estatística aplicada à gestão empresarial

BRUNIBRUNISlides de apoio ao livroSlides de apoio ao livro

Todo o conteúdo dos Todo o conteúdo dos

slides está apresentado slides está apresentado

no livro no livro Estatística Estatística

Aplicada à Gestão Aplicada à Gestão

EmpresarialEmpresarial, , publicado pela Editora publicado pela Editora

Atlas.Atlas.

Adriano Leal BruniAdriano Leal Bruni

albruni@infinitaweb.com.bralbruni@infinitaweb.com.br

BRUNIBRUNICapítuloCapítulo

Objetivos dosObjetivos dosslidesslides

BRUNIBRUNIAviso importante!!!Aviso importante!!!

Estes slides Estes slides apresentam o apresentam o conteúdo do livro conteúdo do livro Estatística Aplicada à Estatística Aplicada à Gestão EmpresarialGestão Empresarial, , de de Adriano Leal Adriano Leal BruniBruni, publicado pela , publicado pela Editora AtlasEditora Atlas

BRUNIBRUNIConteúdo dos slidesConteúdo dos slides

0. Apresentação e dicas0. Apresentação e dicas1. Estatística e análise exploratória de dados.1. Estatística e análise exploratória de dados.2. Gráficos.2. Gráficos.3. Medidas de posição central.3. Medidas de posição central.4. Medidas de dispersão.4. Medidas de dispersão.5. Medidas de ordenamento e forma.5. Medidas de ordenamento e forma.6. Probabilidade.6. Probabilidade.7. Variáveis aleatórias e distribuições de 7. Variáveis aleatórias e distribuições de

probabilidades.probabilidades.8. Amostragem.8. Amostragem.9. Estimação.9. Estimação.10. Testes paramétricos.10. Testes paramétricos.11. Testes não paramétricos.11. Testes não paramétricos.12. Correlação e regressão linear.12. Correlação e regressão linear.13. Números índices.13. Números índices.14. Séries e previsões temporais.14. Séries e previsões temporais.

BRUNIBRUNIObservações do autor …Observações do autor …

Alguns slides apresentam Alguns slides apresentam minhas dicas para os minhas dicas para os professores que usem professores que usem meus livros ou meus slidesmeus livros ou meus slides

BRUNIBRUNIDicaDica de Bruni!!!de Bruni!!!

GeralmenteGeralmente eueu pepeççoo parapara doisdoisalunosalunos interpretareminterpretarem o o didiáálogologo nana frentefrente dada salasala de de aula!aula!

VouVou projetandoprojetando osos slides e slides e eleseles interpretaminterpretam osospersonagenspersonagens e as e as suassuas falasfalas

ApApóóss a a leituraleitura dada conclusãoconclusão, , todostodos batembatem palmaspalmas..

O O efeitoefeito diddidááticotico constumaconstumaser ser excelenteexcelente!!

Dica de Bruni!!!Dica de Bruni!!!

BRUNIBRUNIDica de Bruni!!!Dica de Bruni!!!

A figura do A figura do mestre costuma mestre costuma indicar as minhas indicar as minhas dicas para os dicas para os professores!professores!

Fique atento!Fique atento!

BRUNIBRUNIDicas de Bruni!Dicas de Bruni!

Sugere-se o uso do Sugere-se o uso do Powerpoint XP ou superiorPowerpoint XP ou superior

Eu costumo usar um Eu costumo usar um “apresentador” (“apresentador” (presenterpresenter em inglês), um mouse sem em inglês), um mouse sem fio para professores e fio para professores e palestrantespalestrantes

Recentemente, tenho Recentemente, tenho usado um modelo da usado um modelo da Targus, muito bom.Targus, muito bom.

Para conhecer ou adquirir meus livros, Para conhecer ou adquirir meus livros, visite o Portal Atlasvisite o Portal Atlas

<www.EditoraAtlas.com.br><www.EditoraAtlas.com.br>

Na minha página também existem materiais Na minha página também existem materiais novos e complementares!novos e complementares!

<www.infinitaweb.com.br><www.infinitaweb.com.br>

BRUNIBRUNISumário do livroSumário do livro

1. Estatística e análise exploratória de dados.1. Estatística e análise exploratória de dados.2. Gráficos.2. Gráficos.3. Medidas de posição central.3. Medidas de posição central.4. Medidas de dispersão.4. Medidas de dispersão.5. Medidas de ordenamento e forma.5. Medidas de ordenamento e forma.6. Probabilidade.6. Probabilidade.7. Variáveis aleatórias e distribuições de 7. Variáveis aleatórias e distribuições de

BRUNIBRUNIUm passeio pela história …Um passeio pela história …

BRUNIBRUNI3000 AC – Censos no Egito3000 AC – Censos no Egito

BRUNIBRUNI

Outras cenas ...Outras cenas ...

BRUNIBRUNINa Babilônia também …Na Babilônia também …

BRUNIBRUNINa Bíblia …Na Bíblia …

Livro quarto do velho Livro quarto do velho testamentotestamento

Instrução a MoisésInstrução a Moisés Fazer um levantamento Fazer um levantamento

dos homens de Israel dos homens de Israel que estivessem aptos a que estivessem aptos a gerreargerrear

BRUNIBRUNIAugusto CésarAugusto César

Édito para que se Édito para que se fizesse o censo em fizesse o censo em todo o império romanotodo o império romanoCensereCensere em latim = taxar em latim = taxar

BRUNIBRUNIMaria e JoséMaria e José

Em função do Em função do édito, Maria e édito, Maria e José viajaram José viajaram para Belémpara Belém

BRUNIBRUNIGuilherme o conquistadorGuilherme o conquistador

InglaterraInglaterra 10851085 Levantamento Levantamento

estatísticoestatístico TerrasTerras PropriedadesPropriedades EmpregadosEmpregados AnimaisAnimais

Base de cálculo de Base de cálculo de impostosimpostos

ízo fi

BRUNIBRUNIUm livro para os impostos …Um livro para os impostos …

BRUNIBRUNISéc XVII - Tábuas de MortalidadeSéc XVII - Tábuas de Mortalidade

John GrauntJohn Graunt Análises de Análises de

nascimentos e mortesnascimentos e mortes % de homens % de homens

ligeiramente superior a ligeiramente superior a de mulheresde mulheres

BRUNIBRUNIPalavra EstatísticaPalavra Estatística

Cunhada pelo Cunhada pelo acadêmico alemão acadêmico alemão Gottfried Achenwall Gottfried Achenwall por volta da metade por volta da metade do século XVIIIdo século XVIII

O verbete “statistics” O verbete “statistics” apareceu na apareceu na Enciclopédia Enciclopédia Britânica em 1797Britânica em 1797

BRUNIBRUNIPara entender a ...Para entender a ...

EstatísticaEstatística

StatusStatus EstadoEstado

Poder públicoPoder públicoCaracterizaçãCaracterização dos dadoso dos dados

BRUNIBRUNIUma origem controversaUma origem controversa

EstatísticaEstatística

para cobrarpara cobrar

IMPOSTOSIMPOSTOS

BRUNIBRUNIE depois ….E depois ….

Facilitar a Facilitar a análise análise

de de DADOSDADOS

BRUNIBRUNIUma perguntinha básica …Uma perguntinha básica …

Como entender os

DADOS?

BRUNIBRUNIUma representação didática …Uma representação didática …

O que fazer?

Informação

Decisão

Estatística

BRUNIBRUNIAnalisando ...Analisando ...

FreqüênciasMédia

MedianaDesvio-Padrão

BRUNIBRUNITorturando os dados …Torturando os dados …

Informação

Estatística

BRUNIBRUNIDados e informaçãoDados e informação

Garimpando osGarimpando osdados …dados …

Para obterPara obterinformação!informação!

BRUNIBRUNIUma expressão comtemporânea Uma expressão comtemporânea ……

DataminingDatamining

BRUNIBRUNIAssim … é importante saber …Assim … é importante saber …

O queO quesãosão

dados?dados?

BRUNIBRUNIDefinição didáticaDefinição didática

Conjunto de valores Conjunto de valores formados a partir do formados a partir do cruzamento de casos cruzamento de casos com variáveiscom variáveis

Modelo Ano Cilindradas PreçoCod

Variáveis

Casos Carango

Fobica

Calhambeque

BRUNIBRUNIO que são variáveis?O que são variáveis?

Especificações dos Especificações dos valores coletadosvalores coletados

VariáveisQualititativas

Quantitativas

não podem ser operadasalgebricamente

podem ser operadasalgebricamente

BRUNIBRUNISubdividindo as variáveis …Subdividindo as variáveis …

QualitativasQualitativas NominaisNominais OrdinaisOrdinais

QuantitativasQuantitativas ContínuasContínuas DiscretasDiscretas

BRUNIBRUNIEscalas de LikertEscalas de Likert

Concordo totalmenteConcordo totalmente …… Discordo totalmenteDiscordo totalmente

BRUNIBRUNIPara pensar …Para pensar …

Veja os Veja os exercícios exercícios do livro!!!do livro!!!

BRUNIBRUNIVariáveis qualitativas …Variáveis qualitativas …

Já que não faz sentidoJá que não faz sentidooperá-las algebricamente …operá-las algebricamente …

SínteseSíntese ContageContagemm

TabulaçãTabulaçãooConstrução de tabelasConstrução de tabelas

de frequênciade frequência

BRUNIBRUNITabelasTabelas

Curso em primeira opcao

179 11,0 11,0 11,0

345 21,2 21,2 32,2

62 3,8 3,8 36,0

202 12,4 12,4 48,4

840 51,6 51,6 100,0

1628 100,0 100,0

Administracao

Psicologia

Ciencia da computacao

Sistemas de Informacao

Direito

ValidFrequency Percent Valid Percent

CumulativePercent

1628 casos1628 casos

É mais fácil analisar 5 É mais fácil analisar 5 categorias que 1628 casoscategorias que 1628 casos

BRUNIBRUNIExtraia informações para a …Extraia informações para a …

Mercearia Mercearia Melhor Melhor Preço Preço Ltda.Ltda.

BRUNIBRUNIUma base de dados …Uma base de dados …

Veja o Veja o enunciadenunciad

o no o no livro!!!livro!!!

BRUNIBRUNIMercearia Melhor PreçoMercearia Melhor Preço

VariáveisVariáveis

NomeNome

CódigoCódigo

EstadoEstado

Número de Número de funcionáriosfuncionários

Qualidade do Qualidade do atendimentoatendimento

FaturamentoFaturamento

VolumeVolume

ClassificaçãoClassificação

QualitativaQualitativa

QuantitativaQuantitativa

QualitativaQualitativa

BRUNIBRUNIAnalisando as frequências …Analisando as frequências …

Variável EstadoVariável Estado QualitativaQualitativa

EstadoEstado FrequênciaFrequência

(Xi)(Xi) (Fi) (Fi)

BABA 55

Ops … 5 é pouco ou muito?Ops … 5 é pouco ou muito?Para responder … Frequência relativa!Para responder … Frequência relativa!

BRUNIBRUNIConstruindo a tabelaConstruindo a tabela

XiXiVariávelVariável

FiFiFrequênciaFrequência

Fi%Fi%FrequênciaFrequência

RelativaRelativa

Soma (Soma ())

Dados processadosDados processados

100%100%

BRUNIBRUNIOrganizando os dados …Organizando os dados …

Analise a Analise a varíável varíável EstadoEstado

BRUNIBRUNIExtraindo informação do EstadoExtraindo informação do Estado

Variável EstadoVariável Estado QualitativaQualitativa

EstadoEstado FrequênciaFrequência

(Xi)(Xi) (Fi) (Fi)

BABA 55

MGMG 33

RJRJ 66

SPSP 66

SomaSoma 20 20

Frequência RelativaFrequência Relativa

(Fi%)(Fi%)

5/20 = 0,25 = 25%5/20 = 0,25 = 25%

3/20 = 0,15 = 15%3/20 = 0,15 = 15%

6/20 = 0,30 = 30%6/20 = 0,30 = 30%

20/20 = 1 = 100%20/20 = 1 = 100%

BRUNIBRUNIUma notação importanteUma notação importante

BRUNIBRUNIAnalisando a variável Analisando a variável FaturamentoFaturamento

Constatações: Constatações:

ContínuaContínua

Apresenta muitos valores diferentes, com Apresenta muitos valores diferentes, com poucas repetiçõespoucas repetições

Alta dispersão dos dados!!!Alta dispersão dos dados!!!

Cuidado ao tabular a variável!!!Cuidado ao tabular a variável!!!

Sugestão: agrupar os dados em classes!Sugestão: agrupar os dados em classes!

BRUNIBRUNIAgrupando dados em classesAgrupando dados em classes

Na Estatística Na Estatística convencionalconvencional … … Existem algumas Existem algumas regrinhasregrinhas de de

agrupamento …agrupamento …

Qual o tamanho da amostra (n)?Qual o tamanho da amostra (n)? n n ≤≤ 25 : 25 : use use 55 classes classes n > 25: n > 25: use use raiz (n)raiz (n) classes classes

Fórmula de SturgesK = 1 + 3,32 log (n)Antigamente …Antigamente …

BRUNIBRUNINa prática …Na prática …

Crie Crie entreentre55 e e 1010

classes!classes!

BRUNIBRUNIExtraindo informações …Extraindo informações …

Analise a Analise a variável variável

Faturamento Faturamento MensalMensal

BRUNIBRUNIPara a variável FaturamentoPara a variável Faturamento

Tamanho da amostra …Tamanho da amostra … n = 20 … n n = 20 … n ≤ 25 … use ≤ 25 … use 55 classes! classes! Começaremos a construção das classes Começaremos a construção das classes

pelo menor elemento ….pelo menor elemento …. Qual será a amplitude de cada classe?Qual será a amplitude de cada classe? Amplitude de cada uma das classes: hAmplitude de cada uma das classes: h

h = (Maior – Menor)/Número de classeh = (Maior – Menor)/Número de classe

h = (2000 – 1000)/5 = 200h = (2000 – 1000)/5 = 200

BRUNIBRUNITabulando em classes …Tabulando em classes …

ClasseClasse FiFi Fi%Fi%

1000 |- 12001000 |- 1200 33 3/20 = 15%3/20 = 15%

1200 |- 14001200 |- 1400 66 6/20 = 30%6/20 = 30%

1400 |- 16001400 |- 1600 33 3/20 = 15%3/20 = 15%

1600 |- 18001600 |- 1800 22 2/20 = 10%2/20 = 10%

1800 |-| 20001800 |-| 2000 66 6/20 = 30%6/20 = 30%

Soma (Soma ()) 2020 20/20 = 100%20/20 = 100%

Convenção

BRUNIBRUNIConvenção de limitesConvenção de limites

IncluiInclui ExcluiExclui

IntervaloIntervalo

BRUNIBRUNIAcumulando as frequênciasAcumulando as frequências

Além das frequências simples Além das frequências simples

e relativa simples, podem ser e relativa simples, podem ser

apresentadas as frequências apresentadas as frequências

acumuladasacumuladas

Freqüência acumulada

Freqüência acumuladarelativa

BRUNIBRUNIOutra base de dados …Outra base de dados …

Supermercado Supermercado Pague e Leve Pague e Leve

Ltda.Ltda.

Construa o agrupamentoConstrua o agrupamentoem classes de freqüência.em classes de freqüência.

Leia o Leia o enunciado no enunciado no

livro!!!livro!!!

BRUNIBRUNITabela do Pague e LeveTabela do Pague e Leve

ClasseClasse FiFi Fi%Fi% FAciFAci FAci%FAci%

40 |- 5840 |- 58 88 13,3313,33 88 13,3313,33

58 |- 7658 |- 76 1111 18,3318,33 1919 31,6631,66

76 |- 9476 |- 94 55 8,338,33 2424 39,9939,99

94 |- 11294 |- 112 99 1515 3333 54,9954,99

112 |- 130112 |- 130 88 13,3313,33 4141 68,3268,32

130 |- 148130 |- 148 66 1010 4747 78,3278,32

148 |- 166148 |- 166 99 1515 5656 93,3293,32

166 |-| 184166 |-| 184 44 6,686,68 6060 100100

SomaSoma 6060 100100

BRUNIBRUNIPróximo tópico …Próximo tópico …

Apresentando Apresentando as informações as informações

em gráficos!em gráficos!

BRUNIBRUNIQuatro resultados do capítuloQuatro resultados do capítulo

Entendemos as origens e Entendemos as origens e os propósitos da os propósitos da EstatísticaEstatística

Compreendemos a Compreendemos a importância da análise de importância da análise de dadosdados

Classificamos variáveis e Classificamos variáveis e casoscasos

Diferenciamos variáveis Diferenciamos variáveis qualitativas e qualitativas e quantitativasquantitativas

BRUNIBRUNIPróximo capítuloPróximo capítulo

GráficosGráficos

GráficosGráficos2

BRUNIBRUNIUma razão simples …Uma razão simples …

Uma imagem valeUma imagem valepor mil palavraspor mil palavras

BRUNIBRUNITrês objetivos do capítuloTrês objetivos do capítulo

Entender os usos dos Entender os usos dos gráficosgráficos

Compreender os Compreender os principais gráficos principais gráficos usados em estatísticausados em estatística

Entender os principais Entender os principais erros cometidos na erros cometidos na geração de gráficos em geração de gráficos em EstatísticaEstatística

BRUNIBRUNIRecordar é viver …Recordar é viver …

EstatísticaEstatística StatusStatus Conversão de Conversão de

dados em dados em informaçãoinformação

VariáveisVariáveis QualitativasQualitativas QuantitativasQuantitativas

Tomar decisão Tomar decisão com base em com base em informaçõesinformações

Informação!Informação!

BRUNIBRUNIUma representação didática …Uma representação didática …

Informação

DadosTabela

GráficoObjetivo: facilitar a transmissãodas informações!

BRUNIBRUNIFacilitando a leituraFacilitando a leitura

BRUNIBRUNIDiversas alternativasDiversas alternativas

BRUNIBRUNIPreste atenção!!!Preste atenção!!!

Os objetivos dos gráficos Os objetivos dos gráficos não envolvem gastar o azul não envolvem gastar o azul ou o vermelho do seu ou o vermelho do seu cartucho colorido de $100,00!cartucho colorido de $100,00!

Objetivo verdadeiro ….Objetivo verdadeiro ….

Transmitir informação!!Transmitir informação!! Assim …Assim …

Quanto mais Quanto mais simples, melhor!simples, melhor!

BRUNIBRUNITipos principaisTipos principais

HistogramaHistograma

Caixa de dados (boxplot)Caixa de dados (boxplot)

Diagrama de dispersãoDiagrama de dispersão

BRUNIBRUNIGráficosGráficos

HistogramaHistograma

BRUNIBRUNITabelas em histogramasTabelas em histogramas

Uma única variávelUma única variável

VariávelVariável

BRUNIBRUNIInterpretação simplesInterpretação simples

Quanto maior a Quanto maior a

barra, maior abarra, maior afrequencia, frequencia,

mais mais importanteimportante

BRUNIBRUNIHistogramaHistograma

10 20 30 40 500

BRUNIBRUNIDiferentes histogramasDiferentes histogramas

BRUNIBRUNIAnalise …. Pontos no VestibularAnalise …. Pontos no Vestibular

BRUNIBRUNIPontos no VestibularPontos no Vestibular

BRUNIBRUNICurso escolhidoCurso escolhido

Curso em primeira opcao

DireitoSistemasComputaçãoPsicologiaAdministração

BRUNIBRUNINota em matemáticaNota em matemática

Nota em Matematica

Std. Dev = 2,06

Mean = 3,98

N = 1069,00

BRUNIBRUNIVariantes …Variantes …

Diagramas de Diagramas de barrasbarras

Diagramas de Diagramas de colunascolunas

BRUNIBRUNIDiagrama de colunasDiagrama de colunas

10121416

BRUNIBRUNIComparações variadas …Comparações variadas …

BRUNIBRUNIAnálises diversas …Análises diversas …

BRUNIBRUNIDiagrama de barraDiagrama de barra

0 50 100 150 200

Administração

Arquitetura

Direito

Engenharia

Medicina

BRUNIBRUNIDiagrama de barraDiagrama de barra

0 2 4 6 8 10

0 |- 10

10 |- 20

20 |- 30

30 |- 40

40 |-| 50

BRUNIBRUNIDiagrama de barrasDiagrama de barras

BRUNIBRUNIConstrua o histogramaConstrua o histograma

ClasseClasse FiFi

1|-31|-3 22

3|-53|-5 88

5|-75|-7 1212

7|-97|-9 55

9|-|119|-|11 33

SomaSoma 3030

BRUNIBRUNIConstruindo histogramaConstruindo histograma

11 33 55 77 99 1111

BoxplotBoxplot

BRUNIBRUNIBox PlotBox Plot

Caixa de dados

BRUNIBRUNICaracterísticas do Box PlotCaracterísticas do Box Plot

Permite comparar …Permite comparar …

Variável quantitativa …Variável quantitativa …comcom

Variável de agrupamento Variável de agrupamento (qualitativa) …(qualitativa) …

BRUNIBRUNIAnálise do gráficoAnálise do gráfico

Variável qualitativaVariável qualitativa

Menor200

Maior800

Medianaou segundo Quartil

Primeiro Quartil

Terceiro Quartil

Masculino

Gênero

Feminino

BRUNIBRUNIPontos por GêneroPontos por Gênero

BRUNIBRUNIExpectativa de vida por regiãoExpectativa de vida por região

BRUNIBRUNIConstrua o BoxplotConstrua o Boxplot

MatutinoMatutino VespertinoVespertino

EstatísticaEstatística MatMat VespVesp

MaiorMaior 1212 66

Q3Q3 77 55

Q2Q2 66 44

Q1Q1 55 33

MenorMenor 11 22

RespostasRespostas

Diagrama de dispersãoDiagrama de dispersão

BRUNIBRUNIDiagrama de dispersãoDiagrama de dispersão

Permite comparar o comportamento Permite comparar o comportamento conjunto de duas variáveis conjunto de duas variáveis quantitativasquantitativas

Independente

Dependente

BRUNIBRUNIGastos versus Volumes de Gastos versus Volumes de ProduçãoProdução

Volume (Q)

BRUNIBRUNIGastos versus VolumeGastos versus Volume

Volume (Q)

BRUNIBRUNIDiagramas de dispersãoDiagramas de dispersão

BRUNIBRUNINotas em matemática x inglêsNotas em matemática x inglês

Nota em Matematica

14121086420

BRUNIBRUNIConstrua o diagrama de Construa o diagrama de dispersãodispersão

00 11 22 33 44 55 66 77 88 99 00 11 22 33

66 1313

33 1010

66 1111

55 1313

Distribuição em forma de elipseDistribuição em forma de elipse

Ajuste linear … Regressão e CorrelaçãoAjuste linear … Regressão e Correlação

BRUNIBRUNINo Excel …No Excel …

y = 1,4134x + 3,9094

R2 = 0,6913

0 2 4 6 8

PictogramasPictogramas

CuriosidadeCuriosidade

BRUNIBRUNIO que são pictogramasO que são pictogramas

Gráficos com Gráficos com figuras figuras incorporadasincorporadas

Cuidado! Cuidado! Gráficos devem Gráficos devem transmitir transmitir informação!informação!

BRUNIBRUNIFiguras em gráficosFiguras em gráficos

BRUNIBRUNIEvolução de uma populaçãoEvolução de uma população

BRUNIBRUNIConsumo de peixesConsumo de peixes

BRUNIBRUNIVenda de lâmpadasVenda de lâmpadas

BRUNIBRUNIHoje em dia ….Hoje em dia ….

Me dê logo a informação!!!

BRUNIBRUNIPolígono de freqüênciaPolígono de freqüência

0 10 20 30 40 50

BRUNIBRUNIPolígono de frequência Polígono de frequência cumulativacumulativa

0 10 20 30 40 50

BRUNIBRUNIGráfico de pizzaGráfico de pizza

BRUNIBRUNIDiagrama de pizzaDiagrama de pizza

18%22%

Administração BiologiaDireito EconomiaEngenharia Medicina

VendasVendas CustosCustos

480480 240240

640640 320320

320320 200200

440440 260260

730730 350350

820820 390390

390390 210210

0 200 400 600 800 1000

Vendas

BRUNIBRUNIPictogramaPictograma

RegiãoRegião VendasVendas

NorteNorte 44

SulSul 55

LesteLeste 66

OesteOeste 33

BRUNIBRUNITrês resultados do capítuloTrês resultados do capítulo

Entendemos os usos dos Entendemos os usos dos gráficosgráficos

Compreendemos os Compreendemos os principais gráficos principais gráficos usados em estatísticausados em estatística

Entendemos os Entendemos os principais erros principais erros cometidos na geração de cometidos na geração de gráficos em Estatísticagráficos em Estatística

MedidasMedidasPosição CentralPosição Central

Medidas de Medidas de Posição CentralPosição Central

BRUNIBRUNIPara refletir ...Para refletir ...

“ “Meça o que for Meça o que for possível ser medido; possível ser medido; o que não for, torne o que não for, torne

mensurável.”mensurável.”

Galileo GalileiGalileo Galilei

Séc. XVIISéc. XVII

BRUNIBRUNITrês objetivos do capítuloTrês objetivos do capítulo

Entender a importância Entender a importância das medidasdas medidas

Compreender as razões Compreender as razões do uso de medidas de do uso de medidas de posição centralposição central

Reconhecer as principais Reconhecer as principais medidas de posição medidas de posição central, seus pontos central, seus pontos fortes e fracosfortes e fracos

BRUNIBRUNIRecordar é viver …Recordar é viver …

Da aula anterior …Da aula anterior … Estatística: Estatística: statusstatus, estado , estado

de um conjunto de dadosde um conjunto de dados Uso de Estatística …Uso de Estatística … Dados Dados > Informação >> Informação >

DecisãoDecisão Dados: Casos x VariáveisDados: Casos x Variáveis VariáveisVariáveis

Qualitativas: sem operação Qualitativas: sem operação algébricaalgébrica

Quantitativas: com operação Quantitativas: com operação algébricaalgébrica

BRUNIBRUNIVariáveis quantitativas …Variáveis quantitativas …

Já que podem ser operadas Já que podem ser operadas algebricamente …algebricamente …

SínteseSíntese MedidasMedidas

EstatísticEstatísticasasContinhas com síntese de dados em Continhas com síntese de dados em

informaçãoinformação

BRUNIBRUNIFazendo continhas ...Fazendo continhas ...

BRUNIBRUNIVariáveis quantitativasVariáveis quantitativas

DECISÃO

ESTATÍSTICAS

INFORMAÇÃO

Variáveis QuantitativasVariáveis Quantitativas

BRUNIBRUNIAlgumas estatísticasAlgumas estatísticas

MedidasMedidas

Posição CentralPosição Central

DispersãoDispersão

Ordenamento e Ordenamento e posiçãoposição

FormaForma

BRUNIBRUNIMedidasMedidas

Posição CentralPosição Central

““Olhe para o Olhe para o centro”centro”

BRUNIBRUNIAcertando o …Acertando o …

Centro do conjunto de dadosCentro do conjunto de dados

BRUNIBRUNIAs EstatísticaAs EstatísticaSS

Medidas úteis para a Medidas úteis para a decisãodecisão

““Olhe para o centro” ...Olhe para o centro” ... Medidas de posição Medidas de posição

centralcentral Média ou Valor Média ou Valor

EsperadoEsperado ModaModa MedianaMediana

BRUNIBRUNIMédia … Média … Aritmética SimplesAritmética Simples

Mais usual das medidas Mais usual das medidas estatísticasestatísticas

Relação entre soma e Relação entre soma e contagemcontagem

Centro geométrico de um Centro geométrico de um conjunto de dadosconjunto de dados

contagem

somamédia

BRUNIBRUNISímbolos de diferentes médiasSímbolos de diferentes médias

PopulaçãoPopulação

AmostraAmostra

BRUNIBRUNIMédia aritmética ponderadaMédia aritmética ponderada

É preciso considerar as frequências …É preciso considerar as frequências …

BRUNIBRUNIMédia geométricaMédia geométrica

iig xx

Raiz enésima do produtórioRaiz enésima do produtório

OutrosOutrosExercíciosExercícios

BRUNIBRUNIPara ficar esperto!Para ficar esperto!

Resolva os Resolva os exercícios do exercícios do

livro!!!livro!!!

BRUNIBRUNIMédia harmônicaMédia harmônica

Inverso da média dos inversosInverso da média dos inversos

OutrosOutrosExercíciosExercícios

BRUNIBRUNICuidado com as médias!!!Cuidado com as médias!!!

Aparências Aparências podem enganar!podem enganar!

BRUNIBRUNIMaior problema da média …Maior problema da média …

Maldição Maldição dos dos

extremosextremos

ou ou outliersoutliers

Extremos distorcemExtremos distorcemalgumas medidasalgumas medidas

Eu venho Eu venho para para

bagunçar bagunçar !!!!!!

BRUNIBRUNISolução para o problema …Solução para o problema …

Remover Remover os extremos!!os extremos!!

BRUNIBRUNIPesquisa sobre remuneraçãoPesquisa sobre remuneração

Empresa paga $400,00 aos Empresa paga $400,00 aos estagiários de Administraçãoestagiários de Administração

Quer saber …Quer saber …

É muito ou pouco?É muito ou pouco? Coletou amostra de dadosColetou amostra de dados Dados: Dados:

{300; 350; 6000; 340; 310; 380}{300; 350; 6000; 340; 310; 380}

contagem

somamédia 7680

6$1.280,00

Pouquíssimo!!Pouquíssimo!!!!

BRUNIBRUNIOrganizando os dados …Organizando os dados …

Dados: Dados: {300; 350; 6000; 340; 310; 380}{300; 350; 6000; 340; 310; 380}

Rol:Rol:{300; 310; 340; 350; 380; 6000}{300; 310; 340; 350; 380; 6000}

$400,00$400,00

Extremo distorce a média!Extremo distorce a média! Rol sem extremo:Rol sem extremo:

{300; 310; 340; 350; 380}{300; 310; 340; 350; 380}

Média = 1680/5 = $336,00Média = 1680/5 = $336,00Alto!Alto!

BRUNIBRUNIO centro dos dados ordenadosO centro dos dados ordenados

Onde está ocentro

BRUNIBRUNIMedianaMediana

Valor central de uma série Valor central de uma série ordenada de dados (Rol)ordenada de dados (Rol)

{3; 7; 9; 10; 4; 8; 2}{3; 7; 9; 10; 4; 8; 2}

{2; 3; 4; 7; 8; 9; 10}{2; 3; 4; 7; 8; 9; 10}

Ordenando no RolOrdenando no Rol

3 menores

3 maiores

{2; 3; 4; 8; 9; 10}{2; 3; 4; 8; 9; 10}

n par?n par?mediana = 6mediana = 6

BRUNIBRUNIO que é mais frequenteO que é mais frequente

Será que está na

modmodaa???

BRUNIBRUNIModaModa

Valor que se repete com Valor que se repete com maior frequênciamaior frequência

{2; 3; 4; 7; 7; 9; 10}{2; 3; 4; 7; 7; 9; 10}

{2; 2; 4; 7; 7; 9; 10}{2; 2; 4; 7; 7; 9; 10}

{2; 3; 4; 7; 8; 9; 10}{2; 3; 4; 7; 8; 9; 10}

unimodalunimodal

bimodal ou multimodalbimodal ou multimodal

amodalamodal

BRUNIBRUNIEcontrando o centro dos dadosEcontrando o centro dos dados

Fundo de investimento, com Fundo de investimento, com retornos: {7, 3 e 2}retornos: {7, 3 e 2}

MédiaMédia ou soma por contagem ou soma por contagem

Média = (7 + 3 + 2) / 3 = Média = (7 + 3 + 2) / 3 = 44 MedianaMediana ou centro da série ou centro da série

ordenadaordenada

Mediana = {2, Mediana = {2, 33, 7}, 7}

ModaModa ou valor que mais se ou valor que mais se repeterepete

Amodal ou sem modaAmodal ou sem moda

BRUNIBRUNITrês resultados do capítuloTrês resultados do capítulo

Entendemos a Entendemos a importância das medidasimportância das medidas

Compreendemos as Compreendemos as razões do uso de razões do uso de medidas de posição medidas de posição centralcentral

Reconhecemos as Reconhecemos as principais medidas de principais medidas de posição central, seus posição central, seus pontos fortes e fracospontos fortes e fracos

Medidas deMedidas deDispersãoDispersão

Medidas de dispersãoMedidas de dispersão4

DispersãoDispersão

““Cuidado com Cuidado com os lados”os lados”

BRUNIBRUNIOutras EstatísticaOutras EstatísticaSS

Outras medidas úteis para a Outras medidas úteis para a decisãodecisão

““Cuidado com os lados” ...Cuidado com os lados” ... Medidas de dispersãoMedidas de dispersão

AmplitudeAmplitude Desvio médioDesvio médio VariânciaVariância Desvio padrãoDesvio padrão

BRUNIBRUNIEncontrando os lados dos Encontrando os lados dos dadosdados

Fundo de investimento, com Fundo de investimento, com retornos: retornos: {7, 3 e 2}{7, 3 e 2}

AmplitudeAmplitude Maior menos menorMaior menos menor Range ou intervaloRange ou intervalo

RR ==MaiorMaiorMenorMenor

RR == 77 22-- == 55

Problema:apenas extremossão considerados

BRUNIBRUNIDesvio médioDesvio médio

Desvio médio ou Desvio médio ou afastamento médio em afastamento médio em relação à médiarelação à média

SérieSérie

DesviosDesvios

33Soma 0Soma 0Média 0Média 0

É preciso É preciso calcular oscalcular os

desviosdesviosABSOLUTOSABSOLUTOSM

BRUNIBRUNIDesvio médio absolutoDesvio médio absoluto

Desvio médio absoluto ou Desvio médio absoluto ou afastamento médio absoluto afastamento médio absoluto em relação à médiaem relação à média

SérieSérie

Desv AbsDesv Abs

33Soma 6Soma 6Média 2Média 2

Calculamos osCalculamos os

MÓDULOSMÓDULOS

BRUNIBRUNIVariânciaVariância

Dispensa o uso do MÓDULODispensa o uso do MÓDULO Usa o desvio ao quadradoUsa o desvio ao quadrado

SérieSérie

DesvioDesvio22

99Soma 14Soma 14

Média 4,67Média 4,67

Um problema Um problema DIMENSIONALDIMENSIONAL

BRUNIBRUNIDesvio padrãoDesvio padrão

Resolve o problema Resolve o problema dimensional da dimensional da variânciavariância

Raiz da variânciaRaiz da variância

Desvio = Raiz (4,67) Desvio = Raiz (4,67) = 2,16= 2,16

Ops … Ops … População ou amostra?População ou amostra?

BRUNIBRUNIPara sempre lembrarPara sempre lembrar

Calcule amplitude, desvio Calcule amplitude, desvio

médio absoluto, variância e médio absoluto, variância e

desvio padrão da série:desvio padrão da série:

{10; -2; 5; 7}{10; -2; 5; 7}

BRUNIBRUNICalculando Amplitude e Desvio Calculando Amplitude e Desvio MédioMédio

XiXi1010-2-25577

XiXi-2-25577

|Xi – Xi||Xi – Xi||-2 – 5 |= 7|-2 – 5 |= 7|5 – 5| = 0 |5 – 5| = 0 |7 – 5| = 2|7 – 5| = 2

|10 – 5| = 5|10 – 5| = 5

Amplitude = 12Soma = 14

Desv Médio Abs = 3,5

BRUNIBRUNICalculando VariânciaCalculando Variância

XiXi-2-25577

(Xi – Xi)(Xi – Xi)22

(-2 – 5)(-2 – 5)22= 49= 49(5 – 5)(5 – 5)22= 0 = 0 (7 – 5)(7 – 5)22= 4= 4

(10 – 5)(10 – 5)22= 25= 25

Soma = 78Variância = 19,5

BRUNIBRUNICalculando o Desvio PadrãoCalculando o Desvio Padrão

Desvio padrão = Desvio padrão =

raiz (variância)raiz (variância)

Desvio = raiz Desvio = raiz

(19,50)(19,50)

Desvio = 4,4159Desvio = 4,4159

BRUNIBRUNIPensando mais …Pensando mais …

Ops … Ops … População ou amostra?População ou amostra?

BRUNIBRUNI

VariânciaVariância

DesvioDesvioPadrãoPadrão

PopulacionalPopulacional AmostralAmostral

Algumas formulazinhasAlgumas formulazinhas

BRUNIBRUNIA herança de Felisberto ...A herança de Felisberto ...

Nosso amigo Nosso amigo recebeu $400 recebeu $400

mil de mil de herança e herança e

deseja aplicar deseja aplicar ......

BRUNIBRUNIUma dica quente!Uma dica quente!

EscolhaEscolhaA ou BA ou B

BRUNIBRUNIOs dados …Os dados …

MêsRetornos

% da ação A

Retornos % da

ação B

2 15 11

4 13 9

Calcule:Calcule:a)a) MédiaMédiab)b) MedianaMedianac)c) ModaModad)d) AmplitudeAmplitudee)e) Variância Variância

(Pop)(Pop)f)f) Desvio Desvio

padrãopadrão(Pop)(Pop)

BRUNIBRUNIEstatísticas de AEstatísticas de A

Mês A (A – M)2

1 1 49

2 15 49

4 13 25

5 3 25

Soma 40 148

Contagem 5 5

Soma/Cont 8 29,6

Média Variância

Mediana 8

Moda -

Desvio 5,44

RaizRaiz

BRUNIBRUNIEstatísticas de BEstatísticas de B

Mês B (A – M)2

2 11 9

Soma 40 20

Contagem 5 5

Soma/Cont 8 4

Média Variância

Mediana 8

Moda -

Desvio 2,00

RaizRaiz

BRUNIBRUNIConcluindo …Concluindo …

Média 8 8

Desvio 5,44 2,00

Para um mesmoPara um mesmopetisco …petisco …

Melhor tem menorMelhor tem menorrisco!!risco!!

BRUNIBRUNISignificado do desvio padrãoSignificado do desvio padrão

De um modo geral, o desvio padrão De um modo geral, o desvio padrão

representa a mais clássica medida representa a mais clássica medida

de dispersão da estatística. Sua de dispersão da estatística. Sua

associação ao valor da média, associação ao valor da média,

somado ou subtraído, permite somado ou subtraído, permite

encontrar e determinar as encontrar e determinar as

freqüências relativas dos valores freqüências relativas dos valores

analisados. Uma metodologia analisados. Uma metodologia

razoavelmente simples para razoavelmente simples para

entender a distribuição de um entender a distribuição de um

conjunto de dados é fornecida pelo conjunto de dados é fornecida pelo

Teorema de Chebyshev.Teorema de Chebyshev.

BRUNIBRUNITeorema de ChebyshevTeorema de Chebyshev

Para qualquer grupo de Para qualquer grupo de

valores de uma amostra ou valores de uma amostra ou

uma população, a proporção uma população, a proporção

mínimamínima de valores que se de valores que se

encontram dentro de k encontram dentro de k

desvios padrões ao redor da desvios padrões ao redor da

média é pelo menos igual a média é pelo menos igual a

[1 – (1/k[1 – (1/k22)], sendo k uma )], sendo k uma

constante maior que 1.constante maior que 1.

BRUNIBRUNICoeficiente de variaçãoCoeficiente de variação

MedidasMedidasOrdenamentoOrdenamento

Medidas deMedidas deordenamento e formaordenamento e forma

OrdenamentoOrdenamento

““Posição Posição relativa”relativa”

BRUNIBRUNIDividem a série ordenadaDividem a série ordenada

MedianaMediana

Divide ao meioDivide ao meio QuartisQuartis

Dividem em quatroDividem em quatro DecisDecis

Dividem em dezDividem em dez Centis ou PercentisCentis ou Percentis

Dividem em cemDividem em cem

FormaForma

““É normal?”É normal?”

BRUNIBRUNITipos principais de medidasTipos principais de medidas

AssimetriaAssimetria

CurtoseCurtose

BRUNIBRUNIAssimetriaAssimetria

Analisa a Analisa a concentração concentração

das das distribuições de distribuições de frequência em frequência em torno do eixotorno do eixo

BRUNIBRUNIAfastamento ao eixo de simetriaAfastamento ao eixo de simetria

Altura do aluno

BRUNIBRUNICalculando a assimetriaCalculando a assimetria

11oo Coeficiente de Coeficiente de Pearson: Pearson:

22oo Coeficiente de Coeficiente de Pearson:Pearson:

BRUNIBRUNICurtoseCurtose

Analisa o Analisa o achatamentoachatamento

da curvada curva

BRUNIBRUNIAnalisando o achatamentoAnalisando o achatamento

FreqüênciaFreqüência

Variável XVariável XMédiaMédia

MesocúrticaMesocúrticaPerfeitaPerfeita

LeptocúrticaLeptocúrticaAlongadaAlongada

PlaticúrticaPlaticúrticaAchatadaAchatada

BRUNIBRUNIDiferentes curtosesDiferentes curtoses

BRUNIBRUNICalculando a curtoseCalculando a curtose

QQ33 = 3 = 3oo quartil quartil

QQ11 = 1 = 1oo quartil quartil

PP9090 = 90 = 90oo percentil percentil

PP1010 = 10 = 10oo percentil percentil 1090

k=0,263: distribuição mesocúrticadistribuição nem chata nem delgada.k > 0,263: distribuição leptocúrticadistribuição delgadak<0,263: distribuição platicúrticadistribuição achatada

ProbabilidadeProbabilidade

ProbabilidadeProbabilidade6

Distribuição deDistribuição deProbabilidadeProbabilidade

BRUNIBRUNIRecordar é viver ...Recordar é viver ...

Estatística ... Dados -> Estatística ... Dados -> InformaçãoInformação

VariáveisVariáveis Qualitativas: tabulaçãoQualitativas: tabulação Quantitivas: medidas Quantitivas: medidas

estatísticasestatísticas Medidas usuaisMedidas usuais

Posição central: médiaPosição central: média Dispersão: desvio Dispersão: desvio

padrãopadrão Cuidado sempre Cuidado sempre

presente: Extremospresente: Extremos

BRUNIBRUNIDistribuições teóricasDistribuições teóricas

Distribuição NormalDistribuição Normal

““Curva normal Curva normal dos erros”dos erros”

BRUNIBRUNIA curva normal dos errosA curva normal dos erros

Usando a média e oUsando a média e odesviodesvio

BRUNIBRUNI

De Moivre Laplace GaussGauss

Três personagens ilustresTrês personagens ilustres

BRUNIBRUNIUma forma curiosa …Uma forma curiosa …

BRUNIBRUNIMédias, desvios e sinos …Médias, desvios e sinos …

Uso da curva normalUso da curva normal

Variável XVariável XMédiaMédia

Alta frequênciaAlta frequência

BaixaBaixafrequênciafrequência

Área sob a curva permite obterÁrea sob a curva permite obteras probabilidadesas probabilidades

BRUNIBRUNIExemplos de curvasExemplos de curvas

BRUNIBRUNICaracterísticas da curvaCaracterísticas da curva

Na teoria, prolonga-se Na teoria, prolonga-se de – infinito a + infinitode – infinito a + infinito Área sob toda a curva Área sob toda a curva

igual a 100%igual a 100%

SimétricaSimétrica Área de cada lado igual a Área de cada lado igual a

50%50%

BRUNIBRUNI Um sino de múltiplos usosUm sino de múltiplos usos

BRUNIBRUNI

Probabilidade

– 3 – 2 – 1 0 + 1 + 2 + 3

Áreas sob a curva normalÁreas sob a curva normal

68%68%

95%95%

99%99%

BRUNIBRUNI

Eu encontrei a Eu encontrei a função matemática função matemática

da curva!da curva!

Uma contribuição importanteUma contribuição importante

Áreas sob a curva poderiaÁreas sob a curva poderiaser obtida pelo cálculoser obtida pelo cálculodas integrais definidasdas integrais definidas

Que trabalho!!!Que trabalho!!!

BRUNIBRUNIAinda bem!Ainda bem!

Mas … ainda bem as Mas … ainda bem as áreas já estão calculadas áreas já estão calculadas em em tabelastabelas padronizadas padronizadas

Tabelas permitem obter Tabelas permitem obter de forma rápida e simples de forma rápida e simples os valores das áreas sob os valores das áreas sob a curvaa curva

Para isso …. é preciso Para isso …. é preciso calcular valores calcular valores padronizados da variávelpadronizados da variável

BRUNIBRUNIPara sempre lembrar!Para sempre lembrar!

Uma fábrica de Uma fábrica de esmaltes de unha esmaltes de unha

analisa a sua analisa a sua produçãoprodução

Fascos de Fascos de esmalteesmalte

BRUNIBRUNIProbabilidades na curvaProbabilidades na curva

Apresenta uma produção Apresenta uma produção

normalmente distribuída, com normalmente distribuída, com

média igual a 12g e desvio 4g.média igual a 12g e desvio 4g.

Variável XVariável X = 12= 12

= 4= 4

BRUNIBRUNIA gerência industrial quer saber A gerência industrial quer saber ……

a) Qual a a) Qual a

probabilidade de um probabilidade de um

frasco escolhido ao frasco escolhido ao

acaso apresentar acaso apresentar

um peso entre um peso entre 1212 e e

14,5614,56 g? g?

BRUNIBRUNIAssinalando a área no gráficoAssinalando a área no gráfico

Variável XVariável X1212

= 4= 4

14,5614,56

BRUNIBRUNIConvertendo a variável originalConvertendo a variável original

x Número deNúmero dedesvios dedesvios de

afastamentoafastamentoem relaçãoem relação

à médiaà média

BRUNIBRUNICalcule a probabilidade ...Calcule a probabilidade ...

ProbabilidadeProbabilidadeem tabela Zem tabela Z

1217 Z

Z = +0,64Z = +0,640,640,6400

= 4= 4

14,5614,56

BRUNIBRUNIAs tabelas …As tabelas …

Facilitam Facilitam os os

cálculos!cálculos!

BRUNIBRUNITabelas facilitam os cálculosTabelas facilitam os cálculos(Entre a Média e Z)(Entre a Média e Z)

Z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09

0,00 0 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359

0,10 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753

0,20 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141

0,30 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517

0,40 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879

0,50 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224

0,60 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,2549

0,70 0,2580 0,2611 0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852

0,80 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3078 0,3106 0,3133

0,90 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0,3389

1,00 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621

1,10 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830

1,20 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,4015

1,30 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177

1,40 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319

Para Z =0,64

0,2389

BRUNIBRUNICuidado!!!Cuidado!!!

Existem diferentes tipos Existem diferentes tipos

de tabelade tabela

Mais comuns …Mais comuns …

Área entre a média e ZÁrea entre a média e Z

No Excel …No Excel …

Área entre menos Área entre menos

infinito e Z!infinito e Z!

= 4= 4

b) Entre 12 e 17g. b) Entre 12 e 17g.

1217 Z

Z = +1,25Z = +1,251,251,2500

BRUNIBRUNINa tabela …Na tabela …

Z = +1,25Z = +1,251,

200,050,05

Z 0,04 0,05 0,06

0,00 0,0160 0,0199 0,0239

0,10 0,0557 0,0596 0,0636

... ... ... ...

1,10 0,3729 0,3749 0,3770

1,20 0,3925 0,3944 0,3962

1,30 0,4099 0,4115 0,4131

Área = 39,44%Área = 39,44%

= 4= 4

c) Entre 6 e 12g c) Entre 6 e 12g

Z = -1,5Z = -1,5-1,5-1,5 00

BRUNIBRUNIComo a curva é simétrica …Como a curva é simétrica …

O que vale O que vale para o lado para o lado positivo positivo vale para o vale para o lado lado negativonegativo

BRUNIBRUNI

Z 0,00 0,01 0,02

0,00 (0,0000) 0,0040 0,0080

0,10 0,0398 0,0438 0,0478

1,50 0,4332 0,4345 0,4357

Na tabela …Na tabela …

Z = -1,50Z = -1,501,

500,000,00Área = 43,32%Área = 43,32%

= 4= 4

d) Entre 11 e 15g d) Entre 11 e 15g

1111ZZ

-0,25-0,25 00

1515-0,75-0,75

Área = 9,87%Área = 9,87%

Área = 27,34%Área = 27,34%

Área total = 37,21%Área total = 37,21%

= 4= 4

d) Entre 13 e 17g d) Entre 13 e 17g

Área = 9,87%Área = 9,87%

Área = 39,44%Área = 39,44%

Área diferença = 29,57%Área diferença = 29,57%

BRUNIBRUNIInvertendo a ordem da procuraInvertendo a ordem da procura

Em algumas Em algumas situações, com situações, com base na base na probabilidade é probabilidade é preciso obter os preciso obter os valores de Xvalores de X

Alguns cuidados Alguns cuidados são necessários …são necessários …

BRUNIBRUNIUm procedimento invertidoUm procedimento invertido

Variável XVariável Xmédiamédia

Calcule o valor de Z para áreaCalcule o valor de Z para área

central igual a 90%central igual a 90%

Área de cada ladoÁrea de cada lado = 90%/2 = 45% = 90%/2 = 45%

Z = +/-1,65Z = +/-1,65

90%90%0,45050,45051,601,60

0,050,05

BRUNIBRUNIPara nunca esquecer …Para nunca esquecer …

ExercíciosExercíciosResolva Resolva

os os exercícioexercício

s do s do livro!!!livro!!!

BRUNIBRUNIAnexos …Anexos …

Distribuição Distribuição Normal Normal

PadronizadaPadronizada

BRUNIBRUNITabelas de Z (1)Tabelas de Z (1)