introdução à robótica
Post on 06-Jan-2016
23 Views
Preview:
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
Introdução à RobóticaIntrodução à RobóticaPROF. ANDRÉ LUÍS MARQUES MARCATO
E-mail: andre.marcato@ufjf.edu.br
PPEE – Sala 206 – 2102 3460
Aula Número: 02
CinemáticaCinemáticaPosição de um Corpo RígidoMatriz de RotaçãoComposição de Matrizes de RotaçãoÂngulos de Euler
Curso de “Introdução à Robótica” – Apresentação: 02 – Prof. André Marcato
• Manipulador: cadeia de corpos rígidos (ELOS ou LINKS) conectados através JUNTAS (ou JOINTS) de revolução ou prismáticas. Uma extremidade do manipulador é limitada por uma base. Na outra extremidade é acoplado do efetuador (end-effector)
• O movimento resultante da estrutura é obtido pelos movimentos elementares de cada ELO (LINK) em relação ao anterior.
• É necessário descrever a posição e orientação do efetuador (ou ferramenta).
• Objetivo: Derivar a equação cinemática direta (baseado em algebra linear) e tratar o problema cinemático inverso. Posição e orientação do efetuador como função das variáveis JUNTAS
(JOINTS) Estruturas cinemáticas: cadeia fechada e cadeia aberta Espaço operacional x Espaço de Juntas Técnica de calibração dos parâmetros do manipulador cinemático Dada a posição do orientador qual o valor das variáveis JUNTAS (JOINTS)
Introdução
Curso de “Introdução à Robótica” – Apresentação: 02 – Prof. André Marcato
Pose de Um Corpo Rígido (1)
• Um corpo rígido é completamente descrito no espaço pela sua posição e orientação (pose) em relação a um sistema de coordenadas (frame).
O-xyz
frame de referência ortonormal
x, y, z: Vetores unitários dos eixos do frame
0
0
1
x
0
1
0
y
1
0
0
z
Corpo Rígido
Posição de Um Ponto O’ do corpo rígido em relação ao frame de
referência O-xyz.
z
y
x
o
o
o
'
'
'
o'
Curso de “Introdução à Robótica” – Apresentação: 02 – Prof. André Marcato
Pose de Um Corpo Rígido (2)
• Para descrever a orientação do corpo rígido, é necessário considerar um frame ortonormal acoplado ao mesmo e expressar seus vetores unitários em relação ao frame de referência.
• Seja O’-x’y’z’ um frame com origem em O’ e x’, y’ e z’ são os vetores unitários dos eixos deste frame.
• Estes vetores podem ser expressos em relação ao frame de referência O-xyz através das equações:
Os componentes de cada vetor unitário são os ângulos diretoresângulos diretores dos
eixos do frame O’-x’y’z’ em relação ao frame de
referência O-xyz
Curso de “Introdução à Robótica” – Apresentação: 02 – Prof. André Marcato
Matriz de Rotação (1)
xzyx
T
z
y
x
xxxx
x
x
x
'
1
0
0
'''
1
0
0
'
'
'
Curso de “Introdução à Robótica” – Apresentação: 02 – Prof. André Marcato
Matriz de Rotação (2) - Propriedades z'y'x'R
33
33
x
x
T
T
T
T z'y'x'
z'
y'
x'
RR
z'z'y'z'x'z'
z'y'y'y'x'y'
z'x'y'x'x'x'
z'y'x'
z'
y'
x'
RRTTT
TTT
TTT
x
x
T
T
T
T33
33
100
010
001
RRT
11
11
11
Matriz Homogênea
Curso de “Introdução à Robótica” – Apresentação: 02 – Prof. André Marcato
Rotações Elementares (1)
• Considere as frames que podem ser obtidas via rotações elementares da frame de referência em torno de um dos seus eixos. Positivas: Se realizadas no sentido horário
• Suponha que a frame de referência (O-xyz) seja rotacionada por um ângulo em torno de eixo z para gerar a frame O’-x’y’z’
Curso de “Introdução à Robótica” – Apresentação: 02 – Prof. André Marcato
Rotações Elementares (2)
• Os vetores unitários da nova frame podem ser descritos por:
zyxz'
zyxy'
zyxx'
100
0cossin
0cos
sen
• Logo, a matriz de rotação da frame O’-x’y’z’ em relação a frame O-xyz (obtida através de uma rotação em torno do eixo z é:
Curso de “Introdução à Robótica” – Apresentação: 02 – Prof. André Marcato
Rotações Elementares (3)
• De maneira análoga, pode ser mostrado que as rotações através de um ângulo em torno do eixo y e através de um ângulo em torno do eixo x são respectivamente dadas por:
• Observa-se também que:
Curso de “Introdução à Robótica” – Apresentação: 02 – Prof. André Marcato
Representação de um Vetor (1)
• Considere o caso no qual a origem da frame de um corpo rígido coincide com a frame de referência
• o’ = 0, onde 0 denota um vetor nulo 3x1.
• Em relação ao frame de referência, um ponto P no espaço pode ser representado por:
• Ou, em relação ao frame O-x’y’z’:
Curso de “Introdução à Robótica” – Apresentação: 02 – Prof. André Marcato
Representação de um Vetor (2)
• Considerando que p e p’ são representações do mesmo ponto P, tem-se:
• A matriz de rotação R representa a matriz de transformação de vetor de coordenadas no frame O-x’y’z’ para o mesmo vetor no frame O-xyz.
Curso de “Introdução à Robótica” – Apresentação: 02 – Prof. André Marcato
Exemplo 2.1 (1)
• Considere dois frames com origem comum rotacionados entre si por um ângulo em torno do eixo z.
• Seja p e p’ os vetores de coordenadas do ponto P, expressos nos frames O-xyz e O-x’y’z’.
• Utilizando relações geométricas, a relação entre as coordenadas do ponto P nas duas frames é:
Curso de “Introdução à Robótica” – Apresentação: 02 – Prof. André Marcato
Exemplo 2.1. (2)
cos, xp
sin, yp
sincos ,, yxx ppp
Curso de “Introdução à Robótica” – Apresentação: 02 – Prof. André Marcato
Exemplo 2.1. (3)
cos, yp
sin, xp
cossin ,, yxy ppp
Curso de “Introdução à Robótica” – Apresentação: 02 – Prof. André Marcato
Exemplo 2.1. (4)
Curso de “Introdução à Robótica” – Apresentação: 02 – Prof. André Marcato
Rotação de um Vetor• A matriz de rotação pode ser também interpretada como um
operador matricial que permite a rotação de um vetor por um dado ângulo em torno de um eixo arbitrário no espaço.
• Seja p’ um vetor no frame de referência O-xyz, o produto Rp’ produz um vetor p com o mesmo módulo mas rotacionado em relação a p’ de acordo com a matriz R.
• A igualdade do módulo dos dois vetores pode ser provada observando que pTp = p’TRTRp’. Módulo ou Norma de um vetor: TTT Rp'p'R IRRRR 1T
p'p'pp TT
222 zyxa
Curso de “Introdução à Robótica” – Apresentação: 02 – Prof. André Marcato
Exemplo 2.2. (1)
• Considere o vetor p que é obtido pela rotação do vetor p’ no plano xy em torno de um ângulo sobre o eixo z do frame de referência.
• Seja (p’x, p’y, p’z) as coordenadas do vetor p’.
• O vetor p tem as seguintes componentes:
Curso de “Introdução à Robótica” – Apresentação: 02 – Prof. André Marcato
Exemplo 2.2. (2)
cosxp
sinyp
sincos yx ppp
Curso de “Introdução à Robótica” – Apresentação: 02 – Prof. André Marcato
Exemplo 2.2. (3)
cos'xp
sin'yp
sincos'' yx ppp
Curso de “Introdução à Robótica” – Apresentação: 02 – Prof. André Marcato
Exemplo 2.2. (4)
p'p
sin'cos'sincos yxyx pppp
cossincossin'sinsincoscos' yx pp
cos'sin'sinsin'cos'cos yxyx pppp
Curso de “Introdução à Robótica” – Apresentação: 02 – Prof. André Marcato
Resumo: Propriedades Matriz Rotação
• Descreve a orientação mútua entre dois frames coordenados. Seus vetores coluna são os ângulos diretores dos eixos do frame rotacionado em relação ao frame original.
• Representa a transformação de coordenadas entre um ponto expresso em dois frames distintos (com origem comum).
• É o operador que permite a rotação de um vetor no mesmo frame.
top related