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Modelação, Identificação e Controlo Digital Métodos Não Paramétricos 1
A. Bernardino, J. Miranda Lemos IST-Secção de Sistemas e Controlo
Identificação por Métodos Não Paramétricos
Estimação da resposta impulsiva e da resposta em frequência
Análise espectral e métodos de correlação
A. Bernardino, J. Miranda Lemos.
Modelação, Identificação e Controlo Digital Métodos Não Paramétricos 2
A. Bernardino, J. Miranda Lemos IST-Secção de Sistemas e Controlo
Identificação de Sistemas
S u
w
v
y
u – entrada (actuação)
y – saída (medida de sensores)
w – perturbação conhecida (mensurável)
v – perturbação desconhecida
O objectivo da identificação de sistemas é obter modelos para o sistema S através de
conhecimento físico do sistema e da análise de dados experimentais. Pretende servir dois
propósitos:
• Análise e Simulação – obter modelos que descrevam o sistema na globalidade para
simular e analisar o seu comportamento.
• Controlo – obter modelos que sirvam para o projecto de controladores, em torno de
pontos de funcionamento especificados.
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A. Bernardino, J. Miranda Lemos IST-Secção de Sistemas e Controlo
Métodos não paramétricos
Um sistema não linear pode ser completamente caracterizado pela resposta
impulsiva, resposta ao escalão, ou pelas suas curvas de resposta em
frequência.
Os métodos não paramétricos visam determinar estas respostas, não na
forma de uma expressão matemática, mas como uma tabela (ou gráfico) em
função do tempo (resposta impulsiva, resposta ao escalão) ou da
frequência (resposta em frequência).
Modelação, Identificação e Controlo Digital Métodos Não Paramétricos 4
A. Bernardino, J. Miranda Lemos IST-Secção de Sistemas e Controlo
Porquê métodos não paramétricos?
Os métodos não paramétricos são úteis numa fase inicial do processo de
identificação.
Permitem ter uma primeira ideia das principais características dinâmicas
do processo, como a presença de atraso puro, as constantes de tempo
dominantes (que influenciam a escolha do intervalo de amostragem) e os
ganhos estáticos.
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Limitações dos Métodos Não Paramétricos
• A informação que fornecem é limitada e nem sempre adequada aos objectivos visados
(listas de números ou gráficos).
• Existem limitações ao nível dos sinais a aplicar. É necessário aplicar sinais “especiais” ou
aplicar métodos de pré/pós-processamento adequados.
• A identificação tem que ser feita com o processo em malha aberta, o que pode ser difícil de
obter nalguns sistemas.
• Estudaremos apenas métodos para sistemas lineares (discretos), embora sejam possíveis
generalizações para classes de sistemas não lineares.
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Exemplo – Resposta no tempo de um sistema de 2ª ordem
Testar o sistema com entradas escalão e observar a resposta no tempo
0 1 2 3 4 5 6 7 80
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4Step Response
Time (sec)
Am
plitu
de
tp
S
ts
tr
± 1%�� �
������
���
ωξω ++=
�
�� ω���≈
��� ξωπ−
=�
��
�
�� ξω���≈ �
�� ξ
ξπ
−−
= ��
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A. Bernardino, J. Miranda Lemos IST-Secção de Sistemas e Controlo
10-
10 0
10 1 -40
-30
-20
-10
0
10
20
30
ω (rad/sec)
Amplitude (dB)
Bode Diagram
-3
Resonant Peak, M r
Bandwidth, B
Exemplo – Resposta na frequência de um sistema de 2ª ordem
Testar o sistema com entradas sinusoidais (ou chirp) e traçar a resposta na frequência
�� ���
����
���
ωξω ++=
� ω≈ ��� ξωω −= ��
���
�
ξξ −=�
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Problemas
• Alguns sistemas não admitem a utilização de sinais escalão ou chirp.
• Quando o ruído e/ou perturbações não são desprezáveis, os resultados das
experiências são variáveis. Ao efectuar apenas uma experiência poderemos estar a
cometer erros importantes.
• Quase todos os sistemas apresentam não linearidades. Certas não-linearidades
podem ser invertidas mas outra não. É necessário escolher zonas de funcionameno
para o sistema que sejam o mais lineares possível.
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Não-linearidades estáticas
Aplicar sinais “lentos” que permitam avaliar a forma da função f.
Casos típicos:
• Saturação
• Zona Morta
• Folgas (Backlash)
f G(s) u f(u) y
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Efeitos de não linearidades estáticas comuns
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Algumas não linearidades estáticas podem ser invertidas
Quando as não linearidades são estritamente monótonas, podemos obter um modelo linear global
para o sistema, multiplicando por f-1. Caso contrário teremos que obter modelos lineares locais
(para pequenas variações em torno de pontos de funcionamento).
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Problema: Obter a Resposta ao Impulso na Presença de Ruído
Pretende-se estimar a resposta impulsiva de um sistema linear discreto, na
presença de ruído e perturbações.
� � � � � � � �� � � � � � �= +
� � � � � � ��
� � � � � � � �= −=
∞
��
u y
ν 0 50 100 150 200 250 300 350 400 4503
3.5
4
4.5
5
5.5
6
6.5
0 5 0 1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0 3 5 0 4 0 0 4 5 0
3
3 . 5
4
4 . 5
5
5 . 5
6
6 . 5
Sistema a identificar
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Estimação da resposta impulsiva por métodos convencionais
1. Aplicar um impulso � ��δ , à entrada do sistema. A saída do sistema � �� � , é a sua
resposta impulsiva – Dificuldade: energia fornecida pode ser insuficiente.
2. Aplicar um escalão à entrada do sistema. Uma vez que o impulso pode ser
obtido do escalão a partir de � � � � � ��� � �δ = − − , então a resposta impulsiva pode
ser obtida por � � � � � ��� � � � � �= − − - Dificuldade: diferenciar um sinal amplifica o
ruído.
3. Aplicar um sinal arbitrario x(k) e observar a saída y(k). O operador de
transferência do sistema H(q) pode ser calculado por divisão polinomial de Y(q)
por X(q) – Dificuldade : fraca robustez numérica de métodos de divisão
polinomial.
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Estimação da resposta impulsiva por correlação
Os métodos indicados anteriormente funcionam mal no caso de existirem perturbações. A
resposta impulsiva vem afectada dos valores da perturbação naquela experiência.
Uma forma de atenuar isto seria fazer várias experiências e calcular a média das respostas
impulsivas. No entanto, há métodos em que basta efectuar uma experiência.
Um desses métodos consiste na análise de correlação descrita a seguir.
O resultado do método é uma lista de números que constituem as primeiras N amostras da
resposta impulsiva do sistema a determinar.
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Princípio da Análise de Correlação
Considere-se o sistema discreto com resposta impulsiva { }�� .
A resposta deste sistema a um sinal { } �� � é descrita pelo somatório de convolução:
� � � � � ��
�
� � � � � �= − +=
∞
� ν
Vamos, de seguida, analisar estatisticamente qual a relação entre a entrada e a saída deste
sistema.
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Processos Estocásticos Discretos
Seja uma sequência discreta x = (x1, x2, ..., xn)T, indexada no tempo. Podemos
considerar a sequência discreta como a realização de n VAs X1, X2, ... Xn.
k
ξ
ki
ξi Várias
realizações
possíveis
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Funções de Média e Covariância
Dada a estrutura indexada no tempo das variáveis aleatórias, definem-se as
seguintes funções do tempo:
• Função média: ( ) � �� �� � � � �= =
• Função de covariância: ( ) ( )( )� � �� � ��� � � � � � �� �� � � � � � � �� �= = − −� �
• Função de cov. cruzada: ( ) ( )( )� � �� � ��� � � � � � �� �� � � � � � � �� �= = − −� �
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Processos estacionários
Um processo estocástico é chamado estacionário se a distribuição conjunta das suas
variáveis aleatórias, FX(ξξξξ), é invariante a translacções dos instantes de amostragem.
Isto implica:
• A sequência média é constante no tempo.
• As sequências de covariância só dependem da diferença entre os instantes de
amostragem:
� �� � � � �
� �� � �
�� �� �
�� ��
� �� � � � � � �
� �� � � �
= − = −= −
Abuso de
notação!
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Variância e função de correlação de um processo estacionário
• Variância do processo X : rx(0)
o Indica quão grandes são as flutuações do processo.
• Função de correlação do processo X : � �
� ���
��
�
� ��
�ρ =
o Indica as interdependencias temporais do processo entre instantes de tempo
separados de k unidades:
� Valores próximos de 1 significam correlação forte
� Valores próximos de zero indicam correlação baixa
� Valores próximos de -1 indicam correlação negativa
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Voltando ao nosso problema A análise de correlação baseia-se na função de covariância cruzada entre u e y, que é dada por
[ ] [ ] [ ]��������������
τντττ −+−−=−= �∞
=
� ��� �� ��� �����
��
Isto implica que { }���� , { }��� e { }� �� � sejam realizações processos estacionários com média
nula e funções de covariância:
[ ]������ ττ −= � � ��
[ ]������ ττ −= ��� �� �
= − − − � � �� � ��τ
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[ ] [ ] ( )τττνττ −+−=−+−−= ��∞
=
∞
=
������ ��� �� ��� �
�
�
�
��
������������
Poderemos calcular facilmente a resposta impulsiva de um sistema, a partir da sua função de
correlação cruzada entrada-saída, se:
• ( )τδτ ∝�� � - sinal tipo ruído branco
• �� =τ� � - { } �� � e { }� �� � incorrelacionados (exigindo experiências em malha aberta).
Nestas condições a função de covariância cruzada será proporcional à resposta impulsiva!
�� ��� ∝��
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Ruído Branco
Define-se ruido branco como uma sequência de variáveis aleatórias independentes, de média
nula e identicamente distribuidas (processo estacionário).
A função de covariância do ruído branco é dada por:
�� � �
� �
σ τττ
� == �
≠�
Assim, na análise de correlação, teremos:
�� �� � �ττ σ=
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Estimação da Resposta Impulsiva
A função de covariância cruzada entre a entrada e a saída é desconhecida, mas pode ser
estimada por
( ) �=
−=�
�
�
� � ���
��
������ ττ
Analogamente pode-se estimar a covariância na origem do sinal de entrada:
� �
�
�� � �
�
�
�
��
σ=
= �
A resposta impulsiva vem então dada por
�
� �� � ��
� �
�
�
� �τ τσ
=
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Filtro branqueador
No caso em que o sinal de teste u não é branco, podemos seguir o seguinte
procedimento:
Determinamos um filtro L(q) tal que o sinal � � � �� � � � � � �= seja branco.
Com este filtro determinamos o sinal � � � � � �� � � � � � �=
G(q)u(t) y(t)
u (t) y (t)FF
L L
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Trabalhar com os sinais � e �� corresponde à situação
G(q)u(t) y(t)u (t) y (t)
FFL L
-1
Como o filtro � �� � surge em série com o seu inverso, é válida a equação
�∞
=
+−=
�������
���� ��� ��� ν
que pode ser empregue para estimar a resposta impulsiva.
O filtro L(q) denomina-se filtro branqueador (whitening filter). A sua
determinação pode fazer-se recorrendo a modelos paramétricos e ao método
dos mínimos quadrados.
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Algoritmo CRA (Análise de Correlação)
1. Recolher os dados y(k), u(k), k=1, …, N
2. Subtrair as médias da amostra a cada sinal:
� � � ��
� ��
�
� � � � � �= −=�
�
� � �
� �
�
�
� � � � � �= −=�
�
�
3.Obter os sinais (L(q) é o filtro branqueador):
� � � � � �� � � � � � �= � � � �� � � � � � �=
(cont.)
Modelação, Identificação e Controlo Digital Métodos Não Paramétricos 27
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Algoritmo CRA (cont.)
4.Calcular as estimativas
� � � � � � ���
� � ��
�
� �
�
�
� �τ τ= −
=�
�
�
� � �λ� �
�
�
� �=
=�
� �
�
5.Estimar a resposta impulsiva por
�
� � �
��
�� �
�
�
� �
τ
τλ
=
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Implementação no MATLAB 5.3
(Control Syst. Toolbox)
O algoritmo CRA está implementado através da função cra
Formar uma colecção de pares entrada/saída (y é um vector coluna com
as amostras da saída, u da entrada):
z=[y u];
Calcular as primeiras 20 amostras da resposta impulsiva e pô-las no
vector ir (inclui branqueamento e gráfico);
ir=cra(z);
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Exemplo
Estimar a resposta impulsiva de G(s)
amostrado com h = 0.1s.
O sistema real está sujeito a uma perturbação aditiva à saída do tipo ruído
branco com desvio padrão 0.01.
�
�� �
�� �
� �=
+ +
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Método 1 – Introduzir um impulso à entrada do sistema
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100−0.01
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06True Impulse Response
Discrete Time 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100−0.04
−0.02
0
0.02
0.04
0.06
0.08Impulse Input and White Noise Disturbance: σ = 0.01
Discrete Time
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Método 2 – Introduzir um escalão à entrada do sistema e diferenciar a saída
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2Step Input and White Noise Disturbance: σ = 0.01
Discrete Time0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
−0.04
−0.02
0
0.02
0.04
0.06
0.08Output Differentiation with Step Input and White Noise Disturbance: σ = 0.01
Discrete Time
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Método 3 – Introduzir ruído branco à entrada e usar a Análise de Correlação
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100−0.02
−0.01
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06Impulse response estimate
lags0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
−0.01
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06Impulse response estimate
lags Com 900 pontos Com 9900 pontos
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Conselhos Práticos
Na análise de correlação devem-se utilizar apenas pontos da experiência que
correspondam ao regime estacionário. Nas experiências anteriores anularam-se os
primeiros 100 pontos porque correspondem ao regime transitório do sistema.
A dimensão da resposta impulsiva a usar na função ‘cra’ não deverá ser superior a
cerca de 1/10 do número total de pontos para que os valores da função de covariancia
sejam calculados com um número suficiente de pontos.
Quanto maior amplitude tiver a perturbação à saída, maior número de pontos deverão
ser utilizados.
Modelação, Identificação e Controlo Digital Métodos Não Paramétricos 34
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O Interface IDENT
Permite, de uma forma simples:
- Introduzir dados entrada-saída
- Visualizar os dados entrada-saída:
no tempo, na frequência).
- Pré-processar os dados: para retirar
média, escolher segmentos, filtrar.
- Efectuar a estimação por diversos
processos (não só análise de correlação).
- Visualizar os modelos obtidos: resposta
ao escalão, em frequência, mapas pólos-
zeros, fincões de transferência (quando
possível)
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