estatística amintas paiva afonso. correlação e regressão

Estatísticaamintas paiva

afonso

Correlação e Regressão

Associação &Variáveis Quantitativas

Situação 1: Deseja-se realizar uma investigação sobre a ocorrência de anemia e infecção em uma comunidade. Seria interessante poder estimar a concentração de hemoglobina e a contagem de eritrócitos e leucócitos no sangue pela medida do hematócrito. Para verificar a possibilidade de se usar tal procedimento, é conduzido um estudo-piloto a partir dos resultados da rotina de um laboratório de hematologia.

Como verificar se essas variáveis estão associadas?

Testes de Hipóteses?

• Estabelecem se existe associação entre duas variáveis, mas...

• Não quantificam a força da associação; e

• Não permitem representar a relação existente sob uma forma funcional.

Exame Leucócito Eritrócito Hemoglobina Hematócrito(103/mm3) (106/mm3) (g/dl) (%)

1 6.8 4.50 14.6 412 9.7 5.20 15.6 473 4.3 4.55 14.4 414 7.9 4.65 14.4 415 7.4 4.40 13.8 406 7.6 4.40 14.0 407 2.8 4.30 13.6 408 7.8 4.60 13.8 429 5.5 4.90 15.2 4410 4.6 4.10 13.0 3911 8.0 5.00 17.0 4612 7.0 5.17 16.0 4713 7.1 4.20 11.7 35... ... ... ... ...

138 10.5 4.50 13.4 39139 6.9 4.50 14.2 40140 13.5 4.45 13.6 40141 8.3 3.70 11.0 33142 7.0 4.30 12.7 38143 4.3 4.67 14.0 43144 2.7 4.40 12.7 39145 11.2 4.40 13.3 38147 5.9 4.40 11.9 37148 12.3 4.24 10.0 31

Associação &Variáveis Quantitativas

É possível fazer um gráfico das variáveis de interesse e analisar a existência de uma relação a partir da análise desse gráfico.

Associação &Variáveis Quantitativas

Diagrama de Dispersão

• Representação gráfica que permite a visualização do comportamento conjunto das duas variáveis.

• É gráfico sobre o qual cada medida individual é representada por um ponto, sendo que a posição de cada ponto é determinada pelos valores observados em um indivíduo, para as duas características medidas (por exemplo, hematócrito e hemoglobina). É denominado, também, de gráfico XY.

Diagrama de Dispersão

Análise

• Parece não haver uma relação entre o valor do hematócrito e o valor do leucócito.

Diagrama de Dispersão

Análise

• Há uma relação crescente entre o valor do hematócrito e o valor de hemoglobina.

• Esta relação parece ser linear.

Diagrama de Dispersão

Análise

• Há uma relação crescente entre o valor do hematócrito e o valor do eritrócito.

• Esta relação parece ser linear.

Diagramas

de Dispersão

A análise não é alterada, se trocamos as variáveis X e Y, ou seja, a existência ou não da relação não depende de qual variável é considerada independente.

O modelo matemático, porém, será alterado a depender de quem é X.

Associação &Variáveis Quantitativas

Coeficiente de correlação linear de Pearson

Valor numérico que mede a intensidade da associação linear existente entre as duas variáveis, medida a partir de uma série de observações.

Karl Pearson(1857 – 1936)

Coeficiente de Correlação Linear

Medindo a Força da Associação

n

yy

n

xx

n

yxxy

r2

2

2

2

Coeficiente de Correlação Linear

Interpretando o valor de r

r - assume valores entre – 1 e + 1 inclusive.

• r – 1 associação linear negativa;

x y

x y

• r 0 ausência de associação linear;

• r + 1 associação linear positiva;

Coeficiente de Correlação Linear

0

5

10

15

20

0 5 10

r = +1

0

10

20

30

40

50

60

0 5 10

r 0

0

5

10

15

20

0 5 10

r + 0,80

0

5

10

15

20

25

30

0 5 10

r - 0,800

5

10

15

20

25

30

0 5 10

r = - 1

Relação perfeita Relação

perfeita

Teste de Hipóteses sob o Coeficiente de Correlação Linear

Testamos a hipótese nula: (bicaudal)0:0 rH

A estatística do teste é dada por:

21

2

r

nrt

e sob H0 , t tem distribuição t-Student com (n - 2) graus

de liberdade.

Coeficiente de Correlação Linear Teste de Hipóteses

Exemplo 1: Vamos calcular o coeficiente de Pearson entre as variáveis hemoglobina e hematócrito.

98,21

148 ,88,0

t

nr

Para = 0,05 temos:

2,5% 2,5%

0

1,96

Rejeita se .

crítico críticot t t

H

Há correlação entre hematócrito e hemoglobina.

Exemplo 2: Vamos calcular o coeficiente de Pearson entre as variáveis leucócito e hematócrito.

3492,0

148 ,0289,0

t

nr

Para = 0,05 temos:

2,5% 2,5%

0

1,96

Aceita se .

crítico críticot t t

H

Não há correlação entre hematócrito e leucócito.

Coeficiente de Correlação Linear Teste de Hipóteses

Associação &Variáveis

Quantitativas

Modelos de Regressão

• Modelo matemático para a relação linear analisada.

• Permite a predição de uma variável em função de outra.

Modelos LinearesSituação 2: Uma vez verificada a existência de uma relação entre a quantidade de hemoglobina e o número de hematócritos, desejamos desenvolver um modelo para estimar a medida de hemoglobina (variável y) a partir da medida de hematócrito (variável x).

Qual a reta que melhor se ajusta a estes dados?

4,00

6,00

8,00

10,00

12,00

14,00

200 400 600 800 1000 1200hematócrito

hem

oglo

bina

Modelos Lineares

Equação da Reta

0

5

10

15

20

25

0 2 4 6

x

y

Inclinação da reta

Intercepto y

a a e b - parâmetros da reta

bxay

b

Regressão Linear Simples

Método dos Mínimos QuadradosO objetivo é minimizar a soma do quadrado dos erros:

Obtendo os valores de e que minimizam a equação acima.

0b 1b0

2

4

6

8

10

12

0 2 4 6 8 10x

y

erro

( )i iy y

2^

yySQR

Regressão Linear Simples

Método dos Mínimos Quadrados

bxay ˆ

n

xx

n

yxxy

b 22

xbya

Podemos utilizar a reta de regressão para estimar os valores de .y

Reta de Regressão & Estimativa

Estimativa da Medida de Hemoglobina

Análise

O valor de homoglobina média estimada, para um valor observado de hematócrito igual a 40%, é de 13,97 g/dl.

4,00

6,00

8,00

10,00

12,00

14,00

200 400 600 800 1000 1200hematócrito

hem

oglo

bina

HtHb 2434,02327,4

)/(97,13

%40 Se

dlgHb

Ht

Suponha que desejemos considerar o hematócrito como variável dependente. Neste caso, podemos calcular outra reta de regressão, pelo método dos mínimos quadrados, considerando a hemoglobina como variável x (independente) e o hematócrito como variável y (dependente).

Reta de Regressão & Estimativa

Estimativa da Medida de Hematócrito

O valor de hematócrito médio estimado, para um valor observado de hemoglobina Hb = 13,97 g/dl, é de 40,54%. Note que a reta, para Ht, não é a inversa da obtida para Hb.

HbHt 9017,200073,0

%54,40

)/(97,13 Se

Ht

dlgHb

Exemplo 1:

Encontre a linha de regressão dos mínimos quadrados para os dados sobre renda e gasto com alimentação nos sete domicílios apresentados na tabela abaixo. Utilize renda como uma variável independente e gasto com alimentação como uma variável dependente.

Renda x

Gasto com Alimentaçãoy

xy x2

35 9 315 1225

49 15 735 2401

21 7 147 441

39 11 429 1521

15 5 75 225

28 8 224 784

25 9 225 625

212 64 2150 7222

1429,97

64

2857,307

212

7222

2150

64

212

2

n

yy

n

xx

x

xy

y

x

2642,07

2127222

764212

2150

2

b

b

1414,1)2857,30).(2642,0(1429,9 a

xy 2642,01414,1^

Qualidade do Ajuste na Regressão

Coeficiente de Determinação

R2 = proporção da variabilidade de y que é explicada pelo modelo (reta de regressão)

20 1R

Se R2 = 0,90 significa que 90% da variação em y pode ser explicada pela equação obtida.

Qualidade do Ajuste na Regressão Coeficiente de Determinação

Quando fazemos uma regressão linear, os valores observados (x,y) estão espalhados ao redor da reta de regressão. Quanto menor for este espalhamento, melhor a reta de regressão representa o conjunto de valores observados. A variância amostral total, como estimador do espalhamento, pode ser decomposta da seguinte forma:

n

yy

n

yxxyb

r 22

2

Qualidade do Ajuste na Regressão Coeficiente de Determinação

Exemplo 2:

Para os dados da tabela do exemplo 1, sobre rendas mensais e gastos mensais com alimentação de sete domicílios, calcule o coeficiente de determinação.

b=0,2642SQxy=211,7143SQyy=60,8571

92,0

8571,60

7143,2112642,02 r

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