k-menores caminhos

Motivação k -menores caminhos Árvore dos prefixos Partições YEN KIM Implementação Conclusões

Defesa de dissertação de mestradok -menores caminhos

Fábio Pisaruk

Instituto de Matemática e EstatísticaUniversidade de São Paulo

16 de Julho de 2009

Sumário

1 Motivação

2 k -menores caminhos

3 Partições

6 Implementação

7 Conclusões

Problema

Provisionamento de sinais

Serviço de interligação de sinais.Permite que sinais do ponto a sejam enviados ao ponto b.

Figura: Destacamos um possível caminho interligando a e b.

Problema

Processo de provisionamento

Requisitos do clienteQuantidade de sinais.Tipos de sinais.Origem e destino.Qualidade de serviço.

Problema

Processo de provisionamento

ConsideraçõesCusto é função do número de equipamentos usados.Número de caminhos depende da quantidade de sinais.Critério de desempate é a distância total.

Definição

Problema k -menores caminhos

Problema k-MC(V ,A, c, s, t , k):Dados:

Grafo: (V ,A)Função custo: cVértices: s e tInteiro positivo: k

Encontrar os k-menores caminhos de s a t.

Definição

Exemplo

g l tt

Caminhos

〈s,a, i , t〉〈s,b, f , l , t〉〈s,b,g, l , t〉〈s,b,h, l , t〉〈s,b,h, i , t〉〈s,a, i ,h, l , t〉

Definição

Exemplo

g l tt

Caminhos〈s,a, i , t〉

〈s,b, f , l , t〉〈s,b,g, l , t〉〈s,b,h, l , t〉〈s,b,h, i , t〉〈s,a, i ,h, l , t〉

Definição

Exemplo

g l tt

Caminhos〈s,a, i , t〉〈s,b, f , l , t〉

〈s,b,g, l , t〉〈s,b,h, l , t〉〈s,b,h, i , t〉〈s,a, i ,h, l , t〉

Definição

Exemplo

g l tt

Caminhos〈s,a, i , t〉〈s,b, f , l , t〉〈s,b,g, l , t〉

〈s,b,h, l , t〉〈s,b,h, i , t〉〈s,a, i ,h, l , t〉

Definição

Exemplo

g l tt

Caminhos〈s,a, i , t〉〈s,b, f , l , t〉〈s,b,g, l , t〉〈s,b,h, l , t〉

〈s,b,h, i , t〉〈s,a, i ,h, l , t〉

Definição

Exemplo

g l tt

Caminhos〈s,a, i , t〉〈s,b, f , l , t〉〈s,b,g, l , t〉〈s,b,h, l , t〉〈s,b,h, i , t〉

〈s,a, i ,h, l , t〉

Definição

Exemplo

g l tt

Caminhos〈s,a, i , t〉〈s,b, f , l , t〉〈s,b,g, l , t〉〈s,b,h, l , t〉〈s,b,h, i , t〉〈s,a, i ,h, l , t〉

Soluções

Algoritmo existente na empresaBusca exaustiva

Consumo elevado de memória.

〈a,b〉〈a, c〉〈a,d〉

〈a,b, c〉〈a,b,e〉〈a, c,b〉〈a, c,e〉〈a, c,d〉〈a,d , c〉〈a,d ,e〉

〈a,b, c,e〉〈a,b, c,d〉〈a, c,b,e〉〈a, c,d ,e〉〈a,d , c,e〉〈a,d , c,b〉

〈a,b, c,d ,e〉〈a,d , c,b,e〉

Soluções

〈a,b〉〈a, c〉〈a,d〉

〈a,b, c,d ,e〉〈a,d , c,b,e〉

Soluções

〈a,b〉〈a, c〉〈a,d〉

〈a,b, c,d ,e〉〈a,d , c,b,e〉

Soluções

〈a,b〉〈a, c〉〈a,d〉

〈a,b, c,d ,e〉〈a,d , c,b,e〉

Soluções

〈a,b〉〈a, c〉〈a,d〉

〈a,b, c,d ,e〉〈a,d , c,b,e〉

Soluções

〈a,b〉〈a, c〉〈a,d〉

〈a,b, c,d ,e〉〈a,d , c,b,e〉

Soluções

Primeiro algoritmo implementadoBusca em profundidade iterativa

nível 1

nível 2〈a,b,e〉〈a, c,e〉〈a,d ,e〉

nível 3〈a,b, c,e〉〈a, c,b,e〉〈a, c,d ,e〉〈a,d , c,e〉

nível 4〈a,b, c,d ,e〉〈a,d , c,b,e〉

Menor consumo de memória e maior consumo de processador.

Soluções

nível 1 nível 2〈a,b,e〉〈a, c,e〉〈a,d ,e〉

Soluções

Método genérico

Método GENÉRICO (V ,A, c, s, t , k)

0 P ← conjunto dos caminhos de s a t

1 para i = 1, . . . , k faça

2 Pi ← caminho de custo mínimo em P

3 P ← P − Pi

4 devolva 〈P1, . . . ,Pk 〉

Soluções

P3 P4 P5

Pk Pk+1 . . .

Soluções

P3 P4 P5

Pk Pk+1 . . .

Soluções

Pk+1 . . .

Exemplo de construção

g l tt

Questões

k é, potencialmente, exponencial no número de vértices

um grafo completo com 15 vértices possui 16.926.797.485de caminhos entre dois vértices fixadosparticionar os caminhos utilizando a árvore dos prefixos

Questões

k é, potencialmente, exponencial no número de vérticesum grafo completo com 15 vértices possui 16.926.797.485de caminhos entre dois vértices fixados

particionar os caminhos utilizando a árvore dos prefixos

Questões

k é, potencialmente, exponencial no número de vérticesum grafo completo com 15 vértices possui 16.926.797.485de caminhos entre dois vértices fixadosparticionar os caminhos utilizando a árvore dos prefixos

DescriçãoQ: coleção de caminhos(N,E , f ): árvore dos prefixos de QPara cada nó u da árvore temos uma partição πu

Π = {πu,u ∈ (N,E , f )}

Partição πu

caminhos com ponta inicial na raizcompartilham o prefixo f (Ru)

não possuem arcos em Au

Π contém todos os caminhos de s a t

P3 P4 P5

Pk Pk+1 . . .

Q ← P1 = 〈s,a, i , t〉

πa πi

Q ← 〈s,a, i , t〉 ∪ 〈s,b, f , l , t〉

πa πi

πb πl

Exemplo

g l tt

Exemplo

g l tt

Exemplo

g l tt

Exemplo

g l tt

Exemplo

g l tt

Exemplo

g l tt

Exemplo

g l tt

Exemplo

g l tt

Exemplo

g l tt

Exemplo

g l tt

Exemplo

g l tt

Exemplo

g l tt

Método de Yen

Método YEN-GENÉRICO

Método YEN-GENÉRICO (V ,A, c, s, t , k)

0 Π← {conjunto dos caminhos de s a t}

1 Q ← ∅

2 para i = 1, . . . , k faça

3 L ← {Pπ : Pπ é caminho mínimo na parte π de Π}

4 Pi ← caminho de custo mínimo em L

5 Q ← Q∪ {Pi}

6 Π← ATUALIZE-GENÉRICO (V ,A, s, t ,Q)

7 devolva 〈P1, . . . ,Pk 〉

Método de Yen

ATUALIZE-GENÉRICO

Algoritmo ATUALIZE-GENÉRICO (V ,A, s, t ,Q)

0 Π← ∅ P ← Pst −Q

1 (N,E , f )← árvore dos prefixos de Q

2 para cada u ∈ N que não é uma folha faça

3 πu ← {caminhos em P com prefixo f (Ru)

e que não possuem arcos em Au}

4 Π← Π ∪ {πu}

5 devolva Π

Método de Yen

Exemplo

g l tt

jdf (Ru) = 〈s,b〉

f (u)=b

Método de Yen

Exemplo

g l tt

f (u)=b

Método de Yen

Exemplo

g l tt

f (u)=b

Método de Yen

Exemplo

g l tt

Método de Yen

Exemplo

g l tt

Método de Yen

Exemplo

g l tt

Método de Yen

Exemplo

g l tt

Método de Yen

Exemplo

g l tt

Método de Yen

Exemplo

g l tt

Método de Yen

Exemplo

g l tt

Método de Yen

Exemplo

g l tt

Método de Yen

Exemplo

g l tt

Método de Yen

Exemplo

g l tt

Método de Yen

Exemplo

g l tt

Método de Yen

Exemplo

g l tt

Método de YEN

Algoritmo YEN (V ,A, c, s, t , k)

1 P1 ← um caminho de custo mínimo de s a t

2 (N,E , f )← árvore dos prefixos de P1

3 para i = 2, . . . , k faça

4 Pi ← caminho de custo mínimo em L

5 (N,E , f ,L)←ATUALIZE-YEN (V ,A, c, s, t ,Pi ,N,E , f ,L)

6 devolva 〈P1, . . . ,Pk 〉

Método de YEN

ATUALIZE-YEN

Algoritmo ATUALIZE-YEN (V ,A, c, s, t ,P,N ′,E ′, f ′,L′)

0 L ← L′ − {P}

1 RP ← maior caminho em (N ′,E ′) com ponta inicial na

raiz tal que QP := f (RP) é prefixo de P

2 (N,E , f )← ÁRVORE-DOS-PREFIXOS(N ′,E ′, f ′,P)

3 Seja f (〈u0, . . . ,uk , . . . ,uq〉) = P e RP = 〈u0, . . . ,uk 〉.

4 para cada u ∈ {uk , . . . ,uq−1} faça

5 Pu ← st-caminho de custo mínimo com prefixo f (Ru)e que não possui arcos em Au

6 L ← L ∪ {Pu}

7 devolva (N,E , f ,L)

Método de YEN

Exemplo

g l tt

jd f (Ru) = 〈s,b〉

f (u)=b

Método de YEN

Exemplo

g l tt

Algoritmo de Katoh, Ibaraki e Mine

Específico para grafos simétricos

Método eficiente para o problema do desvio mínimoDiminuição do número de caminhos candidatos gerados acada iteraçãoBaseado no método de YenPartições definidas apenas para nós com mais de um filhoDepende rotina para o problema CM: T (n,m)

Melhor desempenho assintótico: Θ(kT (n,m))

Específico para grafos simétricosMétodo eficiente para o problema do desvio mínimo

Diminuição do número de caminhos candidatos gerados acada iteraçãoBaseado no método de YenPartições definidas apenas para nós com mais de um filhoDepende rotina para o problema CM: T (n,m)

Específico para grafos simétricosMétodo eficiente para o problema do desvio mínimoDiminuição do número de caminhos candidatos gerados acada iteração

Baseado no método de YenPartições definidas apenas para nós com mais de um filhoDepende rotina para o problema CM: T (n,m)

Específico para grafos simétricosMétodo eficiente para o problema do desvio mínimoDiminuição do número de caminhos candidatos gerados acada iteraçãoBaseado no método de Yen

Partições definidas apenas para nós com mais de um filhoDepende rotina para o problema CM: T (n,m)

Específico para grafos simétricosMétodo eficiente para o problema do desvio mínimoDiminuição do número de caminhos candidatos gerados acada iteraçãoBaseado no método de YenPartições definidas apenas para nós com mais de um filho

Depende rotina para o problema CM: T (n,m)

Específico para grafos simétricosMétodo eficiente para o problema do desvio mínimoDiminuição do número de caminhos candidatos gerados acada iteraçãoBaseado no método de YenPartições definidas apenas para nós com mais de um filhoDepende rotina para o problema CM: T (n,m)

Exemplo árvore dos menores caminhos

e1 1 1

10 10 1

e1 1 1

10 10 1

e1 1 1

10 10 1

Problema do desvio de custo mínimo

Definição

Problema do desvio de custo mínimo (V ,A, c, s, t):Dados:

Grafo simétrico com custo: (V ,A, c)Vértices: s e tP = 〈s = a1, . . . ,an = t〉 um caminho de custo mínimode s a t

Encontrar um caminho de custo mínimo, diferente deP, entre s e t.

Exemplo

arco δu ∈ Ts

s −→Ts

u −→Tt

arco δu /∈ Ts

s −→Ts

u →∈A

v −→Tt

Exemplo

arco δu ∈ Ts

s −→Ts

u −→Tt

arco δu /∈ Ts

s −→Ts

u →∈A

v −→Tt

Exemplo

arco δu ∈ Ts

s −→Ts

u −→Tt

arco δu /∈ Ts

s −→Ts

u →∈A

v −→Tt

Exemplo

arco δu ∈ Tss −→

Tsu −→

arco δu /∈ Ts

s −→Ts

u →∈A

v −→Tt

Exemplo

arco δu ∈ Tss −→

Tsu −→

arco δu /∈ Tss −→

Tsu →∈A

v −→Tt

Tipos de caminhos

Um novo caminho de custo mínimo construído através deu ∈ V é de um dos dois tipos definidos a seguir:

tipo I : s −→Ts

u −→Tt

tipo II : s −→Ts

u →∈A

v −→Tt

Ts uma árvore de menores caminhos com raiz em sTt uma árvore de menores caminhos com raiz em tPr = 〈t = an, . . . ,a1 = s〉P ∈ Ts e Pr ∈ Tt

Desvio de custo mínimo

t1 1 1

10 10 1

Tipo I

〈s,b, f ,d , t〉

Tipo II

〈s, c,d , t〉〈s,b, c,d , t〉

10 10 1

Tipo I〈s,b, f ,d , t〉

〈s,b, f ,d , t〉

Tipo II

〈s, c,d , t〉〈s,b, c,d , t〉

t1 1 1

10 10 1

Tipo II〈s, c,d , t〉

〈s, c,d , t〉〈s,b, c,d , t〉

t1 1 1

10 10 1

Tipo II〈s, c,d , t〉〈s,b, c,d , t〉

Rotulações ε e ζ

P = 〈a,b,d ,e〉

Rotulação ε

ε(a) = 1Se u ∈ P então ε(u) = ε(ψ(u)) + 1Se u /∈ P então ε(u) = ε(ψ(u))

a ε = 1

e4 c 3

Rotulação ζ

ζ(e) = |P|Se u ∈ P então ζ(u) = ζ(ψ(u))− 1Se u /∈ P então ζ(u) = ζ(ψ(u))

e ζ = 4

c 3f 3

Desvio de custo mínimo com rotulações

t1 1 1

10 10 1

Tipo I

〈s,b, f ,d , t〉

Tipo II

〈s,b, c,d , t〉

s ε = 1

t ζ = 4

10 10 1

〈s,b, f ,d , t〉

Tipo II

〈s,b, c,d , t〉

s ε = 1

t ζ = 4

t1 1 1

10 10 1

Tipo II〈s, c,d , t〉

〈s,b, c,d , t〉

s ε = 1

t ζ = 4

t1 1 1

10 10 1

Tipo II〈s,b, c,d , t〉

s ε = 1

t ζ = 4

Disposição esquemática das partições

Implementação

Codificação em Java

Biblioteca open source JUNG: 1.7 e 2.0Diversos algoritmos já implementados, incluindo o DijkstraVisualização de grafos

Implementação

Codificação em JavaBiblioteca open source JUNG: 1.7 e 2.0

Diversos algoritmos já implementados, incluindo o DijkstraVisualização de grafos

Implementação

Codificação em JavaBiblioteca open source JUNG: 1.7 e 2.0Diversos algoritmos já implementados, incluindo o Dijkstra

Visualização de grafos

Implementação

Codificação em JavaBiblioteca open source JUNG: 1.7 e 2.0Diversos algoritmos já implementados, incluindo o DijkstraVisualização de grafos

Experimentos

Variáveisn: número de vérticesm: número de arestasd : densidade=m/

)k : quantidade de menores caminhos

MetodologiaGrafos simétricos conexos com custos positivos5 pontas iniciais e finaisUm grafo por densidade

Consumo de tempoKIM: Θ(kT (n,m)) = Θ(km log n) usando-se DIJKSTRA

KIM: Θ(km log n) = Θ(kdn2 log n)

Experimentos

Tempo em função do número de caminhos

Consumo de tempo KIM: Θ(kT (n,m))

Experimentos

Tempo em função do número de caminhos

100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

Quantidade de caminhos gerados(k)

Tempo de execução em função do número de caminhos. n=900

densidade0.10.51.0

Experimentos

Tempo em função do número de vértices

Consumo de tempo KIM usando DIJKSTRA "min-heap":Θ(kdn2 log n)

Experimentos

100 200 300 400 500 600 700 800 900

Tempo em função do número de vértices. Densidade 0.1

número de caminhos(k)k=100k=200k=300k=400k=500k=600k=700k=800k=900

k=1000

Experimentos

100 200 300 400 500 600 700 800 900

k=1000

Experimentos

100 200 300 400 500 600 700 800 900

k=1000

Experimentos

Principais rotinas

RotinasProblema do desvio mínimo, rotina SEPProblema CM, algoritmo Dijkstra

Consumo de tempoSEP: Θ(m + n)

DIJKSTRA com "min-heap": Θ(m log n)

Experimentos

Fatia de tempo utilizada pelas principais rotinas.

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Densidade

Proporção de tempo utilizada pelas duas principais subrotinas para cada densidade. n=900

número de caminhosk=100k=200k=300k=400k=500k=600k=700k=800k=900

k=1000

Experimentos

Fatia de tempo utilizada pelas execuções do Dijkstra.

100 200 300 400 500 600 700 800 900

Número de vértices

Proporção de tempo utilizada pelas execuções do algoritmo Dijkstra. Densidade=0.1

k=1000

Experimentos

100 200 300 400 500 600 700 800 900

k=1000

Experimentos

100 200 300 400 500 600 700 800 900

k=1000

Experimentos

Fatia de tempo utilizada pelas execuções do algoritmo de desviomínimo.

100 200 300 400 500 600 700 800 900

Proporção de tempo utilizada pelas execuções da rotina SEP. Densidade=0.1

k=1000

Experimentos

100 200 300 400 500 600 700 800 900

k=1000

Experimentos

100 200 300 400 500 600 700 800 900

k=1000

Conclusões

No algoritmo KIM a rotina para o problema CM consome amaior fatia do tempo de execução do algoritmo.

Trabalhos futuros

Representar caminhos usando TRIEAnalisar idéia de reconstrução de árvoresImplementar algoritmo de Hershberger

"Não basta ensinar ao homem uma especialidade,porque se tornará assim uma máquina utilizável e nãouma personalidade.É necessário que adquira um sentimento, sensoprático daquilo que vale a pena ser empreendido,daquilo que é belo, do que é moralmente correto."

Albert Einstein

Apêndice

8 ApêndiceKIMÁrvore dos prefixos

Apêndice

Custo zero nas arestas

d e1.0 0.0 1.0

1.0 1.0

a ε = 1

b ε = 2

d ε = 3

eε = 4

c ε = 3

e ζ = 4

d ζ = 3

b ζ = 2

a ζ = 1

cζ = 2

Problemaε(c) > ζ(c)

Não consegue gerar ocaminho 〈a,b, c,d ,e〉

Apêndice

d e1.0 0.0 1.0

1.0 1.0

a ε = 1

b ε = 2

d ε = 3

eε = 4

c ε = 3

e ζ = 4

d ζ = 3

b ζ = 2

a ζ = 1

cζ = 2

Apêndice

d e1.0 0.0 1.0

1.0 1.0

a ε = 1

b ε = 2

d ε = 3

eε = 4

c ε = 3

e ζ = 4

d ζ = 3

b ζ = 2

a ζ = 1

cζ = 2

Apêndice

Na figura temos os caminhos Pj e Pk , 1 <= j < k onde Pj é paide Pk e que compartilham o prefixo 〈s, . . . ,u〉 diferenciando-sea partir de u.

Apêndice

Esquema dos caminhos na partição Pa.

Apêndice

. . . vtl

Apêndice

Árvore dos prefixos

DefiniçãoQ, (N,E), f ,V (Q),A(Q)

Q: uma coleção de caminhos

Caminhos〈s,a, i , t〉〈s,b, f , l , t〉〈s,b,g, l , t〉〈s,b,h, l , t〉〈s,b,h, i , t〉〈s,a, i ,h, l , t〉

V (Q): conjunto de vérticesA(Q): conjunto de arcos

Apêndice

(N,E): uma arborescência

Grafo acíclico (N,E)|N| = |E |+ 1raiz

Todo vértice, exceto a raiz, é ponta final de exatamenteum arco.

Apêndice

f : uma função rótulo

Associa nós e arestas do grafo aos nós e arestas daárvore de prefixos.

R = 〈u0,e1,u1, . . . ,et ,ut〉for um caminho em (N,E), então

f (R) := 〈f (u0), f (e1), f (u1), . . . , f (et ), f (ut )〉será uma seqüência de vértices e arcos dos caminhos emQ.

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