esforços solicitantes - diagramas com resposta

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS

TEORIA DAS ESTRUTURAS

ESFORÇOS SOLICITANTES

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

SOLUÇÃO

4,8

2,4

5,6

2,4t

7,2

5,4

4m 2m

10,4t

A

1,2t/m

B

1,0

4,0

2,4

3,8

4,2

3,60,4

2m 4m

6,0

8,0t

2m

(tm)

1,8(t)

V

3,75

5m

1,8t

M

0,8t/m

3t

C

1,2t/m

D

JLSerra

1

b)

2,0

5,5

2m

Exercício 03) Conhecido o diagrama de V, reconstituir o carregamento, reações e traçar diagrama de M.

Exercício 02) Sem determinar as reações traçar diagrama de Momento Fletor:

Exercício 01) Traçar diagramas dos esforços solicitantes:

Esforços Solicitantes - Exercícios Folha 01/14

a)

d)

3m2m 3m

1,5

V

a)

4,5

4m

0,5

4m

6m

4m

1t/m

2t

2m

2m2m

2t

2m

f)

c)

1t/m

2t/m

4m

1t/m

a)

4m

1t/m

4m

2t

3m

d)

3t

4

2

4m

V

4

b)

2m

6m2m

e)

4m2m

2

4m 2m

JLSerra

6

6m

2t

2m

2tc)

2tm

g)

4m

1t/m

2m

3m

1t/m

2m2m

b)

2t

4m

1t/m

6m2m

1t/m

4m

e)

2m

2t

Forças em toneladas

1t/m

4m 2m 2m

1t

4m 2m

2

3m

3,23

Esforços Solicitantes - Exercícios Folha 02/14

3,23

f) Viga Contínua (há necessidade de calcular a reação M no engaste!)

e) Viga Contínua (há necessidade de calcular a reação M no engaste!)

4,80

1m

V

2,00

4m

6,28

V

3m

1,53

V

8m

2m

2,04

2,00

6,52

3,30

0,04

2,96

2m

1,77

3,77

3m

2,47

3m

0,23

0,23

2,74

d) Viga Contínua (há necessidade de calcular a reação M no engaste!)

c) Viga Gerber

4m 3m 2m

6,02

4m

1,00

2,70

1,22

5,58

4m

3,77

0,78

4m

1,26

4m

2,4

5,6

4,8

1,0

4,0

4m 2m 2m

4,2

3,8

4m 2m 5m

1,8

V

JLSerra

3

Esforços Solicitantes - Exercícios Folha 03/14

0,8t/m

Exercício 05) Determinar: a) Diagramas de M e V e assinalar M extremos;

b) a posição de Mnulo no trecho AB.

2m3m 2m 2m4m

2t

0,8t/m1,2t/m

2m 5m2m

0,8t/m

2t

1,2t/m

5m2m 4m

Exercício 04) Para a Viga Gerber da figura, traçar diagramas de M e V e assinalar Mextremos.

0,8t/m

2m2m 3m

2t

1t

4m 2m 3m 3m 2m 4m

1,2t/m0,8t/m

5m 2m 2m 2m4m 3m

2t

A B C D

a)

b)

c)

JLSerra

2m

4

3t

Exercício 06) Traçar diagramas dos esforços solicitantes:

2m4m

i)

3m

3m

4m

4m

2t/m

2m

4,5

mg)

c) 1t/

m

2m

2m

1,5

m1,5

m1,5

m

4m 2m

4ma)

1t/

m

2m2m

3m

4t

4m4m

j)

3m

4m

1t/m

2m 2m

2t

2t

2t

2t

h)

d)

3m

1,5

m1,5

m

2t

2m

b)

2m

2m

1t

2t

1t/m

3m

2m

1t/m

4m 2m

4t

2m

2m

4m

1t

1t/m

Esforços Solicitantes - Exercícios Folha 04/14

1t/m 1,2t/m

3t

2m

1m 5m 2m

4m

3m 3m

4m

4me) f)

JLSerra

5

2a

07) Traçar os diagramas dos momentos fletores para as estruturas auto-equilibradas.

h

a

qa/2

a

h q

LP

a

qa/2

P/a

P

a

a

a

P

P

a

2a

a

a

P

a

a

a

P

a

P

aa

a

a

aa

a

a

P

P

a

a

a

P

2a

2R

a

P

P

a

aP

a

P

P

a

Pa

a

P

a

Pa

a

P

a

P

q

a a

a

a

q

P

h

P/4a

P

P

P

2R

P

aM

a

a

P

M

a

a

a

a

P

Pa

a

a

P

a

a

a

Pa

Esforços Solicitantes - Exercícios Folha 05/14

JLSerra

6

Esforços Solicitantes - Exercícios - RESPOSTAS Folha 06/14

Exercício 01) Traçar diagramas dos esforços solicitantes:

2t

4m 3m 3m

2t/m1t/m

3t

4m 4m 2m

1t/m

4m

2m

4m 2m 2m 2m

2t

1t/m

4m

1t/m

4m 2m

2m2m 4m 2m

1t

1t/m

2m 2m 6m

1t/m 1t/m

2tm

2t 1t/m

9,1t 7,9t

20,4 19,2

4,01,125

1,1259,1

1,11,9

4,97,9

2,5t 3,5t

2,0

2,0

4,0

2,5

1,5

2,0

2,0t

2,0t

2,75t 3,25t

2,0

2,0

2,0

2,02,0

2,0

3,0

0,5

1,5

4,0

2,75

1,25

2,0

V (t)

M (tm)M (tm)

(t)V

5,0t 3,0t

8,0

8,0

tm

M (tm)

5,0

3,0

(t)V

8,0

zero 9,0t 3,0t

2,02,0

0,58,0

4,0

4,0

5,0

1,0

1,03,0

0,0

M (tm)

2,5t 8,0t 4,5t

V (t)

(tm)

M

V

(t)

V

(t)

M

(tm) M

(tm)

a) b)

c) d) e)

f) g)

4m

(tm)

V

2,0

0,5 4,5

2,0

0,5

5,0

2,5

1,52,5

4,5

3,5

2,5

2,0

JLSerra

7

Exercício 03) Conhecido o diagrama de V, reconstituir o carregamento, reações e traçar diagrama de M

V

4m 2m4m

4,5

5,5

2,0

0,5

1,5

4

6

2

2

V

4m2m 2m

4

Exercício 02) Sem determinar as reações traçar diagrama de Momento Fletor:

2m 3m 3m

6m

2t

2m 2m 6m

2t

1t/m

2m4m 4m

2t

2m 6m

3tm

2t

Esforços Solicitantes - Exercícios - RESPOSTAS Folha 07/14

4,5M (tm)

1,0

3,0

(tm)M

4,0

4,0(tm)M

zero

(tm)M2,0

3,0

4,0(tm)M

zero

2t1t/m

4,5t

2t

7,5t

1t/m2t

2t/m

4,0t 6,0t

a) b)

a) b) c)

d) e)

(t)(t)

10,0

4,0

(tm)

M 8,0 8,0

2,0

1,0(tm)

M

JLSerra

8

Esforços Solicitantes - Exercícios - RESPOSTAS Folha 08/14

3,23

1,53

V

1,772,47

0,23

2,74

4m 3m 2m

3,77

1,26

4m

2t1t/m

0,73tm

1,53t 5,70t 6,51t 1,26t

Ma= -[(1,53-2,47)x4/2 + (3,23+0,23)x3/2 +(-1,77-3,77)x2/2 + (2,74-1,26)x4/2 = -0,73tm

Cáculo de M no engaste: Md-Ma = área do diagrama de V entre A e E (no caso, área total). Como Md=zero, temos:

DA

d) Viga Contínua

c) Viga Gerber

0,73 2,00

2,61

1,125

0,50

2,58

2,96

2,00

(t)

V

M

(tm)

4,8

2,4

5,6

2,4t

7,2

5,4

4m 2m

10,4t

A

1,2t/m

B

1,0

4,0

2,4

3,8

4,2

3,60,4

2m 4m

6,0

8,0t

2m

(tm)

1,8(t)

V

3,75

5m

1,8t

M

0,8t/m

3t

C

1,2t/m

D

Exercício 03) - continuação 1

JLSerra

9

Esforços Solicitantes - Exercícios - RESPOSTAS Folha 09/14

Ma= -[(2,00-2,00)x4/2 + (2,03+0,03)x2/2 + (0,03-2,97)x2/2 + (3,30-2,70)x4/2 + 1x1] = -1,32tm

Cáculo de M no engaste: Me-Ma = área do diagrama de V entre A e E (no caso, área total). Como Me=zero, temos:

10,29t

6,52

Cáculo de M no engaste: Me-Ma = área do diagrama de V entre A e E (no caso, área total). Como Ma=zero, temos:

Me= -4,8x3/2 + (6,28-6,52)x8/2 +(3,77-0,23-3,23)x3 + (5,58+0,78)x4/2 - (1,22+6,02)x4/2 = -8,99tm

2,00

1,32tm

2,00

A

2,00

2,03

4m

1,0t/m

4,03t

2m

11,08t

4,80

f) Viga Contínua

A

6,28

3m

1,6t/m

8m

1,5t/m

0,03

2,97

3,30

2m

6,27t

2,70

4m

3,70t

1,00

1m

E

1t

0,23

3,23

3,77

3m 3m

5,58

3m

3t

0,78

1,22

2t

4m

8,81t

1,2t/m

4m

6,02

(t)

V

6,02t

8,99

tm

E

M

(tm)

3,00

0,750,74

0,50

2,00

1,32

(t)

V

1,32

2,20

1,00

4t

7,208,16

3,152,46

7,23

8,99

(tm)

M12,80

2,402,40

5,49

1,80

e) Viga Contínua

Exercício 03) - continuação 2

JLSerra

10

Esforços Solicitantes - Exercícios - RESPOSTAS Folha 10/14

1t

1,9

0

0,71m

0,8t/m

2,40

2m

2,404,00

3,97

2,4

0

2,4t

4m

0,4

0

0,9

0

7,97t

6,40

2,4t

2m 3m

1,2t/m

A

0,8t/m

B

2,64

3,3m

2,96

3,20

4,0m

3,68

0,4

0,68

2,5 0,4

4,80

1,04

2,64

2m

3,681,60

5m

6,16

2m

3,43

3,10m

1,570,57

3,72

1,08

5,27

2,1

0 2,5

0

1,83t

3m

7,15t

2m

0,4

9

2,4

0

1,08t

4m

C

1,2t/m

D

2,12

0,56

3,20

4,16

(t)

V

1,84

2,56

2,30m

0,4

1,6

1,92

0,4

4,80

M

(tm)

0,9

1,60

2m4m 2m

7,36

2t

3m

1,84

Exercício 04) Para a Viga Gerber da figura, traçar diagramas de M e V e assinalar Mextremos.

a)

V

(t)

M

(tm)

b)

JLSerra

11

Esforços Solicitantes - Exercícios - RESPOSTAS Folha 11/14

0,8t/m

M=1,04x-0,8x /2M=0 em AB:

1,04x

0,8x

2,96

1,04t 6,16t

1,30m

1,04

3,20

0,68

4,80

2,50

A B

5m

1,60

2m

(t)

x(1,04-0,4x)=0

X =0 (ok!) e X =1,04/0,4=2,6m1

3,20

(resposta b)

2

1,84

1,84t7,36t

1,92

2,56

1,60

4,16

4,800,40

4,80

(tm)

0,56

2,30m

2,120,90

V

M

2t

1,60

4m 2m 2m

C

3m

D

2,40t

2,96

1,04

3,04

4,64

4,80

4,32

2,96t

0,402,50

1,16

3,70m

0,48

7,20

9,44t

2m

4,32tm

1,36t

3m 2m 2m

2t

0,8t/m

3,30m

4,80

2,64

1,36

2,00

(t)

V

9,60

7,44t

2,84 (tm)

M

2,50

4,00

3,36t

0,8t/m

2,40t

4m 2m

1,2t/m

2m5m

2t

c)

d)

b) a posição de Mnulo no trecho AB.

Exercício 05) Determinar: a) Diagramas de M e V e assinalar M extremos;

Exercício 04) - continuação

JLSerra

12

1t

1t

1t/m

2m 4m

2m

2m

2m

Exercício 06) Traçar diagramas dos esforços solicitantes:

1t/

m

2m2m

4m

4t

3m

4t4t

zero

8,0

2,0

4,0

4,0

M (tm)

N (t)(t)V

zero

-4,0

zero

4t1t

1t

zero

2,0

2,0

2,0

2,0

1,0

1,0

1,0

1,0

3,0

(tm)M V (t) N (t)

zero

zero zero

-4,0

-1,0

8,0

2,0

8,0

0,5

0,5

6,0

(tm)

M zero

zero

+3

zero

N (t)

4,0

4,0

2,0-3

V

+2

(t)

4,75

-3,2

5

(t)

N

zero

2m

2t

V

(t)

zero

zero

2,0

0

2,00

1,25

2,75

2,00

1

3

M

(tm) 3

2

44

1,5

m

3,25t

zero2t

1,5

m

2t

2m

2t

4m

1t/m

4m

4m

1t/m

3,0t3,0t

1,125t 1,125t (tm)

M

4,50 4,501,125

1,1253,0

3,0

(t)

V(t)

N

-1,125-1,125

-1,1

25

+1,1

25

-3,0

-3,0

3m 3m

Esforços Solicitantes - Exercícios - RESPOSTAS Folha 12/14

JLSerra

13

Exercício 06) - continuação

4t

1t/m

2m

3m

3m

4m 4m

3t

2t/m

2m

4m

4m

3m

3m

1t/m

2t

4m 2m 2m

3m

2t

2t4,5

m

1,5

m1,5

m1,5

m

4m 2m

5,5t

2,5t

4t

12,0

14,0

4,0

12,0

4,0

M (tm)

V (t)

zero

4,0

2,5

1,51,2

4,4

zero

-2,5

3,3

0,9

(t)N

7t 1t

2t 1t

6,0

4,0

-1,0

-2,0

-2,0

4,4

2,0

-1,0

-7,0

5,8

1,0

M (tm)

(t)V

N (t)

3,5t 2,5t

2t2t 2,02,0

(tm)M

V (t)

N (t)3,7 3,1

1,31,9

1,6

1,6

0,8

0,8

2t

6,25t 1,75t

2tnão t

em

M

não t

em

V

9,0

4,0

-2,0

6,25

1,75

M (tm)

N (t)

(t)V

-6,2

5

-2,5

-0,2

5-0

,25

-0,2

5

zero

-1.5

2t

2t

2t

2t

1,75

1,75

zero

zero

-2,5

4,0

-2,0

1,2t/m

3t

2m

1m 5m

4m

2m

1t

0,92t

7,48t

2t

2,0

8,0

2,4

10,4

3,75

0,6

+1,0

-2,0

0,92

5,08

2,4

+2,0

-0,9

2

-2,0 zero

-7,4

8

Esforços Solicitantes - Exercícios - RESPOSTAS Folha 13/14

JLSerra

14

Exercício 07) Esboçar os diagramas dos momentos fletores para as estruturas auto-equilibradas.

PP

a a

P P

Pa Pa

P P

P P P P

P P PP

Pa Pa

P P

a a

aa

a a

aa

a

a

a

a a

a

a

a

PP

P

P

MM

P

P

P PP P

L L

P/a

aa

a

P/4a

2a

P

q

a

h

qa/2 qa/2

a a

a

a

a

a

a a

aa

2a

a

a

a a

a

a

2a

a

a

q

a

a

a

R

PR

R

PR

Pa

Pa

Pa Pa

Pa Pa Pa Pa

2Pa

Pa

2Pa

3Pa

Pa

3Pa

Pa Pa Pa Pa

2Pa

Pa Pa

M

M M

M

PaPaPa

Pa Pa

Pa

PL

Pa2

8Pa

8Pa

a

Pa/8

9Pa/8

Pa

Pa

9Pa/32

Pa/32

a3aqa /82

cargas

diagrama de M

h

q

qa /2qa /82

2

qa /22qa /82

2qh /6 qh /62

parábolacúbica

parábolaquadrada

Esforços Solicitantes - Exercícios - RESPOSTAS Folha 14/14

JLSerra