integral definido
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Matemática 1 Anatolie Sochirca ACM DEETC ISEL
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Integral definido
1) Definição do integral definido.
∑∫=
→∆∞→
∆=n
iii
ixn
b
a
xufdxxf1
0
)()( lim , 1−−=∆ iii xxx , ( )iii xxu ,1−∈ .
2) Funções integráveis. ► A função )(xf continua em [ ]ba, é integrável em [ ]ba, . ► A função elementar )(xf é integrável em [ ] fDba ⊂, .
► A função )(xf com um número finito de pontos de descontinuidade de a1 espécie
em [ ]ba, é integrável em [ ]ba, . ► A função )(xf monótona em [ ]ba, é integrável em [ ]ba, .
3) Propriedades do integral definido.
► 0)( =∫a
a
dxxf ;
► ∫∫ −=a
b
b
a
dxxfdxxf )()( ;
► Se )(xf e )(xg são integráveis em [ ]ba, e R∈βα , , então a função
)()( xgxf ⋅+⋅ βα é integrável em [ ]ba, e
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[ ] ∫∫∫ +=⋅+⋅b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf )()()()( βαβα ;
► Se )(xf é integrável em [ ]ba, , então a função )(xf é integrável em [ ]ba, e
∫∫ ≤b
a
b
a
dxxfdxxf )()( , ba < ;
► Se )(xf e )(xg são integráveis em [ ]ba, , então a função )()( xgxf ⋅ é integrável
em [ ]ba, ; ► Se )(xf é integrável em [ ]ba, , então ela é integrável em [ ] [ ]badc ,, ⊂ ; ► Se )(xf é integrável em [ ]ca, e [ ]bc, , então ela é integrável em [ ]ba, e
∫∫∫ =+b
a
b
c
c
a
dxxfdxxfdxxf )()()( ;
► Se )(xf é integrável em [ ]ba, e 0)( ≥xf , então 0)( ≥∫b
a
dxxf , ba < ;
► Se )(xf e )(xg são integráveis em [ ]ba, e [ ]baxxgxf ,)()( ∈∀≥ , então
∫∫ ≥b
a
b
a
dxxgdxxf )()( , ba < ;
4) Teorema do valor médio.
► Sejam:
a) )(xf integrável e continua em [ ]ba, ,
b) )(xg integrável em [ ]ba, ,
c) 0)( ≥xg (ou 0)( ≤xg ) [ ]bax ,∈∀ ,
então [ ]ba,∈∃λ tal que
∫∫ =⋅b
a
b
a
dxxgfdxxgxf )()()()( λ .
Corolário: Se 1)( =xg , então
))(()( abfdxxfb
a
−=∫ λ .
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O valor ∫−=
b
a
dxxfab
f )(1
)(λ chama-se valor médio da função )(xf em [ ]ba, .
5) Teorema fundamental do calculo integral.
Seja )(xf integrável em [ ]ba, . Porque no integral ∫b
a
dxxf )( a variável de
integração é muda para qualquer [ ]bax ,∈ consideremos ∫=x
a
dttfxF )()( .
► Se )(xf é integrável em [ ]ba, , então a função ∫=x
a
dttfxF )()( é continua em
[ ]ba, .
► Se )(xf é continua em [ ]ba, , então a função ∫=x
a
dttfxF )()( é derivável em
[ ]ba, e
)()()( xfdttfxFx
a
=′
=′ ∫ .
Daqui concluímos que qualquer função continua em [ ]ba, admite primitiva em
[ ]ba, e uma das primitivas é a função ∫=x
a
dttfxF )()( .
6) Regra de Barrow. ► Se )(xf é continua em [ ]ba, e )(xF é uma primitiva de )(xf então:
)()()( aFbFdxxfb
a
−=∫ .
► Com ∫=)(
)(
)()(xb
xa
dttfxF e )(tf continua em [ ])(),( xbxa tem-se:
[ ]
.)())(()())((
)())(()())(())(())(()()()(
)(
xaxafxbxbf
xaxaFxbxbFxaFxbFdttfxFxb
xa
′⋅−′⋅=
=′⋅′−′⋅′=′−=′
=′ ∫
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7) Integração por partes. ► Se )(xuu = e )(xvv = têm derivadas continuas no segmento [ ]ba, , então
( ) ∫∫ ⋅′−⋅=′⋅b
a
b
a
b
a
dxxvxuxvxudxxvxu )()()()()()( ,
isto é,
( ) ∫∫ −⋅=b
a
b
a
b
a
xduxvxvxuxdvxu )()()()()()( .
8) Integração por substituição.
► Se a função )(xf é continua em [ ]ba, e a função [ ] [ ]batg ,,:)( →βα tem
derivada continua em [ ]βα , e bgag == )(,)( βα então
)())(()())(()( tdgtgfdttgtgfdxxfb
a∫∫∫ =′⋅=β
α
β
α
.
9) Aplicações do integral definido.
a) A área duma região plana.
► Se )(xf e )(xg são integráveis em [ ]ba, e
{ })()(:),( xfyxgbxaOxyyxA ≤≤∧≤≤∈= , então
[ ]∫ −=b
a
dxxgxfS )()( .
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b) Comprimento duma linha no plano. ► Se AB é um arco da linha plana dada por )(xfy = com [ ]bax ,∈ e )(xf
continua em [ ]ba, , então o comprimento l do arco é:
[ ]∫ ′+=b
a
dxxfl 2)(1 .
► Se AB é um arco da linha plana dada por )(ygx = com [ ]dcy ,∈ e )(yg
continua em [ ]dc, , então o comprimento l do arco é:
[ ]∫ ′+=d
c
dyygl 2)(1 .
c) Volume do sólido de revolução em torno do eixo xO .
► Com 0)()( ≥≥ xgxf e [ ]bax ,∈ tem-se:
[ ]∫ −⋅=b
a
dxxgxfV )()( 22π .
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d) Volume do sólido de revolução em torno do eixo yO .
► Com 0)()( ≥≥ yy ψϕ e [ ]dcy ,∈ tem-se:
[ ]∫ −⋅=d
c
dyyyV )()( 22 ψϕπ .
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