geometria descritiva a 11.º ano paralelismo resumo © ant ó nio de campos, 2009
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GEOMETRIA DESCRITIVA A11.º Ano
Paralelismo Resumo
© antónio de campos, 2009.
recta – recta, geral:
Rectas paralelas e complanares, sem ponto em comum, via os paralelos das suas projecções frontal e horizontal.
Uma recta oblíqua r é definida pelos pontos A (1; 2; 3) e B (2; 3; 5). Desenha as projecções de uma recta paralela à recta r e passando pelo ponto C (-1; 3; 2)
x
y ≡ z
A1
A2
B1
B2
C2
C1
r1
r2
s1
s2
recta de perfil – recta de perfil:
Rectas paralelas e complanares, sem ponto em comum, via rectas auxiliares.
Uma recta de perfil p definida pelos pontos A (1; 1; 5) e B (4; 2). Desenha as projecções de uma recta de perfil p’, paralela à recta p e passando pelo ponto M (-2; 3; 4).
x
y ≡ z
N2
r2
s2
s1
r1
M1
M2
N1
A recta auxiliar s paralela à recta r (derivada dos pontos A e M conhecidos e concorrentes com p e p’) localiza o ponto N, definindo a recta de perfil p’ paralela à recta de perfil p.
A1
A2
B1
B2
p1 ≡ p2p’1 ≡ p’2
recta – plano, geral:
Recta, sem ser parte do plano, paralela a uma recta do plano.
Uma recta r é definida pelos pontos A (-2; 1; 3) e B (-5; 4; 1). É dado um ponto C com as seguintes coordenadas (1; 2; 2). Determina os traços de um plano α, oblíquo, contendo o ponto C e paralelo à recta r, sabendo que fα faz, com o eixo x, um ângulo de 60º (a.d.).
x
y ≡ z
A1
A2
B1
B2
C1
C2
r2
r1
fα
s2
s1
F1
F2
H1
H2
hα
recta – bissector β1,3:
Recta não contida no bissector e paralela a uma recta do bissector, via recta com projecções simétricas.
Um plano de rampa, ρ, têm 3cm de cota e 4 cm de afastamento. Uma recta oblíqua, a, é paralela ao β1,3 e contém o ponto P (3; 2). A recta a faz a sua projecção horizontal com o eixo x num ângulo de 50º (a.d.). Determina as projecções do ponto de intersecção da recta a com o plano ρ.
x
P1
P2
fρ
hρ
a1
a2
F1
F2
H1
H2
fα
≡ hα ≡ i1
i2
I2
I1
A projecção frontal da recta a tem que ter o mesmo ângulo de 50º, pois é paralela ao β1,3.Para obter o ponto I (ponto de intersecção da recta a com o plano ρ), recorre-se ao método de intersecções entre rectas e planos: 1. conduzir, pela recta, um plano auxiliar (o plano α é um plano vertical que contém a recta); 2. determinar a recta de intersecção dos dois planos (a recta i, definida pelos seus traços, é a recta de intersecção do plano α com o plano ρ); 3. o ponto de intersecção das duas rectas (recta a e recta i) é o ponto I.
recta – bissector β2,4:
Recta não contida no bissector e paralela a uma recta do bissector, via recta com projecções paralelas.
Um plano de rampa, ρ, têm 3cm de cota e 4 cm de afastamento. Uma recta oblíqua, a, é paralela ao β1,3 e contém o ponto P (3; 2). A recta a faz a sua projecção horizontal com o eixo x num ângulo de 50º (a.d.). Determina as projecções do ponto de intersecção da recta a com o plano ρ.
x
P1
P2
fρ
hρ
a1
a2
F1
F2
H1
H2
fα
≡ hα ≡ i1
i2
I2
I1
A projecção frontal da recta a tem que ter o mesmo ângulo de 50º, pois é paralela ao β1,3.Para obter o ponto I (ponto de intersecção da recta a com o plano ρ), recorre-se ao método de intersecções entre rectas e planos: 1. conduzir, pela recta, um plano auxiliar (o plano α é um plano vertical que contém a recta); 2. determinar a recta de intersecção dos dois planos (a recta i, definida pelos seus traços, é a recta de intersecção do plano α com o plano ρ); 3. o ponto de intersecção das duas rectas (recta a e recta i) é o ponto I.
recta de perfil – bissector β1,3:
Recta não contida no bissector, e paralela a uma recta de perfil do bissector, via rectas auxiliares.
Uma recta h, horizontal (de nível), com 2 cm de cota, faz com o Plano Frontal de Projecção, um ângulo de 45º (a.e.). Uma recta de perfil p é paralela ao β1,3 e concorrente com a recta h num ponto com 4 cm de afastamento. Determina os traços do plano θ definido pelas duas rectas.
x
h2
h1
p1 ≡ p2
R1
R2
Para se conseguir ver a situação de paralelismo, recorre-se a uma recta de perfil p’, contido no β1,3.
Localiza-se dois pontos auxiliares da recta p’ e do β1,3, A e B. Depois vêm as rectas r e s, paralelas entre si, obtendo um segundo ponto da recta p, o ponto S.
p’1 ≡ p’2
A1
A2
B2
B1
r1
r2
s1
s2
S1
S2
Para determinar os traços do plano θ, recorre-se a uma outra recta horizontal (de nível), h’, paralela a h e concorrente com a recta p em S.
h’2
h’1
F1
F2
F’1
F’2
fθ ≡ hθ
A partir desse raciocínio, o exercício resultou na determinação dos traços de um plano definido por duas rectas horizontais paralelas – fθ fica definido por F e F’ (os traços frontais das rectas h e h’) e hθ é concorrente com fθ no eixo X e paralelo a h e h’ (rectas horizontais de um plano são paralelas entre si).
Nota que os traços de θ ficam coincidentes.
Uma outra forma de resolver o problema seria através do rebatimento do plano de perfil que contém a recta p, o que nos permitiria obter em rebatimento, e de forma simultânea, a recta p, paralela ao β1 ,3, e os traços de p nos planos de projecção.
recta de perfil – bissector β2,4:
Recta não contida no bissector, e paralela a uma recta do bissector, via rebatimento.
Uma recta de perfil p é paralela ao β2,4 e contém o ponto A (2; 5). Determina os traços a recta p nos planos de projecção.
x
p1 ≡ p2
A1
A2
≡ hπ ≡ fπ
≡ i1 ≡ i2
≡ e2
≡ fπr
≡ H2 ≡ F1(e1)
≡ hπr
ir
Ar
Fr ≡ F2
pr
H1
Hr
A solução passa pela utilização de um plano auxiliar de perfil π que contém a recta p.
Depois uma recta auxiliar de perfil passante i,
pertencente ao β2,4 , rebatida, permite desenhar a recta p rebatida, para depois obter as projecções de F e H da recta p.
plano – plano, geral:
Planos com mesma orientação e não coincidentes, com duas rectas concorrentes de um plano paralelas a duas rectas concorrentes de outro plano, via os traços dos planos (frontal e horizontal).
Os traços de um plano oblíquo α são concorrentes num ponto com –2 de abcissa, que fazem com o eixo x ângulos de 60º (a.d.) e 30º (a.e.), respectivamente em relação ao fα e hα. Determina os traços de um plano δ, paralelo ao plano α e passando pelo ponto P (3; 2; 3).
x
y ≡ zfα
hα
P1
P2
h2
h1
F1
F2
fδ
hδ
A solução passa pela utilização de uma recta auxiliar horizontal h, passando pelo ponto P, e portanto pertencente ao plano δ.
plano de rampa - plano de rampa:
Planos com mesma orientação e não coincidentes, com uma recta de um plano paralela a outra de outro plano, via rectas auxiliares.
Os traços frontal e horizontal do plano de rampa ρ, têm, respectivamente, 2 cm de cota e 3 cm de afastamento. Os traços frontal e horizontal do plano de rampa σ, têm, respectivamente, 4 cm de cota e 6 cm de afastamento. Determina se os dois planos de rampa são paralelos entre si.
x
fρ
hρ
fσ
hσ
F1
F2
H1
H2
r1
r2
s1
H’1
H’2
F’1
F’2
s2
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