geometria fractal minicurso - lúcio fassarella-inicial · introdu˘c~ao o minicurso objetivos:...

Geometria FractalMinicurso

Prof. Lucio FassarellaDebora Souza Luz

Luana Kathelena Ribeiro Brandao

Universidade Federal do Espırito Santo

lucio.fassarella@ufes.br

X Encontro Capixaba de Educacao Matematica.

Vitoria - ES, 23 a 25 de julho de 2015.

Prof. Lucio Fassarella Debora Souza Luz Luana Kathelena Ribeiro Brandao (UFES)Fractais 1 / 82

Sumario

1 IntroducaoDiretrizes curriculares para o ensino

2 Fragmentos da historia

3 Definicao efetiva de fractal

4 Atividades

5 Bibliografia e Referencias

Introducao

O minicurso

Objetivos: apresentar fatos basicos sobre os fractais, incluindofundamentos matematicos e propostas didaticas.

Metodologia: exposicao combinada com exercıcios.

Requisitos: vontade e disposicao para aprender.

Suporte: site (slides, atividades,...):

http://www.luciofassarella.net/ensino/minicursos/2015fractal

Introducao

O minicurso

Introducao

O minicurso

Introducao

O minicurso

Introducao

O minicurso

Introducao

“Hoje, ninguem que nao tenha familiaridade com os fractais seraconsiderado cientificamente alfabetizado.”John A. Wheeler

Geometria Fractal e um tema da Matematica que pode ser discutido emdiversos nıveis de profundidade e complexidade, desde o nıvel elementarate nıvel avancado onde ainda ha questoes em aberto.

No ambito da Educacao Basica, os fractais podem ser abordados nocontexto de outros temas, como fonte de problemas ou como topicotransversal (no qual sao combinados conceitos de aritmetica, algebra egeometria).

O professor de Matematica pode descobrir algumas orientacoes nosParametros Curriculares Nacionais (PCN) e noCurrıculo Basico da Escola Estadual (ES)!

Introducao

Introducao Diretrizes curriculares para o ensino

Diretrizes para o Ensino: PCNs

Sobre o ensino de Geometria, as Orientacoes EducacionaisComplementares aos Parametros Curriculares Nacionais (PCN+) nosremetem aos fractais na seguinte declaracao:

“E importante destacar que este tema estruturador [viz. aGeometria] pode desenvolver no aluno todas as habilidadesrelativas a medidas e grandezas, mas pode faze-lo tambemavancar na percepcao do processo historico de construcao doconhecimento matematico, e e especialmente adequado paramostrar diferentes modelos explicativos do espaco e suas formasnuma visao sistematizada da Geometria com linguagens eraciocınios diferentes daqueles aprendidos no ensino fundamentalcom a geometria classica euclidiana. ”

[Brasil–MEC, p.125]

Diretrizes para o Ensino: PCNs

Sobre o ensino de Geometria, as Orientacoes EducacionaisComplementares aos Parametros Curriculares Nacionais (PCN+) nosremetem aos fractais na seguinte declaracao:

“E importante destacar que este tema estruturador [viz. aGeometria] pode desenvolver no aluno todas as habilidadesrelativas a medidas e grandezas, mas pode faze-lo tambemavancar na percepcao do processo historico de construcao doconhecimento matematico, e e especialmente adequado paramostrar diferentes modelos explicativos do espaco e suas formasnuma visao sistematizada da Geometria com linguagens eraciocınios diferentes daqueles aprendidos no ensino fundamentalcom a geometria classica euclidiana. ”

[Brasil–MEC, p.125]

Diretrizes para o Ensino: CBEE

O Curriculo Basico da Escola Estadual estabelecepara o Ensino Medio que a disciplina de Matematicadeve ser ensinada com os seguintes objetivos, dentreoutros [Espırito Santo – SEDU, pp.75-78]:

“Estimular o espırito de investigacaoe desenvolver a capacidade deresolver problemas.”

“Relacionar os conhecimentosmatematicos com a cultura e asmanifestacoes artısticas e literarias.”

“Estabelecer relacao direta com atecnologia em uma via de mao dupla:como a Matematica colabora nacompreensao e utilizacao dastecnologias e como as tecnologiaspodem colaborar para a compreensaoda Matematica.”

“Possibilitar situacoes que levem oestudante a validar estrategias eresultados, de forma que possamdesenvolver o raciocınio e processos,como intuicao, inducao, deducao,analogia, estimativa, e utilizaremconceitos e procedimentosmatematicos, bem como instrumentostecnologicos disponıveis.”

[Espırito Santo – SEDU, p.108]

“A palavra-chave e‘contextualizacao ’e a metae ensinar uma Matematicapara formar os cidadaoscrıticos exigidos pelasociedade dialogica. Assim,se deve:

Fazer menos... aulaexpositiva, ..., avaliacao dealgoritmos, ...

Fazer mais...orientacao, motivacao, ...,descoberta e busca, ...visualizacao, ... ”

A Geometria Fractal aparece noCBEE como conteudo do 2o . anodo Ensino Medio, sendo temaadequado para desenvolveralgumas competencias ehabilidades especıficasestabelecidas no documento.

Competencias

“Perceber a beleza dasconstrucoes matematicas,muitas vezes expressa nasimplicidade, na harmonia ena organicidade de suasconstrucoes; ”

“Reconhecer relacoes entre amatematica e as outrasareas do conhecimento,percebendo sua presenca nosmais variados campos deestudo e da vida humana. ”

Habilidades

“Identificar transformacoesgeometricas e ter sensibilidadepara relacionar a geometria comas artes e com as diferentesculturas; ”

“Perceber a beleza dos Fractaise seu uso em problemas atuais,entendendo suas construcoes. ”

Conteudo

“A Geometria dos Fractais. ”

Competencias

Habilidades

Conteudo

Competencias

Habilidades

Conteudo

Diretrizes para o Ensino: Motivacoes

Motivos para abordar a geometria fractal no ensino basico daMatematica:

Relacao com outras disciplinas matematica e areas cientıficas;

Descricao de formas e padroes naturais e artificiais;

Ilustracao das aplicacoes tecnologicas da Matematica;

Experiencia com a beleza estetica e relacao com a arte;

Tema instigante, passıvel de ser abordado em atividades abertas eexploratorias.

Diretrizes para o Ensino: Didatica...

Como abordar adequadamente a Geometria Fractal na EducacaoBasica?

O professor de Matematica contemporaneo e instado a saber responderessa pergunta satisfatoriamente.

Embora a geometria fractal pareca complexa, nao e difıcil compreende-la etambem nao e difıcil aborda-la de modo a satisfazer as expectativasexpressas nos PCN e CBEE:

Basta ter conhecimento e competencia didatica!

Fragmentos da historia

Fragmentos da Historia

Seculo XIX

Os matematicos descobriram a existencia de objetos estranhos, possuindoalgumas propriedades “normais ”e outras caracterısticas “paradoxais ”.Tais objetos foram considerados patologicos e chamados (por alguns)monstros.

. O Conjunto de Cantor (1845-1918) foi um dos primeiros e mais simples“monstros ”descobertos:

Seculo XIX

Os matematicos descobriram a existencia de objetos estranhos, possuindoalgumas propriedades “normais ”e outras caracterısticas “paradoxais ”.Tais objetos foram considerados patologicos e chamados (por alguns)monstros.

. O Conjunto de Cantor (1845-1918) foi um dos primeiros e mais simples“monstros ”descobertos:

Seculos XIX – XX

. A Curva de Weierstrass (1815-1894) e o grafico da funcao deWeierstrass, uma funcao real contınua que nao e diferenciavel em nenhumponto:

Wλ,s (x) =∞∑

sin(λkx

, x ∈ R [λ > 1, s ∈ (0, 1)]

Aproximacoes da Curva de Weierstrass podem ser obtidas pelotruncamento da serie que a define.

Seculos XIX – XX

. A Curva de Weierstrass (1815-1894) e o grafico da funcao deWeierstrass, uma funcao real contınua que nao e diferenciavel em nenhumponto:

Wλ,s (x) =∞∑

sin(λkx

, x ∈ R [λ > 1, s ∈ (0, 1)]

Aproximacoes da Curva de Weierstrass podem ser obtidas pelotruncamento da serie que a define.

Seculos XIX – XX

Para λ = 1/2 e s = 2/3, com truncamento emk = 1 (verde) , k = 5 (azul) , k = 10 (vermelho):

-3 -2 -1 1 2 3

Figura: Graficos de aproximacoes da funcao de Weierstrass no intervalo [−π, π]

Seculos XIX – XX

. A Curva de Peano (1852-1932) e uma curva contınua que “preenche ”oplano:

Figura: Etapas iniciais da construcao da Curva de Peano.

Seculos XIX – XX

. A Curva de Hilbert (1862-1943) tambem e curva contınua que“preenche ”o plano.

Figura: Etapas iniciais da construcao da Curva de Hilbert.

Seculos XX

Com o desenvolvimento da Teoria do Caos no seculo XX muitos outros“monstros ”foram descobertos na dinamica do fenomenos naturais; nessecontexto, eles foram chamados “atratores estranhos ”.

Figura: Atrator de Lorenz: relacionado a descricao da conveccao atmosferica

Seculo XX

Benoıt Mandelbrot (1924-2010)foi um Matematico nascido naPolonia que cresceu na Franca etrabalhou nos EUA.

Trabalhandona IBM, Mandelbrot foiconfrontado com um problema deruido em sinais telegraficos;analisando esses ruidos, elepercebeu que eles tinham tinhauma estrutura semelhante aquelado conjunto de Cantor. Comnotavel criatividade, Mandelbrotcompreendeu o fenomeno eresolveu o problema da IBMintroduzindo novos conceitosmatematicos.

Figura: Benoıt Mandelbrot

Ao final do seu trabalho,Mandelbrot havia descoberto osfractais.

Seculo XX

Benoıt Mandelbrot (1924-2010)foi um Matematico nascido naPolonia que cresceu na Franca etrabalhou nos EUA. Trabalhandona IBM, Mandelbrot foiconfrontado com um problema deruido em sinais telegraficos;analisando esses ruidos, elepercebeu que eles tinham tinhauma estrutura semelhante aquelado conjunto de Cantor.

Comnotavel criatividade, Mandelbrotcompreendeu o fenomeno eresolveu o problema da IBMintroduzindo novos conceitosmatematicos.

Seculo XX

Benoıt Mandelbrot (1924-2010)foi um Matematico nascido naPolonia que cresceu na Franca etrabalhou nos EUA. Trabalhandona IBM, Mandelbrot foiconfrontado com um problema deruido em sinais telegraficos;analisando esses ruidos, elepercebeu que eles tinham tinhauma estrutura semelhante aquelado conjunto de Cantor. Comnotavel criatividade, Mandelbrotcompreendeu o fenomeno eresolveu o problema da IBMintroduzindo novos conceitosmatematicos.

Seculo XIX

Depois de realizar trabalhos teoricospioneiros, Mandelbrot escreveu olivro The Fractal Geometry ofNature. Este livro se tornou celebre ebastante influente no seculo XX,tendo motivado a aplicacao dosfractais em diversas areas da ciencia.......

Posteriormente, Mandelbrot foireconhecido como um dos maiores emais influentes matematicos daHistoria.

Seculo XXI

Ao longo do Seculo XX, verificou-seque muitas estruturas complexaspodem ser descritas em termos defractais.

Ja no Seculo XXI, a geometriafractal e uma area consolidada daMatematica, e suas aplicacoescientıficas e tecnologicas estaobastante difundidas.

Seculo XXI

- Fractais descrevem estruturas naturais complexas

Figura: Conjunto de Mandelbrot (esquerda) elinha costeira perto da Baıa de Hudson (direita)

Seculo XXI

- Fractais descrevem estruturas biologicas complexas

Seculo XXI

- Fractais descrevem estruturas biologicas complexas

Figura: Modelo fractal de pulmaohumano Figura: Modelo fractal de coracao

humano

Seculo XXI

- Fractais sao usados na construcao de equipamentos eletronicos

Figura: Antena de celular com formatodo fractal Tapete de Sierpinski.

G. Tsachtsiris et.al: A printed folded Koch monopole antennafor wireless devices. Laboratory of Electromagnetics, Dept. ofElectrical and Computer Engineering, University of Patras:Greece, 2003.

G. Konstantatos et.al: Finite element modeling of Minkowskimonopole antennas printed on wireless devices. Laboratory ofElectromagnetics, Department of Electrical and ComputerEngineering, University of Patras: Greece, 2004.

Seculo XXI

- Fractais sao usados emcriacoes artısticas

- artes plasticas,- decoracao,- moda- animacao,- cinema,- etc.

Figura: Arte com o triangulo deSierpinski

Seculo XXI

- Fractais sao usados emcriacoes artısticas

- artes plasticas,- decoracao,- moda- animacao,- cinema,- etc.

Figura: Arte com o triangulo deSierpinski

Definicao efetiva de fractal

Definicao de Fractal

Efetivamente, um fractal e um objeto que possui as seguintespropriedades:

Auto-similaridade: o “todo e semelhante a suas partes”;

Construcao recursiva: a estrutura inteira pode ser obtida pelaaplicacao iterada de uma lei simples;

Dimensao fracionaria: a dimensao de Hausdorff-Besicovitch ediferente da dimensao topologica.

Essa “definicao ”nao e rigorosa, mas e suficiente para uma abordagemintuitiva no Ensino Medio.Nesse nıvel, o tratamento conceitual rigoroso deve ser evitado pelo bem daenfase em outros aspectos da Matematica.

Fractal: Conjunto de Cantor

O Conjunto de Cantor e o conjunto dos pontos do segmento inicial quesobram apos o processo ser repetido indefinidamente!

Algoritmo de construcao do Conjunto de Cantor:

‘Nıvel 1’: segmento de reta.

‘Nıvel n ≥ 2 ’: divida os segmentos do ‘Nıvel n − 1’em tres partescongruentes e elimina-se suas partes intermediarias.

O Conjunto de Cantor e Auto-Semelhante: cada parte do Conjunto deCantor e semelhante ao conjunto inteiro!

Fractal: Triangulo de Sierpinski

O Triangulo de Sierpinski e o conjunto dos pontos do triangulo inicial quesobram apos o processo ser repetido indefinidamente!

Algoritmo de construcao do Triangulo de Sierpinski:

‘Nıvel 1’: Triangulo

‘Nıvel n ≥ 2 ’: Divide-se os triangulos do ’Nıvel n-1’ em quatro partescongruentes e elimina-se os triangulos centrais.

O Triangulo de Sierpinski e Auto-Semelhante: cada parte doTriangulo de Sierpinski e semelhante ao conjunto inteiro!

Atividade 1: Fractal Arvore

Lei de construcao do fractal arvore:

– Nıvel 1: Segmento de reta na posicao vertical, com base etopo.

– Nıvel 2: No topo do segmento inicial justaponha doissegmentos com comprimento igual a metade docomprimento do segmento inicial de modo que o anguloagudo entre quaisquer dois deles seja de 1200.

– Nıvel n ≥ 3: Nas extremidades livres dos segmentos do‘Nıvel n − 1’ justaponha dois segmentos com comprimentoigual a metade do comprimento dos segmentos do nıvelanterior de modo que o angulo agudo entre quaisquer doisdeles seja de 1200.

Desenhe o Fractal Arvore ate o nıvel 4!

Desenho do Fractal Arvore ate o Nıvel 9!

Definicao de Fractal: Dimensao Fractal

No Ensino Medio, a dimensao fractal pode ser definida de modo ”operacional”e

seu calculo deve ser ilustrado atraves de alguns exemplos, comecando dos mais

simples.

A dimensao D de um objeto auto-semelhante construıdo iterativamente edefinida pela relacao entre dois nıveis sucessivos da construcao, atraves daseguinte formula que envolve:

Fator de Escala E entre os “tamanhos”das componentes em nıveissucessivos.Fator de proporcao N entre o numero de componentes de nıveissucessivos.

simples.

Dimensao Fractal de um Segmento de Reta

Podemos considerar um segmento de reta como um objetoauto-semelhante, com suas partes definidas por uma lei de construcaorecursiva.

Nıvel 1: segmento inicial

Nıvel 2: dividir o segmentoinicial em dois segmentoscongruentes

Nıvel 3: dividir de cadasegmento do Nıvel 2 em doissegmentos congruentes

Nıvel n: dividir cada segmentodo “Nıvel n − 1 ”em doissegmentos congruentes

> Fator de escala entre nıveis sucessivos: E = 2> Fator de proporcao entre o numero de componentes de nıveisconsecutivos: N = 2

Dimensao Fractal de um Retangulo

Podemos considerar um retangulo como um objeto auto-semelhante, comsuas partes definidas por uma lei de construcao recursiva.

Nıvel 1: retangulo inicial;

Nıvel 2: dividir o retangulo inicial emquatro retangulos congruentes;

Nıvel n: dividir cada retangulo de“Nıvel n − 1”em quatro retanguloscongruentes.

Dimensao Fractal de um Retangulo

Podemos considerar um retangulo como um objeto auto-semelhante, comsuas partes definidas por uma lei de construcao recursiva.

Nıvel 1: retangulo inicial;

Nıvel 2: dividir o retangulo inicial emquatro retangulos congruentes;

Nıvel n: dividir cada retangulo de“Nıvel n − 1”em quatro retanguloscongruentes.

Dimensao Fractal de um Paralelepıpedo

Podemos considerar um paralelepıpedo como um objeto auto-semelhante,com suas partes definidas por uma lei de construcao recursiva.

Nıvel 1: paralelepıpedo inicial

Nıvel n: dividir cada paralelepıpedode “Nıvel n − 1”em oitoparalelepıpedos congruentes

> Fator de escala entre nıveis sucessivos: E = 2> Fator de proporcao entre nıveis sucessivos: N = 8

Atividade 2: Dimensao Fractal do Conjunto de Cantor

Calcule a dimensao fractal do Conjunto de Cantor.

Atividade 2: Dimensao Fractal do Conjunto de Cantor

Calcule a dimensao fractal do Conjunto de Cantor.

Atividades

Atividades com fractais...

Os fractais podem tematizar muitas atividades em sala de aula, taiscomo:

1) Construcao (concreta) de fractais: desenho, dobradura, etc.2) Inferencia da lei de construcao de fractais: escrita matematica.3) Calculo da dimensao fractal de objetos geometricos.4) Exploracao algebrica de fractal: de deducao de formulas, etc.Questoes exploratorias podem ser abordadas com o auxılio de uma tabela pararegistrar e organizar os resultados.Geralmente, surgem formulas que envolvem Progressoes Aritmeticas eProgressoes Geometricas, cuja validade pode ser demonstrada mediante oPrincıpio da Inducao.

5) Exploracao computacional de fractais...

As possıveis atividades com fractais tem graus variados de complexidade, podendoser desenvolvidas com pessoas com maior ou menor conhecimento matematico.As questoes algebricas sao recomendadas apenas para alunos do Ensino Medio.

Atividades

1) Construcao (concreta) de fractais: desenho, dobradura, etc.

2) Inferencia da lei de construcao de fractais: escrita matematica.3) Calculo da dimensao fractal de objetos geometricos.4) Exploracao algebrica de fractal: de deducao de formulas, etc.Questoes exploratorias podem ser abordadas com o auxılio de uma tabela pararegistrar e organizar os resultados.Geralmente, surgem formulas que envolvem Progressoes Aritmeticas eProgressoes Geometricas, cuja validade pode ser demonstrada mediante oPrincıpio da Inducao.

Atividades

1) Construcao (concreta) de fractais: desenho, dobradura, etc.2) Inferencia da lei de construcao de fractais: escrita matematica.

3) Calculo da dimensao fractal de objetos geometricos.4) Exploracao algebrica de fractal: de deducao de formulas, etc.Questoes exploratorias podem ser abordadas com o auxılio de uma tabela pararegistrar e organizar os resultados.Geralmente, surgem formulas que envolvem Progressoes Aritmeticas eProgressoes Geometricas, cuja validade pode ser demonstrada mediante oPrincıpio da Inducao.

Atividades

1) Construcao (concreta) de fractais: desenho, dobradura, etc.2) Inferencia da lei de construcao de fractais: escrita matematica.3) Calculo da dimensao fractal de objetos geometricos.

4) Exploracao algebrica de fractal: de deducao de formulas, etc.Questoes exploratorias podem ser abordadas com o auxılio de uma tabela pararegistrar e organizar os resultados.Geralmente, surgem formulas que envolvem Progressoes Aritmeticas eProgressoes Geometricas, cuja validade pode ser demonstrada mediante oPrincıpio da Inducao.

Atividades

Atividade 3: Dimensao Fractal do Triangulo de Sierpinski

Calcule a dimensao fractal do Triangulo de Sierpinski.

Atividades

Atividade 3: Dimensao Fractal do Triangulo de Sierpinski

Calcule a dimensao fractal do Triangulo de Sierpinski.

Atividades

Atividade 4: Dimensao Fractal do Fractal Arvore

Calcule a dimensao fractal do Fractal Arvore.

Atividades

Atividade 4: Dimensao Fractal do Fractal Arvore

Calcule a dimensao fractal do Fractal Arvore.

Atividades

Atividade 5: Trimino

Trimino no nıvel 0:

Atividades

Trimino no nıvel 1...:

Atividades

Desenhe o Trimino de Nıvel 5.Prof. Lucio Fassarella Debora Souza Luz Luana Kathelena Ribeiro Brandao (UFES)Fractais 69 / 82

Atividades

QUESTOES:

1) Defina a ”lei de construcao”do Trimino.

2) Calcule a dimensao fractal do Trimino.

3) Determine quantos quadrados sao acrescentadosna construcao do ’Trimino de Nıvel n’ a partir do”Trimino de Nıvel n-1”.

4) Determine a area do ”Trimino de Nıvel n”.

5) Determine o comprimento da fronteira do’Trimino de Nıvel n’.

Atividades

QUESTOES:

1) Defina a ”lei de construcao”do Trimino.

2) Calcule a dimensao fractal do Trimino.

3) Determine quantos quadrados sao acrescentadosna construcao do ’Trimino de Nıvel n’ a partir do”Trimino de Nıvel n-1”.

4) Determine a area do ”Trimino de Nıvel n”.

5) Determine o comprimento da fronteira do’Trimino de Nıvel n’.

Atividades

Atividade 7: Exploracao algebrica no Triangulo deSierpinski

Considere o triangulo de Sierpinski e a notacao que segue:

Qn: quadrados acrecentados na construcao do nıvel n;An: area do triangulo de Sierpinski no nıvel n;Sn: comprimento da fronteira do triangulo de Sierpinski no nıvel n.

Atividades

Atividade 7: Exploracao algebrica no Triangulo deSierpinski

Preencha a tabela:

Atividades

Atividade 7: Cartao Fractal

Construa um Cartao Fractal com papel,cortes e dobraduras.

Esta e uma atividade ludica que pode ser realizada em turmas de Matematica dosnıveis Fundamental e Medio.

Atividades

Atividade 8: Construcao de fractais no Geogebra

No Geogebra, construa a curva de koch ate o nıvel 5.

Esta e uma atividade ludica que pode ser realizada em turmas de Matematica dosnıveis Fundamental e Medio.

Atividades

OBRIGADO!

Bibliografia e Referencias

Livros de divulgacao

Benoit Mandelbrot: The Fractal Geometry of Nature. 1982.

James Gleik: Caos - a criacao de uma nova ciencia. Gradiva, 1989.

Michel Janos: Geometria Fractal. Editora Ciencia Moderna: 2008.

Livros e artigos para ensino e aprendizagem

Ruy M. Barbosa: Descobrindo a geometria fractal na sala de aula.Editora Autentica: 2005.

E. M. Sallum: Fractais no Ensino Medio. RPM: vol. 57, 2005.

Shangzhi Li, Falai Chen, Yaohua Wu, Yunhua Zhang: TheMathematics Experiments. World Scientific, 2003: Chapter 12.

Maria C.C.S. Carvalho et.al.: Fractais: uma breve introducao.

Scientific American Brasil: Fractais: uma jornada pela dimensaooculta (DVD)Descricao (contracapa do DVD): “Os fractais, assim como o ar querespiramos, estao ao nosso redor. Suas formas irregulares e repetitivaspodem ser encontradas nas nuvens e nos troncos das arvores; nostalos do brocolis e nas formacoes rochosas das montanhas; ate mesmono ritmo das batidas do coracao humano. Neste documentarioproduzido pela NOVA/PBS, prestigiada produtora americana,partimos para uma jornada fascinante acompanhados por um grupode matematicos, determinados a decifrar as regras que governam ageometria fractal. Eles tentam mapear um territorio oculto, aomesmo tempo em que estimulam uma onda de inovacoes artısticas,cientıficas e medicas. Inovacoes promovidas por cineastas, designersde moda, fısicos e pesquisadores, que dao seus depoimentos apoiadospor incrıveis efeitos especiais.”

References I

Brasil, Ministerio da Educacao

PCN+: Orientacoes Educacionais Complementares aos Parametros CurricularesNacionais: Ciencias da Natureza, Matematica e suas Tecnologias

URL : http : //portal .mec .gov .br/seb/arquivos/pdf /CienciasNatureza.pdf(Acesso em 13/07/2015)

Espırito Santo, Secretaria da Educacao

Currıculo Basico da Escola Estadual

URL : http : //www .educacao.es.gov .br/download/

sedu curriculo basico escola estadual .pdf

(Acesso em 13/07/2015)

Franceli Dalberto, Sandra Eliza Vielmo

Fractais: uma abordagem da matematica do ensino medio no GeoGebra

VI Bienal da SBM: 2 a 7 de dezembro de 2012, Campinas - SP

References II

Antonio do Nascimento Gomes, Jose Antonio Salvador

Dobras, cortes, padroes... fractais no ensino de matematica

VI Bienal da SBM: 2 a 7 de dezembro de 2012, Campinas SP

J.C.P. Leivas

Imaginacao, intuicao e visualizacao: a riqueza de possibilidades daabordagem geometrica no currıculo de cursos de licenciatura em matematica

UFPR, 2009: Monografia

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