estatística - curva de gauss
Post on 05-Apr-2018
231 Views
Preview:
TRANSCRIPT
-
8/2/2019 Estatstica - curva de gauss
1/41
Albertazzi.Variveis Aleatrias Contnuas. (3.1)
3Distribuio e Densidade de Probabilidade
-
8/2/2019 Estatstica - curva de gauss
2/41
Albertazzi.Variveis Aleatrias Contnuas. (3.2)
variveis aleatrias
So funes definidas sobre os elementos de um espaoamostral ex: soma de dois dados, cotao do Dollar, precipitao diria de
chuva em uma cidade, limite de resistncia de uma pea, etc
Podem ser discretas
contnuas
Conveno: variveis aleatrias: X,Y, ... (letras maisculas) valores possveis das variveis aleatrias: x, y, ... (minsculas)
-
8/2/2019 Estatstica - curva de gauss
3/41
Albertazzi.Variveis Aleatrias Contnuas. (3.3)
variveis aleatrias discretas
A funo que atribui a probabilidade a cada valor possvel deuma varivel aleatria discreta denominada distribuio deprobabilidade
f(x) = P(X = x)
exemplo: dado honesto: f(x) = 1/6, para x=1, 2, 3, 4, 5 ou 6
como seria f(x) para a soma de dois dados?
Propriedades:
0)( xf Xtodos
xf 1)(
-
8/2/2019 Estatstica - curva de gauss
4/41
Albertazzi.Variveis Aleatrias Contnuas. (3.4)
funo distribuio (acumulada)
A funo distribuio acumulada de uma varivel aleatria Xassocia a cada valor possvel de X a probabilidade destevalor ser menor ou igual a x. Denota-se F(x)
F(x) = P(X x)
exemplo:
x
f(x)
1
0,50
2 3 4 5
0,25
x
F(x)
1
1,00
2 3 4 5
0,50
-
8/2/2019 Estatstica - curva de gauss
5/41
Albertazzi.Variveis Aleatrias Contnuas. (3.5)
mdia e varincia de uma distribuiocalculada a partir de sua distribuio de
probabilidades
Mdia (ou valor esperado)
Varincia
xtodos
xExfx )()(.
xtodos xfx )(.)(22
-
8/2/2019 Estatstica - curva de gauss
6/41
Albertazzi.Variveis Aleatrias Contnuas. (3.6)
Assumem valores reais
f(x) = funo densidade
de probabilidade
a bx
f(x)
b
a
dxxfbXaP )()(0)( xXP
variveis aleatrias contnuas
-
8/2/2019 Estatstica - curva de gauss
7/41
Albertazzi.Variveis Aleatrias Contnuas. (3.7)
variveis aleatrias contnuas
Propriedades:
a bx
f(x)
)()()()( bXaPbXaPbXaPbXaP
xxf ,0)(
1)( dxxf
-
8/2/2019 Estatstica - curva de gauss
8/41
Albertazzi.Variveis Aleatrias Contnuas. (3.8)
funo probabilidade acumulada
A funo probabilidade acumulada de uma varivel aleatria Xassocia a cada valor possvel de X a probabilidade deste valor sermenor ou igual a x. Denota-se F(x)
x
dfxXPxF )()()(
)()(
xfdx
xFd
)()()( aFbFbXaP
a bx
f(x)
a bx
F(x)1,00
F(b)
F(a)
-
8/2/2019 Estatstica - curva de gauss
9/41
Albertazzi.Variveis Aleatrias Contnuas. (3.9)
mdia e varincia de uma VA contnua
Mdia (ou valor esperado)
)()( xEdxxfx
2222 )()()( dxxfxdxxfx
Varincia
-
8/2/2019 Estatstica - curva de gauss
10/41
Albertazzi.Variveis Aleatrias Contnuas. (3.10)
Distribuio de probabilidade uniforme ouretangular
1 2 3 4 5 6
probabilidade
1/6
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 1 2 3 4 5 6
Valores
Probabilidade(1/6)
Lanamento de um dado
-
8/2/2019 Estatstica - curva de gauss
11/41
Albertazzi.Variveis Aleatrias Contnuas. (3.11)
Distribuio de probabilidade triangular
1,51,0 2,52,0 3,53,0 4,54,0 5,55,0 6,0
probabilidade (1/36)
2
4
6
Mdia de dois dados
-
8/2/2019 Estatstica - curva de gauss
12/41
Albertazzi.Variveis Aleatrias Contnuas. (3.12)
Distribuio de probabilidade triangular
0
1
2
3
4
5
6
7
0 1 2 3 4 5 6 7
Mdia de 2 dados
Probabilida
de
(1/36)
-
8/2/2019 Estatstica - curva de gauss
13/41
Albertazzi.Variveis Aleatrias Contnuas. (3.13)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 1 2 3 4 5 6 7
Valores
Proba
bilidade
(1/6)
Lanamento de um dado
-
8/2/2019 Estatstica - curva de gauss
14/41
Albertazzi.Variveis Aleatrias Contnuas. (3.14)
0
1
2
3
4
5
6
7
0 1 2 3 4 5 6 7
M di a d e 2 d a do s
P
robab
ilidade
(1/36)
Mdia de dois dados
-
8/2/2019 Estatstica - curva de gauss
15/41
Albertazzi.Variveis Aleatrias Contnuas. (3.15)
0
5
1 0
1 5
2 0
2 5
3 0
0 1 2 3 4 5 6 7
M di a d e 3 d a do s
Probab
ilid
ade
(1/216)
Mdia de trs dados
-
8/2/2019 Estatstica - curva de gauss
16/41
Albertazzi.Variveis Aleatrias Contnuas. (3.16)
0
2 0
4 0
6 0
8 0
1 0 0
1 2 0
1 4 0
1 6 0
0 1 2 3 4 5 6 7
M di a d e 4 d a do s
Pro
babi
lidade
(1/1296)
Mdia de quatro dados
-
8/2/2019 Estatstica - curva de gauss
17/41
Albertazzi.Variveis Aleatrias Contnuas. (3.17)
0
5 0 0
100 0
150 0
200 0
250 0
300 0
350 0
400 0
450 0
500 0
0 1 2 3 4 5 6 7
M di a d e 6 d a do s
Probabilidade(
1/46656)
Mdia de seis dados
-
8/2/2019 Estatstica - curva de gauss
18/41
Albertazzi.Variveis Aleatrias Contnuas. (3.18)
0
20000
40000
60000
80000
100000
120000
140000
160000
0 1 2 3 4 5 6 7
Mdia de 8 dados
Probabilid
ade
(1/1679616)
Mdia de oito dados
-
8/2/2019 Estatstica - curva de gauss
19/41
Albertazzi.Variveis Aleatrias Contnuas. (3.19)
Curva normal
pontos de inflexo
assntotaassntota
mdia
desvio padro
-
8/2/2019 Estatstica - curva de gauss
20/41
Albertazzi.Variveis Aleatrias Contnuas. (3.20)
distribuio normal (ou gaussiana)
Observada no sculo XVIII: curva normal de erros
xexf
x2
2
2
)(
2
1)(
- +
f(x) Ponto deinflexo
-
8/2/2019 Estatstica - curva de gauss
21/41
Albertazzi.Variveis Aleatrias Contnuas. (3.21)
distribuio normal (ou gaussiana)
x
dexF
2
2
2
)(
2
1)(
Funo probabilidade acumulada:
No pode ser integrada de forma explcita.
calculada numericamente e tabelada.Problema:
para cada valor de e seria necessria uma tabela diferente!
Soluo: distribuio normal padronizada.
-
8/2/2019 Estatstica - curva de gauss
22/41
Albertazzi.Variveis Aleatrias Contnuas. (3.22)
= 2
= 0
= 1
= 0
= 2
= 3
3 XY
2
3X
Z
X
30
f(x)
30
f(y)
30
f(z)
varivel distribuio
-
8/2/2019 Estatstica - curva de gauss
23/41
Albertazzi.Variveis Aleatrias Contnuas. (3.23)
distribuio normal padronizada
Mudana de varivel para que = 0 e 2
= 1
XZ
z
dezF
2/2
2
1
)(
zezfz2
2
2
1)(
F(z) tabelado
-
8/2/2019 Estatstica - curva de gauss
24/41
Albertazzi.Variveis Aleatrias Contnuas. (3.24)
)(1)( zFzF
1 - F(z)
z
propriedade para uso da tabela:
F(-z)
F(-z) = ?
0-z
-
8/2/2019 Estatstica - curva de gauss
25/41
Albertazzi.Variveis Aleatrias Contnuas. (3.25)
exemplo:
Calcule a probabilidade de um VA com distribuio normal com = 3 e = 2 apresentar valores entre 2 e 5.
= 2
= 3
30 2 5
50,02
322
z
)()( 25 zFzFP
00,1235
5 z
)50,0(1)50,0( FF
0.53280.6915]-[1-0.8413)]50,0(1[)00,1( FFP
-
8/2/2019 Estatstica - curva de gauss
26/41
Albertazzi.Variveis Aleatrias Contnuas. (3.26)
distribuio uniforme
contrriocaso
xxf
,0
,,1
)(
ex: erro de arredondamento de um mostrador digital
2
2212
1
f(x)
1
-
8/2/2019 Estatstica - curva de gauss
27/41
Albertazzi.Variveis Aleatrias Contnuas. (3.27)
distribuio triangular
efeito do arredondamento na diferena entre duas indicaesdigitais
f(x)
2
2224
1
2
-
8/2/2019 Estatstica - curva de gauss
28/41
Albertazzi.Variveis Aleatrias Contnuas. (3.28)
valor esperado
Definio: o valor esperado (ou esperana ou valor mdio)de uma funo de uma varivel aleatria (VA) dado por:
dxxfxgxgE )()()]([
-
8/2/2019 Estatstica - curva de gauss
29/41
Albertazzi.Variveis Aleatrias Contnuas. (3.29)
propriedades do valor esperado
caso particular: g(X) = X
xXE )(
22
)(])[( xx XVarXE
caso particular 2: g(X) = (X - x)2
-
8/2/2019 Estatstica - curva de gauss
30/41
Albertazzi.Variveis Aleatrias Contnuas. (3.30)
bXEabaXE )()(
)()(2
XVarabaXVar
outros casos de interesse:
ba XbaX
222XbaX a
propriedades do valor esperado
-
8/2/2019 Estatstica - curva de gauss
31/41
Albertazzi.Variveis Aleatrias Contnuas. (3.31)
propriedades do valor esperado e varincia
Seja X1, X2, ... , Xk VA com mdia Xi
k
i
Xikk
kk
iaXEaXEaXEa
XaXaXaE
1
2211
2211
)(...)()(
)...(
Exemplo:
32132132
32 XXXXXX
-
8/2/2019 Estatstica - curva de gauss
32/41
Albertazzi.Variveis Aleatrias Contnuas. (3.32)
propriedades do valor esperado e varincia
Seja X1, X2, ... , Xk VA independentes e com varincia 2
Xi
k
i
xiikk
kk
aXVaraXVaraXVara
XaXaXaVar
1
222
2
2
21
2
1
2211
)(...)()(
)...(
Exemplos:2222
32 32132194 XXXXXX
22
2121 XXXX
22
2121 XXXX
-
8/2/2019 Estatstica - curva de gauss
33/41
Albertazzi.Variveis Aleatrias Contnuas. (3.33)
propriedades do valor esperado e varincia
Seja X1, X2, ... , Xk VA independentes e com varincia 2
Xi
)(...)()(
)],...,,([
2
2
2
2
1
2
1
21
k
k
k
XVar
X
gXVar
X
gXVar
X
g
XXXgVar
2
2
2
2
12
2
2
2/ 2121
1 XXXXXX
X
Exemplo:
-
8/2/2019 Estatstica - curva de gauss
34/41
Albertazzi.Variveis Aleatrias Contnuas. (3.34)
propriedades do valor esperado e varincia
Seja X1, X2, ... , Xk VA independentes, todas com mdia e var. 2
k
k
kkk
kkkkXXEXEXEXE
111
12
11
1
...
)(...)()()(
kkkk
k XXXk
XXXX 12
11
121 ......
k
XVarXVarXVarXVar
k
k
kkk
kkkkX
2
2212121
12
11
12
2222
222
...
)(...)()()(
kX
-
8/2/2019 Estatstica - curva de gauss
35/41
Albertazzi.Variveis Aleatrias Contnuas. (3.35)
covarincia
Definio: covarincia entre X1 e X2
21
2121
.).(
)])([(),cov(
21
2121
XX
XXXX
XXE
XXEXX
X1
X2
021XX
X1
X2
021XX
X1
X2
021XX
X2
021XX
X1
-
8/2/2019 Estatstica - curva de gauss
36/41
Albertazzi.Variveis Aleatrias Contnuas. (3.36)
correlao
Quando dividida pelos respectivos desvios-padro de cadavarivel, a covarincia normalizada e recebe o nome deCoeficiente de correlao
21
21
21 .)().(
),cov(
21
21
XX
XX
XXXVarXVar
XX
1121
XX
-
8/2/2019 Estatstica - curva de gauss
37/41
Albertazzi.Variveis Aleatrias Contnuas. (3.37)
correlao
Se X1 e X2 so VA independentes, ento X1X2 = X1X2 = 0
k
j
jiji
ji
kk
kk
XXaaXVara
XVaraXVaraXaXaXaVar
2
2
2
2
21
2
12211
),cov(2)(
...)()()...(
Se X1, X2, ... , Xk so dependentes, ento:
X1X2 = X1X2 = 0
-
8/2/2019 Estatstica - curva de gauss
38/41
Albertazzi.Variveis Aleatrias Contnuas. (3.38)
verificao de normalidade
Uma distribuio normal?Escores normais: conjunto de n valores que dividem a distribuionormal idealizada em n+1faixas com igual probabilidade e
organizados em ordem crescente
exemplo: n=4
0,2 0,20,20,20,2
-0,84 -0,25 0,25 0,84
F(-0,84) = 0,20
F(-0,25) = 0,40
F(0,25) = 0,60
F(0,84) = 0,80
-
8/2/2019 Estatstica - curva de gauss
39/41
Albertazzi.Variveis Aleatrias Contnuas. (3.39)
verificao de normalidade
Roteiro:1 - Calcule e a partir dos dados experimentais2 - Ordene os dados de forma crescente
3 - Obtenha os escores normais sendo n o nmero de dadosexperimentais
4 - Plote o i-simo valor experimental versus o i-simo escore normal
5 - Se o grfico resultante se aproxima de uma reta esse indica que adistribuio dos dados prxima da normal
Normalmente 15 n 20, embora seja comum n > 20, mas no se
recomenda n < 15
-
8/2/2019 Estatstica - curva de gauss
40/41
Albertazzi.Variveis Aleatrias Contnuas. (3.40)
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
-1 -0.5 0 0.5 1
Escores normais
Valore
sda
varivel
P EN Val0.2 -0.842 -15
0.4 -0.253 -5
0.6 0.253 6
0.8 0.842 16
-5, 16, 6, -15
-15, -5, 6, 16
valores
valores ordenados
-
8/2/2019 Estatstica - curva de gauss
41/41
Albertazzi.Variveis Aleatrias Contnuas. (3.41)
verificao de normalidade
Exemplos:
distribuio normal distribuio uniforme
-3
-2
-1
0
1
2
3
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
-3
-2
-1
0
1
2
3
-3 -2 -1 0 1 2 3
top related