engrenagens 2
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Orgãos de Máquinas, MIEM, FEUP, cap. Engrenagens; aulas de Prof P T de Castro 1
Introdução
Engrenagem é um conjunto de duas rodas dentadas acopladas entre si.
As engrenagens servem para a transmissão do movimento de rotação entre veios.
Um elemento isolado de uma engrenagem é uma roda dentada. Ao elemento de maior número de dentes chama-se roda e ao elemento de menor número de dentes chama-se pinhão.
Uma das duas rodas de uma engrenagem considerada relativamente à outra designa-se por roda conjugada.
Orgãos de Máquinas, MIEM, FEUP, cap. Engrenagens; aulas de Prof P T de Castro 2
Introdução – Classificação das Engrenagens
As engrenagens podem ser classificadas quanto a:
Eixos:
Esquerdos
Paralelos
Concorrentesde: Norma DIN 3998: “Denominations on Gears and Gear Pairs”
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As engrenagens podem ser classificadas quanto a:
Dentado:
Helicoidal
de: Norma DIN 3998: “Denominations on Gears and Gear Pairs”
Recto
Introdução – Classificação das Engrenagens
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As engrenagens podem ser classificadas quanto a:
Posição:
Engrenagem Interior Engrenagem Exterior
de: Norma DIN 3998: “Denominations on Gears and Gear Pairs”
Introdução – Classificação das Engrenagens
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Introdução
Um dos modelos
cinemáticos Reuleaux da
FEUP
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Cinemática
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Engrenagens Paralelas Exteriores
Pretende-se que os eixos O1Z e O2Z, fixos, paralelos, e cujos traços no desenho são os pontos O1 e O2, rodem com velocidades angulares ω1 e ω2.
O plano π1 solidário de O1Z roda com velocidade angular em torno de O1.O plano π2 solidário de O2Z, coincidente com π1, roda com velocidade angular em torno de O2.
ω k1
ω k2−
O centro instantâneo do movimento π1 relativamente a π2 é o ponto I que tem a mesma velocidade, quer pertença a π1 ou a π2.
( )MM π v ω k MO1 1 11∈ → = ×
( )MM π v ω k MO2 2 22∈ → =− ×
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Engrenagens Paralelas Exteriores
O ponto I pertence à recta O1O2 tal que:
( ) ( )I Iv v ω k IO ω k IO1 1 2 21 2= ⇔ × =− ×
Fazendo:
IO r j1 1=−
IO r j2 2=
ω k r j ω k r j1 1 2 2⇒ ×− =− ×
A posição do ponto I é definida através das expressões:
A quantidade a designa-se por entre-eixo.
rω r ω1 1 2 2=r r OO a1 2 1 2+ = =
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Engrenagens Paralelas Exteriores
Verifica-se que e são constantes.
Como a razão é constante, então
rr
1
2
r r1 2+
IO ωωIO
1 2
12
=
o centro instantâneo I ocupa uma posição fixa.
O movimento relativo entre π1 e π2 é
tangente a uma rotação de valor
que intersecta o plano de
referência no ponto I.
relω ω ω1 2= −
( )relω ω ω1 2= +
O ponto I considerado solidário de π1 descreve uma circunferência de raio r1 e centro O1. Se considerado solidário de π2, descreve uma circunferência de raio r2e centro O2. Estas circunferências são os círculos primitivos, lugares geométricos das sucessivas posições do eixo central do movimento relativo entre π1 e π2.
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Engrenagens Paralelas Exteriores
Assim, define-se superfície primitiva como a superfície descrita pelo eixo instantâneo do movimento relativo da roda conjugada relativamente à roda considerada.
O ponto I é o único ponto onde há rolamento sem escorregamento entre π1 e π2.
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Engrenagens Paralelas Interiores
Neste caso o ponto I é exterior ao segmento tal que:OO1 2
ω k IO ω k IO1 1 2 2− × =− ×
ω k r j ω k r j1 1 2 2− × =− ×
rω r ω1 1 2 2=
r r OO a1 2 1 2− = =
relω ω ω1 2= −
Mas agora e têm o mesmo sentido:ω1 ω2
relω ω ω1 2= −
A velocidade angular relativa é menor do que nas engrenagens exteriores. As superfícies primitivas são ainda cilíndricas, mas uma é interior à outra.
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Engrenagens Cónicas ou Concorrentes
ω1
OX1 e OX2 são eixos complanares concorrentes em O, ligados com velocidades de rotação e . Os dois eixos fazem entre si um ângulo Σ.
ω1 ω2
Sejam S1 e S2 duas superfícies esféricas, com centro em O, igual raio R, que rodam com velocidade angular e em torno de OX1 e OX2 respectivamente.
ω2
O ponto I que tem a mesma velocidade quer pertença a S1 ou S2 é dado pela expressão:
ω IO ω IO1 2× = ×
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Engrenagens Cónicas ou Concorrentes
I terá que ser um ponto do eixo central do movimento relativo de rotação S1 / S2. Pela teoria do movimento relativo:
SS SSΩ Ω
11 2
2
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟⎟ ⎟⎜⎜ ⎜= +⎟⎟ ⎟⎜⎜ ⎜⎟⎟ ⎟⎜⎜ ⎜⎟ ⎟⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
rel relω ω ω ω ω ω1 2 1 2= + ⇒ = −
I é dado pela intersecção de com a circunferência C.
relω
rω r ω1 1 2 2=
Ou: Rsenγ ω Rsenγ ω1 1 2 2=
Ou:senγ ωsenγ ωγ γ Σ
1 2
2 1
1 2
⎧⎪⎪ =⎪⎪⎨⎪⎪ + =⎪⎪⎩
relω ω ω ωω cos Σ2 21 2 1 22= + +
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Consideraçõe Básicas; Corte por Cremalheira
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Considerações Básicas; Corte por Cremalheira
Transmissão por rodas de fricção
Proporções normalizadas:
zp πr2=pmπ
=
ar r m= +
dr r , m1 25= −
br r cosα=
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Considerações Básicas; Corte por Cremalheira
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Considerações Básicas; Corte por Cremalheira
de: G. Henriot; “Traité Théorique et Pratique des Engrenages – Tome 1”; Dunod;Paris 1968
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Considerações Básicas; Corte por Cremalheira
O entre-eixo normal a é a soma dos raios primitivos de corte dos dois elementos dentados que compõe a engrenagem.
z za m1 202
+=
O passo primitivo é o comprimento de arco de círculo primitivo compreendido entre dois perfis homólogos de dentes consecutivos. O módulo é o quociente entre o passo e π.
pmπ
00 =
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Considerações Básicas; Corte por Cremalheira
AUTOCADPrograma Roda2007
disponível no SiFEUP
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Considerações Básicas; Corte por Cremalheira
AUTOCADPrograma Roda2007
disponível no SiFEUP
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Considerações Básicas; Corte por Cremalheira
AUTOCADPrograma Roda2007
disponível no SiFEUP
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Maquinagem em Frezadora Convencional
Nota: a evolvente de círculo é uma curva
associada a um círculo de um dado raio. Neste
processo de corte uma mesma ferramenta pode servir para rodas com Z
diferente, e consequentemente a
precisão é menor do que a obtida no processo MAAG
de: H. Gerling; “À Volta da Máquina-Ferramenta”; Reverté 1967.
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Geração do Dentado em Evolvente de Círculo
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Geração do Dentado em Evolvente de Círculo
O plano P rola sem escorregar sobre a superfície cilíndrica C1. é o eixo instantâneo do movimento de rotação relativa entre P e C1.
IΔ
O plano N é a superfície geradora, perpendicular ao plano P e paralela ao eixo . A superfície S1 é a superfície do dente, e é gerada pela recta MM’quando P rola sem escorregar sobre C1. A directriz da superfície S1 designa-se por curva evolvente de círculo.
IΔ
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Geração do Dentado em Evolvente de Círculo
1. É a curva gerada por um ponto M de uma recta que rola sem escorregar sobre um círculo.
A curva evolvente tem as seguintes propriedades:
I I I M0 1 1 1=
I I I M0 2 2 2=
I I I M0 3 3 3=
2. A normal à curva num ponto qualquer é tangente ao círculo primitivo.
3. O círculo C1 é a envolvente das normais ao perfil. É o lugar geométrico dos centros de curvatura da evolvente. O raio de curvatura do perfil num ponto qualquer, M3 por exemplo, será . I M3 3
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Geração do Dentado em Evolvente de Círculo
IM IQ=
I M I Q1 1 1=
de: G. Henriot; “Traité Théorique et Pratique desEngrenages – Tome 1”; Dunod;Paris 1968
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Geração do Dentado em Evolvente de Círculo
de: C. M. Branco et al; “Projecto de Órgãos de Máquinas”; Fundação Calouste Gulbenkian; Lisboa 2005.
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Cilindro de Base e Ângulo de Pressão
Na geração real do dentado recto o plano N é paralelo ao eixo mas não éperpendicular ao plano P. O plano P’ é o plano perpendicular a N que contém o eixo e que intersecta Nsegundo a recta VV’.Quando o plano P translada com velocidade , P’ translada com velocidade v ω r1 1=v cosα ω r cosα1 1=
.P’, N e o cilindro C’1 estão nas condições da definição de evolvente. Assim, o ponto V gera uma curva evolvente do cilindro C’1.
IΔ
IΔ
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Cilindro de Base e Ângulo de Pressão
O ângulo α designa-se por ângulo de pressão.O cilindro C’1 designa-se por cilindro de base, e o seu raio é igual a . r cosα1O cilindro de base é uma característica intrínseca da roda dentada, enquanto que o raio primitivo é uma característica cinemática. Nenhum destes cilindros estámaterializado na roda dentada, pelo que não são acessíveis a uma medição directa.O passo normal é o segmento da normal compreendido entre duas evolventes sucessivas.
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Materialização da Teoria da Geração
A distância entre duas arestas homólogas da cremalheira é o passo. Os passos das cremalheiras estão normalizados.
O movimento de geração da roda écomposto por uma rotação e uma translação e é descontínuo.
Durante o movimento de geração da roda, a translação equivalente a um passo da cremalheira corresponde a uma rotação da roda igual a 2π/z. zrepresenta o número de dentes.
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Materialização da Teoria da Geração
Uma vez que o movimento entre as duas superfícies primitivas se dá sem escorregamento:
π r pz 0
2=
r é o raio do cilindro primitivo, e p0 é o passo da cremalheira. A mesma equação pode ser escrita de outra forma:
zpr zmπ
002 = =
O quociente do passo da cremalheira por π é o módulo m0 do buril cremalheira.
O diâmetro primitivo de corte da roda éigual a:
zprπ
02 =
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Materialização da Teoria da Geração
A linha da cremalheira sobre a qual as espessuras dos dentes e os intervalos entre eles têm o mesmo comprimento é a linha de referência.
Se a linha de referência da cremalheira coincidir com a linha primitiva de corte, os intervalos e espessuras sobre o círculo primitivo de corte da roda dentada também são iguais.
Se a linha de referência da cremalheira não coincidir com a linha primitiva de corte, então a roda tem dentado corrigido.
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Linha de Engrenamento
•C1 e C2 são os cilindros primitivos.•I é o centro instantâneo do movimento relativo.•A recta P é o traço no plano de referência do plano que rola sem escorregar sobre C1 e C2.•A recta P’ é o traço no plano de referência do plano que rola sem escorregar sobre C’1e C’2.•N é o traço do plano gerador.
Quando P’ rola sem escorregar sobre C’1, o ponto V descreve uma evolvente cujo centro de curvatura é o ponto T1.
Quando P’ rola sem escorregar sobre C’2, o ponto V descreve uma evolvente cujo centro de curvatura é o ponto T2.
de: G. Henriot; “Traité Théorique et Pratique desEngrenages – Tome 1”; Dunod;Paris 1968
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Linha de Engrenamento
As duas evolventes são tangentes em Vcom a direcção N.
Durante o rolamento sem escorregamento de P’ sobre C’1 e C’2, o ponto V desloca-se segundo a direcção P’. O lugar geométrico dos pontos de contacto dos perfis conjugados é uma recta.
Esta recta é a linha de engrenamento . O ângulo α que a linha de engrenamento faz com a tangente aos dois círculos primitivos em I é o ângulo de pressão.
( )TT1 2
Uma vez que a linha de engrenamento érectilínea e constantemente perpendicular aos perfis em contacto, as forças transmitidas entre as duas rodas são de direcção constante
de: G. Henriot; “Traité Théorique et Pratique desEngrenages – Tome 1”; Dunod;Paris 1968
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Linha de Engrenamento
Rui Martins; 1998
Animação disponível no
SiFEUP
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Proporções dos Dentes
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Proporções dos Dentes
Altura do dente: a fh r r= −
Altura da cabeça: a ah r r= −
Altura do pé: f fh r r= −
a
f
h mh . mh . m
=
=
=
0
0
0
1 252 25
DENTADOS NORMAIS:
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Proporções dos Dentes
DENTADOS CORRIGIDOS:
Positivamente ah m> 0 , fh . m< 01 25
Negativamente ah m< 0 , fh . m> 01 25
O valor de ha e hf nestes casos éfunção da correcção efectuada, que é expressa pelo afastamento da linha de referência da cremalheira à linha primitiva de corte.
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Equação Polar da Evolvente e Aplicações
EQUAÇÃO POLAR DA EVOLVENTE
Q – Ponto de ReversãoαM – ângulo de incidência num ponto M de raio Mr OM=
M M br cosα r=
M M b MT M T M r tgα= =
M MQW QT WT= −
b b M b Mˆr QOM r tgα r α= −
Logo : M MˆQOM tgα α= −
M M Mtgα α invα− =
Atenção – Questão da determinação de αM quando é conhecido invαM !
Involuta de αM
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Espessura do DenteConhecendo a espessura do dente sobre o círculo primitivo pretende-se a sua espessura num círculo de raio rM qualquer. Seja s a espessura no círculo primitivo e sM a espessura no círculo de raio rM.
br r cosα=
b M Mr r cosα=
MM
rcosα cosαr
=
M Mˆs r BOB′=
ˆ ˆ ˆBOB AOA AOB′ ′= −2
( )MsˆBOB invα invαr
′ = − −2
( )M M Mss r invα invαr⎡ ⎤⎢ ⎥= + −⎢ ⎥⎣ ⎦
2
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Espessura do Dente
Em particular a espessura do dente no círculo de base: o ângulo de incidência é nulo;
b bss r invαr
⎛ ⎞⎟⎜= + ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠2
( )M M Mss r invα invαr⎡ ⎤⎢ ⎥= + −⎢ ⎥⎣ ⎦
2
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Cota Tangencial Sobre k Dentes
Segmento da normal compreendido entre dois planos paralelos tangentes às superfícies antihomólogasespaçadas de k dentes Wk
kAB CD W= =
( ) b bCD k p s= − +1
bp πmcosα=
b bss r invαr
⎛ ⎞⎟⎜= + ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠2
( )ksW mcosα k π zinvαm
⎡ ⎤⎢ ⎥= − + +⎢ ⎥⎣ ⎦
1de: G. Henriot; “Traité Théorique et Pratique des Engrenages – Tome 1”; Dunod;Paris 1968
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Cota Tangencial Sobre k Dentes
No dentado normal a espessura no círculo primitivo é igual a metade do passo:
πs m=2
kW mcosα k π zinvα⎡ ⎤⎛ ⎞⎟⎜⎢ ⎥= − +⎟⎜ ⎟⎜⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
12
de: G. Henriot; “Traité Théorique et Pratique des Engrenages – Tome 1”; Dunod;Paris 1968
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Cota Tangencial Sobre k Dentes
NÚMERO DE DENTES USADO NA MEDIÇÃO DE WK
Importa evitar erros grosseiros de medida, garantindo a que tangência se verifica aproximadamente a meio da altura. Caso o contacto seja sobre o primitivo, então:
kW rsenα=2
Para dentado normal:
kW mcosα k π zinvα⎡ ⎤⎛ ⎞⎟⎜⎢ ⎥= − +⎟⎜ ⎟⎜⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
12
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Cota Tangencial Sobre k Dentes
NÚMERO DE DENTES USADO NA MEDIÇÃO DE WK
zmr =2
Fazendo :
zmsenα mcosα k π zinvα⎡ ⎤⎛ ⎞⎟⎜⎢ ⎥= − +⎟⎜ ⎟⎜⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
12
z( tgα invα ) k π⎛ ⎞⎟⎜− = − ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
12
zk απ
= +12
Para
k , z ,= +0 111 0 5
α º= 20 π radianos :⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠20180
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Cota Tangencial Sobre k Dentes
De: FMS Appareils de Contrôle d’Engrenages
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Características Intrínsecas e de Funcionamento
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Características Intrínsecas e de Funcionamento
Para uma determinada engrenagem, os raios de base e os raios de cabeça são constantes qualquer que seja o entre-eixo adoptado, são características intrínsecas.
Por outro lado, distingue-se raio primitivo de corte r de raio primitivo de funcionamento r’. Verifica-se a relação:
a' cosα ' a cosα=
a' r ' r '= +1 2
a r r= +1 2
Em que: de: G. Henriot; “Traité Théorique et Pratique desEngrenages – Tome 1”; Dunod;Paris 1968
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Características Intrínsecas e de Funcionamento
a' a>
α ' α⇒ >
porque é constante.br r cosα=
O I r1 1=
O I ' r '1 1=
raio primitivo de corte:
raio primitivo de funcionamento: de: G. Henriot; “Traité Théorique et Pratique desEngrenages – Tome 1”; Dunod;Paris 1968
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Razão de Condução
A linha de engrenamento, definida pela posição dos pontos de contacto no plano do movimento, corresponde à recta que passa pelos pontos T1 e T2, tangente aos dois círculos de base, e que faz um ângulo α (ângulo de pressão) com a tangente comum aos círculos primitivos em I.
de: C. M. Branco, et al; “Projecto de Órgãos de Máquinas”; Fundação Calouste Gulbenkian; Lisboa 2005.
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Razão de Condução
O engrenamento inicia-se em A, ponto onde o raio de cabeça da roda movida (ra1) intersecta a linha de engrenamento, e termina em B, ponto onde o raio de cabeça da roda motora (ra2) intersecta a linha de engrenamento.
Durante o engrenamento o ponto de contacto sobre o perfil P2 move-se do pé para a cabeça. O ponto de contacto sobre o perfil P1 move-se no sentido contrário.
de: C. M. Branco, et al; “Projecto de Órgãos de Máquinas”; Fundação Calouste Gulbenkian; Lisboa 2005.
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Razão de Condução
de: G. Henriot; “Engrenages Parallèles – Étude Géométrique”; Techniques de l’Ingenieur.
de: G. Henriot; “Engrenages: Détermination des ChargesSur les Dentures et Calculs de Résistance”; Techniques de l’Ingenieur.
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Razão de Condução
A razão de condução é o quociente do comprimento de engrenamento ABpelo passo de base pb:
αb
ABεp
=
A razão de condução total é definida como o quociente entre o ângulo de que giram cada uma das rodas durante o engrenamento entre dois dentes conjugados e o passo angular correspondente. O passo angular é a razão entre o passo e o raio do círculo sobre o qual ele é definido.
de: C. M. Branco, et al; “Projecto de Órgãos de Máquinas”; Fundação Calouste Gulbenkian; Lisboa 2005.
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Razão de Condução
αb
ABεp
=
AB AI IB AT IT BT IT= + = − + −1 1 2 2
( )a b a bAB r r r r r r senα= − + − − +2 2 2 21 1 2 2 1 2
( )( )α a b a bε r r r r r r senαπm cosα
= − + − − +2 2 2 21 1 2 2 1 2
1
de: C. M. Branco, et al.; “Projecto de Órgãos de Máquinas”; Fundação Calouste Gulbenkian; Lisboa 2005.
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Razão de Condução
Para que haja continuidade de engrenamento, énecessário que no instante em que deixa de haver contacto entre os perfis P1 e P2 de um par dentes exista um outro par de dentes já em contacto. Esta condição impõe que:
b αAB p ε> ⇒ >1
Uma razão de condução elevada permite um engrenamento mais suave e uma maior capacidade de carga.
A razão de condução pode ser aumentada:
- Aumentando as alturas de cabeça dos dentes.- Diminuindo o ângulo de pressão.- Aumentando isolada ou simultaneamente o número de dentes z1 e z2.
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Raio Activo de Pé
O raio activo de pé rA é o raio do ponto do perfil mais próximo do centro em que se verifica contacto com o elemento dentado ao qual está acopulada a roda em questão.
A br r T A= +22
2 2 2
T A T T AT= −2 2 1 1
( )T T r r senα= +2 1 1 2
a bAT r r= −2 21 1 1
rA
de: C. M. Branco, etc.; “Projecto de Órgãos de Máquinas”; Fundação Calouste Gulbenkian; Lisboa 2005.
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Raio Activo de Pé
De todos os elementos que podem engrenar com uma roda dentada, aquele que situa o ponto A mais próximo do centro é a cremalheira.
Se a roda for talhada com uma cremalheira, encontra-se sempre satisfeita a condição que impõe que o raio activo de pé de corte seja inferior ao raio activo de pé de funcionamento
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Escorregamento
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Escorregamento
Movimento relativo entre os perfis de dente não é rolamento puro. Háum escorregamento relativo.
Intensidade do vector velocidade de escorregamento no ponto de contacto M:
Em que:
, vector constante em sentido e intensidade
Logo, a velocidade de escorregamento varia linearmente com distância do ponto de contacto M ao ponto I e é nula quando o ponto de contacto está sobre o círculo primitivo (coincide com I).
gv Ω IM= ⋅
Ω ω ω= −1 2
ω2
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Escorregamento
Rebatendo os pontos A e C da linha de engrenamento através de arcos de círculo com centro em 01 sobre o perfil P1 obtém-se os pontos a1 e c1. Os pontos a2 e c2 são obtidos de forma análoga. Durante o engrenamento, a1 e a2coincidem em A e c1 e c2coincidem em C, pelo que o arco a1c1 do perfil P1 corresponde ao arco a2c2 do perfil P2.
O escorregamento médio entre A e C é dado por:
.
A diferença representa o escorregamento relativo entre os perfis P1 e P2, mas como , o desgaste do perfil P2 é superior ao do perfil P1.
O desgaste está relacionado empiricamente com o produto , em que p é a pressão máxima entre os perfis no ponto considerado.
a c a c−1 1 2 2
a c a c>1 1 2 2
gv p⋅
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Escorregamento
Sobre a recta de engrenamento:
, relação já conhecida
Velocidades de rolamento dos perfis P1 e P2(componentes de VM segundo a recta tangente a P1 e P2):
M( )v ω r O M ω= = ⋅1 1 1 1 1
M( )v ω r O M ω= = ⋅2 2 2 2 2
O M ω cosθ O M ω cosθ⋅ = ⋅1 1 1 2 2 2
b br ω r ω⇒ =1 1 2 2
rv ω O M senθ T M ω= ⋅ ⋅ = ⋅1 1 1 1 1 1
rv ω O M senθ T M ω= ⋅ ⋅ = ⋅2 2 2 2 2 2
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Escorregamento
MT1 MT2
vg num ponto M é igual à diferença de velocidades tangenciais de dois círculos de centros T1 e T2, raios e e velocidades angulares ω1 e ω2 respectivamente.
Estes círculos rodam durante um tempo infinitesimal dt arcos dados por vr1dt e vr2dtrespectivamente.
g r rv v v T M ω T M ω= − = ⋅ − ⋅1 2 1 1 2 2
Velocidade de escorregamento de P1 em relação a P2 num ponto M:
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Escorregamento Específico
Escorregamento específico para o pinhão:
Escorregamento específico para a roda:
sa c a cg
a c−
= 1 1 2 21
1 1
sa c a cg
a c−
= 1 1 2 22
2 2
r r r rs
r r
v dt v dt v v T M ω T M ωgv dt v T M ω− − ⋅ − ⋅
= = =⋅
1 2 1 2 1 1 2 21
1 1 1 1
Do mesmo modo:
sT M ω T M ωg
T M ω⋅ − ⋅
=⋅
1 1 2 22
2 2
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Escorregamento Específico
Portanto:
s sg g= =1 2 0 em I onde r rv v=1 2
sg =∞1
sg =∞2
sg =1 1
sg =2 1
em T1 onde rv =1 0
rv =2 0em T2 onde
em T2
em T1
gs1 e gs2 assimptóticas em T1, T2
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Escorregamento Específico
s ,Bs ,MÁX
T B zg gzT B
= = − ×2 111
21
1
s ,As ,MÁX
T A zg gzT A
= = × −1 222
12
1
a bT B r r= −2 22 2 2
a bT B ( r r )senα r r= + − −2 21 1 2 2 2
a bT A r r= −2 21 1 1
a bT A ( r r )senα r r= + − −2 22 1 2 1 1
Em que:
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Equilíbrio dos Escorregamentos Específicos Máximos
( ) ( )s sB Az z g g< ⇒ > ⇒1 2 1 2
Escorregamento específico máximo do pinhão superior ao da roda
Fazendo: AT A ρ=1 1
AT A ρ=2 2
BT B ρ=1 1
BT B ρ=2 2
( ) B Bs B
B
ρ ω ρ ωgρ ω−
= 2 2 1 11
1 1
( ) A As A
A
ρ ω ρ ωgρ ω−
= 1 1 2 22
2 2
Equilibrando, ( ) ( )s sB Ag g= ⇒1 2 A B A Bρ ρ ω ρ ρ ω=2 2
2 2 2 1 1 1
(Quanto maior a razão1
2
zz maior o desequilíbrio).
Solução: Deslocar para a esquerda.
Correcção: Passar de a A B′ ′ de tal maneira que: ( ) ( )s sB Ag g′ ′=1 2AB
AB
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Breve Referência à Pressão de ContactoQuando dois cilindros são comprimidos segundo uma geratriz, verifica-se que a pressão de contacto máxima ou pressão de Hertz vale:
( )( )max
E E d dPp ,l E E d d
1 2 1 2
1 2 1 2
20 59+
=+
maxP r rp ,l
E E
1 2
1 2
1 1
0 59 1 1
+⇔ =
+
em que P é a força de compressão e l a largura dos cilindros.
Paralelamente é possível mostrar que o rectângulo de contacto tem largura b definida por:
( )P d db ,l d d E E
1 2
1 2 1 2
1 12 152
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜+ ⎝ ⎠
de: S P Timoshenko; “Resistência de Materiais”; Ao Livro Técnico; vol.2; 3ª ed.; Rio de Janeiro.
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Equivalência com Equilíbrio dos Factores de Almen
A pressão entre os dentes é função dos raios de curvatura e édada pela fórmula de Hertz:
nF ρ ρp ,b
E E
+= ⋅
+
1 2
1 2
1 1
0 59 1 1; p é proporcional a
ρ ρ+
1 2
1 1(constante de
proporcionalidade k)
Em A, B: A AA
A A A A
TTρ ρp k k kρ ρ ρ ρ ρ ρ
+= + = = 11 2 2
1 2 1 2 1 2
1 1
B BB
B B B B B B
TTρ ρp k k kρ ρ ρ ρ ρ ρ
+= + = = 11 2 2
1 2 1 2 1 2
1 1
Factor de Almen (factor de gripagem) dado por: - produto da pressão p pela velocidade de escorregamento vg.
gp v⋅
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Equivalência com Equilíbrio dos Factores de Almen
( )g A AAv ω ρ ω ρ= −1 1 2 2
( )g B BBv ω ρ ω ρ= −2 2 1 1
Equilibrando os factores de Almen:
( ) ( )A g B gA Bp v p v⋅ = ⋅
A A B BA
A A B B
ω ρ ω ρ ω ρ ω ρρ ρ ρ ρ− −
⇒ =1 1 2 2 2 2 1 1
1 2 1 2
A B A Bρ ρ ω ρ ρ ω⇒ =2 21 1 1 2 2 2
( ) ( )s sB Ag g=1 2Fazer corresponde a igualar (e consequentemente
baixar o valor máximo) os factores de Almen nesses pontos.
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Correcção de Dentado
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Correcção de DentadoDENTADO NORMAL:
Linha de referência da cremalheira coincide com a linha primitiva de corte.
Altura da cabeça:
Altura do pé:
Altura do dente:
ah m= 0
fh , m= 01 25
Espessura do dente da roda (s) é igual ao intervalo (e).
πms e= = 0
2
a fh h , m+ = 02 25
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Correcção de DentadoDENTADO CORRIGIDO:
Linha de referência da cremalheira não coincide com a linha primitiva de corte.Correcção Positiva (x>0):
Correcção Negativa (x<0):
ah m≠ 0
fh , m≠ 01 25
a fh h , m+ = 02 25
e s≠
e s πm+ = 0
Espessura da cremalheira na linha primitiva é igual ao intervalo da roda (e).
Intervalo da cremalheira na linha primitiva é igual à espessura do dente da roda (s).
de: C. M. Branco, et al; “Projecto de Órgãos de Máquinas”; Fundação Calouste Gulbenkian; Lisboa 2005.
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Correcção de DentadoDENTADO CORRIGIDO:
πms CD v tgα= = + ×002
2
v xm= 0
Em que:
x – coeficiente de desvio ou correcção relativa
Novo valor (Wk,c) da cota tangencial sobre k dentes:
k ,c kW W v senα= + × 02
é o aumento da espessura
segundo uma direcção normal ao perfil.( )v tgα cosα v senα× × = ×0 0 02 2
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Correcção de Dentado
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Correcção de Dentadox
x – correcção relativa
z - número de dentes
de: MAAG Gear Company; “MAAG Gear Book”; MAAG Gear Company; Zurique; 1990.
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Correcção de Dentado
a
b
zα ºm mmxx ,
202020
0 5
====
=+
Influência da correcção de dentado na geometria de rodas de dentado recto (Nuno M Seabra Merendeiro, Ramiro Martins):
Representam-se os raios primitivo de corte e de base, bem como a recta de referência da cremalheira para cada caso.
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Correcção de Dentado
a
b
zα ºm mmxx ,
202020
0 5
====
=+
Influência da correcção de dentado na geometria de rodas de dentado recto (Nuno M Seabra Merendeiro, Ramiro Martins):
Representam-se os raios primitivo de corte e de base, bem como a recta de referência da cremalheira para cada caso.
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Correcção de Dentado Sem Variação de Entre-eixo
O engrenamento dá-se sem folga ( ; )s e=1 2 s e=2 1
s e πm+ =1 1 0 s s πm+ =1 2 0, logo:
πm πs x m tgα m x tgα⎛ ⎞⎟⎜= + = + ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
01 1 0 0 0 1 02 2
2 2
πm πs x m tgα m x tgα⎛ ⎞⎟⎜= + = + ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
02 2 0 0 0 2 02 2
2 2Logo: x x+ =1 2 0
de: C. M. Branco, et al; “Projecto de Órgãos de Máquinas”; Fundação Calouste Gulbenkian; Lisboa 2005.
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Correcção de Dentado Com Variação de Entre-eixoSejam x1 e x2 positivos:
πms x m tgα= +01 1 0 02
2πms x m tgα= +0
2 2 0 022
πme x m tgα= −01 1 0 02
2πme x m tgα= −0
2 2 0 022
( )s e x x m tgα− = +1 2 1 2 0 02
Se , o entre-eixo terá de ser alterado:x x s e+ ≠ ⇒ ≠1 2 1 20
x x s e a' a+ > ⇒ > ⇒ > ⇒1 2 1 20x x s e a' a+ < ⇒ < ⇒ < ⇒1 2 1 20
Entre-eixo aumenta Entre-eixo diminui
de: C. M. Branco, etc.; “Projecto de Órgãos de Máquinas”; Fundação Calouste Gulbenkian; Lisboa 2005.
Orgãos de Máquinas, MIEM, FEUP, cap. Engrenagens; aulas de Prof P T de Castro 80
Correcção de Dentado Com Variação de Entre-eixo
CÁLCULO DO ENTRE-EIXO DE FUNCIONAMENTO:
Através da expressão que permite o cálculo da espessura de dente medida sobre um círculo de qualquer raio, obtêm-se as espessuras s’1 e s’2 sobre os círculos de funcionamento:
( )ss' r ' invα invα 'r
⎡ ⎤⎢ ⎥= + −⎢ ⎥⎣ ⎦
11 1 0
1
2
( )ss' r ' invα invα 'r
⎡ ⎤⎢ ⎥= + −⎢ ⎥⎣ ⎦
22 2 0
2
2
Para um correcto engrenamento:
cosαs' s' p' πm' πmcosα '
+ = = = 01 2 0
Substituindo s’1, s’2, s1 e s2:
( )( )cosα cosαm π tgα x x ( z z )( invα invα ') πmcosα ' cosα '
+ + + + − =0 00 0 1 2 1 2 0 02
Orgãos de Máquinas, MIEM, FEUP, cap. Engrenagens; aulas de Prof P T de Castro 81
Correcção de Dentado Com Variação de Entre-eixo
CÁLCULO DO ENTRE-EIXO DE FUNCIONAMENTO:
( )x xinvα ' invα tgα
( z z )+
= ++
1 20 0
1 2
2
O entre-eixo de funcionamento pode então ser calculado recorrendo à expressão:
cosαa' acosα '
= 0
Simplificando:
Orgãos de Máquinas, MIEM, FEUP, cap. Engrenagens; aulas de Prof P T de Castro 82
Correcção de Dentado para Equilibrar Escorregamentos
de: G. Henriot; “Traité Théorique et Pratique des Engrenages – Tome 1”; Dunod;Paris 1968
Orgãos de Máquinas, MIEM, FEUP, cap. Engrenagens; aulas de Prof P T de Castro 83
Interferência
Orgãos de Máquinas, MIEM, FEUP, cap. Engrenagens; aulas de Prof P T de Castro 84
Interferência
A interferência verifica-se quando os pontos de intersecção do raio de cabeça com a linha de engrenamento ultrapassam os pontos T1 e T2 de tangência desta linha com os círculos de base.
• Raio de curvatura de P2 em M é T2M
• Raio de curvatura de P2 em V é T2V.
• Raio de curvatura de P1 em V é T1V.
TV T V1 2< ⇒ Q1 está “dentro” do dente.
de: G. Henriot; “Traité Théorique et Pratique desEngrenages – Tome 1”; Dunod;Paris 1968
Orgãos de Máquinas, MIEM, FEUP, cap. Engrenagens; aulas de Prof P T de Castro 85
Interferência
Durante o corte de rodas com buril cremalheira podem atingir-se condições de interferência. Porém o buril engrena e corta simultaneamente e desafoga a região em que devia verificar-se a interferência de funcionamento. O perfil de dente é composto por um arco de evolvente e outro de trocoide. Com este tipo de corte não háinterferências de funcionamento.
de: C. M. Branco, et al; “Projecto de Órgãos de Máquinas”; Fundação Calouste Gulbenkian; Lisboa 2005.
Orgãos de Máquinas, MIEM, FEUP, cap. Engrenagens; aulas de Prof P T de Castro 86
Interferência
- Adoptar um número de dentes superior para as rodas. Os diâmetros das rodas aumentam.
- Utilizar um ângulo de pressão αsuperior. A razão de condução diminui.
- Diminuir o raio de cabeça da roda de z2 dentes. A razão de condução diminui.
FORMAS DE EVITAR A INTERFERÊNCIA:
de: C. M. Branco, etc.; “Projecto de Órgãos de Máquinas”; Fundação Calouste Gulbenkian; Lisboa 2005.
Orgãos de Máquinas, MIEM, FEUP, cap. Engrenagens; aulas de Prof P T de Castro 87
Interferência
Nº MÍNIMO DE DENTES DE UMA RODA SEM CORRECÇÃO DE DENTADO CORTADA POR UMA CREMALHEIRA:
OT cosα m OI+ =
br cosα m r+ =
( )zm zmcosα m+ =2
2 2
( )z
senα= 2
2
Para :α º= 20
z 17
I
de: G. Henriot; “Traité Théorique et Pratique desEngrenages – Tome 1”; Dunod;Paris 1968
Orgãos de Máquinas, MIEM, FEUP, cap. Engrenagens; aulas de Prof P T de Castro 88
Interferência
CORRECÇÃO POSITIVA PARA : ( )
z z'senα
< = 22
OT cosα m v OI+ − =
( ) ( )zm zmcosα m x+ − =2 1
2 2
( )( )z x
senα= −2
2 1
z' zxz'−
=
Orgãos de Máquinas, MIEM, FEUP, cap. Engrenagens; aulas de Prof P T de Castro 89
Interferência
Nº MÍNIMO DE DENTES z1 DE UM PINHÃO QUE ENGRENA COM UMA RODA (z2) SEM INTERFERÊNCIA :( )x x= =1 2 0
T T T B=2 1 2
a basenα r r= −2 22 2
z z z m z mmsenα m cosα⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜= + −⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 21 2 2 2
2 2 2
( )( )
zz z z
senα+
=− + + 221 2 2 2
4 1
de: G. Henriot; “Traité Théorique et Pratique desEngrenages – Tome 1”; Dunod;Paris 1968
Orgãos de Máquinas, MIEM, FEUP, cap. Engrenagens; aulas de Prof P T de Castro 90
Interferência
( )( )
( )z z
zlim z lim z z
senα2 2
221 2 2 2
4 1→∞ →∞
⎛ ⎞+ ⎟⎜ ⎟⎜= − + + ⇒ ∞−∞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠
( )( )( ) ( )
A B A B A BA BA B A B
− + −− = =
+ +, logo:
( )( )( )
( )
z z
zz z
senαlim z lim
zz z
senα
2 2
2 222 22
12 22 22
4 1
4 1→∞ →∞
++ −
⎛ ⎞∞⎟⎜= ⇒ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠∞++ +
Dedução do número mínimo de dentes de uma roda dentada que pode ser cortada sem interferência por uma cremalheira geradora (Pedro Reis, 1998):
Orgãos de Máquinas, MIEM, FEUP, cap. Engrenagens; aulas de Prof P T de Castro 91
Interferência
( )
( ) ( )( )
z z
zlim z lim
zsenα z z
senα
2 2
21
2 2 22 22
4 1
4 1→∞ →∞
+=
⎛ ⎞+ ⎟⎜ ⎟⎜ + + ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
( )( ) ( )
z z
zz
lim z lim
z senαz senα z senα
2 2
22
12
2 2 222 2
44
4 41 1→∞ →∞
⎛ ⎞⎟⎜ + ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠=
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ + + + ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
( ) ( )zlim z
senα senα21 2 2
4 22→∞
= =
zlim z2
1 17→∞
se α º20=
Orgãos de Máquinas, MIEM, FEUP, cap. Engrenagens; aulas de Prof P T de Castro 92
Interferência
Nº MÍNIMO DE DENTES z1 DE UM PINHÃO QUE ENGRENA COM UMA RODA (z2) SEM INTERFERÊNCIA :( )x x= =1 2 0
de: G. Henriot; “Traité Théorique et Pratique des Engrenages – Tome 1”; Dunod;Paris 19686
Orgãos de Máquinas, MIEM, FEUP, cap. Engrenagens; aulas de Prof P T de Castro 93
Engrenagens de Dentado Helicoidal
Orgãos de Máquinas, MIEM, FEUP, cap. Engrenagens; aulas de Prof P T de Castro 94
Engrenagens de Dentado Helicoidal
O contacto inicia-se num extremo e prossegue ao longo do dente segundo uma linha que não é paralela aos eixos das rodas. O engrenamento é mais suave e menos ruidoso, mas os veios ficam sujeitos a forças axiais.Uma das rodas da engrenagem tem hélice esquerda e a outra hélice direita. O ângulo de hélice é o mesmo para ambas.
de: Norma DIN 3998: “Denominations on Gears and Gear Pairs”
Orgãos de Máquinas, MIEM, FEUP, cap. Engrenagens; aulas de Prof P T de Castro 95
Engrenagens de Dentado Helicoidal
de: C. M. Branco, etc.; “Projecto de Órgãos de Máquinas”; Fundação Calouste Gulbenkian; Lisboa 2005.
de: G. Henriot; “Engrenages Parallèles – Étude Géométrique”; Techniques de l’Ingenieur.
Orgãos de Máquinas, MIEM, FEUP, cap. Engrenagens; aulas de Prof P T de Castro 96
Engrenagens de Dentado Helicoidal
DENTADO HELICOIDAL:
β – ângulo de inclinação primitiva
A superfície do dentado é gerada pela recta MM’, e é uma superfície regrada de helicóide.
A hélice primitiva resulta do enrolamento da recta MM’ sobre o cilindro C1no movimento P/C1.
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Engrenagens de Dentado Helicoidal
Os elementos reais são medidos em planos perpendiculares à recta MM’.
Os elementos aparentes são medidos em planos perpendiculares ao eixo da roda dentada.
GERAÇÃO REAL DO DENTADO HELICOIDAL:
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Engrenagens de Dentado Helicoidal
A hélice primitiva e a hélice de base têm o mesmo passo de hélice pz:
z
πrtgβp
=2
b tb
z z
πr πr cosαtgβp p
= =2 2
t
b
πr cosαπrtgβ tgβ
⇒ =22
b ttgβ tgβ cosα=
de: C. M. Branco, et al; “Projecto de Órgãos de Máquinas”; Fundação Calouste Gulbenkian; Lisboa 2005.
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Engrenagens de Dentado Helicoidal
Há quatro passos a considerar nas rodas de dentado helicoidal:
Passo primitivo aparente pt: comprimento de arco do cilindro primitivo, medido num plano normal ao seu eixo e compreendido entre as superfícies homólogas de dois dentes consecutivos.
Passo primitivo real pn: comprimento de arco do cilindro primitivo, medido num plano normal à hélice primitiva e compreendido entre as superfícies homólogas de dois dentes consecutivos.
Passo de base aparente pbt: comprimento de arco do cilindro de base, medido num plano normal ao seu eixo e compreendido entre as superfícies homólogas de dois dentes consecutivos.
Passo de base real pbn: comprimento de arco do cilindro de base, medido num plano normal à hélice primitiva e compreendido entre as superfícies homólogas de dois dentes consecutivos.
Orgãos de Máquinas, MIEM, FEUP, cap. Engrenagens; aulas de Prof P T de Castro 100
Engrenagens de Dentado Helicoidal
O plano P contém os elementos primitivos. O plano P’ contém os elementos de base.
n tp p cos β=
bt t tp p cosα=
bn bt bp p cos β=
bn n np p cosα=
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Engrenagens de Dentado Helicoidal
n tp p cos β=
bt t tp p cosα=
bn bt bp p cos β=
bn n np p cosα=
( )1
( )2
( )3
( )4
Combinando (1) e (4):
bn t np p cos β cosα=
bnn
t
p cos β cosαp
⇒ =
Mas bn bt bp p cos β=
btt
t
ppcosα
=
( )3
( )2
bn bt bt b
btt
t
p p cos β cosα cos βppcosα
⇒ = =
Assim: n t bcos β cosα cosα cos β=
Orgãos de Máquinas, MIEM, FEUP, cap. Engrenagens; aulas de Prof P T de Castro 102
Engrenagens de Dentado Helicoidal
nBDtgαAB
=
tBCtgαAB
=
Mas BD BC cos β=
nBC cos βtgα
AB⇒ =
n ttgα tgα cos β=
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Engrenagens de Dentado Helicoidal
n tp p cos β=
n tm m cos β⇒ =
b tr r cosα=
a nr r m= +
t tzp zmrπ
= =2 2
nzmrcos β
⇒ =2 ( ) nz z m
acos β+
= 1 2
2
de: C. M. Branco, et al; “Projecto de Órgãos de Máquinas”; Fundação Calouste Gulbenkian; Lisboa 2005.
Orgãos de Máquinas, MIEM, FEUP, cap. Engrenagens; aulas de Prof P T de Castro 104
Engrenagens de Dentado Helicoidal
mt – módulo aparente;
mn – módulo real;
αt – ângulo de pressão aparente;
αn – ângulo de pressão real;
β – ângulo de inclinação primitiva;
βb – ângulo de inclinação de base;
et – intervalo primitivo aparente;
en – intervalo primitivo real;
st – espessura primitiva aparente;
sn – espessura primitiva real;
gβ – comprimento de recobrimento;
px – passo axial.
de: C. M. Branco, et al; “Projecto de Órgãos de Máquinas”; Fundação Calouste Gulbenkian; Lisboa 2005.
Orgãos de Máquinas, MIEM, FEUP, cap. Engrenagens; aulas de Prof P T de Castro 105
Engrenagens de Dentado Helicoidal
SUPERFÍCIES CONJUGADAS DE UMA ENGRENAGEM HELICOIDAL:
C1 e C2 são os cilindros primitivos.
P’ é o plano de acção ou de engrenamento, que roda sem escorregar sobre os círculos de base rb1 e rb2 segundo geratrizes T1t1 e T2t2.
Os flancos dos dentes em contacto, não representados, são as envolventes da recta δ’ do plano P’, inclinada de βb. Esta recta δ’ é a recta de contacto entre dois dentes.
A expressão traduz o rolamento
sem escorregamento de P’ sobre C1’ e C2’.
b
b
rωω r
= 21
2 1
A razão é constante mesmo que o entre-eixo varie.ωω
1
2
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Engrenagens de Dentado HelicoidalVERIFICAÇÃO DE QUE UM PLANO TANGENTE AO CILINDRO DE BASE DE UMA RODA DE DENTADO HELICOIDAL CORTA UM FLANCO DE DENTE SEGUNDO UMA RECTA:
Orgãos de Máquinas, MIEM, FEUP, cap. Engrenagens; aulas de Prof P T de Castro 107
Engrenagens de Dentado Helicoidal
João O. Correia da Silvae
Rui Martins,1998.
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Razão de Condução nas Engrenagens de Dentado Helicoidal
O engrenamento de um par de dentes inicia-se em A, onde os perfis conjugados P1 e P2 iniciam o seu contacto, e termina em B, na outra face da roda, onde os perfis P1’ e P2’ terminam o seu contacto.
A razão de condução total édefinida como o quociente entre o ângulo de que giram cada uma das rodas durante o engrenamento entre dois dentes conjugados e o passo angular correspondente. O passo angular é a razão entre o passo e o raio do círculo sobre o qual ele é definido.
de: C. M. Branco, et al; “Projecto de Órgãos de Máquinas”; Fundação Calouste Gulbenkian; Lisboa 2005.
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Razão de Condução nas Engrenagens de Dentado Helicoidal
Quando um par de helicóides conjugados entra em contacto na face anterior, no ponto A, o contacto na face posterior –distante daquela de b – só se estabelece no ponto A’, depois de uma rotação suplementar:
φβbtgβ
r=
α βε ε ε= +
A razão de condução total é a soma das razões de condução aparente εα (relacionada com αt) e suplementar εβ.
de: C. M. Branco, et al; “Projecto de Órgãos de Máquinas”; Fundação Calouste Gulbenkian; Lisboa 2005.
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Razão de Condução nas Engrenagens de Dentado Helicoidal
α βε ε ε= +
αbt
ABεp
=
βbt t t
b t
btgβ btgβr rε p πm cosαr r cosα
= =
βt
btgβεπm
⇒ =
A razão de condução total pode ser aumentada sem alterar o ângulo de pressão real ou o raio de cabeça, aumentando a largura (b) e/ou o ângulo de inclinação (β).
de: C. M. Branco, et al; “Projecto de Órgãos de Máquinas”; Fundação Calouste Gulbenkian; Lisboa 2005.
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Número de Dentes Virtual de um Dentado HelicoidalO raio primitivo aparente de uma roda vista na direcção dos seus dentes corresponde ao raio de curvatura ρ da elipse resultante do corte do cilindro primitivo por um plano normal à hélice primitiva.
x yrr
cos β
2 2
2 2 1+ =⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠
dy x cos βdx r x cos β
2
2 2 2=−
−
( ) ( )d y cos β x cos βdx r x cos β r x cos β
2 2 2 4
1 322 2 2 2 2 22 2
=− −− −
( )( )d y cos β r x cos β x cos β
dx r x cos β
2 22 2 2 2 2
322 2 2 2
=− − +− ( )
d y r cos βdx r x cos β
2 2 2
322 2 2 2
=−−
⇒
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Número de Dentes Virtual de um Dentado Helicoidal
dydx
ρd ydx
32 2
2
2
1⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ + ⎟ ⎟⎜⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎟⎜⎝ ⎠
=
Substituindo para : x 0=
rρcos β2=
O raio de curvatura ρ define-se da seguinte forma:
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Número de Dentes Virtual de um Dentado Helicoidal
No plano normal à hélice primitiva o módulo é o módulo real mn:
n tm m cos β=
O número de dentes virtual zV é o número
de dentes de uma roda de dentado recto,
módulo mt e raio . rcos β2
Vn t
ρ rzm m cos β3
2 2= =
Vzz
cos β3=
zV é usado na escolha das correcções de dentado para equilibrar o escorregamento específico.
Uma vez que zV é superior a z, o número mínimo de dentes que evita a interferência é inferior nas engrenagens de dentado helicoidal.
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Cota Wk de uma roda de dentado helicoidal
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Cota Wk de uma roda de dentado helicoidal
Os pontos A e B, que definem a cota real Wnk, situam-se sensivelmente sobre o cilindro primitivo:
tnk
b
rsenαWcos β
2≈
A cota aparente Wtk é definida pelo segmento : AC
tkAC W=
nk tk bW W cos β=
de: G. Henriot; “Traité Théorique et Pratique desEngrenages – Tome 1”; Dunod;Paris 1968
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Cota Wk de uma roda de dentado helicoidal
As fórmulas usadas para o dentado recto são aplicáveis para o cálculo de Wtk, considerando agora o módulo aparente mt e o ângulo de pressão aparente αt. Para dentado normal:
( )tk t t tW m cosα k , π zinvα0 5⎡ ⎤= − +⎣ ⎦
( )nk t t b tW m cosα cos β k , π zinvα0 5⎡ ⎤= − +⎣ ⎦
Uma vez que e
: t b ncosα cos β cos β cosα=
t nm cos β m=
( )nk n n tW m cosα k , π zinvα0 5⎡ ⎤= − +⎣ ⎦
de: G. Henriot; “Traité Théorique et Pratique desEngrenages – Tome 1”; Dunod;Paris 1968
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Cota Wk de uma roda de dentado helicoidalO número de dentes k a usar para a medição de Wnk é dado pelo gráfico em função do número de dentes z, do ângulo de pressão real αn e do ângulo de inclinação primitiva β.
de: G. Henriot; “Traité Théorique et Pratique des Engrenages – Tome 1”; Dunod;Paris 1968
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Entre-eixo Imposto
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Entre-eixo Imposto
Por vezes há necessidade de engrenar um pinhão (zP) e uma roda (zR) com um determinado entre-eixo que não corresponda à soma dos raios primitivos de corte:
R Pz za' m⎛ ⎞+ ⎟⎜≠ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠2
Aplica-se uma determinada correcção de dentado (xP e xR) recorrendo às expressões:
( )( )
R P
R P
a' cosα ' a cosαx x
invα ' invα tgαz z
⎧ =⎪⎪⎪⎪ +⎨⎪ = +⎪ +⎪⎪⎩2
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Entre-eixo Imposto
para engrenagens redutoras.
Para determinar xP e xR separadamente:
( )R P PP R P
R P R P
z z zx λ x xz z z z
−= + +
+ +
λ= 0 para engrenagens multiplicadoras.
Motivações para a correcção de dentado:
1- Desgaste (equilibrar escorregamentos específicos).2- Interferência.3- Entre-eixo imposto.
, λ ,< <0 5 0 75
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Controlo Metrológico - Calibres Cilíndricos
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G f ( z,α ,m,x,a )=
DOB DOA AOB DOK KOB= + = +
θ
a é o diâmetro dos calibres usados na medição.
Em que:zmr2
=
bzmr cosα2
=
πme xmtgα22
= −
( )b
a einvα invθr r
2 21 ⇒ + = +
( ) bl cosθ r2 ⇒ × =
r
rb r
Controlo Metrológico - Calibres Cilíndricos
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Controlo Metrológico - Calibres Cilíndricos
Número de dentes z par: Número de dentes z ímpar:
G l a2= × + πG l cos az
22
⎛ ⎞⎟⎜= × +⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
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Notação; Breve Ref. a Normalização
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Notação
z – número de dentes do elemento dentado;p – passo primitivo;m / m0 – módulo;α / α0 – ângulo de pressão;β – ângulo de hélice / ângulo de inclinação primitiva;b – largura da roda dentada;r – raio primitivo da roda dentada;ra – raio de cabeça;rb – raio de base;rd / rf – raio de pé;a – entre-eixo da engrenagem;pb – passo de base;h – altura do dente;ha – altura da cabeça;hf – altura do pé;αM – ângulo de incidência num ponto M;e – intervalo entre dentes sobre o círculo primitivo;s – espessura do dente sobre o círculo primitivo;
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Notação
sa – espessura do dente no círculo de cabeça;sb – espessura do dente no círculo de base;Wk – cota tangencial medida sobre k dentes;k – número de dentes usados na medição da cota tangencial;a’ – entre-eixo de funcionamento;r’ – raio primitivo de funcionamento;α’ – ângulo de pressão de funcionamento;ε – razão de condução total;εα – parcela da razão de condução total respeitante ao ângulo de pressão;εβ – parcela da razão de condução total respeitante ao ângulo de hélice;gs – escorregamento específico;v – correcção do dentado;x – correcção relativa;βb – ângulo da hélice de base;pz – passo de hélice;px – passo axial; αt – ângulo de pressão aparente;αn – ângulo de pressão real;
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Notação
pt – passo primitivo aparente;pn – passo primitivo real;pbt – passo de base aparente;pbn – passo de base real;mt – módulo aparente;mn – módulo real;gβ – comprimento de recobrimento;et – intervalo entre dentes sobre o círculo primitivo aparente;en – intervalo entre dentes sobre o círculo primitivo real;st – espesura do dente sobre o círculo primitivo aparente;sn – espesura do dente sobre o círculo primitivo real;zv – número de dentes virtual;Wtk – cota tangencial sobre k dentes aparente;Wnk – cota tangencial sobre k dentes real;G – cota medida com calibres cilíndricos;
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Normalização
Entre outras, as normas:
DIN 780: Series of modules for gears.
DIN 868: General definitions and specification factors for gears, gear pairs and gear trains.
DIN 3960: Concepts and parameters associated with cylindrical gears and cylindrical gear pairs with involute teeth.
DIN 3998: Denominations on gears and gear pairs.
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Anexo: Alguns Modelos da Colecção Reuleaux da FEUP
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Anexo: Alguns Modelos da Colecção Reuleaux da FEUP
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Anexo: Alguns Modelos da Colecção Reuleaux da FEUP
Orgãos de Máquinas, MIEM, FEUP, cap. Engrenagens; aulas de Prof P T de Castro 132
Anexo: Alguns Modelos da Colecção Reuleaux da FEUP
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Anexo: Alguns Modelos da Colecção Reuleaux da FEUP
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Anexo: Alguns Modelos da Colecção Reuleaux da FEUP
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