemplo: Seja S um subconjunto

finito de algum conjunto infinito U. Seja T o complemento de S em relação a U. Então T é infinito. A contradição da afirmação é dizer que T é finito.

PROVA CONTRADIÇÃO

PROVA POR CONTRA-EXEMPLOS

Consiste em provar a falsidade de uma afirmação encontrando um contra-exemplo que indica a falsidade da afirmação:

Exemplo: Se x é primo então x é impar.

Contra-exemplo: 2 é primo, mas é par.

PROVA POR INDUÇÃO Muitos teoremas podem ser provados por

indução matemática. Segundo este principio uma propriedade P(n) é verdadeira se:

a) P(c) é verdadeira para um valor c inicial (geralmente c=1 ou c=0);

b) supõe-se P(n-1) é verdadeira então tenta-se provar que P(n) é verdadeira para n

A condição do item a) é chamada de base indutiva e a do item b) de passo indutivo. Sendo que P(n-1) é a hipótese indutiva e P(n) a tese indutiva.

PROVA INDUTIVA