ii encontro nacional de produtores e usuários de informações sociais, econômicas e territoriais...

II Encontro Nacional deprodutores e usuários de

informações sociais, econômicas e territoriais

Reinaldo Castro Souza, IEPUC, PUC-Rio

Co-autores:

Sheila C Zani & Eduardo A B da Silva

Rio de Janeiro, 21 de Agosto de 2006

OUTLINE

1) PRELIMINARES2) ALGORITIMO BASE DO X-113) FILTRO DE HENDERSON4) FILTRO PROPOSTO5) COMPARAÇÃO FHxFP & CONCLUSÕES

Princípios FundamentaisPrincípios Fundamentais

tttt ITSY Aditiva:

Principais relações entre a série original e seus componentes

tttt ITSY Multiplicativa:

Componentes independentes

Componentes dependentes

11

Métodos automáticos Métodos automáticos recomendadosrecomendados

Família X11 – USA/Canadá

TRAMO-SEATS – Banco da Espanha

11

X11 Criado nos anos 60/EUA

X11-ARIMA Anos 80/Canadá

X12-ARIMA Segunda metade dos

anos 90/EUA

Família X11Família X11

Três programas integram a família X11

11

(Ferramenta básica do modelo)

Esta ferramenta não implica a utilização a priori de conceitos ou de modelos sofisticados!

• para estimar a TENDÊNCIA e a SAZONALIDADE.

Família X11Família X11

Os três programas que integram a família X11 utilizam interativamente

Médias Móveis

11

X12 Reg_ARIMA.X12 Reg_ARIMA.

• X12-ARIMA

Baseado no mesmo princípio, mas possui um módulo chamado de Reg-ARIMA.

ARIMAModelo

ttt ZXY

regressão da variáveis deVetor

parâmetros deVetor

'

11

X12 Reg_ARIMA.X12 Reg_ARIMA.11

Algoritmo de baseAlgoritmo de base

Estimação da tendência-ciclo com uma média móvel. tX YMTt 122'

Estimação da componente sazonal-irregular. '''tttTYIS t

Estimação da série corrigida de variações sazonais.'' ~tt SYA

t

Estimação da componente sazonal com uma média móvel (3X3) sobre cada mês. '33

'ttX ISMS

t '

122''~

tttSMSS X

22

Algoritmo de baseAlgoritmo de base

Estimação da tendência-ciclo com uma média móvel de Henderson de 13 termos. '

13''

ttAHT

Estimação da componente sazonal-irregular. ''''tTYIS ttt

Estimação da componente sazonal com uma média móvel 3X5 sobre cada mês. ''

53''

ttX ISMSt

''122''''~

tttSMSS X

Estimação da série corrigida de variações sazonais. '''' ~tt SYA

t

22

Uma das dificuldades deste algoritmo é selecionar as médias móveis utilizadas nas etapas 1 e 3.

Basicamente, o algoritmo X11, corresponde a um duplo uso consecutivo do algoritmo apresentado trocando cada vez as médias móveis utilizadas.

O método X11 executa este algoritmo simples, utilizando médias móveis cuidadosamente escolhidas e refinando, pouco a pouco, as estimação das componentes através de iterações deste algoritmo.

Algoritmo de baseAlgoritmo de base22

Filtro de HendersonFiltro de Henderson

f

t k t kk p

M X X

O valor no instante t da série bruta é substituído por uma média ponderada dos p valores passados da série, o valor atual e os f valores futuros da série. A ordem desta média móvel é p+f+1. Quando p=f , se utilizam tantos valores passados como futuros e diz-se que a média móvel é centrada. k k Além disto, quando para todo k,diz-se que a média móvel é simétrica.

o Chama-se de média móvel de coeficientes

koperador designado por:

)( tXM

33

O problema consiste em:

Determinar os pesos destas médias móveis.

Resolver o problema da perda de pontos no

início e no fim da série ocasionada pelo uso damédia móvel.

Se diz então que as médias móveis são filtros lineares, filtros que permitem eliminar ou atenuar as oscilações associadas a algumas freqüências.

Filtro de HendersonFiltro de Henderson33

Para que um média móvel conserve um polinômio de grau d é necessário que seus coeficientes satisfaçam a:

Neste contexto, é óbvio que as condições de ordem ímpar são sempre satisfeitas se os filtros forem simétricos.

Em conseqüência, se uma média móvel conservar uma tendência polinomial de grau 2p, ela conservará, também, uma tendência polinomial de grau 2p+1.

1f

kk p

0f

jk

k p

k

1, ,j d

Filtro de HendersonFiltro de Henderson33

Empregada na série já corrigida das

variações sazonais.

2ª estimação da tendência

Médias Móveis de Henderson

A idéia de Henderson foi a de construir filtros simétricos que conservassem a tendência cúbica. Para isto, basta que o filtro conserve a tendência quadrática. Há vários pesos que satisfazem isto.

Filtro de HendersonFiltro de Henderson33

Filtro de HendersonFiltro de Henderson

Como:

Os filtros simétricos que conservam a tendência cúbica devem satisfazer as condições:

i) Pesos simétricos:

ii) Tendência Cúbica e

m

t k t kk m

Z X

k k

1k 2 0kk

33

Filtro de HendersonFiltro de Henderson

Há dois modos equivalentes de caracterizar os filtros de Henderson:

i) simétricos,

ii) preservando tendências cúbicas e

iii) com mínima variância da diferença terceira da série depois de aplicada a média móvel;

ou, o que é equivalente:

i) e ii) como descrito acima e,

iii') com mínima soma dos quadrados da terceira diferença dos coeficientes da média móvel.

A idéia de Henderson ... 33

Filtro de HendersonFiltro de Henderson

Logo, precisa-se:

minimizar

sujeito às restrições:

e ,

com

23m

kk m

1m

kk m

2 0m

kk m

k

k k

Esses dois critérios são equivalentes.

33

Os coeficientes que minimizarão a variância da terceira diferença de Zt são aqueles que minimizam a soma dos quadrados da terceira diferença dos próprios coeficientes.

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

( 1) ( 1) 16 3 11315

8 ( 1)(4 1)(4 9)(4 25)k

k p k p k p p k

p p p p p

2mp

Sendo:

Filtro de HendersonFiltro de Henderson33

k 23 13 9 7 5

- 11 -0,004278258

- 10 -0,010918114

- 9 -0,015686946

- 8 -0,014527476

- 7 -0,004947898

- 6 0,013430010 -0,019349845

- 5 0,038932891 -0,027863777

- 4 0,068303317 0,000000000 -0,040723982

- 3 0,097395471 0,065491784 -0,009872480 -0,058741259

- 2 0,121948951 0,147356513 0,118469766 0,058741259 -0,073426573

- 1 0,138317938 0,214336747 0,266556972 0,293706294 0,293706294

0 0,144060228 0,240057156 0,331139449 0,412587413 0,559440559

1 0,138317938 0,214336747 0,266556972 0,293706294 0,293706294

2 0,121948951 0,147356513 0,118469766 0,058741259 -0,073426573

3 0,097395471 0,065491784 -0,009872480 -0,058741259

4 0,068303317 0,000000000 -0,040723982

5 0,038932891 -0,027863777

6 0,013430010 -0,019349845

7 -0,004947898

8 -0,014527476

9 -0,015686946

10 -0,010918114

11 -0,004278258

CC

OO

EE

FF

II

CC

II

EE

NN

TT

EE

SSFiltro de HendersonFiltro de Henderson

Fator de redução da Fator de redução da variância:variância:

33

A escolha do tamanho dos filtros A escolha do tamanho dos filtros de Henderson no X11 :de Henderson no X11 :

A escolha do tamanho dessa média móvel é baseada no grau de irregularidade da série a ser amortecida. No caso da série mensal, usa-se uma média móvel de Henderson de 9, 13 ou 23 termos.

A escolha automática depende da razão .TI

n

t t

t

T

T

nT

2 11

1

1

n

t t

t

I

I

nI

2 11

1

1

Se Escolhe-se uma média móvel de Henderson de 9 termos;

se , escolhe-se uma média móvel de Henderson de 13 termos;

Nos demais casos; escolhe-se uma média móvel de Henderson de 23 termos.

1TI

49,31 TI

33

Médias móveis assimétricas:

É o calcanhar de Aquiles do método.

A idéia de Musgrave...

Problema parcialmente resolvido quando estendemos a série (modelos ARIMA).

Filtro de HendersonFiltro de Henderson33

Problemas :Problemas :

23m

kk m

m

mkk2i) Minimizar é de minimizar

ii) Serve para no máximo t=3

iii) Os filtros assimétricos associados aos filtros simétricos de Henderson foram construídos em um contexto completamente diferente da concepção dos filtros de Henderson.

iv) Antes de utilizar o filtro de Henderson a série passa necessariamente por duas filtragens:

M2x12 e M3x3, por exemplo.

33

Filtro PropostoFiltro PropostoUm filtro de comprimento N, ,

que conserve uma tendência de ordem deve ser tal que:

1 pNnp

t

1

)(pN

pn

k knfn tk , ,1 ,0

Definindo a transformada Z de f(n) como:

0k 0,

0k ,1ksendo:

1

)()()(pN

pn

n

n

n znfznfzF

(1)

44

As condições da equação (1) são equivalentes a:

11 F

01

zk

k

z

Ft., ,1 k

Uma função que satisfaz as equações acima é:

)(zF

)(11)(11 zGzzF

t

44 Filtro PropostoFiltro Proposto

12

1,,),()(min

pN

pnpNpnnfnf

),()(1

knfnpN

pn

k

dweF jw

pLpnng

2

1,,),()(min

zGzzFt 1111

tk , ,1 ,0 sujeito a

ou

dado que

44 Filtro PropostoFiltro Proposto

g

)1()1(

1

1

pLg

pg

pg

zzzzG pLpp

Definindo-se:

zGzzFt 1111

bAg 1

g 11 )1()1(11 pLpptzzzzzF

44 Filtro PropostoFiltro Proposto

Particularizando para o caso em que o filtro deve preservar a tendência cúbica, isto é, , temos que:

3t

4382281567023, klklklklklpA kl

221242623, pkpkpkpb kl

44 Filtro PropostoFiltro Proposto

2702562282820000

256270256228282000

22825627025622828200

282282562702562282820

228228256270256228282

022822825627025622828

00228228256270256228

000228228256270256

0000228228256270

A

0

0

2

24

26

24

2

0

0

b

077,0

308,0

706,0

175,1

469,1

175,1

706,0

308,0

077,0

g

0,0769-

0 0,000

0,0629

0,1119

0,1469

0,1678

0,1748

0,1678

0,1469

0,1119

0,0629

0,0000

0,0769-

Z

T=3; N=13

44 Filtro PropostoFiltro Proposto

CC

OO

EE

FF

II

CC

II

EE

NN

TT

EE

SS

55 Comparação FHxFPComparação FHxFP

SimulaçãoSimulação

• 200 observações• Série com tendência cúbica• Somada a uma componente aleatória

gerada de uma normal com média 0 e desvio padrão 1.

• Essa série tem as condições ideais para a utilização dos filtros, pois nenhuma componente sazonal está embutida na sua construção.

SimulaçãoSimulação

SimulaçãoSimulação

• Aplicaram-se os dois filtros, o proposto e o de Henderson, de tamanho 13

• Espera-se que, quando aplicados os filtros, as séries resultantes sejam o mais próximo possível da série limpa do ruído aleatório.

• Para testar o poder dos filtros, subtraíram-se da série simulada com ruído as séries filtradas pelos dois processos. Essas séries deveriam estar muito próximas do ruído gerado (com distribuição Normal (0,1)).

SimulaçãoSimulação

SimulaçãoSimulação

ConclusõesConclusões55

(i) O ajuste sazonal nos países são realizados, em sua maioria, pelos produtos da família X12 e TRAMO-SEATS

(ii) Método X12 está também disponível em alguns softwares comerciais de previsão, por exemplo, no FPW-XE (um dos mais difundidos e usados no mundo)

(iii) O ajuste sazonal na família X12 para a tendência e a sazonalidade é realizada por usos exaustivos de MM, atuando como suavizadores

ConclusõesConclusões55

(iv) Filtro de Média Móvel de Henderson usado na extração final da tendência tem seus pesos obtidos pela minimização de uma função que não é a variância!!!

(v) Filtro Proposto, cujos coeficientes são obtidos pela minimização da variância, é mais geral, pois não requer simetria e preservam a tendência de qualquer ordem. Resultados ligeiramente superiores ao FH!!

OBRIGADO

reinaldo@ele.puc-rio.br