eletromagnetismo - joseph a. edminister volume 1
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Rogerio Moreira Lima Silva
Marcelo Lyra Brandão
Manual de Problemas Resolvidos
ELETROMAGNETISMO
VOLUME I
PA P E L V I R T UA L
Brandão, Marcelo L.Manual de Exercícios Resolvidos:
Eletromagnetismo / Marcelo L Brandão,Silva, Rogerio M L. - São Luís, 1999.
V.1, 136 pg.1. Eletromagnetismo - exercícios I
Silva, Rogerio M L. II Título
CDD 535.14CDU 537.8
Copyright© 2000 por Marcelo Lyra Brandão e RogerioMoreira Lima Silva
Título Original: Manual de Problemas Resolvidos -Eletromagnetismo
Editor-Chefe: Tomaz AdourEditoração Eletrônica: Andrea CavalcantiRevisão: Patrícia Simões Carneiro
Papel Virtual EditoraRua Marquês de São Vicente, 225Prédio Genesis - sala 21-A - PUC-RioGávea - Rio de Janeiro - RJ CEP: 22453-900
Tel: (021) 239-0170 Ramais: 2057 / 2026 (fax)E-mail: editor@papelvirtual.com.brEndereço Eletrônico: www.papelvirtual.com.br
Marcelo Lyra BrandãoDoutor em Engenharia Elétrica pela UnicampProfessor Adjunto do Departamento de Engenharia deEletricidade da Ufma
Rogerio Moreira Lima SilvaEstudante de Engenharia Elétrica da Ufma
Manual de Problemas Resolvidos
Eletromagnetismo
VOLUME I
A meus avós; em especial a meu avô William Moreira Lima.
A minha família, em especial aos meus pais.
A meu tio Aluizio Moreira Lima, pelo empenho pessoal.
À minha noiva, Cintia Karine Carneiro Rocha, por tudo.
R. M. L. Silva
PREFÁCIO
Este manual tem por finalidade auxiliar os estudan-tes de Engenharia Elétrica no estudo do eletromagnetismo.O manual é direcionado a resolução de problemas do livro“ Eletromagnetismo, Kraus / Carver”, mas são resolvidostambém exercícios de outros livros. É relevante citar que seoptou por seguir a ordem de capítulos do livro acima cita-do, ou seja,” Eletromagnetismo, Kraus / Carver”.
Neste primeiro volume serão apresentadas resoluçõesde exercícios dos capítulos 1(um) ao 9 (nove) e no segundovolume, dos capítulos 10(dez) ao 14(catorze). Também se-rão fornecidas ao final de cada capítulo as referências bibli-ográficas para pesquisa da teoria, a qual forma a base teóri-ca necessária para perfeito entendimento dos exercícios re-solvidos.
Esperamos que este manual seja utilizado por profes-sores que adotem o livro “Eletromagnetismo, Kraus /Carver” ou “Eletromagnetics, Kraus”, e que o mesmo sejade grande valia para melhor entendimento da teoria.
Tendo em vista que todo e qualquer trabalho não estáimune a erros e consequentemente eventuais correções, osleitores que desejarem fazer críticas e, ou, sugestões devemdirigir-se aos autores no Departamento de Engenharia deEletricidade da Universidade Federal do Maranhão(UFMA).
Marcelo Lyra Brandãolyra@dee.ufma.brRogerio Moreira Lima Silvarogeriomls@zipmail.com.brrogeriomls@ig.com.brrogermls@telemar-ma.com.br
SUMÁRIO
Capítulo 1 ............................................................................... 13Capítulo 2 ............................................................................... 19Capítulo 3 ............................................................................... 33Capítulo 4 ............................................................................... 51Capítulo 5 ............................................................................... 59Capítulo 6 ............................................................................... 87Capítulo 7 ............................................................................... 95Capítulo 8 ............................................................................. 103Capítulo 9 ............................................................................. 113Bibliografia Consultada ..................................................... 133Biografia dos autores .......................................................... 135
LISTA DE FIGURAS
Figura Prob. 2-2 ..................................................................... 21Figura Prob. 3-3 .................................................................... 36Figura Prob. 3-4 .................................................................... 38Figura Prob. 3-5 .................................................................... 39Figura Prob. 3-8a .................................................................. 44Figura Prob. 3-8b.................................................................. 46Figura Prob. 3-9 .................................................................... 46Figura Prob. 3-10 .................................................................. 48Figura Prob. 4-2 .................................................................... 52Figura Prob. 5-2 .................................................................... 60Figura Prob. 5-3a .................................................................. 61Figura Prob. 5-3b.................................................................. 62Figura Prob. 5-5 .................................................................... 65Figura Prob. 5-6a .................................................................. 67Figura Prob. 5-6b.................................................................. 68Figura Prob. 5-6c .................................................................. 68Figura Prob. 5-9 .................................................................... 72Figura Prob. 5-12 .................................................................. 73Figura Prob. 5-13a ................................................................ 75Figura Prob. 5-13b................................................................ 75Figura Prob. 5-14 .................................................................. 77Figura Prob. 5-15 .................................................................. 79Figura Prob. 5-16a ................................................................ 81Figura Prob. 5-16b................................................................ 81Figura Prob. 5-18 .................................................................. 83Figura Prob. 5-19 .................................................................. 85Figura Prob. 5-20 .................................................................. 86Figura Prob. 6-5 .................................................................... 90Figura Prob. 6-7 .................................................................... 93Figura Prob. 8-2 .................................................................. 104Figura Prob. 8-3a ................................................................ 105
12
Figura Prob. 8-3b................................................................ 105Figura Prob. 8-4a ................................................................ 106Figura Prob. 8-4b................................................................ 107Figura Prob. 8-5 .................................................................. 108Figura Prob. 8-6 .................................................................. 109Figura Prob. 8-7 .................................................................. 110Figura Prob. 9-11 ................................................................ 122Figura Prob. 9-15 ................................................................ 125Figura Prob. 9-16 ................................................................ 127Figura Prob. 9-17 ................................................................ 128Figura Prob. 9-18 ................................................................ 130
13
CAPÍTULO 1
INTRODUÇÃO
1.1- Dar:
a) A descrição dimensionalb) As fórmulas dimensionais em termos dos símbolos M,L,T e Ic) As unidades de SI, para as seguintes expressões:
dt
dl∫ dlF.
dx
dl
onde l é o comprimento, t o tempo e F a forçaFonte:[1]
Sol:
a)
ensionaladx
dl
trabalhodlF
velocidadedt
dl
dim
.
=
=
=
∫
14
b)
c)
1.2) Dar o que se pede no problema 1.1 para
BILJr
QdlEEVdv ;;
...4;
..4
1;.;;;.
20
2
0 επεπρ ∫∫∫∫
Fonte:[1]
Sol:
1)(
)(
..
)(
)(*)()(**)(
)(*)(*)()(*)(.
2
2
===
=⇒
=
=
==
==
∫
∫
L
L
ocompriment
ocompriment
dx
dlT
LMdlF
tempo
ocomprimentmassaocompriment
tempo
velocidademassa
ocomprimentaceleraçãomassaocomprimentforçcadlF
T
L
tempo
ocompriment
dt
dl
ensionaladx
dl
joulesJdlF
segundopormetrossmdt
dl
dim
)(.
)....(/
=
=
=
∫
15
a)
b)
ForçaBIL
correntededensidadeJ
forçar
Q
constate
potencialdlE
elétricocampodeensidadeE
potencialV
acdv
==
=
=
=
==
=
∫
∫∫∫
....
...4
..4
1
.
......int
arg.
20
2
0
επ
επ
ρ
( )
2
2
24
3
222
20
3
2
3
2
22
...
?
;..4
1
..
..
....
..
L
hI
L
IL
h
HildH
BILL
I
S
IJ
IT
MLK
IT
LT
ML
Q
FrK
r
QKFK
IT
ML
ITT
ML
Q
FE
IT
MLV
TI
L
T
LM
Q
L
T
LML
Q
FLEdlEV
TIQVV
Qdv
==⇒=
=
=∂∂=
=
==⇒==
===
=⇒
=====−=
===
∫
∫
∫∫∫
µ
επ
ρ
16
c)
2
2
2
222
22
22
2
22
23
2
3
2
:log,.
)........(
)(,
,//
....
T
MLIL
IT
MLBIL
oIT
ML
L
I
IT
MLHB
oumetroporindutânciaIT
ML
LIT
ML
m
l
indutânciaIT
ML
I
TIT
ML
lIT
MLV
masI
VT
TI
V
dtdi
vl
dt
dilv
metroporindutânciah
==
===
==
===
===⇒=
=
µ
µ
)....(..4
1
)....(
)(
)(
0
faradaypormetrosF
m
voltsEdl
metroporvoltsm
VE
voltsVV
coulombsCdv
=
=
=
=
=
∫
∫∫∫
επ
ρ
)(
......(
)(4
2
20
2
newtonsNBIL
quadradometroporampèresm
AJ
NewtonsNr
Q
=
=
=πε
17
1 Referências para estudo da teoria
1 Referência para estudo da teoria:KRAUS, John D ; CARVER, Keith R. Eletromagnetismo Editora Guanabara Dois, 1978.⇒ capítulo 1 (um)
18
19
CAPÍTULO 2
CAMPO ELETROSTÁTICO - PARTE 1
2.1)(a) Que carga elétrica seria necessária colocar na Terra e naLua para que tal força de atração se iguale a força de atra-ção gravitacional? Suponha que as cargas sejam colocadasna mesma proporção que as massas. Considere a massa daTerra 6.1024 Kg, e da Lua 7.1027 Kg, sendo a separação de40Mm. A constante gravitacional 6,7.10-11 Nm2/Kg2 (é aná-loga a lei de Coulomb)(b) Se as separações fossem de sinais contrários qual seriao momento do dipolo.Fonte:[1]
Sol:
(a)Dados: m1=6.1024Kg; m2=7.1022Kg; G=6,7.10-11Nm2/Kg2;r=400MmSabe-se que e0=8,85pF/m p=3,14
221
...4
.
r
qqFe επ
= ; 221.
r
mmGFG =
20
⇒= Ge FF 221
...4
.
r
επ 221.
r
mmG=
2121 .....4. mmGqq επ=⇒
22721 10.13,3. Cqq =⇒
são proporcionais, logo:
pm
mm
→→+
1
21 199,0
21
1 =+
=mm
mp → ).( 211 mmpm +=
'
1
2
21
pm
mm
→→+
01,0'21
2 =+
=mm
mp → )'.( 212 mmpm +=
como,22
11
~
~
qm
qm⇒ ).( 211 qqpq += ; )'.( 212 qqpq +=
22121 )'.(.. qqppqq += '.
. 2121 pp
qqqq =+⇒ Cqq 14
21 10.24,5=+⇒
).( 211 qqpq += TC51810.518)10.24.5.(99,0 1214 ===
)'.( 212 qqpq += TC04,610.04,6)10.24.5.(01,0 1214 ===
(b)
para o dipolo CmlqqlQ 22221 10.24,2... ==
2.2)A figura mostra uma longa barra isolante sem massa,de comprimento L, presa por pino no seu centro e equili-brada com peso W a uma distância x de sua extremidadeesquerda. Nas extremidades esquerda e direita da barra sãocolocadas cargas q e 2q, respectivamente. A uma distânciah diretamente abaixo dessas cargas está fixada uma cargapositiva +Q (veja figura).
21
(a) Determine a posição x do peso quando a barra estiverequilibrada.(b) Qual deverá ser o valor de h para que a barra não exer-ça nenhuma força vertical sobre o suporte quando em equi-líbrio? (Despreze a interação entre as cargas nos extremosopostos da barra.) Fonte:[5]
Fig. Prob. 2-2Fonte:[5]
Sol:
(a)
+=
+=+=
=⇒=−−=
==
=→+=
∑
Wh
qQL
Wh
qQLLx
Lx
Wh
qQLx
LFxW
LFT
h
qQF
h
qQF
Lxxxx
....4
.1
2..4
.
222
....4
.
20
2.
2.
...4
.;
...4
2.2
222
22221
2221
121
εππε
επ
επεπ
22
(b)
W
Qqh
h
QqW
FFWWFFF
...4
..3
...4
..3
0
2
2121
επεπ=→=
+=⇒=−+=∑
2.3) Duas pequenas esferas condutoras de massa msuspensas por fios de seda de comprimento L possuem umacarga q. Considerando que o ângulo q é tão pequeno que atgq possa ser substituída por senq: Mostre que para estaaproximação temos:
312
....2
.
=
gm
Lqx
επFonte:[5]
Sol:
2
2
....4 xmg
q
mg
Ftg
επθ == ;
L
x
2sen =θ
mas q muito pequeno L
xtg
2sen =≅ θθ
2
2
....4 xmg
q
επ L
x
2=
312
...2
=⇒
gm
Lqx
επ
2.4) Duas partículas cada uma de massa m e com carga q,estão suspensas de um ponto comum, por cordas de com-primento l. Determine o ângulo q que cada corda formacom a vertical. Fonte:[7]
23
Sol:
2
2
...4 x
qF
επ=
temos:
2
2
....4sen
xT
q
T
F
επθ == ;
T
mg=θcos ; 2
2
....4 xmg
q
mg
Ftg
επθ ==
2
2
2
2
33
2
223
2
3
.....16
.
.....2
......4cos.
1
lgm
q
ql
lxgm
xgm
qtg
tg
tg
επ
επεπ
θθθ
θ
=
=
==
+
2.5) Uma certa carga Q deve ser dividida em duas: (Q-q) e q.Qual é a relação entre Q e q para que a repulsão seja máxi-ma? Fonte:[5]
Sol:
qQr
dq
dF
r
qQq
r
qQqF
2
020.4
)2(0
.4
)()(
4
1
2
2
2
2
=
=−⇒=−⇒=
−=−=
πε
πεπε
24
2.6) Mostre que as placas de um capacitor de placas parale-
las se atraem com uma força dada por A
qF
.2
2
ε= .
Prove o que foi dito, calculando o trabalho necessário paraaumentar a separação entre as placas de x para x+dx, a car-ga q permanecendo constante. Fonte:[5]
Sol:
Para o capacitor de placas paralelas, aplicando a lei de Gauss,temos:
A
qE
qAE
qsdE
...
εεε=⇒=⇒=∫
A
Adq
A
qFdqEdF
.22.
1
..
2
0
2
0 εεε=
==⇒= ∫
2.7)Em um trabalho que foi escrito em 1911, ErnestRutherford disse: “Para se ter alguma idéia das forças ne-cessárias para desviar uma partícula a através de um gran-de ângulo, considere um átomo contendo uma carga pon-tual Ze no seu centro e envolvida por uma distribuição decarga negativa, -Ze, uniformemente distribuída dentro deuma esfera de raio R.” O campo elétrico E num ponto den-tro do átomo, a uma distância r do seu centro, é
−=
32
11
.4 Rr
ZeE
πε
Verifique esta equação Fonte:[5]
q
25
Sol:
para r>R,
2
332
2
...4
'3.4
3.4
'
...4
'..4.
'.
'.
r
qE
r
q
r
q
r
qE
qrE
qsdE
qsdE
επ
ππρ
επ
επ
εε
=
=
==⇒=
=⇒=⇒=
+
∫∫
para r<R,
3
3
3
332
2
...4
.
.'
3.4
3.4
'
...4
'
'..4.
'.
'.
R
rqE
R
rqq
R
q
r
q
r
qE
qrE
qsdE
qsdE
επ
ππρ
επ
επ
εε
=
=⇒
==⇒=
=⇒=⇒=
−
∫∫
−=+= −+ 32
1
4 R
r
r
qEEE
πε
26
2.8) Duas cargas puntiformes, -q e +q/2, estão situadas naorigem e no ponto (a,0,0), respectivamente. Em que ponto,ao longo do eixo x, o campo elétrico se anula? Fonte:[5]
Sol:
−
−+−=
−
+−=22
22
22 )(2
24.
..4)(2..4
1
axx
aaxxq
ax
q
x
qE
επεπ
o campo elétrico se anula em 0=E
2222
8164
0.2..4
024
22
22
22
±=−±=⇒
=+−
=−+−⇒
aaaa
x
axax
aaxx
)12(2 +=→ ax , satisfaz
)12(2 −=→ ax , não satisfaz (não utilizar)
( )
12
2
12
122
)12(
)12().12(2
2
−=→
−
−
=−−+=→
a
ax
aax
27
2.9) Usando a Lei de Gauss, determine a carga elétrica totaldentro de um volume cúbico de 2m de lado situado nooctante positivo com três arestas coincidentes com os eixosx,y e z e um vértice na origem, sendo o vetor densidade defluxo elétrico D dado por:
(a) 2^
2xxD =
(b) zyxxD ..^
=
(c) )5()4()3(.^^^
+++++= zzyyxxD
(d) 333^
222^^
...... zyxzzyxyzyxxD ++=
Fonte:[1]
Sol:
(a)
∫ ∫ ∫∫∫∫ =⇒=∇=2
0
2
0
2
032...4)..( CQdzdydxxdvDQ
R
(b)
∫ ∫ ∫∫∫∫ =⇒=∇=2
0
2
0
2
08....)..( CQdzdydxzxydvDQ
R
(c)
∫ ∫ ∫∫∫∫ =⇒++=∇=2
0
2
0
2
024..).111()..( CQdzdydxdvDQ
R
(d)
CQ
dzdydxyxzyxyzdvDQR
44,164
...)...3..2()..(2
0
2
0
2
0
3322
=⇒
++=∇= ∫ ∫ ∫∫∫∫
28
2.10) Carrega-se uniformemente um cilindro infinitamentelongo de raio R
(a) Mostre que E a uma distância r do eixo do cilindro (r<R)
é dado por ερ.2
.rE = ,
onde ρ é a densidade volumétrica de carga.(b) Que resultado poderíamos esperar para r>R?Fonte:[5]
Sol:(a)para r<R,
ερ
πρπε
ρε
.2
.
.....2..
...
22
r
L
E
LrrE
dvqsdE
=
=
==∫ ∫∫∫
(b)para r>R,
r
R
L
E
LRrE
dvqsdE
..2
.
.....2..
...
2
22
ερ
πρπε
ρε
=
=
==∫ ∫∫∫
29
2.11) Se zzyyxxE^^^
++=
, achar o fluxo elétrico sobre umaesfera de raio R.Fonte:[1]
Sol:
zzyyxxE^^^
++=
RzyxE =++= 222
;
=E
^
.rE ^
2 ...sen. rddRsd φθθ= ;
3
2
0
2
0
...4
..sen.....
R
ddRRsdE
e
e
επψ
φθθεεψπ π
=
== ∫ ∫ ∫
2.12) Uma distribuição de potencial dada por V=3y1/2 V.Qual a expressão de E? Qual é o seu valor vetorial (módulo,direção e sentido) nos pontos (0;0),(4;0) 3 (0,4) ? Fonte:[1]
Sol:^^
2/1
2
3
2
13 y
yyyVEEV −=−=∇−=⇒−=∇ −
mVE /)0;0( ∞= ; mVE /)0;4( ∞= ; mVyE /75,0)4;0(^
−=
2.13) Uma distribuição de potencial é dada por :
xyV 127 2 += V. Qual é a expressão de E
. Qual é o seuvalor (módulo, direção e sentido) nos pontos (0,0); (5,0); (0,3)e (5,3)? Fonte:[1]
30
Sol:
xyV 127 2 += ;
^^^^
1412 yyxyy
Vx
x
VVEEV −−=
∂∂+
∂∂−=∇−=⇒−=∇
^^
1412 yyxE −−=
V/m
em (0,0) em (0,3)^
12)0,0( xE −=
V/m ^^
4212)3,0( yxE −−=
V/m
em(5,0) em(5,3)^
12)0,5( xE −=
V/m ^^
4212)3,5( yxE −−=
V/m
2.14) Duas bolas dielétricas de pequeno diâmetro 10g podemdeslizar livremente numa linha plástica vertical. Cada bolatem uma carga de 1µC.
(a) Achar a distância entre elas, se a bola inferior é impedidade se mover
(b) Qual é o momento do dipoloFonte:[1]
Sol:
Dados: m=10g; g=9,81m/s2; q=1µCSabe-se que: ε0=8,85pF/m
31
(a)
ymgW
y
qV
VqW
.
.4
.
=
=
=
πεgm
qyygm
y
..2..
.4 πεπε=⇒=
(b)
00.10. 6 == −lQ
2.15) Uma distribuição de potencial é dada por:
θsen.. 21rkV = . Achar E
.Fonte:[1]
Sol:
θsen.. 21rkV = ; θsen.. rkV =⇒ ; θθ
∂∂−
∂∂−= V
rr
VrE .
1.
^^
;
θsen2 r
k
r
V =∂∂
; θθ
cos.. rkV =
∂∂
;
θθθ cos...1
.sen.2
^^
rkrr
krE −−=
−−=⇒
−−=⇒
θθθ
θθθ
cos.2
sen..
cos...1
.sen.2
^^
^^
r
r
rkE
rkrr
rkrE
;
my 303,0=⇒
−−=⇒ θθθ
cos.2
sen.. ^^
r
r
rkE
32
2 Referências para estudo da teoria
2 Referência para estudo da teoria:KRAUS, John D ; CARVER, Keith R. Eletromagnetismo Editora Guanabara Dois, 1978⇒ capítulo 2 (dois)
KRAUS, John D. Eletromagnetics McGraw-Hill International Editions , 1991⇒ capítulo 2 (dois)
33
CAPÍTULO 3
CAMPO ELETROSTÁTICO - PARTE 2
3.1) Um capacitor foi construído para operar com umacapacitância constante, em meio a uma temperaturaoscilante. O capacitor é do tipo placas paralelas comseparadores de plástico para alinhar as placas.
(a) Mostre que a razão da mudança da capacitância C com
a temperatura T é dada por
−=
dT
dx
xdT
dA
AC
dT
dC 11
onde A é a área da placa e x é a distância entre as placas.(b) Se as placas fossem de alumínio, qual deveria ser o
coeficiente de expansão térmica dos separadores paraque a capacitância não variasse com a temperatura?
(Ignore o efeito dos separadores sobre a capacitância)Fonte:[5]
34
Sol:Letra (a)
−=−=
=→
−=−
=−
=
=
dT
dx
xdT
dA
AC
dT
dx
x
C
dT
dA
A
C
dT
dC
x
A
x
C
x
AC
dT
dx
x
A
dT
dA
xxdT
dxA
dT
dAx
xdT
xdAx
dT
Ad
dT
dC
x
AC
11
..
..).(
.).(
.
2
222
εε
εεεεεε
ε
Letra (b)
011
0 =
−→=
dT
dx
xdT
dA
AC
dT
dC, mas 0≠C , logo:
dT
dx
x
A
dT
dA
dT
dx
xdT
dA
A=→=
− 0
11, mas
x
AC
x
AC =→=
εε .
,
logo:
como 0.εεε r= , e rε do alumínio é grande,então dT
dA diminui
3.2) Um capacitor tem placas quadradas de lados iguais a,que fazem entre si um ângulo. Mostre que para pequenosvalores de, a capacitância é dada por:
35
−=
d
a
d
aC
21
20 θε
Sugestão: O capacitor pode ser dividido em tiras muito finasque estão efetivamente em paralelo. Fonte:[5]
Sol:
2aA = ; dy
dAdC
+= 0ε
; dradA .=
θsen.ry = , para pequenos valores de θ, temos θ.ry ≈ :
( ) [ ]ddaa
dra
rd
draC
aaln)ln(.ln
.
.0
0
0
00 −+=
+=
+= ∫ θ
θεθ
θε
θε
+=
d
daaC
θθ
εln
.0
+=
d
aaC
θθ
ε1ln0
; obs.:→ ( ) ...2
11ln 2 +−=+ xxx , isto é,
expandindo em série de potência a função )1ln( x+ , assimtemos:
...2
11ln
2
+
−=
+
d
a
d
a
d
a θθθ,
para pequenos valores deθ , temos que:
−≈
+→
−≈
+
d
a
d
a
d
a
d
a
d
a
d
a θθθθθθ11ln
2
11ln
2
36
−=→
=
−=
−=→
d
a
d
AC
aA
d
a
d
a
d
a
d
aaC
21
21
21
0
2
200
θε
θεθθθ
ε
3.3) Uma barra isolante “semi-infinita” possui uma cargapor unidade de comprimento, de valor ρL. Mostre que ocampo elétrico, no ponto P, forma um ângulo de 450 com abarra e que este resultado é independente da distância R.Fonte:[5]
Sol:
Fig. Prob. 3-3Fonte:[5]
37
yx dEdEdE +=
( ) ( )∫∫∞∞
+=
+=⇒=
0 220 22 ...4
sen..sen.
...4sen.
xR
dx
xR
dqEdEdE L
x επθρθ
επθ
chamando θθθ dRdxtgRx .sec. 2=→=
0→x 0→θ∞→x 2/πθ →
( ) R
d
tgRR
dRE LL
x sec....4
sen..sec.
....4
sen..sec.. 2/
0 22
22/
0 222
2
θεπθθθρ
θεπθθθρ ππ
==+
= ∫∫
( )RR
LL
...4cos
...42/
0 επρθ
επρ π =−=
( ) ( )∫∫∞∞
+=
+=⇒=
0 220 22 ...4
cos..cos.
...4cos.
xR
dx
xR
dqEdEdE L
y επθρθ
επθ
chamando θθθ dRdxtgRx .sec. 2=→=
0→x 0→θ∞→x 2/πθ →
( ) R
d
tgRR
dRE LL
y sec....4
cos..sec.
....4
cos..sec.. 2/
0 22
22/
0 222
2
θεπθθθρ
θεπθθθρ ππ
==+
= ∫∫
( )RR
LL
...4sen
...42/
0 επρθ
επρ π ==
1
...4
...4 ===
R
RE
Etg
L
L
y
x
επρεπ
ρ
θ [ ]
411 1 πθθ ==→= −tgtg
38
4
πθ =tg rad, ou 045=θtg
3.4) Uma barra isolante, de comprimento L, tem uma carga–q distribuída uniformemente ao longo de sua extensão,como mostra a figura.(a) Qual é a densidade linear de carga da barra?(b) Qual é o campo elétrico no ponto P a uma distância “a”
da extremidade da barra?(c) Se P estivesse muito longe da barra em comparação com
L, ela se comportaria como uma carga pontual? Mostreque a sua resposta, para o item (b) reduz-se ao campoelétrico de uma carga pontual, para a>l.
Fonte:[5]
Fig. Prob. 3-4.Fonte:[5]
Sol:
Letra (a)
L
qLqdldqdldq LL
L
L
q
L =→=→=→= ∫∫ ρρρρ ...00
Letra (b)
+−=
+==→= ∫∫ LL
LL
L
alal
dl
r
dqE
r
dqdE 00 20 22
1
..4)(..4....4...4 επρ
επρ
επεπq
39
)(...4
.
aLa
LE L
+=⇒
επρ
, mas Lq L.ρ= , logo:
).(...4 aLa
qE
+=→
επ
Letra (c)
Para a>l, implica que l→0 vamos aplicar isto como limite
em ).(...4 aLa
qE
+=
επ
=→ EL 0lim =+→ ).(...4
lim 0 aLa
qL επ 2....4 a
q
επ
então 2....4 a
qE
επ= , para La >> ; logo reduz-se ao campo
elétrico de uma carga pontual
3.5) Uma barra de vidro fino é encurvada num semicírculode raio R. Uma carga +q está distribuída uniformemente aolongo da metade superior, e uma carga –q, distribuídauniformemente ao longo da metade inferior, como mostraa figura. Determine o campo elétrico no ponto P que estáno centro do semicírculo.Fonte:[5]
Fig. Prob. 3-5Fonte:[5]
40
Sol:
2...4
coscos
r
dldEdE L
y επθρθ ==
∫∫ ==22
.cos.
..4
cos.
..4 R
dR
R
dlE LL
y
θθεπ
ρθεπ
ρ
( ( )
RE
RRd
RE
Ly
LLLy
...2
2...4
sen...4
.cos...4
2/2/3
2/
2/3
επρ
επρθ
επρθθ
επρ π
π
π
π
=
=== ∫
temos que R
q
l
qL .π
ρ ==→
22 ...2 R
qEy επ
=⇒
3.6)
(a) Um disco circular de raio R tem uma densidadesuperficial uniforme de carga ρS. Determine o campoelétrico de um ponto sobre o eixo do disco a umadistância z do plano de disco.
(b) Um cilindro reto, de raio R e altura L, está orientado aolongo do eixo z. Possui uma densidade volumétrica de
carga ( ) zz .0 βρρ += , em relação a uma origem nocentro do cilindro. Determine a força sobre uma cargaq situada no centro do cilindro. Fonte:[7]
41
Sol:
Letra (a)
( ) ( )( )
+−=−==
+=
+==
∫
∫∫∫
220
0 220 222
12
cos1.2
.sen2
cos..
.2...4
cos.....2
.4
cos.
Rz
zdE
az
daa
az
daa
r
dqE
SSS
RS
RS
ερθ
ερθθ
ερ
θε
ρεπ
θρππε
θ
θ
Obs.: Utilizamos as relações abaixo:
22sen
Rz
a
+=θ ; 22
cosRz
z
+=θ ;
z
atg =θ
θ
θθθ
2222
2
sec
.sec
zaz
dzdaztga
=+
=⇒=
e aplicando técnicas de resoluções de integrais trigonomé-tricas temos que:
( ) ∫∫ ==+
θ
θθθθθθ
0 22
2
0 22 sec.
cos..sec...cos..
z
dsztgz
az
daaR
∫ ∫==θ θ
θθθθθ0 0
.sen.cos. ddtg
( ) ∫∫ =+
⇒θ
θθθ00 22
.sencos..
daz
daaR
42
Letra (b)
+−=
221
2 Rz
zE S
ερ
;
+−=⇒
221
.2 Rz
zddE S
ερ
A
qS =ρ ; z
R
zR
A
VVq
V
qS .
.
....
2
2
ρπ
ρπρρρρ ===⇒=→=
dzd S .ρρ =⇒
+−=⇒
221
.2
.
Rz
zdzdE
ερ
; ( ) zz .0 βρρ +=
( )
+−+=⇒
22
0 1.2
..
Rz
zdzzdE
εβρ
( )dz
Rz
zzE
+−+=⇒ ∫ 22
0 1.2
..
εβρ
+−+
+−= ∫ ∫ ∫∫
2/
0
2/
0
2/
0 22
2
22
02/
0 0
....
.2
1 l l ll
Rz
dzzdzz
Rz
zdzdzE
ββρρε
22
22
.Rz
Rz
dzz +=+∫
∫ + 22
2.
Rz
dzz, vamos fazer substituições trigonométricas
(z=R.tgθ);e chegamos em:
R
z
R
RzRRzz
Rz
dzz ++−+=+∫
22222
22
2
ln22
.
43
fazendo 00 =ρ ; implica em:
++−
+−=
2
222
2
.41
.2ln.
422.2 R
l
R
lRR
lllE
εβ
++−+−+++−=
R
l
R
lRR
lllRR
llE
.21
.4ln
2448..
4.
2
.12
222
22
02
2
00 ββρρρ
ε
3.7) O potencial para um ponto axial de um disco carregado
é ( )zRzV S −+= 22
2ερ
Mostre que E para pontos axiais é dado por
+−=
221
2 Rz
zE S
ερ
Fonte:[5]
Sol:
( )
−
+−=
−+
∂∂−=
∂∂−=∇−=
12
.2
2
.2
22
22
Rz
zE
zRzzz
VVE
S
S
ερ
ερ
+−=
221
.2 Rz
zE S
ερ
44
3.8) Uma carga q está distribuída uniformemente num anelquadrado de lado l. Determinar E e V no centro do anel.Fonte:[1]
Sol:
Fig. Prob. 3-8a
∫=r
dqV
επ..4
1, da figura acima vemos que pelo teorema
de Pitágoras temos:
22
2
+= l
xr
=
+
=
+
=⇒−∫∫ 2
22
22
2
2
..4
2
..
..4
1 l
l
lx
dx
lx
dxV
επλλ
επ
45
++=
+
−
2
2
2
2
2ln
..4
l
l
lxx
επλ
+−−
+=⇒ 2
22ln2
22ln
..4
llllV
επλ
=
+−
+=
+−
+=⇒
21
21ln
..4222
222ln
..4 επλ
επλ
ll
ll
V
−+=
12
12ln.
..4 επλ
l
q=→ λ;
−+=⇒
12
12ln.
...4 l
qV
επ
Como o campo elétrico é um vetor observamos que no cen-tro do quadrado ele se anula devido à simetria da figura
46
Fig. Prob. 3-8b
3.9) Distribuímos sobre uma barra fina uma carga por unidadede comprimento dada por ρL=kx, k é uma constante. A barratem um comprimento L contido no eixo dos x com uma desuas extremidades na origem (x=0), conforme indica a figura.(a) considerando o potencial no infinito igual a zero, calcu-
le o valor de V no ponto P sobre o eixo dos y(b) Determine o componente vertical Ey, da intensidade do
campo elétrico(c) Porque não podemos calcular o componente horizon-
tal (Ex) do campo elétrico em P usando o resultado doitem (a)? Fonte:[5]
Fig. Prob. 3-9Fonte:[5]
47
Sol:
22 yxr += ; dxxkdxdq L ... == ρ
Letra (a)
[ ]LLLyx
k
yx
dxxk
yx
dqV 0
22
0 220 22 ..4
.
..4...4+=
+=
+= ∫∫ επεπεπ
( )yyLk
V −+= 22
..4 επ
Letra (b)
( )
+−=
−
+−=
−+
∂∂−=
∂∂−=
22
22
22
1..4
12
.2
..4..4
yL
ykE
yL
ykyyL
k
yy
VE
y
y
επ
επεπ
Letra (c)
Porque o cálculo foi feito em função de y, não aparecendo avariável x, observe que teríamos assim:
x
VEx ∂
∂−=
, como V é função de y , temos: 0)( =
∂∂−=
x
yVEx
3.10) Seja ρL a carga por unidade de comprimento distribu-ída uniformemente ao longo de um segmento de reta decomprimento L.
48
(a) Determine o potencial (escolhido como sendo zero noinfinito) num ponto P, afastado por uma distância y deuma das extremidades do segmento carregado e situa-do sobre seu prolongamento (Veja figura).
(b) Use o resultado do item (a) para calcular o componentedo campo elétrico em P na direção y (ao longo do seg-mento de reta).
(c) Determine o componente do campo elétrico em P numadireção perpendicular ao segmento de reta. Fonte:[5]
Fig. Prob. 3-10Fonte:[5]
Sol:
Letra (a)
=+
==→= ∫∫ yl
dl
r
dqV
r
dqdV
LL
L
)(..4....4...4 00 επρ
επεπ
( )[ ]
+=−+=
L
yLyyLV LL ln
..4lnln
..4 επρ
επρ
( )( += yl LL ln..4 0επ
ρ
49
Letra (b)
).(...4
.1
..4
ln..4
.
2 yLy
L
y
L
y
yLE
y
yL
LL
VE
LL
L
+=
−
+−=
+∂∂−=
∂∂−=
επρ
επρ
επρ
Letra (c)
090cos. 0 == EEx
31 Referências para estudo da teoria
3 Referência para estudo da teoria:KRAUS, John D ; CARVER, Keith R. Eletromagnetismo Editora Guanabara Dois, 1978.⇒ capítulo 3 (três)
KRAUS, John D. Eletromagnetics McGraw-Hill International Editions, 1991⇒ capítulo 4 (quatro)
50
51
CAPÍTULO 4
CORRENTE ELÉTRICA ESTACIONÁRIA
4.1) Se ^
3yzxJ =
2/ mA , ache a corrente I através de um
quadrado de 2m de lado com um dos vértices na origem eoutros em )0,2,0( ; )2,0,0( e )2,2,0(Fonte:[1]
Sol:
∫∫ ∫ ∫∫∫ =
==
2
0
2
0
^^
..3..3. dzdyyzdzdyxyzxsdJI
AI 12=⇒
4.2) Um resistor tem a forma de um tronco de cone circularreto, como é mostrado na figura. Os raios das bases são a eb, e a altura é L. Se a inclinação for suficientemente pequena,podemos supor que a densidade de corrente seja uniformeatravés de qualquer seção transversal.
(a) Calcule a resistência deste sistema
52
Fig. Prob. 4-2Fonte:[5]
(b)Mostre que o resultado de (a) se reduz a A
Lρ , quando
ba =Fonte:[5]
Sol:
(a)
2y
dldR
πρ= ; θθ sen.)(
)(sen lay
l
ay =−→−= , mas para
pequenos valores de θ, temos que:
θ.)( lay ≈−
53
θθ dy
dldldy =→= .
θπρ dy
ydR .
. 2=
2. y
dydR
θπρ=
−=→
−== ∫ ab
abR
yy
dyR
b
a
b
a πθρ
πθρ
πθρ 1
2 ; θlay =−
pra by = , temos:
θθ ab
LLab−=→=−
logo: ab
L
ab
abR
πρ
θπρ .1 =
−=
(b)
fazendo-se ba = , A
L
b
L
bb
LR
.
...
.2
ρπρ
πρ ===
4.3) Uma arruela lisa de espessura t tem raio interno r e raioexterno r2. Sendo a condutividade σ , determine a resistência(a) Entre as bordas interna e externa(b) Entre as superfícies planas, e(c) Ao longo da arruela (idêntica a resistência entre as
bordas de um corte de espessura infinitesimal na direçãoradial).
Fonte:[1]
54
Sol:
(a)
1
2ln.
1.
.
1
....2.
.2
.
2
1 r
r
tr
rd
tR
tr
dr
tr
dr
A
dldR
r
r σσσπσπ
σ==⇒=== ∫
(b)
( )21
22
2 2
122
...2.. rr
t
r
tR
drr
t
A
tdR
r
r
−==⇒==
σππσπσσ
(c)
1
2ln..
2
.
2
..
..22
1 r
rt
r
drt
Rdrt
rdR
r
rσ
π
σ
πσ
π ==⇒=∫
4.4) Um longo fio de cobre de raio r é esticado paralelamentea uma placa infinita de cobre e a uma distância h desta. Aregião que está acima da placa e circundando o fio épreenchida com um meio de condutividade σ . Demonstreque a resistência elétrica entre os dois eletrodos de cobre,por unidade de comprimento do fio, é dada por
r
hlR 1cosh
2−=
πσFonte:[7]
Sol:
lr
dx
A
dxdR
....2.. πσσ==
55
mas 22 rxl −= , logo: rxlhxl
→⇒→→⇒∞→
0
[ ]r
h
rr
h
rR 1cosh
...2
11coshcosh
...2
1 −=
−=
σπσπ
r
h
rR 1cosh
...2
1 −=⇒σπ (Ω)
4.5) Em geral, cargas superficiais estão presentes na fronteira
entre 2 condutores (condutividades 1σ e 2σ , e permissivida-
de 1ε e 2ε , respectivamente) por onde flui uma corrente.
Mostre que a densidade superficial de carga Sρ é dada por
−=
2
2
1
1
σε
σερ nS J
Fonte:[1]
Sol:
Em uma fronteira entre 2 condutores temos que:
nnn JJJ ==21
Para campos eletrostáticos, temos que:
=
−=⇒
−= −∫ h
r
h
r r
x
rrx
dx
rR
rxr
dxdR 1
2222cosh
...2
1
....2
1
....2 σπσπσπq
56
Componente Relação de Fronteira Condiçãodo campo
Tangencial21 tt EE = (1) 2 meios quaisquer
Normal Snn DD ρ=−21
(2) 2 meios quaisquer
com carga na fronteira
Para campos eletrostáticos não se tem uma situaçãoespecífica para 2 meios condutores, então:
212121.. 21 nnnnSSnn EEDDDD εερρ −=−=⇒=−
σσ J
EEJ
=⇒= . ,
logo 2
2
1
1 21..
σε
σε
ρ nnS
JJ−= ; mas nnn JJJ ==
21, então
−=−=
2
2
1
1
2
2
1
1 ..
σε
σε
σε
σερ n
nnS J
JJ
4.6) A lei da conservação de carga, que relaciona a densidadevolumétrica em qualquer ponto no espaço com a densidadede corrente nas vizinhanças desse ponto, é dada por
0. =∇+∂∂
Jt
ρ.
Como você justifica a relação acima? Explique? (fisicamente)porque a soma é igual a zero.
57
Sol:
⇒=∇+∂∂
0.Jt
ρ 0).( =∇+∂∂
∫∫ dVJdVt VV
ρ
Aplicando o teorema da Divergência, temos:
∫∫ =∇SV
sdJdVJ
.).(
∫ ∫ =+∂∂⇒
V S
sdJdVt
0.
ρ fluxo da densidade de corrente
sobre a superfície S que envolve o volume V
Se ∫ >S
sdJ 0.
existe fluxo líquido de carga para fora 0<∂∂
t
q,
ou seja diminui a densidade de carga da região.
Se ∫ <S
sdJ 0.
existe fluxo líquido de carga para dentro
0>∂∂
t
q, ou seja aumenta a densidade de carga da região.
A soma deve ser igual a zero para que uma compense aoutra, ou seja,
∫ ∫−=∂∂⇒
V S
sdJdVt
.ρ ,
daí vem a lei dos nós para os casos dos circuitos a parâmetrosconcentrados, uma particularidade da teoria de campos “O somatório das correntes que entram num nó é igual aosomatório das correntes que saem”.
58
4.7) Em que situação a equação da continuidade t
J∂∂−=∇ ρ
.
passa a ser escrita como 0. =∇ J
? Justifique.
Sol:
teconst
tan0 =⇒=∂∂⇒ ρρ
,
ou seja, se a densidade volumétrica de carga não varia, acarga não varia, logo não existe corrente I →J também nãoexiste pois:
∫∫=S
sdJI
Observe que
∂∂=
∂∂=
∂∂⇒
t
q
dV
d
dV
dq
tt
ρ, o que implica
que se varia a densidade volumétrica de carga ρ , varia acarga q .
4 Referências para estudo da teoria
4 Referência para estudo da teoria:KRAUS, John D ; CARVER, Keith R. Eletromagnetismo Editora Guanabara Dois, 1978.⇒ capítulo 4 (quatro)
KRAUS, John D. Eletromagnetics McGraw-Hill International Editions, 1991⇒ capítulo 5 (cinco)
59
CAPÍTULO 5
EXERCÍCIOS RESOLVIDOSCAMPO MAGNETOSTÁTICO DE
CORRENTES ELÉTRICAS ESTACIONÁRIAS
5.1) Dois condutores retos, longos e paralelos conduzem10A. Se os condutores estiverem separados de 20mm umdo outro, qual é a força por metro de comprimento sobreum condutor, se as correntes fluírem (a) em sentidos opostose (b) no mesmo sentido? Fonte:[1]
Sol:
R
II
l
F
R
IIF
..2
'
..2
'.. 00
πµ
πµ =⇒=⇒
Dados:
mmR
F
AI
20
?
10
===
mmNl
F/100=⇒
a) Sentido oposto (repulsiva); b) mesmo sentido (atrativa).
60
5.2) Um condutor reto e longo com uma corrente de 10Acoincide com o eixo-z. A corrente flui no sentido positivo de z.
Se 43^^
yxB +=
(T), ache o vetor força F
por comprimento
do condutor. Fonte:[1]
Sol:
Fig.Prob. 5-2^
10 zI =
43^^
yxB +=
^^^^
^^^
30404030
)43()10()()(
yxxydl
Fd
yxxzBxIdl
FddlBxIFd
+−=−=
+==⇒=
^^
3040 yxdl
Fd +−=
(N/m)
61
5.3) (a) Se ( ) ( )2.sen.2.sen6^
yxzB ππ=
(T); ache o fluxomagnético total sobre uma área quadrada com 2m de lado,com as bordas coincidindo com os eixos positivos x e y eum canto na origem.
(b) Se
= rkzB .
^
(T), qual é o fluxo magnético através de
um circulo de raio 0r ? Fonte:[1]
Sol:
Fig. Prob. 5-3a
Letra (a)
2
0
2
0
2
0
2
0
^^
)2/.sen(.)2/.sen(.6
.).2/.sen()2/.sen(6
)2/.sen()2/.sen(6.
ππψ
ππψ
ππψ
=
=
==
∫∫
∫ ∫
∫∫ ∫∫
dyydxx
dydxyx
dszyxzsdB
m
m
A R
m
62
2
0
2
0
6)2/.cos(.2
.)2/.cos(.2
.6 ππ
ππ
ψ =
−
−= yxm
2
96)2(
2).2(
26
πππ==
2
96
πψ =m (Wb) ou 73,9≅mψ (Wb)
Letra (b)
Fig. Prob. 5-3b
∫∫=A
m sdB
.ψ ; 02
000
^
0
^
...... rkrr
kds
r
kdsz
r
kzsdB
A
m ππψ ===== ∫∫∫∫∫∫
5.4) Se ^
. zBB =
(T), qual é o fluxo magnético através de umaelipse ?
Onde : axialrazãoa
be
...
1==
b = semi-eixo menora = semi-eixo maior
focoaoelipsedacentrododistânciaar ...................−=
63
obs.: considere densidade de campo magnético B uniformesobre a superfície.
Sol:
Fonte: [15]
∫∫∫∫∫∫∫∫ ==== θρψ ddJBdydxBdsBsdBm ...
ρθρθρ
θρθρ
ρ
ρ
θ
θ
abababJ
by
ax
x
y
x
y−=−−==
==
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
22 cossen
sen..
cos.
θρ
θρθ
cos
sen
ax
ax
=∂∂
−=∂∂
θρ
θρθ
sen
cos
by
by
=∂∂
=∂∂
64
ππψ
θρψ
θρρψ
θρρψ
π
π
....2.2
1...
.2
...
.....
..
.2
0
1
0
1
0
.2
0
baBbaB
baB
ddbaB
ddabB
m
m
m
m
==
=
=
=
∫ ∫
∫∫
5.5) Mostre que um condutor com corrente I e comprimento lsituado no eixo-z entre os pontos z1 e z2 tem uma densidade defluxo B
para uma distância R (para todo ânguloξ ) dada por
+−
+=
21
2
1
22
2
20
..4
.
zR
z
zR
z
R
IB
πµ
(T)
Observe que se o centro do condutor é simétrico com a
origem ( 21 zz =− ) e se lR >> , 20
..4
..
R
lIB
πµ= .Fonte:[1]
Sol:
Vamos primeiro determinar a densidade de fluxo B
, numponto P, distante z do eixo de um círculo de raio R,determina-se o campo num ponto P ao longo do eixo doanel; depois varre-se de um ponto P1, distante z1, até umponto P2, distante z2.
65
Fig. Prob. 5-5Fonte:[1]
Temos que B
é dado por 20
..4
sen.
r
IdlBd
πθµ=
A componente na direção do eixo-z é dada por
r
RdBdBdBz == ξcos
22
0 .,90
zRr
dRdl
+=
== φθ2222
0 .)..(.4
..
zR
R
zR
dRIdBz
++=⇒
πφµ
φπ
µd
zR
IRdBz 2/322
20
).(.4
.
+= , observe que o elemento normal
ndB , se anula pela simetria circular ao longo da variação
deφ de 0 a π.2 , logo:
66
( ) 2/322
20
2/322
20
2
..
).(.4
..
zR
RI
zR
RIBB z
+=
+== µ
πµ
, este é o valor de B
em um ponto P, qualquer distante z o eixo do círculo.
Vamos agora varrê-lo ao longo do eixo-z, de z1 a z2.
Pela análise dimensional vamos dividir pelo comprimentol, para que a unidade permaneça em T, e não se modifiquepara T/m, então teremos:
dzzRl
RI
l
dz
zR
RIdB
2/322
20
.2/322
20
).(.2
..
)(2
.
+=
+= µµ
.φRddl = ∫=π
φ.2
0
dRl Rl ..2π=⇒ ,
logo:
+−
+=
21
2
1
22
2
20
..4
.
zR
z
zR
z
R
IB
πµ
para lR >> e zzz ==− 21
+
=
+=
2
0
22
0
1
2
..4
.2
..4
.
z
RR
I
zR
z
R
IB
πµ
πµ
+−
+=
+= ∫ 2
122
1
22
22
22
02/322
20
2
..
)(2
.. 2
1zRR
z
zRR
z
l
RI
zR
dz
l
RIB
z
z
µµ
67
lz → , para lR >> . Desprezamos o fator de 2, temos:
R
l
R
I
R
z
R
IB .
.4
.
..4
. 0
2
0
πµ
πµ =
→
20
.4
..
R
lIB
πµ≅
5.6)Um fio de forma parabólica conduz uma corrente I. Ache
a densidade de fluxo magnético B
no foco. Fonte:[1]
Fig. Prob. 5-6aFonte:[8]
Sol:
1a Sol: (solução aproximada)
68
Fig. Prob. 5-6b
Temos que B
é dado por 20
..4
sen.
r
IdlBd
πθµ=
,
Para elementos infinitesimais, temos:
Fig. Prob. 5-6cFonte: [8]
69
Da figura temos: φddrdl .=
20
..4
..
r
dIdrBd
πφµ=
∫ ∫∫ ∫ =
==
∞−∞− ππφ
πµ
πφµ
0 20
0 20
.4
.
.4
..00
dr
drI
r
dIdrB
rr
∫∫ =
−=
∞− ππφ
πµφ
πµ
00
0
0
0
..4
.1
.4
.
0
dr
Id
r
I
r
0
0
0
0
.4
..
..4
.
r
I
r
IB
µππ
µ == , lembrando que 0r é a distância focal,
e I a corrente que circula no fio.
2a Sol: (solução aproximada)
Utilizando a equação (7), página 225, da Referência:Kraus, John D. EletromagneticsMcGraw-Hill International Editions, 1991
Temos que: ∫= 2
10
0
..4
. θ
θθ
πµ
dr
iB ,logo:
⇒== ∫0
00
00
0
..4
..
..4
.
r
id
r
iB
π
θµθ
πµ
π
π
0
0
0
0
.4
..
..4
.
r
iB
r
iB
µππµ =⇒= ,
lembrando que 0r é a distância focal, e I a corrente quecircula no fio.
70
3a Sol: (solução completa)
φφφφ
φφ
φφφ
φ
dtgrrdl
dd
drrdl
tgrd
drrr
22
0
22
0
2
2
220
2sec
22sec
2sec
2.
2sec
+
=
+=
=→=
φφdrdl
2sec3
0=
0
0
0
0
420
30
0
20
20
..42
cos..
2sec...4
..
2sec)(
2sec
..4
..4
..
2..4
sen...
r
dI
r
dI
r
drIdB
r
dlIdB
r
dlIdB
π
φφµ
φπ
φµφ
φφ
πµ
πµπθ
πθµ
===
=⇒=→=
5.7)(a) Qual é o torque máximo numa bobina quadrada com200 espiras situadas no campo com densidade de fluxouniforme B=4T? A bobina tem 150mm de lado e conduzuma corrente de 8A.(b) Qual é o momento magnético da bobina?Fonte:[1]
( )
0
0
0
0
0
0
00
0
00
0
).14,3(
.
.
.
0sen2
sen.
.)
2sen2.(2
..4
.
2cos.2
..4
.
r
I
r
IB
r
I
r
Id
r
IB
µπµ
ππµφ
πµφφ
πµ ππ
≅=
−
=== ∫
71
Sol:4=B [T]
200=N [espiras]
8=I [A]
150=l [mm]
Letra (a)
144..... 2 =⇒== MM TBlINBAINT [Nm]
Letra (b)
36'....' 2 =⇒== mlINAINm [Am2]
5.8)Calcule a indutância de uma bobina toroidal com núcleode ar, área da seção transversal de 1000mm2 e raio médiode 500mm. O toroide tem um rolamento uniforme de 10.000espiras. Fonte:[1]
Sol:
1000=A mm2
500=r mmN=10000 espiras
mHL
HLr
AN
l
ANL
40
10.4..2
.. 222
=
=⇒== −
πµµ
5.9)Um longo condutor reto de raio r carrega uma correnteI que é coincidente com o eixo z. Encontre o campomagnético na parte de dentro do condutor.
72
Sol:
Fig. Prob. 5-9
∫∫= sdJI
.
'. IldHr
=∫
r
IHIrH
..2
''..2.
ππ φφ =⇒=⇒
A densidade de corrente é a mesma em qualquer Rr ≤ ,
pois para 0=→> JRr
Ids
dJsdJI
A
=⇒= ∫∫
.
2
2
22
.'
..
'
R
rII
R
I
r
I =→=ππ
2
22
..2
.
..2
/.
..2
'
R
rI
r
RrI
r
IH
πππφ ===
como φφ HH .^
=2
^
..2
..
R
rIH
πφ=⇒
73
5.10) Se 2^^
2^
2 xzyzyxxF −+=
, ache Fx
∇ e o caminho de
Fx
∇ Fonte:[1]
Sol:
5.11) Calcule a intensidade de campo magnético devido aum condutor reto e infinitamente longo, percorrido por umacorrente I ampères, em um ponto afastado r metros docondutor.
Sol:
IldH =∫
. IrH == ..2. πϕ our
IH
..2 πϕ = [A/m]
5.12) Uma espira retangular é colocada no campo docondutor do problema 5.11 como mostra a figura abaixo.Qual é o fluxo total enlaçando a espira?Fonte:[1]
xyyxxz
zyy
x
xFx
zy
x
x
zyy
z
x
x
xx
z
zy
y
xFx
2.2)..2()(
)()..2()()(.
)..2()(
^^^^2
^2^22^2
+−=∂
∂−∂
∂=∇
∂
∂−∂
∂+
∂
∂−∂
∂+
∂
∂+∂
∂−=∇
74
Fig. Prob. 5-12Fonte:[1]
Sol:
r
IHB
..2
..
πµµ ϕϕ == [T]
∫=
==
2
1.2
...2
...
r
rm
m
r
drlIr
drlIdsBd
πµψ
πµψ ϕ
1
2ln.2
..
r
rlIm π
µψ = [Wb]
5.13) Considere o circuito da figura abaixo. Os segmentoscurvos são círculos de raio a e b. Os segmentos retilíneosestão ao longo dos raios. Ache o campo magnético B
em P,considerando uma corrente i no circuito.Fonte:[5]
75
Fig. Prob. 5-13aFonte:[5]
Sol:
Temos que: 20
..4
sen.
r
dliBd
πθµ=
As seções he e fg indicadas na figura abaixo não contribuem,pois 0sen. =θdl , pois 0=θ .Ao longo do trecho fe, temos:
Fig. Prob. 5-13bFonte:[16]
76
a
id
a
i
a
daiB
r
dliB
..4
..
..4
.90sen)...(
.4
.
2,
sen
.4
.
0
0
02
00
2
20
πθµθ
πµθ
πµ
πθθπ
µ
θ=
=
=
=→
=
∫∫
∫
De modo análogo o trecho gh é b
iB
..4
..01 π
θµ= ,
como a>b 21 BB >⇒ . Observe que B1 está apontando parafora e B2 está para dentro; é só ver o sentido da corrente eaplicar a regra da mão direita.
−=−=
ab
iBBB
11
.4
..021 π
θµ, como 21 BB > logo está apon-
tando para fora.
5.14) Um segmento retilíneo de fio, de comprimento L,transporta uma corrente i. Mostre que o campo magnético
B
associado a este segmento, a uma distância R tomadasobre sua mediatriz, é dada em módulo por
22
0
.4..2
.
RL
L
R
iB
+=
πµ
Fonte:[5]
Sol:
77
Fig. Prob. 5-14Fonte:[16]
20
..4
sen...
r
dlidB
πθµ= , observe que da figura acima tiramos que:
22)sen(
Rx
R
r
R
+==−θπ ,
para 22 .4
.2)sen(
2 RL
RLx
+=−→= θπ
22)cos(
Rx
x
+−=−θπ ,
para 22 .4)cos(
2 RL
LLx
+=−→= θπ
e da figura
θθπ sen)sen( =− & θθπ cos)cos( −=−
78
22 .4
.2sen
2 RL
RLx
+=→= θ & 22 .4
cos2 RL
LLx
+−=→= θ
( )∫+
− += 2
23
22
0
.4
.. L
L
Rx
dxRiB
πµ
, por simetria temos que:
( ) ].[2..4
..2
0 322
0 ∫+
+=
L
Rx
dxRiB
πµ
chamando
( ) ( ) θθ
θθθθ
θ
333
223
22
2
cos.cos.
.cos.cot.
ecRecRRx
decRdxgRtg
Rx
x
Rtg
==+→
−=→==→=
observe que: θθ
πθθ
=→=
=→=→=
''2
2'0'cot0
Lx
gx
''
'2
20
33
20
cos
2.
.4
..
cos
.cos.'2
..4
..
ec
d
R
Ri
ecR
decRRiB =−=−=
+
∫ ∫ θθ
πµ
θθθ
πµ θ
θ
θπ
22
0 .sen2
..4
..d
R
Ri −=+
∫ θθπ
µ θπ
( )00
2
0 cos2..4
.
2coscos2
..4
.cos(2
..4
..
R
i
R
i
R
iB =
−=−−=
+θ
πµπθ
πµθ
πµ θ
π
79
22
0
4..2
.
RL
L
R
iB
+−=
πµ
o sinal menos indica o sentido de B, logo o módulo de B, é
dado por 22
0
4..2 RL
L
R
iB
+=
πµ
5.15) Ache a densidade de fluxo magnético B no centro deuma espira quadrada com 2m de lado e com uma correntede 3A. Fonte:[5]
Sol:
Fig. Prob. 5-15
80
22
2
+= L
xr ; 22
2
2sen
+
=L
x
L
θ
.
2
2
2
1.
.4
..
..4
sen...2
2
22
02
0
+
+
==L
x
L
Lx
dxI
r
dlIdB
πµ
πθµ
+
=2
32
2
0
2
..4
2
Lx
dxL
IdB
π
µ
2
022
2
02
02
32
2
0
22
..
2
8..8
..L
L
Lx
L
xLI
Lx
dxLIB
+
=
+
= ∫ πµ
πµ
L
IB
.
..22 0
πµ=⇒ , foi dado que AI 3= e mL 2= , então,
TBTB .7,110.7,1 6 µ=⇒=⇒ −
81
obs.: 1) Sabe-se que mH /10..4 70
−= πµ 2) O fator de 8 multiplicando a integral, vem do fato de
dividirmos em 8 segmentos de comprimento 2
L.
5.16) O fio mostrado na figura abaixo transporta uma
corrente i. Qual é o campo magnético B
no centro C dosemicírculo produzido por: (a) por cada segmento retilíneode comprimento L; (b) pelo segmento semicircular de raioR e (c) pelo fio inteiro? Fonte:[5]
Fig. Prob. 5-16aFonte:[5]
Sol:
Fig. Prob. 5-16bFonte:[16]
82
(a) Campo dos segmentos retilíneos
20
1 ..4
sen...
r
dlidB
πθµ= , 00 1 =→= Bθ
(b) Campo do semicírculo
20
2 .4
sen.
R
idldB
πθµ= , 090=θ e R é o raio da circunferência;
logo ππ
µθπ
µθπµ π
...4
.
..4
..
..4
. 0
0
022
02 R
id
R
iBdR
R
idB ==⇒= ∫
R
iB
.4
.02
µ=
(c) Campo no fio inteiro
R
i
R
iBBB
.4
.
.4
.0 00
21
µµ =+=+=
5.17) Mostre que a densidade de fluxo magnético no centro deuma espira de forma circular com uma corrente I é dada por
r
IB
.20µ=
Sol:
drdrdydxdl
r
dlidB
rx
ry
).sen.().sen.(
2..4
sen...
2222cos.
sen.
20
θθθθ
πθπ
θµ
θ
θ=+−=+=→
=⇒=
=
=
drdr ..cossen 22 θθθθ =+=
drdydrdx .cos.;.sen. θθθθ =−=
83
r
I
r
I
r
I
r
drIB
.2.2.
..4
.(
..4..4
.. 00.2
0
0.2
0 20 µπ
πµθ
πµ
πθµ ππ
==== ∫
5.18) Mostre que a densidade de fluxo magnético no centrodo eixo das coordenadas de uma espira em forma de um"Espiral de Archimedes" com uma corrente I é dada por
+
+−++= G
a
IB
220 1
1)(1ln..4 θ
θθπ
µ
onde
2
0
1lim1
+= →
ii
Gθθ
Sol:
Fig. Prob. 5-18Fonte: [8]
84
θθ
θθθθ
θθ
dadl
daadd
drrdl
ad
drar
2
2222
2
1+=
+=
+=
=→=
2
20
22
20
20 1
..4.
1..
..4
.
θθθ
πµ
θθθµ
πµ d
a
I
a
daI
r
dlIdB
+=+==
∫+=
θθ
θθ
πµ
0 2
20 1
..4d
a
IB
( )
2
0
220
1lim1
111ln
..4
.
+=
+
+−++=
→i
iG
Ga
IB
θ
θθθ
πµ
θ
5.19) Mostre que a densidade de fluxo magnético no centrodo eixo das coordenadas de uma espira em forma de uma"Espiral Logarítmica" com uma corrente I é dada por
( )θ
πµ ae
a
IB −−
+= 1.
11.
..4
2
0
85
Sol:
Fig. Prob. 5-19
20
..4
sen.
r
dlIdB
πξµ= , dl→ perpendicular a
r 200
..4
.90
r
dlIdB
πµξ =⇒=⇒
θ.aer = , θ
θaea
d
dr.= , θ
θd
d
drrdl
22
+= ,
θθ θθθ daedldeaedl aaa 2222 1. +=⇒+=
θθ θθθ daedldeaedl aaa 2222 1. +=⇒+=
θπ
µθπ
µ θθθ dae
Idae
e
IdB aa
a202
20 1.
.41.
).(.4+=+= −
∫ −+=θ θ θ
πµ
0
20
.4
1de
aIB a
−+=⇒ −
θθ
πµ
0
20 1
.4
1 aea
aIB
86
( ) ( )θθ
πµ
πµ aa e
a
Ie
a
aIB .
2
02
0 11
1.4
1..4
1 −− −
+=−+=⇒
( )θ
πµ ae
a
IB −−
+=⇒ 1.
11.
..4
2
0
5.20) Mostre que a densidade de fluxo magnético no centrodo eixo das coordenadas de uma espira em forma de um"Espiral Hiperbólica" com uma corrente I é dada por
++++= 1ln
2
11
2..4220 θθθθ
πµ
a
IB
Sol:
Fig. Prob. 5-20Fonte:[8]
Referências para estudo da teoria5
5Referências: Kraus, John D ; Carver, Keith R. Eletromagnetismo Editora Guanabara Dois, 1978⇒ capítulo 5 (cinco)
Kraus, John D. Eletromagnetics McGraw-Hill International Editions , 1991⇒ capítulo 6 (seis)
87
CAPÍTULO 6
O CAMPO MAGNETOSTÁTICO DEMATERIAIS FERROMAGNÉTICOS
6.1- Uma agulha magnetizada de momento magnético 20Am2 está situada num campo magnético uniforme de 50µTde densidade de fluxo. Ache o torque máximo na agulha.Fonte:[1]
Sol:
mNmTAmmBIABT 1)50)(20( 2 ==== µ
6.2- Uma barra uniformemente magnetizada com um vo-lume de 0,01 m3 tem um momento magnético de 500 Am2.Se a densidade de fluxo B=50mT na barra, qual será o valorde H na barra?Fonte:[1]
Sol:
MBHMHB
mKAm
Am
v
mM
)(
/5001,0
500
0
00
3
2
−=⇒+=
===
µµµ
88
mKAmH
mKAmHmTH /10
/10..4
)/50)(/10..4(507
7
−=−= −
−
ππ
6.3- Uma barra de ferro retangular tem um comprimento
1x e uma área de seção transversal A. A permeabilidade é
uma função de x dada por xx1
010
µµµµ −+= , ache a
permeabilidade da barra. Fonte: [1]
Sol:
ℜ=℘⇒=ℜ
∫∫∫ 1
.
.2
1
S
sdB
ldH
∫∫∫
∫∫∫
∫∫∫
∫∫∫
−+
==
==℘
11
0
1
010
0
2
1
..
.
.
.xx
xx
dx
ds
dx
ds
ldB
sdB
ldH
sdB
µµµµµ
( )[=
−+−
=
−+
=℘∫ 00101
01
1
00101
1 ln)(
11 µµµ
µµµµµxx
xA
xx
dxx
A
xx
( )
−=
0
11
01
ln.µµ
µµ
x
A
89
6.4- Um anel de ferro tem uma área de seção transversaluniforme de 150mm2 e um raio médio de 200mm. O anel écontínuo exceto por um entreferro de 1mm de largura. Acheo número de espiras necessário no anel para produzir umadensidade de fluxo B=0,5T. Despreze a franja. QuandoB=0,5T no ferro 250=rµ .Fonte:[1]
Sol:
Dados: B=0,5T; Rm=200mm; g=1mm; A=150mm2
).(4,2).(.
)/(04,5.
)/(65,26..
.2
.
0
0
KAespBANIldH
WbMAA
g
WbMAA
gR
A
gl
gf
e
r
mf
=ℜ+ℜ==
==ℜ
=−=−=ℜ
∫
µ
µµπ
µ
6.5-Um eletroimã consiste de um “yoke” de ferro em for-ma de U e de uma barra de ferro como mostra a fig. 6-5.Uma lâmina fina de cobre sobre a barra evita o contato deferro com ferro entre a barra e o “yoke”. Se o fluxo magné-tico através do circuito for 15mWb e área de contato dabarra e do “yoke” for de 0,015m2 por pólo, qual será o pesoque o “yoke” suportará (incluindo o peso da barra)? Des-preze a franja.
90
Fig. Prob. 6-5Fonte:[1]
Sol:
Dados: mWb15=Φ ; 2015,0 mA =
Tm
mWb
ABABsdB
S
1015,0
15..
2==Φ=⇒==Φ ∫∫
( ) ( )( ) KN
mH
mTABF 97,5
/10..4.2
015,01
.2
.7
22
0
2
=== −πµ
KNFP 94,112 ==
em Kgf, temos que dividir por 9,81
kgfkN
P 5,121781,9
94,11 ==
91
6.6- (a) Se a área de contato do eletroimã do problema 6.5fosse reduzida a 0,005mm2, afunilando-se as seções do“yoke”, qual seria o peso que o “yoke” suportaria? Supo-nha que o fluxo total é o mesmo que antes e despreze afranja. (b) Na prática, o que impede a força de atração au-mentar indefinidamente quando a área é reduzida?
Sol:
Letra (a)
( ) ( )( )KNFP
KNmH
mTABF
Tm
mWb
AB
81,352
9,17/10..4.2
005,03
.2
.
3005,0
15
7
22
0
2
2
==
===
==Φ=
−πµ
em Kgf, temos que dividir por 9,81
KgfKN
P 34,365081,9
81,35 ==
Letra (b)
A impossibilidade de se reduzir a área indefinidamente.
6.7- Um imã de ferro circular de 0,02m2 de área de seção trans-versal e 300mm de raio tem um entreferro de 1mm e umenrolamento de 1200 espiras. Se a corrente através da bobinafor de 6 A, qual será a força que tenderá a fechar o entreferro?Considere 1000=rµ para o ferro e despreze a franja.
92
Sol:
Fig. Prob. 6-7Fonte:[1]
Sabe-se que mH /10..4 70
−= πµ
Dados:
mmg 1= ; mmR 300= ; 202,0 mA = ; 1000=rµ ; 1200=N
espiras; Ai 6=
( )gf
gfmm
iNiN
ℜ+ℜ=Φ⇒ℜ+ℜΦ==ℑ .
.
93
( ) ( )
WbKAA
g
WbKAA
gR
A
gl
g
rf
/79,39.
/96,74..
..2
.
0
0
==ℜ
=−=−=ℜ
µ
µµπ
µ
TA
BmWbiN
gf
14,375,62. =Φ=⇒=ℜ+ℜ
=Φ⇒
KNAB
F 3,78.2
.
0
2
==µ
6.8- Um circuito magnético cujos braços são de aço fundido.
Esta assim distribuído, a parte 1 tem cml 341 = e 21 6cmS = ;
a parte 2 tem cml 162 = e 22 4cmS = . Calcule a corrente 1I ,
supondo AI 5,02 = , 2001 =N espiras, 1002 =N espiras e
Wbµ120=Φ .Fonte:[4]
Sol:
Dados: cml 341 = ; 21 6cmS = ; cml 162 = ; 2
2 4cmS = ;
AI 5,02 = ; 2001 =N ; 1002 =N & Wbµ120=Φ .
TS
B
TS
BSBsdBS
3,0
4,0..
22
1111
=Φ=
=Φ=⇒==Φ ∫∫
94
Consultando a curva de magnetização*, temos que:
mAH
mAH
/180
/145
2
1
==
22112211221121 ...... lHlHININlHlH +=−⇒+=ℑ−ℑ
AN
INlHlHI 65,0
...
1
2222111 =++=⇒
6 Referências para estudo da teoria.
* Ver a curva de magnetização pág. 164, fig. 11-13 do livro:EDMINISTER, Joseph A. Eletromagnetismo.
6 Referências para estudo da teoria:KRAUS, John D; CARVER, Keith R. Eletromagnetismo. Editora Guanabara Dois, 1978.⇒ capítulo 6 (seis)
EDMINISTER, Joseph A. Eletromagnetismo. Editora McGraw-Hill do Brasil, 1980.⇒ capítulo 11 (onze)
95
CAPÍTULO 7
EQUAÇÃO DE LAPLACE
7.1) Encontre a função potencial na região entre os discoscirculares paralelos . Despreze espraiamento.Fonte:[4]
Sol:
O potencial é função de z, ou seja “ )(zV ”, logo:
BzAVdzAdV
Adz
dVdz
dz
dVd
dz
dV
dz
d
dz
VdV
+=→=→
=→=
→
=
→=→=∇
∫∫
∫∫..
.0
0002
22
7.2) Calcule a função potencial e a intensidade de campoelétrico entre dois cilindros concêntricos circulares retos.Fonte:[4]
96
Sol:
O potencial é função de r, ou seja “ )(rV ”, logo:
BrAVdrr
AdV
Adr
dVrdr
dr
dVrd
dr
dVr
dr
d
rV
+=→=→
=→=
→
=
→=∇
∫∫
∫∫
ln
..0.
0.1
02
( ) rr
ArVE
.. −=∇−=
7.3) Em coordenadas cilíndricas, dois planos estão isoladosao longo do eixo z. Despreze espraiamento e encontre a
expressão para E
entre os planos.Fonte:[4]
Sol:
O potencial é função de φ , ou seja “ )(φV ”, logo:
BAVdAdV
Adr
dVrd
d
dVd
d
Vd
d
Vd
rV
+=→=→
=→=
→=→
=→=∇
∫∫
∫∫φφ
φφφ
φ
..
..0.0
01
0
2
2
2
22
97
BAV += φ. )(V
( ) ( )
φ
φφφφ
φ
.
..11
.
r
AE
BAd
d
rd
dV
rVE
−=
+−=−=∇−=
)/( mV
7.4) Resolva a equação de Laplace para a região compreen-
dida entre dois cones. Em 1θ o potencial vale 1V , e em 2θ é
zero. Os vértices dos cones são isolados em 0=r .Fonte:[4]
Sol:
O potencial é função de θ , ou seja “ )(θV ”, logo:
d
dVd
d
dV
d
d
rV =
→=
→=∇ ∫ .sen0sen
sen.
10
22
θθ
θθ
θθ
Adr
dVd =→=
∫ .sen.0 θθ
BtgAVdA
dV +
=→=→ ∫∫ 2
ln..sen
θθ
θ
pois, chamando 2
θtgz = temos:
2
2
1
1cos
z
z
+−=θ ; 21
2sen
z
z
+=θ ; 21
2
z
dzd
+=θ
98
BtgABzAz
dzA
z
dz
z
zA
z
dz
z
zA
dA
+
=+=→
++=
++
=
∫
∫∫∫
2lnln
1
2
2
1
1
2
121
sen
.2
2
2
2
θ
θθ
As constantes são encontradas a partir de:
BtgAV +
=
2ln. 1
1
θ; BtgA +
=
2ln.0 2θ
−
−
=⇒
2ln
2ln
2ln
2ln
.21
2
1 θθ
θθ
tgtg
tgtgVV
7.5) Um potencial em coordenadas cilíndricas é função de
r e φ , mas não de z. Obtenha as equações diferenciais
separadas para R e φ , onde )().( φΦ= rRV , e resolva-as.A região é sem cargas. Fonte:[4]
Sol:
2
2
2
22
2
2
22
22
.1
..
0...0
φ
φ
d
d
dr
dR
R
r
dr
Rd
R
r
d
d
r
R
dr
dR
rdr
RdV
ΦΦ
−=+⇒
=Φ+Φ+Φ⇒=∇
99
Como um lado da igualdade só depende de r e o outro só
de φ ; então:
0.
.1
..2
2
2
22
2
22
=−+⇒=+⇒r
Ra
dr
dR
rdr
Rda
dr
dR
R
r
dr
Rd
R
r,
multiplicando ambos os lados da equação por 2r , temos:
0... 22
22 =−+⇒ Ra
dr
dRr
dr
Rdr , que é uma equação de euller,
fazendo a substituição de variável
rter t ln=→= − ;te
rdr
dt −== 1
dr
dt
dr
dR
dt
d
dr
dR
dr
d
dr
Rd
dt
dRe
dr
dt
dt
dR
dr
dR t
=
=→==→ −
2
2
..
( )
−=
+−=→
+=
=→
−−−−
−−−
−−
dt
dR
dt
Rdee
dt
Rde
dt
dRe
dr
Rd
edt
Rde
dt
dR
dt
ede
dt
dRe
dt
d
dr
Rd
tttt
ttt
tt
2
22
2
2
2
2
2
2
2
2
...
.....
0.
0.
0......2
0...
22
2
22
2
22
222
22
22
=−⇒
=−+−⇒
=−
+
−⇒
=−+
−−
Radt
Rd
Radt
dR
dt
dR
dt
Rd
Radt
dRee
dt
dR
dt
Rdee
Radr
dRr
dr
Rdr
tttt
100
tirando a equação característica, temos:
→=−
=
−=
a
a
a1
2
022λ
λλ
( )( ) ( ) ( ) atat
atattt
eCeCtR
eCeCeCeCtR−
−
+=
+=+=
21
21.
2.
1 .... 21 λλ
voltando a equação original, por meio de ter = , temos:
( ) aa rCrCrR −+= .. 21
0.1 2
2
22
2
2
=Φ+Φ→=ΦΦ
− ad
da
d
d
φφ
tirando a equação característica, temos:
ia
iaa
.0
.022
±=→±=→=+
λλλ
logo para o caso em que as raízes são complexas, temoscomo solução a equação diferencial :
( ) ( )
( ) φφφ
φφφ φ
.sen..cos.
sen.cos.
43
43.0
aCaC
aCaCe
+=Φ
+=Φ
7.6) O potencial de Coulomb atenuado pela presença dos
demais elétrons r
eqV
r
λ
επ
−
=0..4
ocorre comumente num
meio condutor . Calcule o campo elétrico e a densidade decarga correspondente. Fonte:[8]
101
Sol:
Sabemos que: r
r
r
rr
^^
==
; logo, temos:
2
^
0
^
0
..11
..4.
1..
11
..4 r
re
r
q
r
r
re
r
qE
rr
λλ
λεπλεπ−−
+=
+=
2
^
0
..11
..4 r
re
r
qE
r
λ
λεπ−
+=⇒
επερ λ
−=
∇→−=∇
− r
r
eqV
..4. 2
00
2
ρπε
ρ λλ −=
∇+
∇→−=
−− rr
er
er
q.
11
.422
0
( )δπλπ
λ =
−→
− r
err
q...4
.
1
.4 2
r
re
r
qr
re
r
eqE
ree
r
q
r
eqVE
rrr
rrr
..11
..4.
11.
..4
1.
1
..4..4.
02
0
00
λλλ
λλλ
λεπλεπ
επεπ
−−−
−−−
+=
−+
−−=
∇+
∇
−=
∇−=∇−=
102
( ) ρδλπ
ρ λ =
+−→−=
− r
err
q ....4
1.
2
( ) λ
λδρ
r
er
r−
−=⇒ .
..4
12
pois, ( )rr
δπ..412 −=
∇ . Verificar em (Reitz, Fundamentos
da Teoria Eletromagnética; página 54, eq.2-58)
6 Referências para estudo da teoria
7 Referência para estudo da teoria:KRAUS, John D ; CARVER, Keith R. Eletromagnetismo Editora Guanabara Dois, 1978.⇒ capítulo 7 (sete)
EDMINISTER, Joseph A. Eletromagnetismo. Editora McGraw-Hill d Brasil, 1980.⇒ capítulo 8 (oito)
103
CAPÍTULO 8
CAMPOS MAGNÉTICOSVARIANDO NO TEMPO
8.1) (a) Um anel de 3 voltas, com 0,5m2 de área, situado noar, tem um campo magnético normal ao plano do anel. Se adensidade de fluxo magnético variar de 5mTs-1, qual é aforça eletromotriz que aparecerá nos terminais do anel? (b)Se a fem nos terminais do anel for de 100mV, qual será ataxa de variação do campo magnético?Fonte:[1]
Sol:
At
Bsd
t
Bv
S
..
..
.
.
∂∂=
∂∂−= ∫
mVmmTvsmTt
BmmA
aletra
5,7)5,1).(5(/5;5,1)5,0).(3(
)(
22 ==⇒=∂∂==
smTm
mV
A
v
t
BA
t
Bv
bletra
/67,665,1
100.
)(
2===
∂∂⇒
∂∂=
104
8.2) Um pêndulo de fio com uma escova oscila normal a umcampo magnético uniforme de 250mT, como mostra a figura.A velocidade de qualquer ponto do pêndulo a uma distância
r do seu ponto de apoio é dada por ( ) wtRrdwv cos..= , onded é o deslocamento horizontal máximo ou meia amplitude.Se o comprimento R do pêndulo for de 4m, seu período nasuperfície terrestre será aproximadamente 4s
( ) ( ) ( )[ ]2.8,9/.2 −= smRT ms π .
Empregando este valor para o período, determine a fem má-xima que aparece nos terminais se d=100mm. Fonte:[1]
Fig. Prob. 8-2Fonte:[1]
Sol:
( )
RBT
dv
VvT
ddw
R
RdwVwt
R
rdwV
RBVlBVldBxVv
.....2
..2.1...cos...
......
max
maxmax
max
θπ
π
θ
=
→
===→=
=== ∫
105
da figura tiramos
=⇒= −
R
d
R
d 1sensen θθ , logo
= −
R
dRB
T
dv 1
max sen.....2 π
8.3) Ache a fem induzida num fio reto que se move per-pendicular a um campo magnético uniforme B com umavelocidade v como na figura. O campo magnético está res-trito ao raio R das peças polares de um imã. Fonte:[1]
Fig. Prob. 8-3aFonte:[1]
Sol:
( ) 22...22... rRBVlBVldBxVv −=== ∫
, pois
Fig. Prob. 8-3bFonte:[1]
106
de onde temos pelo Teorema de Pitágoras:
22222 rRllrR −=⇒+=
8.4) Um aro condutor com único raio gira perpendicular B(figura). O campo magnético está restrito ao raio R das pe-ças polares de um imã. Um circuito externo faz contato como eixo e o raio de escovas. (a) Se o aro for girado Nrs-1, achea fem induzida no circuito. (b) Se uma corrente I passaratravés do circuito, ache o torque no aro. (c) Se a correntefluir como indicado, o torque será no sentido horário ouanti-horário? Fonte:[1]
Fig. Prob. 8-4aFonte:[1]
Sol:
Letra (a)
( ) lBVldBxVv ... == ∫
RR
l .2
..2 ππ == e RNRwV .. == ; pois ( )sradNw /=
( )VoltRBNRBRNlBVv 2......... ππ ===
107
Letra (b)
BxmT
= , BAITAIm ... =⇒=
da figura tiramos a área
Fig. Prob. 8.4b
)(...2
1.
2.
22
.
22
2
NmRBIBR
IT
RRRA
==⇒
==
8.5) (a) Um disco fino de cobre de 300mm de diâmetro estásituado com o plano normal a um campo magnético uni-forme e constante B=600mT. Se o disco girar 30rs-1, ache afem desenvolvida nos terminais conectados às escovas comomostra a figura. Uma escova faz contato com o eixo. Estearranjo é chamado de gerador de disco de Faraday. (b) Se ocampo magnético variar com o tempo, como dado porB=B0senwt, onde B0=600mT e w=2πx5 rads-1, ache a femdesenvolvida nos terminais. Fonte:[1]
108
Fig. Prob. 8-5Fonte:[1]
Sol:
Letra (a)Dados: mmRd 3002 == ; 1.30 −= srw ; mTB 600=
( )
mTB
smRwV
mRR
l
lBVldBxVvfem
600
/5,4.
47,0.2
..2
...
===
===
=== ∫ππ
)(27,1.. VlBVv ==
Letra (b)
Dados: 1.5.2 −= srxw π ; mTB 6000 = onde wtBB sen0=
( ) ( )
)(.10cos.8,1827,1cos......
..sen.....
..
0
0
VtabwtbawBlBVv
bawtBt
lBVsdt
BldBxVv
S
π−=−=
∂∂−=
∂∂−= ∫∫
109
8.6) Ache a indutância mútua entre um fio longo e umaespira retangular de fio como mostra a figura. Fonte:[1]
Fig. Prob. 8-6Fonte:[1]
Sol:
)(ln.2
..
.2
....
..2
..
,
ln..2
ln.2
...
.
1
2
1
221
1
2212121
2
1
Wbr
rlI
r
drlIdrl
r
IsdB
pois
r
rI
NNM
r
rlI
I
NNsdB
ldH
NNNNM
r
r πµ
πµ
πµ
π
π
==⇒
=⇒
==ℜ
=
∫∫∫∫∫
∫∫∫
e, ∫ =⇒==⇒r
IHIrHldH
...2...2..
ππ ϕϕ
e, r
IHBHB
..2
...
πµµµ ϕϕ ==→=⇒
110
8.7) Uma barra condutora reta, presa a um peso, estásuspensa por molas metálicas num campo magnético uni-forme B como na figura. O comprimento da barra é de500mm. Ache a corrente I (grandeza e sentido) necessáriapara equilibrar a barra e o peso se B=2T e a massa da barrae do peso for de 5kg.Fonte:[1]
Fig. Prob. 8-7Fonte:[1]
Sol:
( ) ( )lIxBFdlIxBdF .. =→=
lB
gmIlIBmglIBF
gmFF
mgFFmgFF
el
elelel
.
.....
..2
200
=→=→=
==
=→=+−→=∑
( )AlB
gmI 49
.
. ==→
111
8.8) Levitação magnética. Uma barra condutora estreita comum peso é suspensa por um par de molas em um campomagnético uniforme (como mostra a figura do problema8.9) O comprimento da barra é de 500mm e B=2T. Se I=60A,encontre a máxima massa da barra e do peso que pode fazê-la “boiar” ou levitar. Fonte:[2]
Sol:
( )( )kg
g
lIBm
lIBmglIBFlBxIF
12,6..
.....
==→
=→=→=→
8.9) Ache a densidade de corrente de deslocamento de umcampo magnético no ar dado por
(a) ( )xwtHH y .sen.0 β−= ,
(b) ( ) ( )ywtxHzywtxHxH zx .cos.2sen.sen.2sen.^^
ββ −+−=
Fonte:[1]
Sol:
JHx
→=∇
Jy
H
x
Hz
x
H
z
Hy
z
H
y
Hx xyzxyz
=
∂
∂−∂
∂+
∂∂−
∂∂+
∂
∂−
∂∂
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. ^^^
Letra (a)
( )( )
( )xtwHzJ
xwtHzJJzx
HJHx y
..cos..
..cos...
.
0
^
0
^^
ββ
ββ
−−=→
−−=→=∂
∂→=∇
112
Letra (b)
Jy
Hz
x
Hy
y
HxJHx yzz
.
.
.
.
.
. ^^^
=
∂
∂−+
∂∂−+
∂
∂→=∇
( )[ ]ywtxHxJ z .sen.2sen.^
ββ −−=→
( )[ ] ( )[ ]ywtxHzyywtxH xz .cos.2sen...cos.2cos.2^^
βββ −+−−
8 Referências para estudo da teoria
8 Referência para estudo da teoria:KRAUS, John D ; CARVER, Keith R. Eletromagnetismo Editora Guanabara Dois, 1978.⇒ capítulo 8 (oito)
KRAUS, John D. Eletromagnetics McGraw-Hill International Editions, 1991⇒ capítulo 10 (dez)
113
CAPÍTULO 9
RELAÇÃO ENTRE A TEORIADOS CIRCUITOS E DO CAMPO:
EQUAÇÕES DE MAXWELL
9.1) (a) Partindo da lei de Ampère, obtenha a equação deMaxwell na forma integral baseada nesta lei. (b) Obtenha arelação pontual ou diferencial correspondente, aplicando oTeorema de Stokes. Fonte:[1]
Sol:
Letra (a)
∫ ∫∫
+=+== .).()(.. 000 sd
dt
dqJiiildB deslcond
µµµ
∫ ∫ ∫∫ ==
∂∂→=→= desli
dr
dqsd
t
D
dt
dqsdD
td
dqsdD
..
..
..
∫ ∫∫∫∫ ∫∫
∂∂+=
∂∂+= sd
t
DJsd
t
DsdJldB
..
..
.
... 00 µµ
114
∫ ∫∫
∫ ∫ ∫∫∫∫
∂∂+=⇒
∂∂+=→
∂∂+=
sdt
DJdlH
sdt
DJld
Bsd
t
DJldB
..
..
..
...
.
..
1
00 µµ
Letra (b)
∫ ∫∫
∂∂+= sd
t
DJdlH
..
..
( )
t
DJHx
sdt
DJsdHx
.
.
..
..
∂∂+=∇⇒
∂∂+=∇∫∫ ∫∫
9.2) (a) Partindo da lei de Faraday, obtenha a equação deMaxwell na forma integral baseada nesta. (b) Obtenha arelação pontual ou diferencial correspondente aplicando oteorema de Stokes. Fonte:[1]
Sol:
Letra (a)
∫∫= sdBm
.ψ , mas dt
dv mψ−= e ∫= ldEv
.
∫ ∫∫∫∫ ∂∂−=→−= sd
t
BldEsdB
dt
dv
.
...
115
Letra (b)
∫ ∫∫ ∂∂−= sd
t
BldE
.
..
( )
t
BEx
sdt
BsdEx
.
.
.
..
∂∂−=∇
∂∂−=∇∫∫ ∫∫
9.3) (a) Partindo da lei de Gauss para os campos elétricos,obtenha a expressão de Maxwell na forma integral baseadanesta lei. (b) Obtenha a relação pontual ou diferencial cor-respondente. Fonte:[1]
Sol:
Letra (a)
∫ ∫ ∫ =→=→= qsdDqsdEqsdE
.)..(. εε
Letra (b)
ρ
ρρ
=∇⇒
=∇→=→=∫ ∫ ∫∫∫ ∫∫∫∫∫∫D
dvdvDdvsdDqsdD
.
.)..(...
9.4) (a) Partindo da lei de Gauss aplicada aos campos mag-néticos, obtenha a expressão de Maxwell na forma integralbaseada nesta lei. (b) Obtenha a relação pontual ou diferen-cial correspondente. Fonte:[1]
116
Sol:
Letra (a)
∫∫=S
m sdB
.ψ , mas na superfície fechada temos ∫ =S
sdB 0.
Letra (b)
( ) 0.0..0. =∇→=∇→= ∫∫∫∫ BdvBsdBvS
9.5) Porque as equações de Maxwell não são completamen-te simétricas?Fonte:[1]
Sol:
∫∫ ∫∫∫
∫ ∫∫
∫ ∫∫
=∇→==
=∇→==∂∂−=∇→
∂∂−==
∂∂+=∇→
∂∂+==
0.,0.
.,..
.
.,
.
..
.
.,.
.
..
BousdB
DoudvsdD
t
BExousd
t
BldEv
t
DJHxousd
t
DJldHF
m
el
S
mm
ψ
ρρψ
Observe que:
A lei de Gaus do campo elétrico ∫ ∫∫∫ == qdvsdD .. ρ
(ou
ρ=∇ D
. ) indica a existência de cargas elétricas isoladas
(“monopólos elétricos”).
117
E a lei de Gaus do campo magnético ∫ = 0. sdB
(ou 0. =∇ B
)indica a inexistência de cargas magnéticas isoladas(“monopólos magnéticos”)
⇒ Conclusão: As equações de Maxwell não são simétricasporque cargas magnéticas isoladas não existem (enquantocargas elétricas isoladas existem).
9.6) Um condutor cilíndrico longo de raio R e σ=∞ conduzuma corrente I=I0senwt . Como função do raio r (para r<R er>R) ache (a) a densidade de corrente de condução(b) a den-sidade de corrente de deslocamento Jd(r) e (c) a densidadede fluxo magnético B(r). Considere d<r. Fonte:[1]
Sol:
Letra (a)
AJsdJI .. == ∫∫
, dS
dI
S
IJ s =
∆∆= →∆ .
.lim 0
lEldEv .. == ∫
, mas, pela lei de ohm, temos: IRv .=
AR
lEJAJRlEIRlE
.
...... =→=→=⇒ , EJ
.σ=
A
lR
AR
l
AR
l
E
JE
AR
lJ
....
. σσ =→=→=→=
para Rr ≤≤0
wtII sen.0= ⇒ wt
R
IJRJwtI
RJdsJsdJI
sen.
..sen.
....
202
0
2
=→=
=== ∫∫ ∫∫
ππ
π
118
para, Rr ≥ 00 =→= JI
Letra (b)
0=dJ , pois se faz no meio como σ=∞ 0=⇒ dJ r∀
Letra (c)
para Rr ≤≤0 IRHsdt
DJldH '..2..
.
.. π ⇒=⇒
∂∂+=∫ ∫∫
r
IBIr
B
..2
'.'..2. 0
0 πµπ
µ=⇒=⇒
mas 2
22)()( .'...'.
=⇒=⇒= >< R
rIIrIRIJJ RrRr ππ
20
2
20
..2
..
..2
..
R
rIB
R
rIB
πµ
πµ =⇒=
para Rr >
∫ ∫∫
∂∂+= sd
t
DJldH
..
..
temos 0.
. =∂∂⇒
t
D
r
IB
IrB
IrHsdJldH
..2
.
..2...2...
0
0
πµ
πµ
π
=⇒
=→=→=∫ ∫∫
119
9.7) Um capacitor de placas paralelas de raio R e separaçãod tem uma voltagem aplicada no centro dada porV=V0.senwt. Como função do raio r (para r<R) ache (a) adensidade de corrente de deslocamento Jd(r) e (b) o campomagnético H(r). Considere d<R. Fonte:[1]
Sol:
Letra (a)
Use wtVV sen0= em dt
dVCi = , e temos que :
wwtCVdt
dVCi .cos0== ,
d
AC
.ε= , ∫∫= sdJi
.
wwtVd
AwwtVCAJ .cos.
..cos.. 00
ε==wt
d
VwJ
wwtVd
AAJ
cos..
.cos..
.
0
0
ε
ε
=
=
Letra (b)
wtd
VwrH
rwt
d
VwH
rJHrJrH
sdJildH
cos.2
...
2.cos
..2
....2.
..
00
2
εε
ππ
=→=
=→=
==∫ ∫∫
120
9.8) Mostre que ∫ ∫ ∂∂=
∂∂
S
ldt
Asd
t
B
..
..
.
.
Fonte:[1]
Sol:
( )∫∫ ∇=S
S
sdAxsdB
.. ; pois AxB
∇= , aplicando o teorema de
Stokes temos:
( ) ∫∫ =∇Sdeperiferia
SldAsdAx
....
..
, logo:
∫∫∫∫ ∂∂=
∂∂⇒=
SdeperiferiaS
SdeperiferiaS
ldAt
sdBt
ldAsdB........
...
..
ldt
Asd
t
B
S
..
..
.
.∫∫ ∂
∂=∂∂
9.9 ) Demonstre que o potencial vetor magnético para doisfios compridos, retos e paralelos, que conduzem à mesmacorrente, I, em sentidos opostos é dado por
^
1
20 .ln.2
.n
r
rIA
=
πµ
Fonte:[7]
Sol:^
0000 .
2)2(
.4
.
4.42
1
2
1 r
drnI
r
rdIrd
r
sdJdv
r
JA
r
r
r
rv
==== ∫∫∫∫∫∫ πµ
πµ
πµ
πµ
121
^
1
20 .ln.2
.n
r
rIA
=⇒
πµ
9.10) Mostre que a expressão para a indutância em baixa
freqüência ∫= dll
AL .
reduz-se para um circuito condutor
à fórmula de indutância em baixa freqüência de Neuman
∫ ∫= ldl
ldL
.'
.40
πµ
. Fonte:[1]
Sol:
∫= ldI
AL
. , mas ∫=v
dvr
JA .
.40
πµ
,logo:
( )
( )∫∫ ∫∫
∫ ∫∫∫
=
=
==
lddlIlI
lddlsdJlI
L
lddll
sdJ
Ild
I
dvrJ
L
S
v
v
'...4
'.....4
'..
..4.
..4
00
0
0
πµ
πµ
πµ
πµ
,
mas ∫=S
sdIJ
. , então ∫ ∫=⇒ ldl
dlL
'
.40
πµ
9.11) Uma linha de transmissão de dois de comprimento ltem uma distância D entre os condutores (centro a centro)e raio do condutor a. Os condutores são tubos de paredesfinas. Recorrendo à figura, aplique a fórmula de indutância
122
de baixa freqüência de Neuman (Prob. 9.9) para mostrar
que a indutância da linha é a
DlL ln
.0
πµ= (H) Fonte:[1]
Fig. Prob. 9.11Fonte:[1]
Sol:
=
== ∫∫∫ ∫ l
a
Ddl
r
drld
l
dlL
lD
a.2.ln.2
.4".2.
'.2
.4.
'
.40
0
00
πµ
πµ
πµ
a
DlL ln
.0
πµ=⇒ (H)
9.12) Suponha que um capacitor de placas paralelas circu-lares tenha um raio R de 30mm e que a distância entre asplacas seja 5,00mm. Uma fem senoidal de 60Hz e valor má-ximo 150V é aplicada entre as placas. Calcule Bm®, o valormáximo do campo magnético induzido para r=R. Fonte:[5]
Sol:
( )
dt
dERB
dt
dERRB
dt
REdRB
dt
dldB E
.2
.......2.
......2....
2
2
εµπµεπ
πεµπφεµ
=→=
=→=∫
123
mas xVEldEV /. =→−= ∫
dt
dV
x
RB
.2
..εµ=→
wtwVdt
dVwtVV MM cos..sen. =→=
x
wtwVR
dt
dV
x
RB M
.2
cos.....
.2
.. εµεµ == ,
como wtB cos~ , para B máximo temos que Ter coswt má-ximo, ou seja:
x
wtwVRB MM
M .2
cos.....εµ= , 1cos =
Mwt
x
fVR
x
fVR
x
wVRB MMM
M
.....
.2
..2....
.2
.... πεµπεµεµ ===
dados: 70 10..4 −== πµµ (H/m), pF85,80 == εε , R=30mm,
x=5,00mm, VM=150V, f=60Hz; temos:
pTBM 89,1=
9.13) Prove que a corrente de deslocamento num capacitorde placas paralelas pode ser escrita do seguinte modo:
dt
dVCid = Fonte:[5]
124
Sol:
dt
dEA
dt
dEds
dt
sdEd
dt
di SEd ....
.
. εεεφε ==
== ∫∫∫
,
mas xVEldEV /. =→−= ∫
dt
dVC
dt
dV
x
Aid == .ε
; pois x
AC
.ε=
9.14) No exemplo 1 (Livro do resnick, volume 3, página 296),mostre que a densidade de corrente de deslocamento Jd, parar<R, é dada por
dt
dEJd .0ε=
Fonte:[5]
Sol:
Continuando a partir do desenvolvido no problema 9.12,temos:
( )
dt
dEJ
dt
dE
A
i
dt
dEA
dt
xVdA
dt
dV
x
A
dt
dVCi
dd
d
..
../
...
εε
εεε
=⇒=
====
125
9.15) Um capacitor de placas paralelas quadradas, de 1,0mde lado, como mostra a figura, está sendo carregado poruma corrente de 2,0A que chega a uma das placas e sai daoutra placa.(a) Calcule a corrente de deslocamento entre asplacas do capacitor. (b) Determine dE/dt nesta região.(c)Calcule a corrente de deslocamento através do quadradotracejado indicado na figura. (d) Determine φB.dl ao longodeste percurso quadrado. Fonte:[5]
Fig. Prob. 9-15Fonte:[5]
Sol:
(a) Aic 2=
(b) A
i
dt
dE
dt
dEAii c
dc ..
00 ε
ε =⇒==
dados: Aic 2= , pF85,80 =ε e 21mA = ; temos:
mVdt
dE/10.3,2 11=⇒
(c) dt
dEAid .0ε=
126
dados: mH /10..4 70
−= πµ , pF85,80 =ε , 25,0 mA = e da
letra (b) mVdt
dE/10.3,2 11= ; logo, temos: Aid 5,0= .
(d)
dSE i
dt
dEA
dt
sdEd
dt
dldB ....
.
..... 0000000 µεµεµφεµ ==
==∫∫
∫
dados: Aid 5,0= e mH /10..4 70
−= πµ
TmldB µ63,0. =⇒ ∫
9.16) Em 1929, M.R. Van Cauweberghe conseguiu medirdiretamente, pela primeira vez, a corrente de deslocamentoid entre as placas de um capacitor de placas paralelas, comoestá sugerido na figura. Para isso, ele utilizou placas circu-lares, cujo raio efetivo era de 40cm e cuja capacitância era1,0x10-10F. O valor máximo, Vm, da diferença de potencialaplicada era de 174KV, à freqüência de 50Hz. (a) Qual foi acorrente de deslocamento máxima obtida entre as placas?(b) Qual a razão da escolha de uma diferença de potencialtão elevada?[A delicadeza destas medidas é tamanha queelas só forma aceitas diretamente mais de 60 anos depoisde Maxwell Ter enunciado o conceito da corrente de deslo-camento! A referência é o Journal de Physique, 8, 303 (1929)].Fonte:[5]
127
Fig. Prob. 9-16Fonte:[5]
Sol:
(a) de 9.12, que já foi calculado temos:
dt
dVCid = , mas wtVV M sen.=
wVCwtwVCiwtwCVi MMMMdMd ..cos...cos.. ==→=
fVCi MMd ..2.. π=
dados: FxC 10101 −= , KVVM 174= e Hzf 50= ; logo, teremos:
mAiMd 47,5=
(b) da equação obtida na letra (a), vemos que a corrente de
deslocamento( di ) é diretamente proporcional a tensão má-
128
xima aplicada( MV ), e a capacitância(C ) também, sabendoque os valores de capacitância são geralmente pequenos daordem de micros( µ ), nanons( n ) e picos( p ) faraday, paraproduzir corrente mensurável precisaríamos de uma ten-são elevada de modo a minimizar o valor da capacitância,conforme mostra a equação abaixo, obtida no item anterioranalisando o valor de pico na corrente alternada.
fVCi MMd ..2.. π=
9.17) O capacitor da figura consiste de duas placas circula-res de raio R=18cm. A fonte de tensão possui femV=Vm.senwt, onde Vm=220V e w=130rad/s. O valor máxi-mo da corrente de deslocamento é dado por id=7,6µA. Des-preze a distorção do campo elétrico nas bordas das placas.(a) Calcule o valor máximo da corrente i. (b) Determine ovalor máximo de dφE/dt, onde φE é o fluxo do campo elétri-co através da região entre as placas. (c) Qual a distância dentre as placas? (d) Calcule o valor máximo do módulo de Bentre as placas a uma distância r=11cm do centro. Fonte:[5]
Fig. Prob. 9-17Fonte:[5]
Sol:
(a) como AiiiiMdMcdc .6,7 µ==→=
(b) 0
0.ε
φφε Md
M
EEd
i
dt
d
dt
di =⇒=
129
dados: AiMd .6,7 µ= e pF85,80 =ε ; logo, teremos:
sKVmdt
d
M
E /76,858=⇒ φ
(c)
( )
d
M
d
M
MM
d
i
wVR
i
wVAx
wtwVx
A
dt
wtVd
x
A
dt
dVCi
.......
cos....sen..
200
00
πεε
εε
==→
===
dados: pF85,80 =ε , cmR 18= , VVM 220= , sradw /130=
e Aid .6,7 µ=
mmx 39,3=→
(d) de 9.15, temos:
20
..2
..)(
R
rirB d
πµ= )( Rr ≤
dados: pF85,80 =µ , Aid .6,7 µ= , cmr 11= e cmR 18= ;
logo, teremos: pTrB 17,5)( =
9.18) Uma longa barra cilíndrica condutora, de raio R, estácentrada ao longo do eixo x, conforme indicado na figura.A barra possui um corte muito fino em x=b. Uma correntede condução i, aumentando no tempo e dada por ti .α= ,percorre a barra para a direita; α é uma constante de
130
proporcionalidade (positiva). No instante t=0 não existecarga nas faces do corte próximas de x=b. (a) Determine omódulo da carga nessas faces em função do tempo. (b) Usea eq.I na tabela 2, página298, volume 3 do resncik, para de-terminar E no intervalo entre as faces , em função do tem-po. (c) Use a eq.IV na tabela 2, página298, volume 3 doresncik, para obter B(r) no intervalo entre as faces para r<R.Fonte:[5]
Fig. Prob. 9-18Fonte:[5]
Sol:
(a) ∫ ==t t
dtttq0
2
2
.''.
αα )(C
(b) 0
20 ..
.επε R
qE
qsdE
S
=→=∫
, mas 2
. 2tq
α= ; logo:
....2
.2
0
2
R
tE
επα=→ )/( mV ou )/( CN
(c) ∫ =dt
dldB Eφεµ ... 00
; mas 2... rEsdEE πφ == ∫
e
∫ = rBldB ..2.. π
, logo:
dt
dErB
dt
dErrB .
2
.......2. 002
00
εµπεµπ =→= ,
131
( )dt
td
R
rB
2
20
00
...2.
2
..
επαεµ=
20
.2
..
R
rtB
παµ=⇒
9 Referências para estudo da teoria
9 Referência para estudo da teoria:KRAUS, John D ; CARVER, Keith R. Eletromagnetismo Editora Guanabara Dois, 1978.⇒ capítulo 9 (nove)
KRAUS, John D. Eletromagnetics McGraw-Hill International Editions , 1991⇒ capítulo 11 (onze)
HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; MERRIL, John.. Fundamentosde Física 3 – Eletromagnetismo LTC-Livros Técnicos e Científicos Editora S.A., 1994.⇒ capítulo 37 (trinta e sete)
132
133
BIBLIOGRAFIA CONSULTADA
[1] KRAUS, John D ; CARVER, Keith R. Eletromagnetismo, Rio de Janeiro: Guanabara Dois, 1978.
[2] KRAUS, John D. Eletromagnetics. McGraw-Hill Inter-national Editions , 1991.
[3] HAYT, William H. Eletromagnetismo, Rio de Janeiro:LTC Livros Técnicos e Científicos LTDA, 1995.
[4] EDMINISTER, Joseph A. Eletromagnetismo, São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 1980.
[5] HALLIDAY, David; RESNICK, Robert. Fundamentosde Física 3 Eletromagnetismo, Rio de Janeiro: LTCLivros Técnicos e Científicos LTDA, 1994.
[6] HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jear.Fundamentos de Física 4 Ótica e Física Moderna, Riode Janeiro: LTC Livros Técnicos e Científicos LTDA, 1994.
[7] REITZ,John R; MILFORD, Frederick J.;CHRISTY, RobertW. Fundamentos da Teoria Eletromagnética, Rio deJaneiro: Campus LTDA. , 1980.
[8] GRANVILLE, W.A.; SMITH P.F.; LONGLEY W. R.Elementos de Cálculo Diferencial e Integral. ÂmbitoCultural Edições LTDA., 1992.
[9] ABUNAHMAN, Sérgio A. Equações Diferenciais. ÉricaEditora e Gráfica LTDA,1989.
[10] SPIEGEL, Murray R. Transformadas de Laplace.Editora Mcgraw-Hill LTDA, 1971.
134
[11] MUNEM, Mustafa A.; FOULIS, David J. Cálculo volu-me 1. Editora Guanabara S.A. , 1978.
[12] MUNEM, Mustafa A.; FOULIS, David J. Cálculo volu-me 2. Editora Guanabara S.A. , 1978.
[13] GUIDORIZZI, Hamilton L. Um curso de cálculo volu-me 3. Livros Técnicos e Científicos Editora S. A., 1994.
[14] GUIDORIZZI, Hamilton L. Um curso de cálculo volu-me 4. Livros Técnicos e Científicos Editora S. A., 1994.
[15] Giovanni, José Ruy ; Bonjorno, José Roberto. Matemática3. Editora FTD S.A.
[16] Luiz, Aldir M. Manual de Problemas ResolvidosElementos de Física 3 Halliady, Resnick. LTC.
135
Apêndice
Biografia resumida dos autores
Marcelo Lyra Brandão nasceu em vitória, Espírito Santo,em 1958. Formou-se em Engenharia Elétrica pela Universi-dade Federal do Espírito Santo, em 1982, recebeu o tíyulode Mestre em Engenharia Elétrica pela PUC-RJ, em 1985 e ode Doutor em Engenharia Elétrica pela UNICAMP, em 1998.Atualmente é professor adjunto 3 (três) do Departamentode Engenharia de Eletricidade da Universidade Federal doMaranhão(DEE-UFMA), ministrando as seguintes discipli-nas no curso de graduação em Engenharia Elétrica:Eletromagnetismo, Laboratório de Eletromagnetismo,Eletromagnetismo Aplicado e no curso de graduação emCiência da Computação ministra a disciplina ProcessosEstocásticos. É também professor do Programa de Pós-gra-duação Stricto Sensu(mestrado e doutorado) do curso deEngenharia Elétrica da Universidade Federal do Maranhão,ministrando a disciplina Processos Estocásticos. Já foi pro-fessor também das disciplinas: Circuitos Elétricos, Telefo-nia, Antenas, Princ;ipios de Microondas e Ondas Eletromag-néticas. Tem 2(dois) artigos publicados, um no IEEEPTL em1997, e outro no LEOS-IEEE Conference Procceding em 1996.
Rogério Moreira Lima Silva nasceu em São luís, Maranhão,em1976. Atualmente cursa Engenharia Elétrica pela Univer-sidade Federal do Maranhão, e também estagia naTELEMAR-MA na Engenharia(provisionamento), na áreade comunicação de dados.
Para encomendar este livro, entre em contato com:
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