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Marcia Takagui Ed. Ala 1

sala 216

ramal 6811

Introdução às Medidas em Física 1a Aula * http://fge.if.usp.br/~takagui/4300152_2011/

* Baseada em Suaide/Munhoz 2006

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Objetivos da disciplina...

!   Compreender a necessidade de se efetuar medidas na área de conhecimento chamada Física;

!   Compreender os cuidados necessários para uma tomada de dados;

!   Ser capaz de escolher e utilizar os equipamentos e procedimentos adequados;

!   Ser capaz de elaborar e testar modelos teóricos; !   Estimar incertezas de medidas e avaliar a propagação das

mesmas; !   Sistematizar o armazenamento de dados através de tabelas; !   Analisar dados experimentais através da utilização de gráficos; !   Discutir criticamente os resultados obtidos.

 LABORATÓRIO DIDÁTICO Andar térreo do Edifício Principal (Ala Central).

 SEMANALMENTE Falta significa perda do experimento. Não há aula de reposição.

 ATRASO: TOLERÂNCIA DE 15 MINUTOS Acima deste valor o professor pode ou não autorizar a presença do aluno na aula. Conflitos de horários de trabalho ou outras atividades não serão considerados.

 EXPERIMENTOS Realizados no laboratório em grupo 2 – 3 alunos Alunos devem assistir aulas nas turmas designadas Trocas apenas com a permissão da coordenação Segurança – Cuidados necessários com equipamentos, manuseio,

sandálias, cabelos soltos

 MATERIAL DA EXPERIÊNCIA O material e os instrumentos necessários na experiência deverão

estar na bancada do laboratório. Senão, deverão ser retirados pelo próprio aluno no balcão da sala

123, através da identificação e depósito de um documento. Ao final da aula, o aluno deverá devolver o material no mesmo

local.

 PAPÉIS Folhas de papel milimetrado (10), de papel mono-log (5) e di-log (5) devem ser providenciadas pelos alunos.

 CADERNO DE DADOS Cada aluno deve possuir um caderno para anotar todos os

resultados das medidas, cálculos, observações, referências, etc...

 FOLHA DE DADOS Ao final de cada aula, em que foram realizadas medições, o

grupo deve entregar ao professor uma folha com os dados experimentais obtidos (pode ser uma cópia de carbono ou Xerox). Sem esta folha o relatório não será aceito.

Além dos dados medidos o aluno deve anotar todos os dados relevantes ao experimento, como, por exemplo, o número do equipamento utilizado, as incertezas instrumentais, alturas, comprimentos, etc..

Se possível o professor irá verificar imediatamente se os dados são satisfatórios, apontando eventuais falhas graves nas medições.

 OUTROS MATERIAIS: Calculadora Científica, Régua, etc....

Haverá um total de 7 experimentos:

 Pêndulo simples, aulas 1 e 2.

 Densidade de sólidos, aulas 3 e 4.

 Distância focal de uma lente, aula 5.

 Queda livre, aulas 6 e 7.

 Curvas características, aulas 8 e 9.

 Resfriamento de um líquido, aula 10.

 Cordas vibrantes, aulas 11 e 12.

  Um relatório pode ser entendido como a descrição detalhada, clara e objetiva de um trabalho realizado.   Descrição detalhada significa que o relatório deve apresentar todos os detalhes que sejam realmente relevantes, omitindo detalhes supérfluos.  Clareza e objetividade reduzem o esforço de leitura do relatório ao mínimo sem prejuízo da perfeita compreensão.

  em nossa disciplina: servir como um treinamento para escrever textos científicos e ajudar a articular idéias.

 O relatório deve ser um texto completo, dirigido a um leitor com conhecimentos suficientes para entender as experiências da disciplina, mas que nunca tenha visto nada sobre tais experiências.

!   Experiência I - Resultados de medições, cálculos e análise de dados !   Experiência II - Resultados de medições, cálculos e análise de dados +

Discussões e conclusões; !   Experiência III - Descrição experimental + Resultados de medições, cálculos

e análise de dados + Discussão final e conclusões; !   Experiência IV - Introdução ao assunto + Descrição experimental +

Resultados de medições, cálculos e análise de dados + Discussão final e conclusões;

!   Experiência V - Resumo do trabalho + Introdução ao assunto + Descrição experimental + Resultados de medições, cálculos e análise de dados + Discussão final e conclusões;

!   Experiência VI - Resumo do trabalho + Introdução ao assunto + Descrição experimental + Resultados de medições, cálculos e análise de dados + Discussão final e conclusões + Referências bibliográficas; (completo)

!   Experiência VII - Resumo do trabalho + Introdução ao assunto + Descrição experimental + Resultados de medições, cálculos e análise de dados + Discussão final e conclusões + Referências bibliográficas; (completo)

Prazo de entrega: 1 semana

Tipos de avaliações Frequência em aula

Relatórios Científicos

Provas

Frequência: maior ou igual a 70%

Relatórios: Média dos relatórios >= 5,0

Provas : Média das provas >= 4,0

Média Final:

Relatórios: Média dos relatórios >= 5,0

Provas : Média das provas >= 3,0

€

MR =

Rii=1

7

∑ − Rmin

6≥ 5,0

€

MP =P1 + 2P23

≥ 4,0

€

MF = 0,6*MR + 0,4 *MP ≥ 5,0

• P1 – aulas 1 a 7 (até o experimento 4) • P2 – aulas 1 a 12 (experimentos de 1 a 7).

Não há prova substitutiva.

!  Ler as informações da apostila; !  Ler o texto da apostila, referente a

cada experimento, antes da aula.

!  “Não é aceitável a alegação de desconhecimento dos critérios e informações apresentados na

apostila”!

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Observações finais

Os cursos de laboratório são compostos de experiências realizadas pelos alunos. Não é um curso

de demonstração. Assim, a participação na sala de aula e interação entre os colegas e professor é

fundamental.

Cuidado com os equipamentos. Cada aluno é responsável pelo equipamento que utiliza.

Siga as normas de segurança. Siga as instruções dos professores e do corpo técnico

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Observações finais -  Apostila e caderno: obrigatório trazer em todas as aulas -  Papel de gráfico: comprar 3 tipos

-  10 folhas milimetrado -  5 monolog -  5 dilog

-  Local e horário das aulas: -  aulas semanais -  sempre no andar térreo do Edifício Principal, Ala Central -  a sala pode mudar a cada aula, havendo um quadro informativo no balcão da sala 123 -  provas serão nos Auditórios Novo II (2ª a 5ª) e Adma Jafet (6ª) no horário da aula. Imprevistos serão avisados na tabuleta da sala dos técnicos.

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Observações finais -  Horários de consultoria:

Serão avisados oportunamente.

-  Locais da consultoria:   Serão avisados oportunamente.

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Conceitos fundamentais em uma medida em Física

!  O que é medir? –  Medir significa quantificar uma grandeza com

relação a algum padrão tomado como unidade;

!  Uma medida não é absoluta –  O que acontece se eu repetir várias vezes? E se

outra pessoa fizer a mesma medida?

–  Se eu usar outro instrumento? Qual o instrumento mais adequado para realizar uma medida?

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Peculiaridades de uma medida: objetos irregulares

2 3

O valor medido depende da região do objeto que é medida.

O que acontece se eu realizo medidas em regiões diferentes? Como expressar o resultado?

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Peculiaridades de uma medida: precisão do instrumento

2 3

2 3

Como a precisão do instrumento influencia a medida realizada?

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Uma medida não é absoluta

!   Irregularidades do objeto podem influenciar a medida final.

!  As características do instrumento influem na medida.

!  Mas, o que isso significa? –  Medidas experimentais não são absolutas. Sempre existe

uma “dúvida” no resultado obtido.

–  Como expressar essa “dúvida”? •  Supondo que exista um valor verdadeiro, que nunca saberemos qual

é, como avaliar a qualidade da medida efetuada?

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Erro e incerteza de uma medida

ERRO não é a mesma coisa que INCERTEZA!!!

!  Erro = valor verdadeiro - valor medido

pode-se afirmar que toda medida experimental apresenta um erro, que precisa ser estimado e compreendido.

O valor do erro NUNCA pode ser conhecido!

!   Incerteza = melhor estimativa do valor do erro

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Apresentando o resultado de uma medida com incerteza

!  Se toda medida tem uma incerteza, como representá-la? –  Forma mais comum

•  (Valor ± incerteza) unidade – Ex: (24,50 + 0,05) cm

–  Forma compacta •  Valor(incerteza) unidade

– Ex: 24,50(5) cm

21

2 3

(2,74 + 0,05) cm

Tenho certeza

Apresentando o resultado de uma medida com incerteza

!  Se toda medida tem uma incerteza, como representá-la?

Estou em dúvida

Incerteza! Em geral, metade da

menor divisão

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Apresentando o resultado de uma medida com incerteza

!  Por que a incerteza é 0,05 e não 0,050 ou 0,053? –  Em geral, a incerteza é expressa somente com 1 algarismo

significativo (opcionalmente 2 algarismos, caso o primeiro seja 1 ou 2)

–  Caso o 1o. Algarismo seja >2, a importância do segundo é muito pequena e não vale a pena

!  Note que a representação da medida deve levar em consideração a incerteza –  (2,74 + 0,05) cm

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O que são algarismos significativos?

!  São, como o próprio nome diz, algarismos que têm significado

!  Ex: –  (2,746 + 0,050) cm

•  2 tem significado (eu tenho certeza dele). O mesmo com 7

•  4 é um número incerto mas é uma estimativa plausível, sendo assim, também tem significado

•  6 não faz sentido, pois se o 4 já é um “chute”, qual a importância do 6? Então ele não tem significado.

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Regras para algarismos significativos

!  Algarismos significativos são todos aqueles que temos certeza na medida mais o primeiro algarismo incerto (chute) –  Pode-se utilizar dois algarismos incertos quando o primeiro

algarismo correspondente na incerteza é 1 ou 2 •  Ex: (1,452 + 0,018) cm

!   Zeros à esquerda não são significativos, enquanto os à direita podem ser. –  Ex: 0,000043 tem apenas 2 algarismos significativos –  Ex: 2,3500 tem 5 algarismos significativos

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Alguns exemplos

!   Forma correta –  (2,74 + 0,05) cm –  2,74(5) cm –  (123,4 + 1,2) kg ou (123 + 1) kg

!   Forma incorreta –  (2,746 + 0,053) cm (dois algarismos na incerteza e primeiro

algarismo é >2) –  (2,7455 + 0,0532) cm (incerteza com muitos algarismos) –  (2,7 + 0,05) cm (a representação da medida não é

compatível com a incerteza)

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Como fazer no caso (1345 + 132) ml?

!   A incerteza deve sempre apresentar 1 (ou 2, em alguns casos) algarismo significativo. –  132 possui 3 algarismos significativos –  130 também (zero à direita É significativo )

!   Uso de potências –  1345 = 1,345 x 103

–  132 = 0,132 x 103 !   A forma correta é (1,34 + 0,13) x 103 ml ou ainda (1,34 + 0,13) l

(troca de unidades)

–  O importante é representar com o número correto de algarismos significativos

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Exp I: Medidas de tempo e Pêndulo Simples – Parte I

Objetivos !  Medidas de tempo

–  Pêndulo simples (parte I)

!  Noções de estatística –  Média e desvio padrão

–  Incerteza de um valor médio

–  Análise gráfica: histogramas

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O Pêndulo Simples O pêndulo é constituído por um ponto material

suspenso por um fio inextensível e sem massa; Apenas as forças peso e tração agem sobre o ponto

material; É válida a aproximação sen(θ) ≈θ, onde θ é o ângulo

entre o fio e a vertical, durante a oscilação.

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O Pêndulo Simples

Baseado nessas hipóteses, pode-se deduzir a relação entre o período de oscilação (T ) e o comprimento do fio (L):

onde g é a aceleração da gravidade e L é o comprimento do pêndulo.

gLT π2=

30

O Pêndulo Simples

É possível construir um “pêndulo simples” com as condições que levam a essa expressão?

Não, porém podemos construir um pêndulo procurando nos aproximar das condições descritas.

31

O Pêndulo Simples

Se a aproximação for razoável, isto é, as incertezas experimentais forem maiores que as diferenças entre a realidade e o modelo, a equação anterior descreverá nosso sistema físico.

Normalmente, uma teoria ou modelo é estudado dessa forma, com boas aproximações à realidade.

32

Medidas de tempo: pêndulo simples

2 LT gπ=

Período não depende da massa nem da

amplitude de oscilação (estudos de Galileu)

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Medindo intervalos de tempo...

!   Medir um intervalo de tempo significa medir um intervalo entre dois instantes diferentes

–  1 evento define um instante no tempo

–  Para determinar o instante no qual 1 evento ocorre:

•  T=0 – ocorre o evento •  O evento deve ser processado (eletronicamente ou visualmente)

•  Uma resposta deve ser enviada ao instrumento de medida (por exemplo, pressionar o botão do cronômetro)

•  T=ΔT – o evento é registrado

‒  ΔT pode ser negativo!

»  O experimentador se adianta para disparar o cronômetro

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Determinando o intervalo de tempo a partir de dois instantes

!   Quer-se medir o intervalo de tempo

!   Porém, os tempos de cada evento são registrados em instantes diferentes àqueles onde ocorreram os eventos.

!   Os valores de ΔT0 e ΔT1 podem ser positivos (sinal é registrado após a ocorrência do evento) ou negativo (sinal é registrado antes da ocorrência do evento)

01 eventoevento ttT −=

0

1

0 0

1 1

evento

evento

medidoevento

medidoevento

t t T

t t T

= + Δ

= + Δ

1 0( )medidoT T T TT T

= + Δ −Δ

= + Δ

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Tmedido = T + ΔT

!   ΔT corresponde à flutuação, ou incerteza na medida de tempo. –  Como determinar?

–  Pode ser muito maior que a incerteza instrumental!

!  Similar ao problema da mesa

2 3

36

Análise estatística de dados

!  Quando flutuações de medidas têm origem aleatória (ou quase) pode-se fazer análises estatísticas. –  Ex: As irregularidades da mesa –  A flutuação no disparo de um cronômetro

!  Nesse caso, pode-se separar as incertezas instrumentais destas de caráter aleatório, denominadas incertezas estatísticas.

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Como fazer uma análise estatística

!  Suponha que você repita um determinado experimento várias vezes, utilizando sempre o mesmo instrumento e procedimento de medida –  Cada medida efetuada apresenta um resultado

diferente devido ao caráter aleatório das flutuações experimentais (imperfeição da mesa, tempo de reação para disparar o cronômetro)

–  A análise desse conjunto de medidas permite determinar um resultado mais confiável, bem como estimar uma incerteza mais realista.

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Conceitos importantes

!  Média de um conjunto de medidas

!  Desvio padrão de um conjunto de medidas –  Grandeza que caracteriza a amplitude das flutuações

estatísticas observadas. É também a incerteza estatística associada a uma única medida efetuada.

!   Incerteza do valor médio –  Também denominado “desvio padrão da média”, é a

incerteza estatística do valor médio obtido.

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Média

!  Se forem realizadas n medidas de uma mesma grandeza, e cada uma delas possuir a mesma incerteza, a média de um conjunto de medidas é dada pela média aritmética simples, ou seja:

1

lim

n

ii

verdn

yy

ny y

=

→∞

=

=

∑

Assim como cada medida é, por definição, diferente do valor

verdadeiro de uma grandeza, o valor médio também não corresponde ao valor verdadeiro de uma grandeza.

Quanto maior o número de medições, mais precisa é a medida

do valor médio.

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Desvio médio de um conjunto de medidas

!   O desvio é definido como a diferença entre a medida e o valor médio verdadeiro:

!   O desvio médio tende a zero:

!   Então, o desvio médio não fornece informação relevante

i i verdd y y= −

1 1 1 1( )

0

n n n n

i i verd i verdi i i i

verd

d y y y yd y y

n n n n= = = =

−= = = − = − →∑ ∑ ∑ ∑

41

Desvio padrão de um conjunto de medidas

!  Utiliza-se o desvio quadrático

!  O desvio padrão (σ), ou desvio quadrático médio de uma medida é dado por:

( )22i i verdd y y= −

( ) ( )2 2

1 1

1 11

n n

i verd ii iy y y y

n nσ

= =

= − ≈ −−∑ ∑

(n-1) vem do fato da definição de desvio padrão ser a diferença entre a medida e o valor médio verdadeiro, que não pode ser

obtido experimentalmente. Ver Seção 7.4 do Livro “Fundamentos da Teoria de Erros”, J. H. Vuolo

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Qual o significado do desvio padrão?

!  Pode-se entender como sendo a “distância” média que qualquer medida tem em relação ao valor médio.

!  O desvio padrão é o correspondente à incerteza estatística de uma única medida realizada. Cada medida, além da incerteza instrumental, possui uma incerteza estatística dada pelo desvio padrão.

43

Qual a incerteza estatística do valor médio?

!  De um conjunto de medidas, obtemos o seu valor médio !  Agora suponha que possamos repetir esse conjunto de

medidas k vezes e, em cada caso, obtem-se um valor médio

!  O desvio padrão dos valores médios corresponde à incerteza estatística de cada valor médio da amostra

1 2 3, , , ..., ky y y y

44

Qual a incerteza estatística do valor médio?

!  Desvio padrão dos valores médios

!  Substituindo a expressão para o valor médio na expressão acima, pode-se deduzir que o desvio padrão do valor médio vale:

( )21

1 k

m i verdiy y

kσ

=

= −∑

m nσ

σ ≈Incerteza estatística do valor médio de

uma medida

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Atividade: Medida do período de oscilação de um pêndulo

!   Teste a sua resposta em relação ao cronômetro –  Qual o menor tempo que você consegue medir com o

cronômetro?

!  Utilizando um cronômetro, cada aluno deve medir o intervalo de tempo para 8 períodos consecutivos de oscilação do pêndulo posicionado na frente da sala de aula –  Note que um período de oscilação corresponde a um vai-e-volta

do pêndulo –  Porque 8 períodos e não apenas 1?

!  A medida deve ser realizada 5 a 8 vezes por aluno. –  Assim, o número total de medidas será (5 a 8) x número de

alunos em sala.

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Tabela de 8T(s)

47

Tabela de 8T(s)

48

Atividades: Calcular média, desvio padrão e desvio padrão da média

!  Média

!  Desvio padrão

!  Desvio padrão da média

1

n

iiy

yn

==∑

( )21

11

n

iiy y

nσ

=

≈ −− ∑

m nσ

σ ≈

49

É suficiente conhecer somente a média e o desvio padrão?

!  Como os dados se distribuem em relação ao seu valor médio? Conhecer essa distribuição é importante?

!  Exemplo: Joga-se um dado de 6 faces 200 vezes e obtem-se o número de ocorrências para cada uma das faces: –  1 = 35; 2 = 31; 3 = 37; 4 = 39; 5 = 27; 6 = 31

–  Qual a probabilidade de sortear o número 1? E o número 4? •  P(1) = 35/200 = 17.5%; P(4) = 39/200 = 19.5%

50

Distribuição dos dados

!  Saber avaliar a distribuição estatística dos dados é tão importante quanto obter a média e desvio padrão.

–  No caso dos dadinhos, a distribuição tende a ser uniforme, ou seja, todos os valores têm igual probabilidade de ocorrerem.

–  E no pêndulo? •  Qual a probabilidade de, realizando uma medida, obter um

certo valor para o período de oscilação do pêndulo?

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Histogramas

!   Histogramas são gráficos nos quais pode-se visualizar a distribuição dos dados obtidos

!   No eixo-x coloca-se intervalos de ocorrência das medidas efetuadas

!   No eixo-y coloca-se uma variável cuja amplitude reflita a probabilidade de obter um valor em um determinado intervalo de resultados (canais)

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Tipos de histogramas

!   Número de ocorrências –  Simplesmente conta-se o número de ocorrências em cada intervalo (canal)

para um determinado evento. –  Mais simples e rápido de ser obtido

!   Probabilidades ou frequências –  Determina-se a probabilidade de medir um evento em um certo intervalo. A

probabilidade é o número de ocorrências no intervalo dividido pelo número total de medidas.

–  O histograma é independente do número de medidas efetuadas !   Densidade de probabilidades

–  O valor graficado corresponde à razão entre a probabilidade de ocorrência para um dado intervalo e o tamanho desse intervalo.

–  Muito útil, pois o histograma é totalmente independente da escolha do intervalo e do número de medidas efetuadas.

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Como fazer um histograma

!  Escolher a largura dos canais do histograma !  Escolher o centro de cada canal (tomar cuidado para

não sobrar espaços vazios) !  Contar o número de ocorrência para cada canal !  Obter a frequencia para cada canal e/ou a densidade

de probabilidade –  Depende do tipo de histograma

!  Desenhar o histograma em papel gráfico adequado (milimetrado, em geral)

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Exemplo

2 3 4 5 6 7

1

2

3

4

5

Período (s)

[2,3[ → 1

[3,4[ → 0

[4,5[ → 2

[5,6[ → 4

[6,7[ → 1

medida período (s)1 2,42 5,33 5,84 6,15 5,56 4,77 4,18 5,2

Núm

ero

de o

corr

ênci

as

55

Atividade: histograma dos dados

!  Ler a apostila, páginas 70-76.

!  Com o conjunto de dados obtidos nesta aula, cada grupo deve fazer um histograma de número de ocorrências e apresentá-lo ao professor no término da aula ou início da aula que vem.

!  Indique o valor médio e o desvio padrão, calculados anteriormente, no seu histograma