escoamento em rios modelo muskingum criado na década de 1930 por mccarthy para representar a...
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Escoamento em riosModelo Muskingum
Criado na década de 1930 por McCarthy para representar a propagação de vazão ao longo do rio Muskingum.
),( QIfS
QIdt
dS
Supõe que S (armazenamento) estárelacionado a I (vazão de entrada) e Q (vazão de saída)
2
Escoamento em rios: Muskingum
Continuidade
Relação
tttt QCICICQ 32111
2
t)X1(K
2
t)X1(K
C ;
2
t)X1(K
2
tKX
C ;
2
t)X1(K
2
tKX
C 321
QIdt
dS
S = K [X I +(1-X) Q]
C1+C2+C3=1
K é o tempo médio de deslocamento da onda
X é um ponderador entre as vazões de entrada e saída
A vazão (Q) na seção de jusante é dada por:
3
Intervalo de tempo
Para que os coeficientes da equação sejam positivos
t 2KX e 0
2t
)X1(K
2t
KXC1
t X)-2K(1 e 0
2t
)X1(K
2t
)X1(KC3
)X1(K2tKX2 )X1(2K
tX2
5,0X0
0 0,5 X
2K/t
1
0
R egião v ál id a
é o intervalo de tempo para simulação da propagaçãot
K e X
O método Muskingum tem dois parâmetros de cálculo (K e X) que devem ser definidos antes dos cálculos.
Definir valor de X
O parâmetro X é um ponderador adimensional cujo valor deve estar entre 0 e 0,5, mas na maior parte dos rios e canais naturais seu valor é próximo a 0,3.
Dependendo do valor de X ocorre mais ou menos amortecimento da onda de cheia.
Para um valor de X igual a 0,5 não ocorre amortecimento.
Quando X é igual a zero o amortecimento é máximo.
Efeito de X
Efeito de K
Definir K
O parâmetro K têm unidades de tempo e deve ser expresso nas mesmas unidades de Dt.
O valor de K pode ser estimado pelo tempo de viagem do pico da cheia do início ao final do trecho de rio, ou seja, a distância dividida pela celeridade.
Quanto maior o valor de K, mais afastados no tempo ficam os picos de vazão na entrada e saída do trecho de canal.
9
Métodos para estimativa dos parâmetros
Mínimos quadrados
Sc
So
Di
2)SOiSCi(D
])QI(QI[K
IQQSoISoQX
)IQ(QI
QSoISoQ)ISoQSo(QIK
222
2
222
22
Estimativa de K e XTradicional método da laçada
S/∆t
QI
X=X1 X= XnVariar o valor de X até que se crie uma laçada, com forma mais próxima possível de uma reta
Ajustar uma linha de tendência linear
K será igual ao coeficiente angular da reta
S/∆t = a. QI + b
K = a
𝑆𝑡+1∆𝑡 = 0,5ሾሺ𝐼𝑡+1 +𝐼𝑡ሻ−ሺ𝑄𝑡+1 +𝑄𝑡ሻሿ+ 𝑆𝑡∆𝑡
11
Método da laçada - Exemplo
A tabela abaixo apresenta os hidrogramas de vazões medidos nas seções de entrada e saída de um trecho de rio. Determine os valores dos parâmetros K e X
Tempo (h)
Entrada (m3/s)
Saída (m3/s)
0 30 306 120 39
12 286 4518 412 9324 373 18130 306 23736 246 26442 198 26148 165 24654 141 22560 123 20266 108 18472 93 17478 81 15384 72 13590 63 117
Muskingum-Cunge
)1(5,0xcSb
QX
ooo
o
oc
xK
6,04,0
4,00
3,00
.3
5
nb
QSc
o
o
Adaptado para estimativa com base em parâmetros físicos do trecho
2,08,00
000
0 ..8,0..
xtccSb
Qx
0
1/2
0 02
0 0
.1 1 1,5.
2 . . .
c t Qx
b S t c
Ou:
13
Roteiro de Ajuste
1) Fixar ∆t = tp/5 ou outro valor para ∆t ≤ tp/5
2) Adotar valor de Qo = 2/3 da vazão máxima do hidrograma de entrada
3) Calcular co
4) Calcular ∆x por processo iterativo
5) A primeira estimativa de ∆x pode ser obtida por
6) Calcular K e X e verifique se está dentro da faixa de validade
7) Caso contrário modifique ∆x
ooo
oo cSb
Qx
5,2
14
Exemplo
Determine o hidrograma 18 km a jusante de uma seção de um rio. As características do trecho são: largura=30m, declividade=0,0007 m/m; rugosidade de Manning n=0,045.
o tempo tp = 240 min e =240/5=48 min, ∆t=40min. A vazão máxima de montante é 130 m3/s, Qo=87m3/s
smbon
QoSoco /86,1
3
54,06,0
4,03,0
mxx
x 568.586,10007,030
87.5,2
mx 6018Por convergência
tK = 1,34
X=0,31
Tempo(40min)
vazão de entrada
m s3 /vazão de saída
m s3 /1 20 202 30 203 60 204 90 205 100 21,16 130 27,07 115 42,28 95 63,99 80 85,910 60 103,011 40 102,412 20 92,413 20 77,214 20 59,415 20 41,9
mx 6000 adotado
Muskingum Cunge não linear
A celeridade não é constante Os parâmetros do método de
Muskingum Cunge deveriam variar Celeridade varia com o nível da
água ou com a vazão
Celeridade aumenta
Celeridade diminui
Muskingum Cunge não linear
Substituir K e X (C1, C2 e C3) constantes por variáveis
A cada passo de tempo é necessário recalcular o valor de K e X (C1, C2 e C3)
Só o que não muda é o Dx
Muskingum Cunge não linear
Qual vazão usar como referência? Criar tabela Q x C a partir de tabela h x A x Q
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Solução não-linear
Cálculo de X e K em cada célula de cálculo
t
xi i+1
t
t+1 It+1
It
Qt+1
Qt
Calcular K e X com base em:
(1) Qt
(2) Qt, It e It+1
(3) todos.
31
tttt
IQIQo
19
Exemplo Jacuí
Linear x Não-linear
Evento Linear Não-Linear1 0,91 0,972 0,83 0,943 0,92 0,964 0,88 0,98
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