estatística: aplicação ao sensoriamento remoto ser 203 - ano 2014 inferência estatística camilo...

Estatística: Aplicação ao Sensoriamento RemotoEstatística: Aplicação ao Sensoriamento Remoto

SER 203 - ANO 2014SER 203 - ANO 2014

Inferência EstatísticaInferência Estatística

Camilo Daleles Rennócamilo@dpi.inpe.brhttp://www.dpi.inpe.br/~camilo/

estatistica/

Inferência EstatísticaInferência Estatística

DISTRIBUIÇÃO CONHECIDAPARÂMETRO(S) DESCONHECIDO(S)

Considere o experimento: retiram-se 3 bolas de uma urna (com reposição). Define-se uma v.a. X cujo valor representa o número total de bolas vermelhas dentre as 3 escolhidas. Qual a média e variância de X?

Quais os valores possíveis de X?X: {0, 1, 2, 3}

Qual a distribuição de probabilidade de X?Binomial

Quais os parâmetros que definem uma Binomial?n e p

n = 3p = ?

Inferência EstatísticaInferência Estatística

Numa imagem, um pixel é selecionado ao acaso. Define-se uma v.a. X cujo valor representa seu valor digital. Qual a probabilidade deste pixel possuir valor entre 100 e 150?

Quais os valores possíveis de X?X: {0, 1, ..., 255} (considerando uma imagem 8 bits)

Qual a distribuição de probabilidade de X?Desconhecida (discreta)

Que parâmetros são necessários para definir esta distribuição????????

DISTRIBUIÇÃO DESCONHECIDA

Inferência EstatísticaInferência Estatística

S

amostra

inferir certas características da população

distribuição desconhecidae/ou

parâmetros desconhecidos

n indivíduos (ou objetos) da população

ex: sortear n pixels de uma imagem(com ou sem reposição)

n realizações da v.a.ex: medir a reflectância de um

objeto n vezes

a amostra constitui um conjunto de n v.a.X1, X2, ..., Xn com mesma distribuição (desconhecida)

Amostra Aleatória

Estimação de ParâmetrosEstimação de Parâmetros

População Amostra

Distribuição de Probabilidade (ou FDP)

Parâmetros

Distribuição Amostral (Frequências)

Estatísticas(valor fixo)

estimar

(variável aleatória)

pontual (estatísticas)

por intervalo (intervalos de confiança)Estimação

OBS: estatística:é a v.a. que estima (pontualmente) um parâmetro (populacional) as vezes é chamada simplesmente de estimadorestimativa: é o valor do estimador obtido para uma amostra específica

método dos momentosmétodo da máxima verossimilhança

Estimação PontualEstimação Pontual

• média populacional

De que maneira os valores da amostra podem ser combinados a fim de se produzir uma “boa” estimativa de ?

Seja X uma v.a. normalmente distribuída com a média () e a variância (2) desconhecidas. Retira-se uma amostra de tamanho n com a finalidade de se estimar e 2.

Estimação PontualEstimação Pontual

• média populacional

De que maneira os valores da amostra podem ser combinados a fim de se produzir uma “boa” estimativa de ?

ˆk é o k-ésimo estimador de

Mas qual é o melhor estimador pontual?

• não tendencioso

ˆ( )kE • variância mínima

ˆ ˆ( ) ( )k jVar Var k j

Seja X uma v.a. normalmente distribuída com a média () e a variância (2) desconhecidas. Retira-se uma amostra de tamanho n com a finalidade de se estimar e 2.

ExatoImprecis

o

InexatoPreciso

Tiro ao alvo

Estimação PontualEstimação Pontual

• média populacional

De que maneira os valores da amostra podem ser combinados a fim de se produzir uma “boa” estimativa de ?

1

n

ii

x

n

ˆ X 1

( )N

j jj

x FR X x

dados agrupados

Seja X uma v.a. normalmente distribuída com a média () e a variância (2) desconhecidas. Retira-se uma amostra de tamanho n com a finalidade de se estimar e 2.

média amostral

Estimação PontualEstimação Pontual

Seja X uma v.a. normalmente distribuída com a média () e a variância (2) desconhecidas. Retira-se uma amostra de tamanho n com a finalidade de se estimar e 2.

• média populacional

De que maneira os valores da amostra podem ser combinados a fim de se produzir uma “boa” estimativa de ?

ˆ( ) ( )E E X

• verificando a tendenciosidade de

1 2 nX X XE

n

1 2

1nE X X X

n

n

n

estimador

não tendencioso

X

Estimação PontualEstimação Pontual

Seja X uma v.a. normalmente distribuída com a média () e a variância (2) desconhecidas. Retira-se uma amostra de tamanho n com a finalidade de se estimar e 2.

• média populacional

De que maneira os valores da amostra podem ser combinados a fim de se produzir uma “boa” estimativa de ?

ˆ( ) ( )Var Var X 1 2 nX X XVar

n

1 22

1nVar X X X

n

2

2

n

n

2

n

• calculando a variância deX

Estimação PontualEstimação Pontual

Seja X uma v.a. normalmente distribuída com a média () e a variância (2) desconhecidas. Retira-se uma amostra de tamanho n com a finalidade de se estimar e 2.

• média populacional

De que maneira os valores da amostra podem ser combinados a fim de se produzir uma “boa” estimativa de ?

ˆ( )E 2

ˆ( )Varn

1

n

ii

x

n

ˆ X

Estimação PontualEstimação Pontual

Seja X uma v.a. normalmente distribuída com a média () e a variância (2) desconhecidas. Retira-se uma amostra de tamanho n com a finalidade de se estimar e 2.

• variância populacional 2

De que maneira os valores da amostra podem ser combinados a fim de se produzir uma “boa” estimativa de 2?

2

2 1ˆ

n

ii

x X

n

Mas será um estimador tendencioso?

2 2 2

1 1

2n n

i i ii i

X X X XX X

Estimação PontualEstimação Pontual

Seja X uma v.a. normalmente distribuída com a média () e a variância (2) desconhecidas. Retira-se uma amostra de tamanho n com a finalidade de se estimar e 2.

• variância populacional 2

De que maneira os valores da amostra podem ser combinados a fim de se produzir uma “boa” estimativa de 2?

2

2 1ˆ

n

ii

x X

n

2 2

1 1

2n n

i ii i

X X X nX

1

1

n

i ni

ii

XX X nX

n

2 2

1

n

ii

X nX

2 2 2

1

2n

ii

X nX nX

Estimação PontualEstimação Pontual

Seja X uma v.a. normalmente distribuída com a média () e a variância (2) desconhecidas. Retira-se uma amostra de tamanho n com a finalidade de se estimar e 2.

• variância populacional 2

De que maneira os valores da amostra podem ser combinados a fim de se produzir uma “boa” estimativa de 2?

2

2 1ˆ

n

ii

x X

n

2 2

2 1ˆ

n

ii

X nXE E

n

2 2

1

1 n

ii

E X E Xn

2 2

1

1 n

ii

E X E Xn

2( )iVar X 22i iE X E X 2 2

iE X 2 2 2iE X

Estimação PontualEstimação Pontual

Seja X uma v.a. normalmente distribuída com a média () e a variância (2) desconhecidas. Retira-se uma amostra de tamanho n com a finalidade de se estimar e 2.

• variância populacional 2

De que maneira os valores da amostra podem ser combinados a fim de se produzir uma “boa” estimativa de 2?

2

2 1ˆ

n

ii

x X

n

2 2

2 1ˆ

n

ii

X nXE E

n

2 2

1

1 n

ii

E X E Xn

2 2

1

1 n

ii

E X E Xn

2

( )Var Xn

22E X E X 2 2E X

22 2E X

n

Estimação PontualEstimação Pontual

Seja X uma v.a. normalmente distribuída com a média () e a variância (2) desconhecidas. Retira-se uma amostra de tamanho n com a finalidade de se estimar e 2.

• variância populacional 2

De que maneira os valores da amostra podem ser combinados a fim de se produzir uma “boa” estimativa de 2?

2

2 1ˆ

n

ii

x X

n

2 2

2 1ˆ

n

ii

X nXE E

n

2 2

1

1 n

ii

E X E Xn

2 2

1

1 n

ii

E X E Xn

2

2 2 2

n

2 2 2iE X

2

2 2E Xn

2 2n

n

21n

n

estimadortendencioso!

2

2 1ˆ1

n

ii

x Xn

n n

Estimação PontualEstimação Pontual

Seja X uma v.a. normalmente distribuída com a média () e a variância (2) desconhecidas. Retira-se uma amostra de tamanho n com a finalidade de se estimar e 2.

• variância populacional 2

De que maneira os valores da amostra podem ser combinados a fim de se produzir uma “boa” estimativa de 2?

2

2 1

1

n

ii

x Xs

n

2 2E s estimador

não tendencioso

(ver Estimadores.xls)

variância amostral

1

1

( )

( )

N

j j Nj

j jj

x FA X x

X x FR X xn

1

n

ii

xX

n

Estimação Pontual de Estimação Pontual de e e 22

X• média amostralValor

Freq. Absolut

a

Freq. Relativa

0 1 1/121 2 1/62 4 1/33 3 1/44 1 1/125 1 1/12

Total 12 1

Exemplo: uma amostra (n = 12) é retirada de uma população e os seguintes valores são observados: 0, 2, 3, 5, 2, 1, 2, 1, 3, 3, 4, 2. Calcule a média e variância amostrais.

distribuição amostral

0 2 3 ... 2 7

12 3X

0*1 1*2 2*4 3*3 4*1 5*1 7

12 3X

1 1 1 1 1 1 70* 1* 2* 3* 4* 5*

12 6 3 4 12 12 3X

(usando FA)

(usando FR)

(dados brutos)

(dados agrupados)

2 2 2

1 12

( ) ( )

1 1

N N

j j j jj j

x X FA X x x FA X x nX

sn n

(dados

agrupados)

2 2

1

1

n

ii

x nX

n

2

2 1

1

n

ii

x Xs

n

Estimação Pontual de Estimação Pontual de e e 22

• variância amostral s2

Exemplo: uma amostra (n = 12) é retirada de uma população e os seguintes valores são observados: 0, 2, 3, 5, 2, 1, 2, 1, 3, 3, 4, 2. Calcule a média e variância amostrais.

22 2 22 2 2 77 7 732 3 3 3

(0 2 ... 2 ) 12*(0 ) (2 ) ... (2 )1,88

11 11s

ValorFreq.

Absoluta

Freq. Relativa

0 1 1/121 2 1/62 4 1/33 3 1/44 1 1/125 1 1/12

Total 12 1

22 2 22 2 2 77 7 732 3 3 3

(0 *1 1 *2 ... 5 *1) 12*(0 ) *1 (1 ) *2 ... (5 ) *11,88

11 11s

distribuição amostral

(dados brutos)

7

3X