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INTEGRAÇÃO NUMÉRICA
Profa. Luciana Monteramontera@facom.ufms.br
Faculdade de Computação – Facom/UFMS
Métodos Numéricos
Integração Numérica
• Integral definida
Integração Numérica
Integral definida
li õ• Aplicações
• Métodos Integração Numérica– Fórmula de Newton‐Cotesó u a de e o o es
• Método dos Trapézios
• Método de Simpson
Métodos Numéricos
Integral DefinidaIntegral Definida
Seja f uma função contínua no intervalo [a b] daSeja f uma função contínua no intervalo [a, b] daqual se conhece a primitiva F. O valor daintegral definida de f pode ser calculada usando ag f f pfórmula de Newton‐Leibniz:
)()()( aFbFdxxfIb
a a
Métodos Numéricos
Integração NuméricaIntegração Numérica
O ét d d i t ã é i i‐ Os métodos de integração numérica aproximamvalores de integrais definidas.
‐ A integração numérica é útil quando:‐ Não se conhece a função f. Tem‐se apenasç f puma tabela de valores para f.
‐ f é conhecida mas é muito complexa, o quedificulta a determinação de sua primitiva
Métodos Numéricos
Integração NuméricaIntegração Numérica
O ét d d i t ã é i i‐ Os métodos de integração numérica aproximamvalores de integrais definidas.
f é aproximada por uma função p, mais simples, cuja primitiva é mais fácil de se obtercuja primitiva é mais fácil de se obter.
dxxpdxxfIb
a
b
a)()(
Métodos Numéricos
Integração NuméricaIntegração Numéricaf é aproximada por uma função p, mais simples,
bb
cuja primitiva é mais fácil de se obter.
dxxpdxxfIb
a
b
a)()(
f(x)
Métodos Numéricosa b
Integração NuméricaIntegração Numéricaf é aproximada por uma função p, mais simples,
bb
cuja primitiva é mais fácil de se obter.
dxxpdxxfIb
a
b
a)()(
I = área delimitada por f(x) no intervalo [a, b]
f(x)
Métodos Numéricosa b
Integração NuméricaIntegração Numéricaf é aproximada por uma função p, mais simples,
bb
cuja primitiva é mais fácil de se obter.
dxxPdxxfIb
a
b
a)()( 1
f(x)
P1(x)
Métodos Numéricosa b
Integração NuméricaIntegração Numéricaf é aproximada por uma função p, mais simples,
cuja primitiva é mais fácil de se obter.
bb
dxxPdxxfIb
a
b
a)()( 1
I ≈ área delimitada por P1(x) no intervalo [a, b]
f(x)
P1(x)
Métodos Numéricosa b
Integração NuméricaIntegração Numérica
f(a)P1(x)
f(b)base_menor = f(a)base_maior = f(b)h = b – af(x)
f( ) h = b a
Área do Trapézio
ba
2)()(
2)__( bfafhmaiorbasemenorbaseh
Métodos Numéricos
22
Integração NuméricaIntegração Numérica
f(a)P1(x)
f(b)
f(x)f( )
ba
)()(2
)()( 1 bfafhdxxPdxxfIb
a
b
a
Métodos Numéricos
2aa
Integração NuméricaIntegração Numérica
ERRO
f(x)
P1(x)
f(x)
ba
Métodos Numéricos
ba
Métodos de Integração NuméricaMétodos de Integração Numérica
Método dos Trapézios
Método de Simpsonp
Métodos Numéricos
Método dos TrapéziosMétodo dos Trapézios
b
Seja . Considere a subdivisão do intervalo [a, b] em n
Subintervalos [x x ] de comprimento h > 0 Assim temos:
a
dxxf )(
Subintervalos [xi, xi+1] de comprimento h > 0. Assim temos:
Métodos Numéricos
Método dos Trapézios
b
Método dos Trapézios
Seja . Considere a subdivisão do intervalo [a, b] em n
Subintervalos [x x ] de comprimento h > 0 Assim temos:
a
dxxf )(
Subintervalos [xi, xi+1] de comprimento h > 0. Assim temos:
• h = (b – a)/n
• xi = a + ih, i = 0, ..., n
f(b)
f(x)f(a)f(b)
ba
Método dos Trapézios
b
Método dos Trapézios
Seja . Considere a subdivisão do intervalo [a, b] em n
Subintervalos [x x ] de comprimento h > 0 Assim temos:
a
dxxf )(
Subintervalos [xi, xi+1] de comprimento h > 0. Assim temos:
• h = (b – a)/n
• xi = a + ih, i = 0, ..., n
f(b)
f(x)f(a)f(b)
iI1
x hi
ba
i
xi xi+1
)(2
)( 11 iix
i ffhdxxPIi
Método dos TrapéziosMétodo dos Trapézios
Aproximação da área delimitada por f(x)Aproximação da área delimitada por f(x) pela área de 1 trapézio
f(x)
a b
Método dos TrapéziosMétodo dos Trapézios
Aproximação da área delimitada por f(x)Aproximação da área delimitada por f(x) pela somatória da área de n = 5 trapézios
ba
Método dos TrapéziosMétodo dos Trapézios
Aproximação da área delimitada por f(x)Aproximação da área delimitada por f(x) pela somatória da área de n = 5 trapézios
)()( 11
1
ii
x
i ffhdxxPIi
)(2
)( 11 iix
i ffdxxPIi
ba
Método dos TrapéziosMétodo dos Trapézios
Aproximação da área delimitada por f(x)Aproximação da área delimitada por f(x) pela somatória da área de n = 5 trapézios
)()( 11
1
ii
x
i ffhdxxPIi
)(2
)( 11 iix
i ffdxxPIi
n
ba
n
iiII
0
Método dos TrapéziosMétodo dos Trapézios
)(2
)( 11
1
ii
x
xi ffhdxxPI
i
ii
1
0
n
iiII
0i
Método dos TrapéziosMétodo dos Trapézios
)(2
)( 11
1
ii
x
xi ffhdxxPI
i
ii
1
0
n
iiII
1
01
0
2
n
iii
i
ffh
Método dos TrapéziosMétodo dos Trapézios
)(2
)( 11
1
ii
x
xi ffhdxxPI
i
ii
n
iiII
1
0
n
iii
i
ffh
1
01
0
2
nn ffffffffh 1322110 ...
2
Método dos TrapéziosMétodo dos Trapézios
)(2
)( 11
1
ii
x
xi ffhdxxPI
i
ii
1
0
n
iiII
1
01
0
2
n
iii
i
ffh
1322110 ...2 nn ffffffffh
1
1
01
10 2
22
n
ii
nn
iin fffhfffh
Método dos TrapéziosMétodo dos Trapézios
b
Seja . Considere a subdivisão do intervalo [a, b] em n
Subintervalos [x x ] de comprimento h > 0 Assim temos:
a
dxxf )(
Subintervalos [xi, xi+1] de comprimento h > 0. Assim temos:
• h = (b – a)/n• x = a + ih i = 0 n• xi = a + ih, i = 0, ..., n
1
0
2
n
in fffabI
12 in
Método dos TrapéziosMétodo dos Trapézios
Exemplo:
Seja o intervalo [3 0 3 6] e a seguinte integral:xf 1)(
Exemplo:
Seja , o intervalo [3,0, 3,6] e a seguinte integral:xxf )(
dxxf6,3
)( dxxf0,3
)(
Calcule:• o valor aproximado da integral para n = 1
l i d d i t l 6• o valor aproximado da integral para n = 6• o valor exato da integral
Método dos TrapéziosMétodo dos Trapézios
Exemplo:
Seja o intervalo [3 0 3 6] e n = 1 Calcule o valorxf 1)(
Exemplo:
Seja , o intervalo [3,0, 3,6] e n 1. Calcule o valor
aproximado da Integral:
xxf )(
6,3
dxxf6,3
0,3
)(
Método dos TrapéziosMétodo dos Trapézios
Exemplo:
Seja o intervalo [3 0 3 6] e n = 1 Calcule o valorxf 1)(
Exemplo:
Seja , o intervalo [3,0, 3,6] e n 1. Calcule o valor
aproximado da Integral:
xxf )(
6,3
dxxf6,3
0,3
)(
Solução:
a = 3,0b = 3,6
1
1
0
2
n
ii
n fffn
abI f0 = 1/3,0 = 0,333fn = 1/3,6 = 0,278n = 1
1833,0I
Método dos TrapéziosMétodo dos Trapézios
Exemplo:
Seja o intervalo [3 0 3 6] e n = 6 Calcule o valorxf 1)(
Exemplo:
Seja , o intervalo [3,0, 3,6] e n 6. Calcule o valor
aproximado da Integral:
xxf )(
6,3
dxxf6,3
0,3
)(
Método dos TrapéziosMétodo dos Trapézios
Solução:Solução:
a = 3,0 b = 3,6 n = 6h = (3 6 – 3)/6 = 0 1h = (3,6 – 3)/6 = 0,1
f0 = 1/3,0 = 0,3333 f1 = 1/3,1 = 0,3225f2 = 1/3,2 = 0,3125 f3 = 1/3,3 = 0,3030f4 = 1/3,4 = 0,2941 f5 = 1/3,5 = 0,2857f6 = 1/3,6 = 0,2778f6 1/3,6 0,2778
Método dos TrapéziosMétodo dos Trapézios
Solução:Solução:
2
10
n
in fffabI
2778033330
2 1
i
ifn
2857,02941,03030,03125,03225,02
2778,03333,01,0
8234,1*1,05158,13056,01,0
1823,0
Método dos TrapéziosMétodo dos Trapézios
Exemplo:Exemplo:
Seja , e o intervalo [3,0, 3,6]. Calcule o valor exato daxxf 1)(
Integral:dxxf
6,3
)(f0,3
)(
Método dos TrapéziosMétodo dos Trapézios
Solução:Solução:
)ln()(1)( xxFx
xf
63
x
)0,3()6,3()(6,3
0,3
FFdxxf
09861,128093,1)0,3ln()6,3ln(
18232,009861,128093,1
Método dos TrapéziosMétodo dos Trapézios
Exercício:
Seja , o intervalo [0, 1] e a seguinte integral:xexf )(
Exercício:
dxxf1
)(0
Calcule:• o valor aproximado da integral para n = 1• o valor aproximado da integral para n = 4• o valor aproximado da integral para n = 4o valor aproximado da integral para n 4• o valor exato da integral• o erro cometido em cada aproximação
Método dos TrapéziosMétodo dos Trapézios
Solução:
Valor aproximado para n = 1
Solução:
1
0
2
n
in fff
nabI
a = 0b = 1f0 = e0 = 1f e1 2 71828 12 in fn = e1 = 2,71828n = 1
85914,1271828,21
101
I
Método dos TrapéziosMétodo dos Trapézios
Solução:
Valor aproximado para n = 4
Solução:
1
0
2
n
in fff
nabI
a = 0b = 1f0 = e0 = 1 f1 = e1 = 2,71828f e2 f e3 12 in f2 = e2 = f3 = e3 = f4 = e4 = n = 4
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