função exponencial

Explorando as Funções Exponenciais com o auxílio do

Winplot

Universidade Federal de Viçosa Centro de Ciências Exatas Departamento de Matemática

Heitor Carvalho – 68117Lucas Silveira - 68112Matheus Brasiel – 68101Mayara Permanhane - 68204

• Links para baixar o Winplot:• http://www.winportal.com.br/winplot

Qualquer dúvida, consultem o seguinte arquivo: http://math.exeter.edu/rparris/peanut/Explorando%20W

http://pibid.mat.ufrgs.br/2009-2010/arquivos_publicacoes1/indicacoes_01/aplicacoes_winplot_PIBID_bahia1.pdfinplot%20-%20Vol%201.pdf

Função ExponencialSuponha que atualmente a dívida decerto município seja de 1 milhão dedólares e que, a partir de hoje, a cadadécada, a dívida dobre em relação aovalor devido na década anterior. Dessaforma, podemos construir a tabela aolado, na qual o tempo zero indica omomento atual.

TEMPO (EM DÉCADAS)

DÍVIDA (EM MILHÕES DE

DÓLARES)

0 1

1 2

3 8

4 16

5 32

X Y

Função ExponencialNote que, na segunda coluna, os valoressão potências de 2, ou seja, 20, 21, 22,23, 24, 25,...

Assim, para cada tempo x, em décadas,a dívida y, em milhões de dólares, podeser expressa pela função: y = 2x.

Função ExponencialNeste item, vamos estudar funçõescomo a desse exemplo, isto é, funçõesdo tipo y = ax, em que a é umaconstante real positiva e diferente de1.

DefiniçãoChama-se de função exponencial todafunção f: R→R*

+, tal que f(x) = ax, coma ϵ R*

+ e a ≠ 1.

Exemplos

Função 2x no Winplot1. Abra o programa Winplot no seu

computador.

2. Clique em “Janela” e, em seguida, “2-dim”.

3. Nesta nova janela, clique em “Equação”e em “Explícita”.

4. Na janela, digite em f(x) a função: 2^x.

1. Na mesma janela em que você fez ográfico da função f(x) = 2x, cliqueem “Equação” e em “Explícita”.

2. Na janela, digite em f(x) a função:(1/2)^x.

Obs.: O gráfico em vermelho representa a funçãof(x) = 2x, já o gráfico em azul é referente a funçãof(x) = (1/ 2)x.

Pergunta

O que você pôde observar nos gráficosdas funções digitadas anteriormente?

Possíveis respostas para a pergunta anterior

• Os gráficos têm sentidos opostos.

• Um gráfico é crescente e o outrodecrescente.

• Os gráficos se interceptam no ponto(0,1).

• Os gráficos não interceptam o eixodas abscissas (eixo x).

Todas as respostas anteriores estãocorretas. A seguir discutiremos um poucosobre os gráficos das funções exponenciais.

Gráficos da Função Exponencial

Vamos esboçar o gráfico de funçõesexponenciais a partir de alguns pontosobtidos por meio de uma tabela,conforme os exemplos a seguir.

a) f(x) = 2x

Atribuindo a x os infinitos valores reais obtemos o gráfico:

• D (f)= R• Im (f)= R+

*

• f é crescente em todo seu domínio

Atribuindo a x os infinitos valores reais obtemos o gráfico:

• D (g)= R• Im (g)= R+

*

• g é decrescente em todo seu domínio

Propriedades da função exponencial

P1) Sendo a >0 e a ≠ 1, tem-se: ax = ay

se, e somente se, x = y.

P2) A função exponencial f(x)= ax écrescente em todo seu domínio se, esomente se, a > 1.

P3) A função exponencial f(x)= ax édecrescente em todo seu domínio se,

e somente se, 0 < a < 1.

Atividade utilizando o Winplot

2) Suponha que as populações de dois vilarejosribeirinhos, A e B, situados ao longo das fronteirasde Alagoas, Bahia e Sergipe, as margens do rio SãoFrancisco, tenham as suas populações variando deacordo com as funções f(t) = 2t+2 + 75 e g(t) = 2t+1 +139, em que t é o tempo, em ano, e as expressõesf(t) e g(t) representam, respectivamente, o númerode indivíduos desses vilarejos. (Cânion do Rio SãoFrancisco entre os estados de Alagoas, Bahia eSergipe, 2011).

Construindo o Gráfico no Winplot

1. Abra o programa Winplot no seucomputador.

2. Clique em “Janela” e, em seguida, “2-dim”.

3. Nesta nova janela, clique em “Equação” e em“Explícita”.

4. Na janela, digite primeiro a função f(t).

5. Repita os passos 3 e 4 para desenhar ográfico de g(t).

Utilize o Winplot para auxiliar nestasatividades.

a) Determine o ponto (a,b), tal que

este ponto é a interseção dos gráficos dasfunções f e g.

Dica: utilize o gráfico construído no Winplot.

b) Daqui quantos anos os dois vilarejos terãoo mesmo número de indivíduos?

c) Daqui a sete anos, qual será o número deindivíduos do vilarejo A?

Agora você é o professor!Crie um exercício envolvendo funçãoexponencial utilizando o softwareWinplot e envie para um colega tentarsolucioná-lo.

Atividade envolvendo função quadrática e exponencial

1. Construa o gráfico das funções:

a) f(x) = x2 + 2x – 1

g(x) = 2x + 1

b) Encontre as raízes de f e g.

c) Existem interseção entre as funções?

d) Em que intervalo f admite valoresmenores que g?

Muito obrigado!!!!!