eletromagnetismo - joseph a. edminister volume 1

136
Rogerio Moreira Lima Silva Marcelo Lyra Brandão Manual de Problemas Resolvidos ELETROMAGNETISMO VOLUME I PAPEL VIRTUAL

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Page 1: Eletromagnetismo - Joseph a. Edminister Volume 1

Rogerio Moreira Lima Silva

Marcelo Lyra Brandão

Manual de Problemas Resolvidos

ELETROMAGNETISMO

VOLUME I

PA P E L V I R T UA L

Page 2: Eletromagnetismo - Joseph a. Edminister Volume 1

Brandão, Marcelo L.Manual de Exercícios Resolvidos:

Eletromagnetismo / Marcelo L Brandão,Silva, Rogerio M L. - São Luís, 1999.

V.1, 136 pg.1. Eletromagnetismo - exercícios I

Silva, Rogerio M L. II Título

CDD 535.14CDU 537.8

Copyright© 2000 por Marcelo Lyra Brandão e RogerioMoreira Lima Silva

Título Original: Manual de Problemas Resolvidos -Eletromagnetismo

Editor-Chefe: Tomaz AdourEditoração Eletrônica: Andrea CavalcantiRevisão: Patrícia Simões Carneiro

Papel Virtual EditoraRua Marquês de São Vicente, 225Prédio Genesis - sala 21-A - PUC-RioGávea - Rio de Janeiro - RJ CEP: 22453-900

Tel: (021) 239-0170 Ramais: 2057 / 2026 (fax)E-mail: [email protected]ço Eletrônico: www.papelvirtual.com.br

Page 3: Eletromagnetismo - Joseph a. Edminister Volume 1

Marcelo Lyra BrandãoDoutor em Engenharia Elétrica pela UnicampProfessor Adjunto do Departamento de Engenharia deEletricidade da Ufma

Rogerio Moreira Lima SilvaEstudante de Engenharia Elétrica da Ufma

Manual de Problemas Resolvidos

Eletromagnetismo

VOLUME I

Page 4: Eletromagnetismo - Joseph a. Edminister Volume 1
Page 5: Eletromagnetismo - Joseph a. Edminister Volume 1

A meus avós; em especial a meu avô William Moreira Lima.

A minha família, em especial aos meus pais.

A meu tio Aluizio Moreira Lima, pelo empenho pessoal.

À minha noiva, Cintia Karine Carneiro Rocha, por tudo.

R. M. L. Silva

Page 6: Eletromagnetismo - Joseph a. Edminister Volume 1
Page 7: Eletromagnetismo - Joseph a. Edminister Volume 1

PREFÁCIO

Este manual tem por finalidade auxiliar os estudan-tes de Engenharia Elétrica no estudo do eletromagnetismo.O manual é direcionado a resolução de problemas do livro“ Eletromagnetismo, Kraus / Carver”, mas são resolvidostambém exercícios de outros livros. É relevante citar que seoptou por seguir a ordem de capítulos do livro acima cita-do, ou seja,” Eletromagnetismo, Kraus / Carver”.

Neste primeiro volume serão apresentadas resoluçõesde exercícios dos capítulos 1(um) ao 9 (nove) e no segundovolume, dos capítulos 10(dez) ao 14(catorze). Também se-rão fornecidas ao final de cada capítulo as referências bibli-ográficas para pesquisa da teoria, a qual forma a base teóri-ca necessária para perfeito entendimento dos exercícios re-solvidos.

Esperamos que este manual seja utilizado por profes-sores que adotem o livro “Eletromagnetismo, Kraus /Carver” ou “Eletromagnetics, Kraus”, e que o mesmo sejade grande valia para melhor entendimento da teoria.

Tendo em vista que todo e qualquer trabalho não estáimune a erros e consequentemente eventuais correções, osleitores que desejarem fazer críticas e, ou, sugestões devemdirigir-se aos autores no Departamento de Engenharia deEletricidade da Universidade Federal do Maranhão(UFMA).

Marcelo Lyra Brandã[email protected] Moreira Lima [email protected]@[email protected]

Page 8: Eletromagnetismo - Joseph a. Edminister Volume 1
Page 9: Eletromagnetismo - Joseph a. Edminister Volume 1

SUMÁRIO

Capítulo 1 ............................................................................... 13Capítulo 2 ............................................................................... 19Capítulo 3 ............................................................................... 33Capítulo 4 ............................................................................... 51Capítulo 5 ............................................................................... 59Capítulo 6 ............................................................................... 87Capítulo 7 ............................................................................... 95Capítulo 8 ............................................................................. 103Capítulo 9 ............................................................................. 113Bibliografia Consultada ..................................................... 133Biografia dos autores .......................................................... 135

Page 10: Eletromagnetismo - Joseph a. Edminister Volume 1
Page 11: Eletromagnetismo - Joseph a. Edminister Volume 1

LISTA DE FIGURAS

Figura Prob. 2-2 ..................................................................... 21Figura Prob. 3-3 .................................................................... 36Figura Prob. 3-4 .................................................................... 38Figura Prob. 3-5 .................................................................... 39Figura Prob. 3-8a .................................................................. 44Figura Prob. 3-8b.................................................................. 46Figura Prob. 3-9 .................................................................... 46Figura Prob. 3-10 .................................................................. 48Figura Prob. 4-2 .................................................................... 52Figura Prob. 5-2 .................................................................... 60Figura Prob. 5-3a .................................................................. 61Figura Prob. 5-3b.................................................................. 62Figura Prob. 5-5 .................................................................... 65Figura Prob. 5-6a .................................................................. 67Figura Prob. 5-6b.................................................................. 68Figura Prob. 5-6c .................................................................. 68Figura Prob. 5-9 .................................................................... 72Figura Prob. 5-12 .................................................................. 73Figura Prob. 5-13a ................................................................ 75Figura Prob. 5-13b................................................................ 75Figura Prob. 5-14 .................................................................. 77Figura Prob. 5-15 .................................................................. 79Figura Prob. 5-16a ................................................................ 81Figura Prob. 5-16b................................................................ 81Figura Prob. 5-18 .................................................................. 83Figura Prob. 5-19 .................................................................. 85Figura Prob. 5-20 .................................................................. 86Figura Prob. 6-5 .................................................................... 90Figura Prob. 6-7 .................................................................... 93Figura Prob. 8-2 .................................................................. 104Figura Prob. 8-3a ................................................................ 105

Page 12: Eletromagnetismo - Joseph a. Edminister Volume 1

12

Figura Prob. 8-3b................................................................ 105Figura Prob. 8-4a ................................................................ 106Figura Prob. 8-4b................................................................ 107Figura Prob. 8-5 .................................................................. 108Figura Prob. 8-6 .................................................................. 109Figura Prob. 8-7 .................................................................. 110Figura Prob. 9-11 ................................................................ 122Figura Prob. 9-15 ................................................................ 125Figura Prob. 9-16 ................................................................ 127Figura Prob. 9-17 ................................................................ 128Figura Prob. 9-18 ................................................................ 130

Page 13: Eletromagnetismo - Joseph a. Edminister Volume 1

13

CAPÍTULO 1

INTRODUÇÃO

1.1- Dar:

a) A descrição dimensionalb) As fórmulas dimensionais em termos dos símbolos M,L,T e Ic) As unidades de SI, para as seguintes expressões:

dt

dl∫ dlF.

dx

dl

onde l é o comprimento, t o tempo e F a forçaFonte:[1]

Sol:

a)

ensionaladx

dl

trabalhodlF

velocidadedt

dl

dim

.

=

=

=

Page 14: Eletromagnetismo - Joseph a. Edminister Volume 1

14

b)

c)

1.2) Dar o que se pede no problema 1.1 para

BILJr

QdlEEVdv ;;

...4;

..4

1;.;;;.

20

2

0 επεπρ ∫∫∫∫

Fonte:[1]

Sol:

1)(

)(

..

)(

)(*)()(**)(

)(*)(*)()(*)(.

2

2

===

=⇒

=

=

==

==

L

L

ocompriment

ocompriment

dx

dlT

LMdlF

tempo

ocomprimentmassaocompriment

tempo

velocidademassa

ocomprimentaceleraçãomassaocomprimentforçcadlF

T

L

tempo

ocompriment

dt

dl

ensionaladx

dl

joulesJdlF

segundopormetrossmdt

dl

dim

)(.

)....(/

=

=

=

Page 15: Eletromagnetismo - Joseph a. Edminister Volume 1

15

a)

b)

ForçaBIL

correntededensidadeJ

forçar

Q

constate

potencialdlE

elétricocampodeensidadeE

potencialV

acdv

==

=

=

=

==

=

∫∫∫

....

...4

..4

1

.

......int

arg.

20

2

0

επ

επ

ρ

( )

2

2

24

3

222

20

3

2

3

2

22

...

?

;..4

1

..

..

....

..

L

hI

L

IL

h

HildH

BILL

I

S

IJ

IT

MLK

IT

LT

ML

Q

FrK

r

QKFK

IT

ML

ITT

ML

Q

FE

IT

MLV

TI

L

T

LM

Q

L

T

LML

Q

FLEdlEV

TIQVV

Qdv

==⇒=

=

=∂∂=

=

==⇒==

===

=⇒

=====−=

===

∫∫∫

µ

επ

ρ

Page 16: Eletromagnetismo - Joseph a. Edminister Volume 1

16

c)

2

2

2

222

22

22

2

22

23

2

3

2

:log,.

)........(

)(,

,//

....

T

MLIL

IT

MLBIL

oIT

ML

L

I

IT

MLHB

oumetroporindutânciaIT

ML

LIT

ML

m

l

indutânciaIT

ML

I

TIT

ML

lIT

MLV

masI

VT

TI

V

dtdi

vl

dt

dilv

metroporindutânciah

==

===

==

===

===⇒=

=

µ

µ

)....(..4

1

)....(

)(

)(

0

faradaypormetrosF

m

voltsEdl

metroporvoltsm

VE

voltsVV

coulombsCdv

=

=

=

=

=

∫∫∫

επ

ρ

)(

......(

)(4

2

20

2

newtonsNBIL

quadradometroporampèresm

AJ

NewtonsNr

Q

=

=

=πε

Page 17: Eletromagnetismo - Joseph a. Edminister Volume 1

17

1 Referências para estudo da teoria

1 Referência para estudo da teoria:KRAUS, John D ; CARVER, Keith R. Eletromagnetismo Editora Guanabara Dois, 1978.⇒ capítulo 1 (um)

Page 18: Eletromagnetismo - Joseph a. Edminister Volume 1

18

Page 19: Eletromagnetismo - Joseph a. Edminister Volume 1

19

CAPÍTULO 2

CAMPO ELETROSTÁTICO - PARTE 1

2.1)(a) Que carga elétrica seria necessária colocar na Terra e naLua para que tal força de atração se iguale a força de atra-ção gravitacional? Suponha que as cargas sejam colocadasna mesma proporção que as massas. Considere a massa daTerra 6.1024 Kg, e da Lua 7.1027 Kg, sendo a separação de40Mm. A constante gravitacional 6,7.10-11 Nm2/Kg2 (é aná-loga a lei de Coulomb)(b) Se as separações fossem de sinais contrários qual seriao momento do dipolo.Fonte:[1]

Sol:

(a)Dados: m1=6.1024Kg; m2=7.1022Kg; G=6,7.10-11Nm2/Kg2;r=400MmSabe-se que e0=8,85pF/m p=3,14

221

...4

.

r

qqFe επ

= ; 221.

r

mmGFG =

Page 20: Eletromagnetismo - Joseph a. Edminister Volume 1

20

⇒= Ge FF 221

...4

.

r

qq

επ 221.

r

mmG=

2121 .....4. mmGqq επ=⇒

22721 10.13,3. Cqq =⇒

são proporcionais, logo:

pm

mm

→→+

1

21 199,0

21

1 =+

=mm

mp → ).( 211 mmpm +=

'

1

2

21

pm

mm

→→+

01,0'21

2 =+

=mm

mp → )'.( 212 mmpm +=

como,22

11

~

~

qm

qm⇒ ).( 211 qqpq += ; )'.( 212 qqpq +=

22121 )'.(.. qqppqq += '.

. 2121 pp

qqqq =+⇒ Cqq 14

21 10.24,5=+⇒

).( 211 qqpq += TC51810.518)10.24.5.(99,0 1214 ===

)'.( 212 qqpq += TC04,610.04,6)10.24.5.(01,0 1214 ===

(b)

para o dipolo CmlqqlQ 22221 10.24,2... ==

2.2)A figura mostra uma longa barra isolante sem massa,de comprimento L, presa por pino no seu centro e equili-brada com peso W a uma distância x de sua extremidadeesquerda. Nas extremidades esquerda e direita da barra sãocolocadas cargas q e 2q, respectivamente. A uma distânciah diretamente abaixo dessas cargas está fixada uma cargapositiva +Q (veja figura).

Page 21: Eletromagnetismo - Joseph a. Edminister Volume 1

21

(a) Determine a posição x do peso quando a barra estiverequilibrada.(b) Qual deverá ser o valor de h para que a barra não exer-ça nenhuma força vertical sobre o suporte quando em equi-líbrio? (Despreze a interação entre as cargas nos extremosopostos da barra.) Fonte:[5]

Fig. Prob. 2-2Fonte:[5]

Sol:

(a)

+=

+=+=

=⇒=−−=

==

=→+=

Wh

qQL

Wh

qQLLx

Lx

Wh

qQLx

LFxW

LFT

h

qQF

h

qQF

Lxxxx

....4

.1

2..4

.

222

....4

.

20

2.

2.

...4

.;

...4

2.2

222

22221

2221

121

εππε

επ

επεπ

Page 22: Eletromagnetismo - Joseph a. Edminister Volume 1

22

(b)

W

Qqh

h

QqW

FFWWFFF

...4

..3

...4

..3

0

2

2121

επεπ=→=

+=⇒=−+=∑

2.3) Duas pequenas esferas condutoras de massa msuspensas por fios de seda de comprimento L possuem umacarga q. Considerando que o ângulo q é tão pequeno que atgq possa ser substituída por senq: Mostre que para estaaproximação temos:

312

....2

.

=

gm

Lqx

επFonte:[5]

Sol:

2

2

....4 xmg

q

mg

Ftg

επθ == ;

L

x

2sen =θ

mas q muito pequeno L

xtg

2sen =≅ θθ

2

2

....4 xmg

q

επ L

x

2=

312

...2

=⇒

gm

Lqx

επ

2.4) Duas partículas cada uma de massa m e com carga q,estão suspensas de um ponto comum, por cordas de com-primento l. Determine o ângulo q que cada corda formacom a vertical. Fonte:[7]

Page 23: Eletromagnetismo - Joseph a. Edminister Volume 1

23

Sol:

2

2

...4 x

qF

επ=

temos:

2

2

....4sen

xT

q

T

F

επθ == ;

T

mg=θcos ; 2

2

....4 xmg

q

mg

Ftg

επθ ==

2

2

2

2

33

2

223

2

3

.....16

.

.....2

......4cos.

1

lgm

q

ql

lxgm

xgm

qtg

tg

tg

επ

επεπ

θθθ

θ

=

=

==

+

2.5) Uma certa carga Q deve ser dividida em duas: (Q-q) e q.Qual é a relação entre Q e q para que a repulsão seja máxi-ma? Fonte:[5]

Sol:

qQ

qQr

qQ

dq

dF

r

qQq

r

qQqF

2

020.4

)2(0

.4

)()(

4

1

2

2

2

2

=

=−⇒=−⇒=

−=−=

πε

πεπε

Page 24: Eletromagnetismo - Joseph a. Edminister Volume 1

24

2.6) Mostre que as placas de um capacitor de placas parale-

las se atraem com uma força dada por A

qF

.2

2

ε= .

Prove o que foi dito, calculando o trabalho necessário paraaumentar a separação entre as placas de x para x+dx, a car-ga q permanecendo constante. Fonte:[5]

Sol:

Para o capacitor de placas paralelas, aplicando a lei de Gauss,temos:

A

qE

qAE

qsdE

...

εεε=⇒=⇒=∫

A

qq

Adq

A

qFdqEdF

qq

.22.

1

..

2

0

2

0 εεε=

==⇒= ∫

2.7)Em um trabalho que foi escrito em 1911, ErnestRutherford disse: “Para se ter alguma idéia das forças ne-cessárias para desviar uma partícula a através de um gran-de ângulo, considere um átomo contendo uma carga pon-tual Ze no seu centro e envolvida por uma distribuição decarga negativa, -Ze, uniformemente distribuída dentro deuma esfera de raio R.” O campo elétrico E num ponto den-tro do átomo, a uma distância r do seu centro, é

−=

32

11

.4 Rr

ZeE

πε

Verifique esta equação Fonte:[5]

q

Page 25: Eletromagnetismo - Joseph a. Edminister Volume 1

25

Sol:

para r>R,

2

332

2

...4

'3.4

3.4

'

...4

'..4.

'.

'.

r

qE

qq

r

q

r

q

r

qE

qrE

qsdE

qsdE

επ

ππρ

επ

επ

εε

=

=

==⇒=

=⇒=⇒=

+

∫∫

para r<R,

3

3

3

332

2

...4

.

.'

3.4

3.4

'

...4

'

'..4.

'.

'.

R

rqE

R

rqq

R

q

r

q

r

qE

qrE

qsdE

qsdE

επ

ππρ

επ

επ

εε

=

=⇒

==⇒=

=⇒=⇒=

∫∫

−=+= −+ 32

1

4 R

r

r

qEEE

πε

Page 26: Eletromagnetismo - Joseph a. Edminister Volume 1

26

2.8) Duas cargas puntiformes, -q e +q/2, estão situadas naorigem e no ponto (a,0,0), respectivamente. Em que ponto,ao longo do eixo x, o campo elétrico se anula? Fonte:[5]

Sol:

−+−=

+−=22

22

22 )(2

24.

..4)(2..4

1

axx

aaxxq

ax

q

x

qE

επεπ

o campo elétrico se anula em 0=E

2222

8164

0.2..4

024

22

22

22

±=−±=⇒

=+−

=−+−⇒

aaaa

x

axax

aaxx

)12(2 +=→ ax , satisfaz

)12(2 −=→ ax , não satisfaz (não utilizar)

( )

12

2

12

122

)12(

)12().12(2

2

−=→

=−−+=→

a

ax

aax

Page 27: Eletromagnetismo - Joseph a. Edminister Volume 1

27

2.9) Usando a Lei de Gauss, determine a carga elétrica totaldentro de um volume cúbico de 2m de lado situado nooctante positivo com três arestas coincidentes com os eixosx,y e z e um vértice na origem, sendo o vetor densidade defluxo elétrico D dado por:

(a) 2^

2xxD =

(b) zyxxD ..^

=

(c) )5()4()3(.^^^

+++++= zzyyxxD

(d) 333^

222^^

...... zyxzzyxyzyxxD ++=

Fonte:[1]

Sol:

(a)

∫ ∫ ∫∫∫∫ =⇒=∇=2

0

2

0

2

032...4)..( CQdzdydxxdvDQ

R

(b)

∫ ∫ ∫∫∫∫ =⇒=∇=2

0

2

0

2

08....)..( CQdzdydxzxydvDQ

R

(c)

∫ ∫ ∫∫∫∫ =⇒++=∇=2

0

2

0

2

024..).111()..( CQdzdydxdvDQ

R

(d)

CQ

dzdydxyxzyxyzdvDQR

44,164

...)...3..2()..(2

0

2

0

2

0

3322

=⇒

++=∇= ∫ ∫ ∫∫∫∫

Page 28: Eletromagnetismo - Joseph a. Edminister Volume 1

28

2.10) Carrega-se uniformemente um cilindro infinitamentelongo de raio R

(a) Mostre que E a uma distância r do eixo do cilindro (r<R)

é dado por ερ.2

.rE = ,

onde ρ é a densidade volumétrica de carga.(b) Que resultado poderíamos esperar para r>R?Fonte:[5]

Sol:(a)para r<R,

ερ

πρπε

ρε

.2

.

.....2..

...

22

r

L

E

LrrE

dvqsdE

=

=

==∫ ∫∫∫

(b)para r>R,

r

R

L

E

LRrE

dvqsdE

..2

.

.....2..

...

2

22

ερ

πρπε

ρε

=

=

==∫ ∫∫∫

Page 29: Eletromagnetismo - Joseph a. Edminister Volume 1

29

2.11) Se zzyyxxE^^^

++=

, achar o fluxo elétrico sobre umaesfera de raio R.Fonte:[1]

Sol:

zzyyxxE^^^

++=

RzyxE =++= 222

;

=E

^

.rE ^

2 ...sen. rddRsd φθθ= ;

3

2

0

2

0

...4

..sen.....

R

ddRRsdE

e

e

επψ

φθθεεψπ π

=

== ∫ ∫ ∫

2.12) Uma distribuição de potencial dada por V=3y1/2 V.Qual a expressão de E? Qual é o seu valor vetorial (módulo,direção e sentido) nos pontos (0;0),(4;0) 3 (0,4) ? Fonte:[1]

Sol:^^

2/1

2

3

2

13 y

yyyVEEV −=−=∇−=⇒−=∇ −

mVE /)0;0( ∞= ; mVE /)0;4( ∞= ; mVyE /75,0)4;0(^

−=

2.13) Uma distribuição de potencial é dada por :

xyV 127 2 += V. Qual é a expressão de E

. Qual é o seuvalor (módulo, direção e sentido) nos pontos (0,0); (5,0); (0,3)e (5,3)? Fonte:[1]

Page 30: Eletromagnetismo - Joseph a. Edminister Volume 1

30

Sol:

xyV 127 2 += ;

^^^^

1412 yyxyy

Vx

x

VVEEV −−=

∂∂+

∂∂−=∇−=⇒−=∇

^^

1412 yyxE −−=

V/m

em (0,0) em (0,3)^

12)0,0( xE −=

V/m ^^

4212)3,0( yxE −−=

V/m

em(5,0) em(5,3)^

12)0,5( xE −=

V/m ^^

4212)3,5( yxE −−=

V/m

2.14) Duas bolas dielétricas de pequeno diâmetro 10g podemdeslizar livremente numa linha plástica vertical. Cada bolatem uma carga de 1µC.

(a) Achar a distância entre elas, se a bola inferior é impedidade se mover

(b) Qual é o momento do dipoloFonte:[1]

Sol:

Dados: m=10g; g=9,81m/s2; q=1µCSabe-se que: ε0=8,85pF/m

Page 31: Eletromagnetismo - Joseph a. Edminister Volume 1

31

(a)

ymgW

y

qV

VqW

.

.4

.

=

=

=

πεgm

qyygm

y

qq

..2..

.4 πεπε=⇒=

(b)

00.10. 6 == −lQ

2.15) Uma distribuição de potencial é dada por:

θsen.. 21rkV = . Achar E

.Fonte:[1]

Sol:

θsen.. 21rkV = ; θsen.. rkV =⇒ ; θθ

∂∂−

∂∂−= V

rr

VrE .

1.

^^

;

θsen2 r

k

r

V =∂∂

; θθ

cos.. rkV =

∂∂

;

θθθ cos...1

.sen.2

^^

rkrr

krE −−=

−−=⇒

−−=⇒

θθθ

θθθ

cos.2

sen..

cos...1

.sen.2

^^

^^

r

r

rkE

rkrr

rkrE

;

my 303,0=⇒

−−=⇒ θθθ

cos.2

sen.. ^^

r

r

rkE

Page 32: Eletromagnetismo - Joseph a. Edminister Volume 1

32

2 Referências para estudo da teoria

2 Referência para estudo da teoria:KRAUS, John D ; CARVER, Keith R. Eletromagnetismo Editora Guanabara Dois, 1978⇒ capítulo 2 (dois)

KRAUS, John D. Eletromagnetics McGraw-Hill International Editions , 1991⇒ capítulo 2 (dois)

Page 33: Eletromagnetismo - Joseph a. Edminister Volume 1

33

CAPÍTULO 3

CAMPO ELETROSTÁTICO - PARTE 2

3.1) Um capacitor foi construído para operar com umacapacitância constante, em meio a uma temperaturaoscilante. O capacitor é do tipo placas paralelas comseparadores de plástico para alinhar as placas.

(a) Mostre que a razão da mudança da capacitância C com

a temperatura T é dada por

−=

dT

dx

xdT

dA

AC

dT

dC 11

onde A é a área da placa e x é a distância entre as placas.(b) Se as placas fossem de alumínio, qual deveria ser o

coeficiente de expansão térmica dos separadores paraque a capacitância não variasse com a temperatura?

(Ignore o efeito dos separadores sobre a capacitância)Fonte:[5]

Page 34: Eletromagnetismo - Joseph a. Edminister Volume 1

34

Sol:Letra (a)

−=−=

=→

−=−

=−

=

=

dT

dx

xdT

dA

AC

dT

dx

x

C

dT

dA

A

C

dT

dC

x

A

x

C

x

AC

dT

dx

x

A

dT

dA

xxdT

dxA

dT

dAx

xdT

xdAx

dT

Ad

dT

dC

x

AC

11

..

..).(

.).(

.

2

222

εε

εεεεεε

ε

Letra (b)

011

0 =

−→=

dT

dx

xdT

dA

AC

dT

dC, mas 0≠C , logo:

dT

dx

x

A

dT

dA

dT

dx

xdT

dA

A=→=

− 0

11, mas

x

AC

x

AC =→=

εε .

,

logo:

como 0.εεε r= , e rε do alumínio é grande,então dT

dA diminui

3.2) Um capacitor tem placas quadradas de lados iguais a,que fazem entre si um ângulo. Mostre que para pequenosvalores de, a capacitância é dada por:

Page 35: Eletromagnetismo - Joseph a. Edminister Volume 1

35

−=

d

a

d

aC

21

20 θε

Sugestão: O capacitor pode ser dividido em tiras muito finasque estão efetivamente em paralelo. Fonte:[5]

Sol:

2aA = ; dy

dAdC

+= 0ε

; dradA .=

θsen.ry = , para pequenos valores de θ, temos θ.ry ≈ :

( ) [ ]ddaa

dra

rd

draC

aaln)ln(.ln

.

.0

0

0

00 −+=

+=

+= ∫ θ

θεθ

θε

θε

+=

d

daaC

θθ

εln

.0

+=

d

aaC

θθ

ε1ln0

; obs.:→ ( ) ...2

11ln 2 +−=+ xxx , isto é,

expandindo em série de potência a função )1ln( x+ , assimtemos:

...2

11ln

2

+

−=

+

d

a

d

a

d

a θθθ,

para pequenos valores deθ , temos que:

−≈

+→

−≈

+

d

a

d

a

d

a

d

a

d

a

d

a θθθθθθ11ln

2

11ln

2

Page 36: Eletromagnetismo - Joseph a. Edminister Volume 1

36

−=→

=

−=

−=→

d

a

d

AC

aA

d

a

d

a

d

a

d

aaC

21

21

21

0

2

200

θε

θεθθθ

ε

3.3) Uma barra isolante “semi-infinita” possui uma cargapor unidade de comprimento, de valor ρL. Mostre que ocampo elétrico, no ponto P, forma um ângulo de 450 com abarra e que este resultado é independente da distância R.Fonte:[5]

Sol:

Fig. Prob. 3-3Fonte:[5]

Page 37: Eletromagnetismo - Joseph a. Edminister Volume 1

37

yx dEdEdE +=

( ) ( )∫∫∞∞

+=

+=⇒=

0 220 22 ...4

sen..sen.

...4sen.

xR

dx

xR

dqEdEdE L

x επθρθ

επθ

chamando θθθ dRdxtgRx .sec. 2=→=

0→x 0→θ∞→x 2/πθ →

( ) R

d

tgRR

dRE LL

x sec....4

sen..sec.

....4

sen..sec.. 2/

0 22

22/

0 222

2

θεπθθθρ

θεπθθθρ ππ

==+

= ∫∫

( )RR

LL

...4cos

...42/

0 επρθ

επρ π =−=

( ) ( )∫∫∞∞

+=

+=⇒=

0 220 22 ...4

cos..cos.

...4cos.

xR

dx

xR

dqEdEdE L

y επθρθ

επθ

chamando θθθ dRdxtgRx .sec. 2=→=

0→x 0→θ∞→x 2/πθ →

( ) R

d

tgRR

dRE LL

y sec....4

cos..sec.

....4

cos..sec.. 2/

0 22

22/

0 222

2

θεπθθθρ

θεπθθθρ ππ

==+

= ∫∫

( )RR

LL

...4sen

...42/

0 επρθ

επρ π ==

1

...4

...4 ===

R

RE

Etg

L

L

y

x

επρεπ

ρ

θ [ ]

411 1 πθθ ==→= −tgtg

Page 38: Eletromagnetismo - Joseph a. Edminister Volume 1

38

4

πθ =tg rad, ou 045=θtg

3.4) Uma barra isolante, de comprimento L, tem uma carga–q distribuída uniformemente ao longo de sua extensão,como mostra a figura.(a) Qual é a densidade linear de carga da barra?(b) Qual é o campo elétrico no ponto P a uma distância “a”

da extremidade da barra?(c) Se P estivesse muito longe da barra em comparação com

L, ela se comportaria como uma carga pontual? Mostreque a sua resposta, para o item (b) reduz-se ao campoelétrico de uma carga pontual, para a>l.

Fonte:[5]

Fig. Prob. 3-4.Fonte:[5]

Sol:

Letra (a)

L

qLqdldqdldq LL

L

L

q

L =→=→=→= ∫∫ ρρρρ ...00

Letra (b)

+−=

+==→= ∫∫ LL

LL

L

alal

dl

r

dqE

r

dqdE 00 20 22

1

..4)(..4....4...4 επρ

επρ

επεπq

Page 39: Eletromagnetismo - Joseph a. Edminister Volume 1

39

)(...4

.

aLa

LE L

+=⇒

επρ

, mas Lq L.ρ= , logo:

).(...4 aLa

qE

+=→

επ

Letra (c)

Para a>l, implica que l→0 vamos aplicar isto como limite

em ).(...4 aLa

qE

+=

επ

=→ EL 0lim =+→ ).(...4

lim 0 aLa

qL επ 2....4 a

q

επ

então 2....4 a

qE

επ= , para La >> ; logo reduz-se ao campo

elétrico de uma carga pontual

3.5) Uma barra de vidro fino é encurvada num semicírculode raio R. Uma carga +q está distribuída uniformemente aolongo da metade superior, e uma carga –q, distribuídauniformemente ao longo da metade inferior, como mostraa figura. Determine o campo elétrico no ponto P que estáno centro do semicírculo.Fonte:[5]

Fig. Prob. 3-5Fonte:[5]

Page 40: Eletromagnetismo - Joseph a. Edminister Volume 1

40

Sol:

2...4

coscos

r

dldEdE L

y επθρθ ==

∫∫ ==22

.cos.

..4

cos.

..4 R

dR

R

dlE LL

y

θθεπ

ρθεπ

ρ

( ( )

RE

RRd

RE

Ly

LLLy

...2

2...4

sen...4

.cos...4

2/2/3

2/

2/3

επρ

επρθ

επρθθ

επρ π

π

π

π

=

=== ∫

temos que R

q

l

qL .π

ρ ==→

22 ...2 R

qEy επ

=⇒

3.6)

(a) Um disco circular de raio R tem uma densidadesuperficial uniforme de carga ρS. Determine o campoelétrico de um ponto sobre o eixo do disco a umadistância z do plano de disco.

(b) Um cilindro reto, de raio R e altura L, está orientado aolongo do eixo z. Possui uma densidade volumétrica de

carga ( ) zz .0 βρρ += , em relação a uma origem nocentro do cilindro. Determine a força sobre uma cargaq situada no centro do cilindro. Fonte:[7]

Page 41: Eletromagnetismo - Joseph a. Edminister Volume 1

41

Sol:

Letra (a)

( ) ( )( )

+−=−==

+=

+==

∫∫∫

220

0 220 222

12

cos1.2

.sen2

cos..

.2...4

cos.....2

.4

cos.

Rz

zdE

az

daa

az

daa

r

dqE

SSS

RS

RS

ερθ

ερθθ

ερ

θε

ρεπ

θρππε

θ

θ

Obs.: Utilizamos as relações abaixo:

22sen

Rz

a

+=θ ; 22

cosRz

z

+=θ ;

z

atg =θ

θ

θθθ

2222

2

sec

.sec

zaz

dzdaztga

=+

=⇒=

e aplicando técnicas de resoluções de integrais trigonomé-tricas temos que:

( ) ∫∫ ==+

θ

θθθθθθ

0 22

2

0 22 sec.

cos..sec...cos..

z

dsztgz

az

daaR

∫ ∫==θ θ

θθθθθ0 0

.sen.cos. ddtg

( ) ∫∫ =+

⇒θ

θθθ00 22

.sencos..

daz

daaR

Page 42: Eletromagnetismo - Joseph a. Edminister Volume 1

42

Letra (b)

+−=

221

2 Rz

zE S

ερ

;

+−=⇒

221

.2 Rz

zddE S

ερ

A

qS =ρ ; z

R

zR

A

VVq

V

qS .

.

....

2

2

ρπ

ρπρρρρ ===⇒=→=

dzd S .ρρ =⇒

+−=⇒

221

.2

.

Rz

zdzdE

ερ

; ( ) zz .0 βρρ +=

( )

+−+=⇒

22

0 1.2

..

Rz

zdzzdE

εβρ

( )dz

Rz

zzE

+−+=⇒ ∫ 22

0 1.2

..

εβρ

+−+

+−= ∫ ∫ ∫∫

2/

0

2/

0

2/

0 22

2

22

02/

0 0

....

.2

1 l l ll

Rz

dzzdzz

Rz

zdzdzE

ββρρε

22

22

.Rz

Rz

dzz +=+∫

∫ + 22

2.

Rz

dzz, vamos fazer substituições trigonométricas

(z=R.tgθ);e chegamos em:

R

z

R

RzRRzz

Rz

dzz ++−+=+∫

22222

22

2

ln22

.

Page 43: Eletromagnetismo - Joseph a. Edminister Volume 1

43

fazendo 00 =ρ ; implica em:

++−

+−=

2

222

2

.41

.2ln.

422.2 R

l

R

lRR

lllE

εβ

++−+−+++−=

R

l

R

lRR

lllRR

llE

.21

.4ln

2448..

4.

2

.12

222

22

02

2

00 ββρρρ

ε

3.7) O potencial para um ponto axial de um disco carregado

é ( )zRzV S −+= 22

2ερ

Mostre que E para pontos axiais é dado por

+−=

221

2 Rz

zE S

ερ

Fonte:[5]

Sol:

( )

+−=

−+

∂∂−=

∂∂−=∇−=

12

.2

2

.2

22

22

Rz

zE

zRzzz

VVE

S

S

ερ

ερ

+−=

221

.2 Rz

zE S

ερ

Page 44: Eletromagnetismo - Joseph a. Edminister Volume 1

44

3.8) Uma carga q está distribuída uniformemente num anelquadrado de lado l. Determinar E e V no centro do anel.Fonte:[1]

Sol:

Fig. Prob. 3-8a

∫=r

dqV

επ..4

1, da figura acima vemos que pelo teorema

de Pitágoras temos:

22

2

+= l

xr

=

+

=

+

=⇒−∫∫ 2

22

22

2

2

..4

2

..

..4

1 l

l

lx

dx

lx

dxV

επλλ

επ

Page 45: Eletromagnetismo - Joseph a. Edminister Volume 1

45

++=

+

2

2

2

2

2ln

..4

l

l

lxx

επλ

+−−

+=⇒ 2

22ln2

22ln

..4

llllV

επλ

=

+−

+=

+−

+=⇒

21

21ln

..4222

222ln

..4 επλ

επλ

ll

ll

V

−+=

12

12ln.

..4 επλ

l

q=→ λ;

−+=⇒

12

12ln.

...4 l

qV

επ

Como o campo elétrico é um vetor observamos que no cen-tro do quadrado ele se anula devido à simetria da figura

Page 46: Eletromagnetismo - Joseph a. Edminister Volume 1

46

Fig. Prob. 3-8b

3.9) Distribuímos sobre uma barra fina uma carga por unidadede comprimento dada por ρL=kx, k é uma constante. A barratem um comprimento L contido no eixo dos x com uma desuas extremidades na origem (x=0), conforme indica a figura.(a) considerando o potencial no infinito igual a zero, calcu-

le o valor de V no ponto P sobre o eixo dos y(b) Determine o componente vertical Ey, da intensidade do

campo elétrico(c) Porque não podemos calcular o componente horizon-

tal (Ex) do campo elétrico em P usando o resultado doitem (a)? Fonte:[5]

Fig. Prob. 3-9Fonte:[5]

Page 47: Eletromagnetismo - Joseph a. Edminister Volume 1

47

Sol:

22 yxr += ; dxxkdxdq L ... == ρ

Letra (a)

[ ]LLLyx

k

yx

dxxk

yx

dqV 0

22

0 220 22 ..4

.

..4...4+=

+=

+= ∫∫ επεπεπ

( )yyLk

V −+= 22

..4 επ

Letra (b)

( )

+−=

+−=

−+

∂∂−=

∂∂−=

22

22

22

1..4

12

.2

..4..4

yL

ykE

yL

ykyyL

k

yy

VE

y

y

επ

επεπ

Letra (c)

Porque o cálculo foi feito em função de y, não aparecendo avariável x, observe que teríamos assim:

x

VEx ∂

∂−=

, como V é função de y , temos: 0)( =

∂∂−=

x

yVEx

3.10) Seja ρL a carga por unidade de comprimento distribu-ída uniformemente ao longo de um segmento de reta decomprimento L.

Page 48: Eletromagnetismo - Joseph a. Edminister Volume 1

48

(a) Determine o potencial (escolhido como sendo zero noinfinito) num ponto P, afastado por uma distância y deuma das extremidades do segmento carregado e situa-do sobre seu prolongamento (Veja figura).

(b) Use o resultado do item (a) para calcular o componentedo campo elétrico em P na direção y (ao longo do seg-mento de reta).

(c) Determine o componente do campo elétrico em P numadireção perpendicular ao segmento de reta. Fonte:[5]

Fig. Prob. 3-10Fonte:[5]

Sol:

Letra (a)

=+

==→= ∫∫ yl

dl

r

dqV

r

dqdV

LL

L

)(..4....4...4 00 επρ

επεπ

( )[ ]

+=−+=

L

yLyyLV LL ln

..4lnln

..4 επρ

επρ

( )( += yl LL ln..4 0επ

ρ

Page 49: Eletromagnetismo - Joseph a. Edminister Volume 1

49

Letra (b)

).(...4

.1

..4

ln..4

.

2 yLy

L

y

L

y

yLE

y

yL

LL

VE

LL

L

+=

+−=

+∂∂−=

∂∂−=

επρ

επρ

επρ

Letra (c)

090cos. 0 == EEx

31 Referências para estudo da teoria

3 Referência para estudo da teoria:KRAUS, John D ; CARVER, Keith R. Eletromagnetismo Editora Guanabara Dois, 1978.⇒ capítulo 3 (três)

KRAUS, John D. Eletromagnetics McGraw-Hill International Editions, 1991⇒ capítulo 4 (quatro)

Page 50: Eletromagnetismo - Joseph a. Edminister Volume 1

50

Page 51: Eletromagnetismo - Joseph a. Edminister Volume 1

51

CAPÍTULO 4

CORRENTE ELÉTRICA ESTACIONÁRIA

4.1) Se ^

3yzxJ =

2/ mA , ache a corrente I através de um

quadrado de 2m de lado com um dos vértices na origem eoutros em )0,2,0( ; )2,0,0( e )2,2,0(Fonte:[1]

Sol:

∫∫ ∫ ∫∫∫ =

==

2

0

2

0

^^

..3..3. dzdyyzdzdyxyzxsdJI

AI 12=⇒

4.2) Um resistor tem a forma de um tronco de cone circularreto, como é mostrado na figura. Os raios das bases são a eb, e a altura é L. Se a inclinação for suficientemente pequena,podemos supor que a densidade de corrente seja uniformeatravés de qualquer seção transversal.

(a) Calcule a resistência deste sistema

Page 52: Eletromagnetismo - Joseph a. Edminister Volume 1

52

Fig. Prob. 4-2Fonte:[5]

(b)Mostre que o resultado de (a) se reduz a A

Lρ , quando

ba =Fonte:[5]

Sol:

(a)

2y

dldR

πρ= ; θθ sen.)(

)(sen lay

l

ay =−→−= , mas para

pequenos valores de θ, temos que:

θ.)( lay ≈−

Page 53: Eletromagnetismo - Joseph a. Edminister Volume 1

53

θθ dy

dldldy =→= .

θπρ dy

ydR .

. 2=

2. y

dydR

θπρ=

−=→

−== ∫ ab

abR

yy

dyR

b

a

b

a πθρ

πθρ

πθρ 1

2 ; θlay =−

pra by = , temos:

θθ ab

LLab−=→=−

logo: ab

L

ab

abR

πρ

θπρ .1 =

−=

(b)

fazendo-se ba = , A

L

b

L

bb

LR

.

...

.2

ρπρ

πρ ===

4.3) Uma arruela lisa de espessura t tem raio interno r e raioexterno r2. Sendo a condutividade σ , determine a resistência(a) Entre as bordas interna e externa(b) Entre as superfícies planas, e(c) Ao longo da arruela (idêntica a resistência entre as

bordas de um corte de espessura infinitesimal na direçãoradial).

Fonte:[1]

Page 54: Eletromagnetismo - Joseph a. Edminister Volume 1

54

Sol:

(a)

1

2ln.

1.

.

1

....2.

.2

.

2

1 r

r

tr

rd

tR

tr

dr

tr

dr

A

dldR

r

r σσσπσπ

σ==⇒=== ∫

(b)

( )21

22

2 2

122

...2.. rr

t

r

tR

drr

t

A

tdR

r

r

−==⇒==

σππσπσσ

(c)

1

2ln..

2

.

2

..

..22

1 r

rt

r

drt

Rdrt

rdR

r

π

σ

πσ

π ==⇒=∫

4.4) Um longo fio de cobre de raio r é esticado paralelamentea uma placa infinita de cobre e a uma distância h desta. Aregião que está acima da placa e circundando o fio épreenchida com um meio de condutividade σ . Demonstreque a resistência elétrica entre os dois eletrodos de cobre,por unidade de comprimento do fio, é dada por

r

hlR 1cosh

2−=

πσFonte:[7]

Sol:

lr

dx

A

dxdR

....2.. πσσ==

Page 55: Eletromagnetismo - Joseph a. Edminister Volume 1

55

mas 22 rxl −= , logo: rxlhxl

→⇒→→⇒∞→

0

[ ]r

h

rr

h

rR 1cosh

...2

11coshcosh

...2

1 −=

−=

σπσπ

r

h

rR 1cosh

...2

1 −=⇒σπ (Ω)

4.5) Em geral, cargas superficiais estão presentes na fronteira

entre 2 condutores (condutividades 1σ e 2σ , e permissivida-

de 1ε e 2ε , respectivamente) por onde flui uma corrente.

Mostre que a densidade superficial de carga Sρ é dada por

−=

2

2

1

1

σε

σερ nS J

Fonte:[1]

Sol:

Em uma fronteira entre 2 condutores temos que:

nnn JJJ ==21

Para campos eletrostáticos, temos que:

=

−=⇒

−= −∫ h

r

h

r r

x

rrx

dx

rR

rxr

dxdR 1

2222cosh

...2

1

....2

1

....2 σπσπσπq

Page 56: Eletromagnetismo - Joseph a. Edminister Volume 1

56

Componente Relação de Fronteira Condiçãodo campo

Tangencial21 tt EE = (1) 2 meios quaisquer

Normal Snn DD ρ=−21

(2) 2 meios quaisquer

com carga na fronteira

Para campos eletrostáticos não se tem uma situaçãoespecífica para 2 meios condutores, então:

212121.. 21 nnnnSSnn EEDDDD εερρ −=−=⇒=−

σσ J

EEJ

=⇒= . ,

logo 2

2

1

1 21..

σε

σε

ρ nnS

JJ−= ; mas nnn JJJ ==

21, então

−=−=

2

2

1

1

2

2

1

1 ..

σε

σε

σε

σερ n

nnS J

JJ

4.6) A lei da conservação de carga, que relaciona a densidadevolumétrica em qualquer ponto no espaço com a densidadede corrente nas vizinhanças desse ponto, é dada por

0. =∇+∂∂

Jt

ρ.

Como você justifica a relação acima? Explique? (fisicamente)porque a soma é igual a zero.

Page 57: Eletromagnetismo - Joseph a. Edminister Volume 1

57

Sol:

⇒=∇+∂∂

0.Jt

ρ 0).( =∇+∂∂

∫∫ dVJdVt VV

ρ

Aplicando o teorema da Divergência, temos:

∫∫ =∇SV

sdJdVJ

.).(

∫ ∫ =+∂∂⇒

V S

sdJdVt

0.

ρ fluxo da densidade de corrente

sobre a superfície S que envolve o volume V

Se ∫ >S

sdJ 0.

existe fluxo líquido de carga para fora 0<∂∂

t

q,

ou seja diminui a densidade de carga da região.

Se ∫ <S

sdJ 0.

existe fluxo líquido de carga para dentro

0>∂∂

t

q, ou seja aumenta a densidade de carga da região.

A soma deve ser igual a zero para que uma compense aoutra, ou seja,

∫ ∫−=∂∂⇒

V S

sdJdVt

.ρ ,

daí vem a lei dos nós para os casos dos circuitos a parâmetrosconcentrados, uma particularidade da teoria de campos “O somatório das correntes que entram num nó é igual aosomatório das correntes que saem”.

Page 58: Eletromagnetismo - Joseph a. Edminister Volume 1

58

4.7) Em que situação a equação da continuidade t

J∂∂−=∇ ρ

.

passa a ser escrita como 0. =∇ J

? Justifique.

Sol:

teconst

tan0 =⇒=∂∂⇒ ρρ

,

ou seja, se a densidade volumétrica de carga não varia, acarga não varia, logo não existe corrente I →J também nãoexiste pois:

∫∫=S

sdJI

Observe que

∂∂=

∂∂=

∂∂⇒

t

q

dV

d

dV

dq

tt

ρ, o que implica

que se varia a densidade volumétrica de carga ρ , varia acarga q .

4 Referências para estudo da teoria

4 Referência para estudo da teoria:KRAUS, John D ; CARVER, Keith R. Eletromagnetismo Editora Guanabara Dois, 1978.⇒ capítulo 4 (quatro)

KRAUS, John D. Eletromagnetics McGraw-Hill International Editions, 1991⇒ capítulo 5 (cinco)

Page 59: Eletromagnetismo - Joseph a. Edminister Volume 1

59

CAPÍTULO 5

EXERCÍCIOS RESOLVIDOSCAMPO MAGNETOSTÁTICO DE

CORRENTES ELÉTRICAS ESTACIONÁRIAS

5.1) Dois condutores retos, longos e paralelos conduzem10A. Se os condutores estiverem separados de 20mm umdo outro, qual é a força por metro de comprimento sobreum condutor, se as correntes fluírem (a) em sentidos opostose (b) no mesmo sentido? Fonte:[1]

Sol:

R

II

l

F

R

IIF

..2

'

..2

'.. 00

πµ

πµ =⇒=⇒

Dados:

mmR

F

AI

20

?

10

===

mmNl

F/100=⇒

a) Sentido oposto (repulsiva); b) mesmo sentido (atrativa).

Page 60: Eletromagnetismo - Joseph a. Edminister Volume 1

60

5.2) Um condutor reto e longo com uma corrente de 10Acoincide com o eixo-z. A corrente flui no sentido positivo de z.

Se 43^^

yxB +=

(T), ache o vetor força F

por comprimento

do condutor. Fonte:[1]

Sol:

Fig.Prob. 5-2^

10 zI =

43^^

yxB +=

^^^^

^^^

30404030

)43()10()()(

yxxydl

Fd

yxxzBxIdl

FddlBxIFd

+−=−=

+==⇒=

^^

3040 yxdl

Fd +−=

(N/m)

Page 61: Eletromagnetismo - Joseph a. Edminister Volume 1

61

5.3) (a) Se ( ) ( )2.sen.2.sen6^

yxzB ππ=

(T); ache o fluxomagnético total sobre uma área quadrada com 2m de lado,com as bordas coincidindo com os eixos positivos x e y eum canto na origem.

(b) Se

= rkzB .

^

(T), qual é o fluxo magnético através de

um circulo de raio 0r ? Fonte:[1]

Sol:

Fig. Prob. 5-3a

Letra (a)

2

0

2

0

2

0

2

0

^^

)2/.sen(.)2/.sen(.6

.).2/.sen()2/.sen(6

)2/.sen()2/.sen(6.

ππψ

ππψ

ππψ

=

=

==

∫∫

∫ ∫

∫∫ ∫∫

dyydxx

dydxyx

dszyxzsdB

m

m

A R

m

Page 62: Eletromagnetismo - Joseph a. Edminister Volume 1

62

2

0

2

0

6)2/.cos(.2

.)2/.cos(.2

.6 ππ

ππ

ψ =

−= yxm

2

96)2(

2).2(

26

πππ==

2

96

πψ =m (Wb) ou 73,9≅mψ (Wb)

Letra (b)

Fig. Prob. 5-3b

∫∫=A

m sdB

.ψ ; 02

000

^

0

^

...... rkrr

kds

r

kdsz

r

kzsdB

A

m ππψ ===== ∫∫∫∫∫∫

5.4) Se ^

. zBB =

(T), qual é o fluxo magnético através de umaelipse ?

Onde : axialrazãoa

be

...

1==

b = semi-eixo menora = semi-eixo maior

focoaoelipsedacentrododistânciaar ...................−=

Page 63: Eletromagnetismo - Joseph a. Edminister Volume 1

63

obs.: considere densidade de campo magnético B uniformesobre a superfície.

Sol:

Fonte: [15]

∫∫∫∫∫∫∫∫ ==== θρψ ddJBdydxBdsBsdBm ...

ρθρθρ

θρθρ

ρ

ρ

θ

θ

abababJ

by

ax

x

y

x

y−=−−==

==

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

22 cossen

sen..

cos.

θρ

θρθ

cos

sen

ax

ax

=∂∂

−=∂∂

θρ

θρθ

sen

cos

by

by

=∂∂

=∂∂

Page 64: Eletromagnetismo - Joseph a. Edminister Volume 1

64

ππψ

θρψ

θρρψ

θρρψ

π

π

....2.2

1...

.2

...

.....

..

.2

0

1

0

1

0

.2

0

baBbaB

baB

ddbaB

ddabB

m

m

m

m

==

=

=

=

∫ ∫

∫∫

5.5) Mostre que um condutor com corrente I e comprimento lsituado no eixo-z entre os pontos z1 e z2 tem uma densidade defluxo B

para uma distância R (para todo ânguloξ ) dada por

+−

+=

21

2

1

22

2

20

..4

.

zR

z

zR

z

R

IB

πµ

(T)

Observe que se o centro do condutor é simétrico com a

origem ( 21 zz =− ) e se lR >> , 20

..4

..

R

lIB

πµ= .Fonte:[1]

Sol:

Vamos primeiro determinar a densidade de fluxo B

, numponto P, distante z do eixo de um círculo de raio R,determina-se o campo num ponto P ao longo do eixo doanel; depois varre-se de um ponto P1, distante z1, até umponto P2, distante z2.

Page 65: Eletromagnetismo - Joseph a. Edminister Volume 1

65

Fig. Prob. 5-5Fonte:[1]

Temos que B

é dado por 20

..4

sen.

r

IdlBd

πθµ=

A componente na direção do eixo-z é dada por

r

RdBdBdBz == ξcos

22

0 .,90

zRr

dRdl

+=

== φθ2222

0 .)..(.4

..

zR

R

zR

dRIdBz

++=⇒

πφµ

φπ

µd

zR

IRdBz 2/322

20

).(.4

.

+= , observe que o elemento normal

ndB , se anula pela simetria circular ao longo da variação

deφ de 0 a π.2 , logo:

Page 66: Eletromagnetismo - Joseph a. Edminister Volume 1

66

( ) 2/322

20

2/322

20

2

..

).(.4

..

zR

RI

zR

RIBB z

+=

+== µ

πµ

, este é o valor de B

em um ponto P, qualquer distante z o eixo do círculo.

Vamos agora varrê-lo ao longo do eixo-z, de z1 a z2.

Pela análise dimensional vamos dividir pelo comprimentol, para que a unidade permaneça em T, e não se modifiquepara T/m, então teremos:

dzzRl

RI

l

dz

zR

RIdB

2/322

20

.2/322

20

).(.2

..

)(2

.

+=

+= µµ

.φRddl = ∫=π

φ.2

0

dRl Rl ..2π=⇒ ,

logo:

+−

+=

21

2

1

22

2

20

..4

.

zR

z

zR

z

R

IB

πµ

para lR >> e zzz ==− 21

+

=

+=

2

0

22

0

1

2

..4

.2

..4

.

z

RR

I

zR

z

R

IB

πµ

πµ

+−

+=

+= ∫ 2

122

1

22

22

22

02/322

20

2

..

)(2

.. 2

1zRR

z

zRR

z

l

RI

zR

dz

l

RIB

z

z

µµ

Page 67: Eletromagnetismo - Joseph a. Edminister Volume 1

67

lz → , para lR >> . Desprezamos o fator de 2, temos:

R

l

R

I

R

z

R

IB .

.4

.

..4

. 0

2

0

πµ

πµ =

20

.4

..

R

lIB

πµ≅

5.6)Um fio de forma parabólica conduz uma corrente I. Ache

a densidade de fluxo magnético B

no foco. Fonte:[1]

Fig. Prob. 5-6aFonte:[8]

Sol:

1a Sol: (solução aproximada)

Page 68: Eletromagnetismo - Joseph a. Edminister Volume 1

68

Fig. Prob. 5-6b

Temos que B

é dado por 20

..4

sen.

r

IdlBd

πθµ=

,

Para elementos infinitesimais, temos:

Fig. Prob. 5-6cFonte: [8]

Page 69: Eletromagnetismo - Joseph a. Edminister Volume 1

69

Da figura temos: φddrdl .=

20

..4

..

r

dIdrBd

πφµ=

∫ ∫∫ ∫ =

==

∞−∞− ππφ

πµ

πφµ

0 20

0 20

.4

.

.4

..00

dr

drI

r

dIdrB

rr

∫∫ =

−=

∞− ππφ

πµφ

πµ

00

0

0

0

..4

.1

.4

.

0

dr

Id

r

I

r

0

0

0

0

.4

..

..4

.

r

I

r

IB

µππ

µ == , lembrando que 0r é a distância focal,

e I a corrente que circula no fio.

2a Sol: (solução aproximada)

Utilizando a equação (7), página 225, da Referência:Kraus, John D. EletromagneticsMcGraw-Hill International Editions, 1991

Temos que: ∫= 2

10

0

..4

. θ

θθ

πµ

dr

iB ,logo:

⇒== ∫0

00

00

0

..4

..

..4

.

r

id

r

iB

π

θµθ

πµ

π

π

0

0

0

0

.4

..

..4

.

r

iB

r

iB

µππµ =⇒= ,

lembrando que 0r é a distância focal, e I a corrente quecircula no fio.

Page 70: Eletromagnetismo - Joseph a. Edminister Volume 1

70

3a Sol: (solução completa)

φφφφ

φφ

φφφ

φ

dtgrrdl

dd

drrdl

tgrd

drrr

22

0

22

0

2

2

220

2sec

22sec

2sec

2.

2sec

+

=

+=

=→=

φφdrdl

2sec3

0=

0

0

0

0

420

30

0

20

20

..42

cos..

2sec...4

..

2sec)(

2sec

..4

..4

..

2..4

sen...

r

dI

r

dI

r

drIdB

r

dlIdB

r

dlIdB

π

φφµ

φπ

φµφ

φφ

πµ

πµπθ

πθµ

===

=⇒=→=

5.7)(a) Qual é o torque máximo numa bobina quadrada com200 espiras situadas no campo com densidade de fluxouniforme B=4T? A bobina tem 150mm de lado e conduzuma corrente de 8A.(b) Qual é o momento magnético da bobina?Fonte:[1]

( )

0

0

0

0

0

0

00

0

00

0

).14,3(

.

.

.

0sen2

sen.

.)

2sen2.(2

..4

.

2cos.2

..4

.

r

I

r

IB

r

I

r

Id

r

IB

µπµ

ππµφ

πµφφ

πµ ππ

≅=

=== ∫

Page 71: Eletromagnetismo - Joseph a. Edminister Volume 1

71

Sol:4=B [T]

200=N [espiras]

8=I [A]

150=l [mm]

Letra (a)

144..... 2 =⇒== MM TBlINBAINT [Nm]

Letra (b)

36'....' 2 =⇒== mlINAINm [Am2]

5.8)Calcule a indutância de uma bobina toroidal com núcleode ar, área da seção transversal de 1000mm2 e raio médiode 500mm. O toroide tem um rolamento uniforme de 10.000espiras. Fonte:[1]

Sol:

1000=A mm2

500=r mmN=10000 espiras

mHL

HLr

AN

l

ANL

40

10.4..2

.. 222

=

=⇒== −

πµµ

5.9)Um longo condutor reto de raio r carrega uma correnteI que é coincidente com o eixo z. Encontre o campomagnético na parte de dentro do condutor.

Page 72: Eletromagnetismo - Joseph a. Edminister Volume 1

72

Sol:

Fig. Prob. 5-9

∫∫= sdJI

.

'. IldHr

=∫

r

IHIrH

..2

''..2.

ππ φφ =⇒=⇒

A densidade de corrente é a mesma em qualquer Rr ≤ ,

pois para 0=→> JRr

Ids

dJsdJI

A

=⇒= ∫∫

.

2

2

22

.'

..

'

R

rII

R

I

r

I =→=ππ

2

22

..2

.

..2

/.

..2

'

R

rI

r

RrI

r

IH

πππφ ===

como φφ HH .^

=2

^

..2

..

R

rIH

πφ=⇒

Page 73: Eletromagnetismo - Joseph a. Edminister Volume 1

73

5.10) Se 2^^

2^

2 xzyzyxxF −+=

, ache Fx

∇ e o caminho de

Fx

∇ Fonte:[1]

Sol:

5.11) Calcule a intensidade de campo magnético devido aum condutor reto e infinitamente longo, percorrido por umacorrente I ampères, em um ponto afastado r metros docondutor.

Sol:

IldH =∫

. IrH == ..2. πϕ our

IH

..2 πϕ = [A/m]

5.12) Uma espira retangular é colocada no campo docondutor do problema 5.11 como mostra a figura abaixo.Qual é o fluxo total enlaçando a espira?Fonte:[1]

xyyxxz

zyy

x

xFx

zy

x

x

zyy

z

x

x

xx

z

zy

y

xFx

2.2)..2()(

)()..2()()(.

)..2()(

^^^^2

^2^22^2

+−=∂

∂−∂

∂=∇

∂−∂

∂+

∂−∂

∂+

∂+∂

∂−=∇

Page 74: Eletromagnetismo - Joseph a. Edminister Volume 1

74

Fig. Prob. 5-12Fonte:[1]

Sol:

r

IHB

..2

..

πµµ ϕϕ == [T]

∫=

==

2

1.2

...2

...

r

rm

m

r

drlIr

drlIdsBd

πµψ

πµψ ϕ

1

2ln.2

..

r

rlIm π

µψ = [Wb]

5.13) Considere o circuito da figura abaixo. Os segmentoscurvos são círculos de raio a e b. Os segmentos retilíneosestão ao longo dos raios. Ache o campo magnético B

em P,considerando uma corrente i no circuito.Fonte:[5]

Page 75: Eletromagnetismo - Joseph a. Edminister Volume 1

75

Fig. Prob. 5-13aFonte:[5]

Sol:

Temos que: 20

..4

sen.

r

dliBd

πθµ=

As seções he e fg indicadas na figura abaixo não contribuem,pois 0sen. =θdl , pois 0=θ .Ao longo do trecho fe, temos:

Fig. Prob. 5-13bFonte:[16]

Page 76: Eletromagnetismo - Joseph a. Edminister Volume 1

76

a

id

a

i

a

daiB

r

dliB

..4

..

..4

.90sen)...(

.4

.

2,

sen

.4

.

0

0

02

00

2

20

πθµθ

πµθ

πµ

πθθπ

µ

θ=

=

=

=→

=

∫∫

De modo análogo o trecho gh é b

iB

..4

..01 π

θµ= ,

como a>b 21 BB >⇒ . Observe que B1 está apontando parafora e B2 está para dentro; é só ver o sentido da corrente eaplicar a regra da mão direita.

−=−=

ab

iBBB

11

.4

..021 π

θµ, como 21 BB > logo está apon-

tando para fora.

5.14) Um segmento retilíneo de fio, de comprimento L,transporta uma corrente i. Mostre que o campo magnético

B

associado a este segmento, a uma distância R tomadasobre sua mediatriz, é dada em módulo por

22

0

.4..2

.

RL

L

R

iB

+=

πµ

Fonte:[5]

Sol:

Page 77: Eletromagnetismo - Joseph a. Edminister Volume 1

77

Fig. Prob. 5-14Fonte:[16]

20

..4

sen...

r

dlidB

πθµ= , observe que da figura acima tiramos que:

22)sen(

Rx

R

r

R

+==−θπ ,

para 22 .4

.2)sen(

2 RL

RLx

+=−→= θπ

22)cos(

Rx

x

+−=−θπ ,

para 22 .4)cos(

2 RL

LLx

+=−→= θπ

e da figura

θθπ sen)sen( =− & θθπ cos)cos( −=−

Page 78: Eletromagnetismo - Joseph a. Edminister Volume 1

78

22 .4

.2sen

2 RL

RLx

+=→= θ & 22 .4

cos2 RL

LLx

+−=→= θ

( )∫+

− += 2

23

22

0

.4

.. L

L

Rx

dxRiB

πµ

, por simetria temos que:

( ) ].[2..4

..2

0 322

0 ∫+

+=

L

Rx

dxRiB

πµ

chamando

( ) ( ) θθ

θθθθ

θ

333

223

22

2

cos.cos.

.cos.cot.

ecRecRRx

decRdxgRtg

Rx

x

Rtg

==+→

−=→==→=

observe que: θθ

πθθ

=→=

=→=→=

''2

2'0'cot0

Lx

gx

''

'2

20

33

20

cos

2.

.4

..

cos

.cos.'2

..4

..

ec

d

R

Ri

ecR

decRRiB =−=−=

+

∫ ∫ θθ

πµ

θθθ

πµ θ

θ

θπ

22

0 .sen2

..4

..d

R

Ri −=+

∫ θθπ

µ θπ

( )00

2

0 cos2..4

.

2coscos2

..4

.cos(2

..4

..

R

i

R

i

R

iB =

−=−−=

πµπθ

πµθ

πµ θ

π

Page 79: Eletromagnetismo - Joseph a. Edminister Volume 1

79

22

0

4..2

.

RL

L

R

iB

+−=

πµ

o sinal menos indica o sentido de B, logo o módulo de B, é

dado por 22

0

4..2 RL

L

R

iB

+=

πµ

5.15) Ache a densidade de fluxo magnético B no centro deuma espira quadrada com 2m de lado e com uma correntede 3A. Fonte:[5]

Sol:

Fig. Prob. 5-15

Page 80: Eletromagnetismo - Joseph a. Edminister Volume 1

80

22

2

+= L

xr ; 22

2

2sen

+

=L

x

L

θ

.

2

2

2

1.

.4

..

..4

sen...2

2

22

02

0

+

+

==L

x

L

Lx

dxI

r

dlIdB

πµ

πθµ

+

=2

32

2

0

2

..4

2

Lx

dxL

IdB

π

µ

2

022

2

02

02

32

2

0

22

..

2

8..8

..L

L

Lx

L

xLI

Lx

dxLIB

+

=

+

= ∫ πµ

πµ

L

IB

.

..22 0

πµ=⇒ , foi dado que AI 3= e mL 2= , então,

TBTB .7,110.7,1 6 µ=⇒=⇒ −

Page 81: Eletromagnetismo - Joseph a. Edminister Volume 1

81

obs.: 1) Sabe-se que mH /10..4 70

−= πµ 2) O fator de 8 multiplicando a integral, vem do fato de

dividirmos em 8 segmentos de comprimento 2

L.

5.16) O fio mostrado na figura abaixo transporta uma

corrente i. Qual é o campo magnético B

no centro C dosemicírculo produzido por: (a) por cada segmento retilíneode comprimento L; (b) pelo segmento semicircular de raioR e (c) pelo fio inteiro? Fonte:[5]

Fig. Prob. 5-16aFonte:[5]

Sol:

Fig. Prob. 5-16bFonte:[16]

Page 82: Eletromagnetismo - Joseph a. Edminister Volume 1

82

(a) Campo dos segmentos retilíneos

20

1 ..4

sen...

r

dlidB

πθµ= , 00 1 =→= Bθ

(b) Campo do semicírculo

20

2 .4

sen.

R

idldB

πθµ= , 090=θ e R é o raio da circunferência;

logo ππ

µθπ

µθπµ π

...4

.

..4

..

..4

. 0

0

022

02 R

id

R

iBdR

R

idB ==⇒= ∫

R

iB

.4

.02

µ=

(c) Campo no fio inteiro

R

i

R

iBBB

.4

.

.4

.0 00

21

µµ =+=+=

5.17) Mostre que a densidade de fluxo magnético no centro deuma espira de forma circular com uma corrente I é dada por

r

IB

.20µ=

Sol:

drdrdydxdl

r

dlidB

rx

ry

).sen.().sen.(

2..4

sen...

2222cos.

sen.

20

θθθθ

πθπ

θµ

θ

θ=+−=+=→

=⇒=

=

=

drdr ..cossen 22 θθθθ =+=

drdydrdx .cos.;.sen. θθθθ =−=

Page 83: Eletromagnetismo - Joseph a. Edminister Volume 1

83

r

I

r

I

r

I

r

drIB

.2.2.

..4

.(

..4..4

.. 00.2

0

0.2

0 20 µπ

πµθ

πµ

πθµ ππ

==== ∫

5.18) Mostre que a densidade de fluxo magnético no centrodo eixo das coordenadas de uma espira em forma de um"Espiral de Archimedes" com uma corrente I é dada por

+

+−++= G

a

IB

220 1

1)(1ln..4 θ

θθπ

µ

onde

2

0

1lim1

+= →

ii

Gθθ

Sol:

Fig. Prob. 5-18Fonte: [8]

Page 84: Eletromagnetismo - Joseph a. Edminister Volume 1

84

θθ

θθθθ

θθ

dadl

daadd

drrdl

ad

drar

2

2222

2

1+=

+=

+=

=→=

2

20

22

20

20 1

..4.

1..

..4

.

θθθ

πµ

θθθµ

πµ d

a

I

a

daI

r

dlIdB

+=+==

∫+=

θθ

θθ

πµ

0 2

20 1

..4d

a

IB

( )

2

0

220

1lim1

111ln

..4

.

+=

+

+−++=

→i

iG

Ga

IB

θ

θθθ

πµ

θ

5.19) Mostre que a densidade de fluxo magnético no centrodo eixo das coordenadas de uma espira em forma de uma"Espiral Logarítmica" com uma corrente I é dada por

( )θ

πµ ae

a

IB −−

+= 1.

11.

..4

2

0

Page 85: Eletromagnetismo - Joseph a. Edminister Volume 1

85

Sol:

Fig. Prob. 5-19

20

..4

sen.

r

dlIdB

πξµ= , dl→ perpendicular a

r 200

..4

.90

r

dlIdB

πµξ =⇒=⇒

θ.aer = , θ

θaea

d

dr.= , θ

θd

d

drrdl

22

+= ,

θθ θθθ daedldeaedl aaa 2222 1. +=⇒+=

θθ θθθ daedldeaedl aaa 2222 1. +=⇒+=

θπ

µθπ

µ θθθ dae

Idae

e

IdB aa

a202

20 1.

.41.

).(.4+=+= −

∫ −+=θ θ θ

πµ

0

20

.4

1de

aIB a

−+=⇒ −

θθ

πµ

0

20 1

.4

1 aea

aIB

Page 86: Eletromagnetismo - Joseph a. Edminister Volume 1

86

( ) ( )θθ

πµ

πµ aa e

a

Ie

a

aIB .

2

02

0 11

1.4

1..4

1 −− −

+=−+=⇒

( )θ

πµ ae

a

IB −−

+=⇒ 1.

11.

..4

2

0

5.20) Mostre que a densidade de fluxo magnético no centrodo eixo das coordenadas de uma espira em forma de um"Espiral Hiperbólica" com uma corrente I é dada por

++++= 1ln

2

11

2..4220 θθθθ

πµ

a

IB

Sol:

Fig. Prob. 5-20Fonte:[8]

Referências para estudo da teoria5

5Referências: Kraus, John D ; Carver, Keith R. Eletromagnetismo Editora Guanabara Dois, 1978⇒ capítulo 5 (cinco)

Kraus, John D. Eletromagnetics McGraw-Hill International Editions , 1991⇒ capítulo 6 (seis)

Page 87: Eletromagnetismo - Joseph a. Edminister Volume 1

87

CAPÍTULO 6

O CAMPO MAGNETOSTÁTICO DEMATERIAIS FERROMAGNÉTICOS

6.1- Uma agulha magnetizada de momento magnético 20Am2 está situada num campo magnético uniforme de 50µTde densidade de fluxo. Ache o torque máximo na agulha.Fonte:[1]

Sol:

mNmTAmmBIABT 1)50)(20( 2 ==== µ

6.2- Uma barra uniformemente magnetizada com um vo-lume de 0,01 m3 tem um momento magnético de 500 Am2.Se a densidade de fluxo B=50mT na barra, qual será o valorde H na barra?Fonte:[1]

Sol:

MBHMHB

mKAm

Am

v

mM

)(

/5001,0

500

0

00

3

2

−=⇒+=

===

µµµ

Page 88: Eletromagnetismo - Joseph a. Edminister Volume 1

88

mKAmH

mKAmHmTH /10

/10..4

)/50)(/10..4(507

7

−=−= −

ππ

6.3- Uma barra de ferro retangular tem um comprimento

1x e uma área de seção transversal A. A permeabilidade é

uma função de x dada por xx1

010

µµµµ −+= , ache a

permeabilidade da barra. Fonte: [1]

Sol:

ℜ=℘⇒=ℜ

∫∫∫ 1

.

.2

1

S

sdB

ldH

∫∫∫

∫∫∫

∫∫∫

∫∫∫

−+

==

==℘

11

0

1

010

0

2

1

..

.

.

.xx

xx

dx

ds

dx

ds

ldB

sdB

ldH

sdB

µµµµµ

( )[=

−+−

=

−+

=℘∫ 00101

01

1

00101

1 ln)(

11 µµµ

µµµµµxx

xA

xx

dxx

A

xx

( )

−=

0

11

01

ln.µµ

µµ

x

A

Page 89: Eletromagnetismo - Joseph a. Edminister Volume 1

89

6.4- Um anel de ferro tem uma área de seção transversaluniforme de 150mm2 e um raio médio de 200mm. O anel écontínuo exceto por um entreferro de 1mm de largura. Acheo número de espiras necessário no anel para produzir umadensidade de fluxo B=0,5T. Despreze a franja. QuandoB=0,5T no ferro 250=rµ .Fonte:[1]

Sol:

Dados: B=0,5T; Rm=200mm; g=1mm; A=150mm2

).(4,2).(.

)/(04,5.

)/(65,26..

.2

.

0

0

KAespBANIldH

WbMAA

g

WbMAA

gR

A

gl

gf

e

r

mf

=ℜ+ℜ==

==ℜ

=−=−=ℜ

µ

µµπ

µ

6.5-Um eletroimã consiste de um “yoke” de ferro em for-ma de U e de uma barra de ferro como mostra a fig. 6-5.Uma lâmina fina de cobre sobre a barra evita o contato deferro com ferro entre a barra e o “yoke”. Se o fluxo magné-tico através do circuito for 15mWb e área de contato dabarra e do “yoke” for de 0,015m2 por pólo, qual será o pesoque o “yoke” suportará (incluindo o peso da barra)? Des-preze a franja.

Page 90: Eletromagnetismo - Joseph a. Edminister Volume 1

90

Fig. Prob. 6-5Fonte:[1]

Sol:

Dados: mWb15=Φ ; 2015,0 mA =

Tm

mWb

ABABsdB

S

1015,0

15..

2==Φ=⇒==Φ ∫∫

( ) ( )( ) KN

mH

mTABF 97,5

/10..4.2

015,01

.2

.7

22

0

2

=== −πµ

KNFP 94,112 ==

em Kgf, temos que dividir por 9,81

kgfkN

P 5,121781,9

94,11 ==

Page 91: Eletromagnetismo - Joseph a. Edminister Volume 1

91

6.6- (a) Se a área de contato do eletroimã do problema 6.5fosse reduzida a 0,005mm2, afunilando-se as seções do“yoke”, qual seria o peso que o “yoke” suportaria? Supo-nha que o fluxo total é o mesmo que antes e despreze afranja. (b) Na prática, o que impede a força de atração au-mentar indefinidamente quando a área é reduzida?

Sol:

Letra (a)

( ) ( )( )KNFP

KNmH

mTABF

Tm

mWb

AB

81,352

9,17/10..4.2

005,03

.2

.

3005,0

15

7

22

0

2

2

==

===

==Φ=

−πµ

em Kgf, temos que dividir por 9,81

KgfKN

P 34,365081,9

81,35 ==

Letra (b)

A impossibilidade de se reduzir a área indefinidamente.

6.7- Um imã de ferro circular de 0,02m2 de área de seção trans-versal e 300mm de raio tem um entreferro de 1mm e umenrolamento de 1200 espiras. Se a corrente através da bobinafor de 6 A, qual será a força que tenderá a fechar o entreferro?Considere 1000=rµ para o ferro e despreze a franja.

Page 92: Eletromagnetismo - Joseph a. Edminister Volume 1

92

Sol:

Fig. Prob. 6-7Fonte:[1]

Sabe-se que mH /10..4 70

−= πµ

Dados:

mmg 1= ; mmR 300= ; 202,0 mA = ; 1000=rµ ; 1200=N

espiras; Ai 6=

( )gf

gfmm

iNiN

ℜ+ℜ=Φ⇒ℜ+ℜΦ==ℑ .

.

Page 93: Eletromagnetismo - Joseph a. Edminister Volume 1

93

( ) ( )

WbKAA

g

WbKAA

gR

A

gl

g

rf

/79,39.

/96,74..

..2

.

0

0

==ℜ

=−=−=ℜ

µ

µµπ

µ

TA

BmWbiN

gf

14,375,62. =Φ=⇒=ℜ+ℜ

=Φ⇒

KNAB

F 3,78.2

.

0

2

==µ

6.8- Um circuito magnético cujos braços são de aço fundido.

Esta assim distribuído, a parte 1 tem cml 341 = e 21 6cmS = ;

a parte 2 tem cml 162 = e 22 4cmS = . Calcule a corrente 1I ,

supondo AI 5,02 = , 2001 =N espiras, 1002 =N espiras e

Wbµ120=Φ .Fonte:[4]

Sol:

Dados: cml 341 = ; 21 6cmS = ; cml 162 = ; 2

2 4cmS = ;

AI 5,02 = ; 2001 =N ; 1002 =N & Wbµ120=Φ .

TS

B

TS

BSBsdBS

3,0

4,0..

22

1111

=Φ=

=Φ=⇒==Φ ∫∫

Page 94: Eletromagnetismo - Joseph a. Edminister Volume 1

94

Consultando a curva de magnetização*, temos que:

mAH

mAH

/180

/145

2

1

==

22112211221121 ...... lHlHININlHlH +=−⇒+=ℑ−ℑ

AN

INlHlHI 65,0

...

1

2222111 =++=⇒

6 Referências para estudo da teoria.

* Ver a curva de magnetização pág. 164, fig. 11-13 do livro:EDMINISTER, Joseph A. Eletromagnetismo.

6 Referências para estudo da teoria:KRAUS, John D; CARVER, Keith R. Eletromagnetismo. Editora Guanabara Dois, 1978.⇒ capítulo 6 (seis)

EDMINISTER, Joseph A. Eletromagnetismo. Editora McGraw-Hill do Brasil, 1980.⇒ capítulo 11 (onze)

Page 95: Eletromagnetismo - Joseph a. Edminister Volume 1

95

CAPÍTULO 7

EQUAÇÃO DE LAPLACE

7.1) Encontre a função potencial na região entre os discoscirculares paralelos . Despreze espraiamento.Fonte:[4]

Sol:

O potencial é função de z, ou seja “ )(zV ”, logo:

BzAVdzAdV

Adz

dVdz

dz

dVd

dz

dV

dz

d

dz

VdV

+=→=→

=→=

=

→=→=∇

∫∫

∫∫..

.0

0002

22

7.2) Calcule a função potencial e a intensidade de campoelétrico entre dois cilindros concêntricos circulares retos.Fonte:[4]

Page 96: Eletromagnetismo - Joseph a. Edminister Volume 1

96

Sol:

O potencial é função de r, ou seja “ )(rV ”, logo:

BrAVdrr

AdV

Adr

dVrdr

dr

dVrd

dr

dVr

dr

d

rV

+=→=→

=→=

=

→=∇

∫∫

∫∫

ln

..0.

0.1

02

( ) rr

ArVE

.. −=∇−=

7.3) Em coordenadas cilíndricas, dois planos estão isoladosao longo do eixo z. Despreze espraiamento e encontre a

expressão para E

entre os planos.Fonte:[4]

Sol:

O potencial é função de φ , ou seja “ )(φV ”, logo:

BAVdAdV

Adr

dVrd

d

dVd

d

Vd

d

Vd

rV

+=→=→

=→=

→=→

=→=∇

∫∫

∫∫φφ

φφφ

φ

..

..0.0

01

0

2

2

2

22

Page 97: Eletromagnetismo - Joseph a. Edminister Volume 1

97

BAV += φ. )(V

( ) ( )

φ

φφφφ

φ

.

..11

.

r

AE

BAd

d

rd

dV

rVE

−=

+−=−=∇−=

)/( mV

7.4) Resolva a equação de Laplace para a região compreen-

dida entre dois cones. Em 1θ o potencial vale 1V , e em 2θ é

zero. Os vértices dos cones são isolados em 0=r .Fonte:[4]

Sol:

O potencial é função de θ , ou seja “ )(θV ”, logo:

d

dVd

d

dV

d

d

rV =

→=

→=∇ ∫ .sen0sen

sen.

10

22

θθ

θθ

θθ

Adr

dVd =→=

∫ .sen.0 θθ

BtgAVdA

dV +

=→=→ ∫∫ 2

ln..sen

θθ

θ

pois, chamando 2

θtgz = temos:

2

2

1

1cos

z

z

+−=θ ; 21

2sen

z

z

+=θ ; 21

2

z

dzd

+=θ

Page 98: Eletromagnetismo - Joseph a. Edminister Volume 1

98

BtgABzAz

dzA

z

dz

z

zA

z

dz

z

zA

dA

+

=+=→

++=

++

=

∫∫∫

2lnln

1

2

2

1

1

2

121

sen

.2

2

2

2

θ

θθ

As constantes são encontradas a partir de:

BtgAV +

=

2ln. 1

1

θ; BtgA +

=

2ln.0 2θ

=⇒

2ln

2ln

2ln

2ln

.21

2

1 θθ

θθ

tgtg

tgtgVV

7.5) Um potencial em coordenadas cilíndricas é função de

r e φ , mas não de z. Obtenha as equações diferenciais

separadas para R e φ , onde )().( φΦ= rRV , e resolva-as.A região é sem cargas. Fonte:[4]

Sol:

2

2

2

22

2

2

22

22

.1

..

0...0

φ

φ

d

d

dr

dR

R

r

dr

Rd

R

r

d

d

r

R

dr

dR

rdr

RdV

ΦΦ

−=+⇒

=Φ+Φ+Φ⇒=∇

Page 99: Eletromagnetismo - Joseph a. Edminister Volume 1

99

Como um lado da igualdade só depende de r e o outro só

de φ ; então:

0.

.1

..2

2

2

22

2

22

=−+⇒=+⇒r

Ra

dr

dR

rdr

Rda

dr

dR

R

r

dr

Rd

R

r,

multiplicando ambos os lados da equação por 2r , temos:

0... 22

22 =−+⇒ Ra

dr

dRr

dr

Rdr , que é uma equação de euller,

fazendo a substituição de variável

rter t ln=→= − ;te

rdr

dt −== 1

dr

dt

dr

dR

dt

d

dr

dR

dr

d

dr

Rd

dt

dRe

dr

dt

dt

dR

dr

dR t

=

=→==→ −

2

2

..

( )

−=

+−=→

+=

=→

−−−−

−−−

−−

dt

dR

dt

Rdee

dt

Rde

dt

dRe

dr

Rd

edt

Rde

dt

dR

dt

ede

dt

dRe

dt

d

dr

Rd

tttt

ttt

tt

2

22

2

2

2

2

2

2

2

2

...

.....

0.

0.

0......2

0...

22

2

22

2

22

222

22

22

=−⇒

=−+−⇒

=−

+

−⇒

=−+

−−

Radt

Rd

Radt

dR

dt

dR

dt

Rd

Radt

dRee

dt

dR

dt

Rdee

Radr

dRr

dr

Rdr

tttt

Page 100: Eletromagnetismo - Joseph a. Edminister Volume 1

100

tirando a equação característica, temos:

→=−

=

−=

a

a

a1

2

022λ

λλ

( )( ) ( ) ( ) atat

atattt

eCeCtR

eCeCeCeCtR−

+=

+=+=

21

21.

2.

1 .... 21 λλ

voltando a equação original, por meio de ter = , temos:

( ) aa rCrCrR −+= .. 21

0.1 2

2

22

2

2

=Φ+Φ→=ΦΦ

− ad

da

d

d

φφ

tirando a equação característica, temos:

ia

iaa

.0

.022

±=→±=→=+

λλλ

logo para o caso em que as raízes são complexas, temoscomo solução a equação diferencial :

( ) ( )

( ) φφφ

φφφ φ

.sen..cos.

sen.cos.

43

43.0

aCaC

aCaCe

+=Φ

+=Φ

7.6) O potencial de Coulomb atenuado pela presença dos

demais elétrons r

eqV

r

λ

επ

=0..4

ocorre comumente num

meio condutor . Calcule o campo elétrico e a densidade decarga correspondente. Fonte:[8]

Page 101: Eletromagnetismo - Joseph a. Edminister Volume 1

101

Sol:

Sabemos que: r

r

r

rr

^^

==

; logo, temos:

2

^

0

^

0

..11

..4.

1..

11

..4 r

re

r

q

r

r

re

r

qE

rr

λλ

λεπλεπ−−

+=

+=

2

^

0

..11

..4 r

re

r

qE

r

λ

λεπ−

+=⇒

επερ λ

−=

∇→−=∇

− r

r

eqV

..4. 2

00

2

ρπε

ρ λλ −=

∇+

∇→−=

−− rr

er

er

q.

11

.422

0

( )δπλπ

λ =

−→

− r

err

q...4

.

1

.4 2

r

re

r

qr

re

r

eqE

ree

r

q

r

eqVE

rrr

rrr

..11

..4.

11.

..4

1.

1

..4..4.

02

0

00

λλλ

λλλ

λεπλεπ

επεπ

−−−

−−−

+=

−+

−−=

∇+

−=

∇−=∇−=

Page 102: Eletromagnetismo - Joseph a. Edminister Volume 1

102

( ) ρδλπ

ρ λ =

+−→−=

− r

err

q ....4

1.

2

( ) λ

λδρ

r

er

r−

−=⇒ .

..4

12

pois, ( )rr

δπ..412 −=

∇ . Verificar em (Reitz, Fundamentos

da Teoria Eletromagnética; página 54, eq.2-58)

6 Referências para estudo da teoria

7 Referência para estudo da teoria:KRAUS, John D ; CARVER, Keith R. Eletromagnetismo Editora Guanabara Dois, 1978.⇒ capítulo 7 (sete)

EDMINISTER, Joseph A. Eletromagnetismo. Editora McGraw-Hill d Brasil, 1980.⇒ capítulo 8 (oito)

Page 103: Eletromagnetismo - Joseph a. Edminister Volume 1

103

CAPÍTULO 8

CAMPOS MAGNÉTICOSVARIANDO NO TEMPO

8.1) (a) Um anel de 3 voltas, com 0,5m2 de área, situado noar, tem um campo magnético normal ao plano do anel. Se adensidade de fluxo magnético variar de 5mTs-1, qual é aforça eletromotriz que aparecerá nos terminais do anel? (b)Se a fem nos terminais do anel for de 100mV, qual será ataxa de variação do campo magnético?Fonte:[1]

Sol:

At

Bsd

t

Bv

S

..

..

.

.

∂∂=

∂∂−= ∫

mVmmTvsmTt

BmmA

aletra

5,7)5,1).(5(/5;5,1)5,0).(3(

)(

22 ==⇒=∂∂==

smTm

mV

A

v

t

BA

t

Bv

bletra

/67,665,1

100.

)(

2===

∂∂⇒

∂∂=

Page 104: Eletromagnetismo - Joseph a. Edminister Volume 1

104

8.2) Um pêndulo de fio com uma escova oscila normal a umcampo magnético uniforme de 250mT, como mostra a figura.A velocidade de qualquer ponto do pêndulo a uma distância

r do seu ponto de apoio é dada por ( ) wtRrdwv cos..= , onded é o deslocamento horizontal máximo ou meia amplitude.Se o comprimento R do pêndulo for de 4m, seu período nasuperfície terrestre será aproximadamente 4s

( ) ( ) ( )[ ]2.8,9/.2 −= smRT ms π .

Empregando este valor para o período, determine a fem má-xima que aparece nos terminais se d=100mm. Fonte:[1]

Fig. Prob. 8-2Fonte:[1]

Sol:

( )

RBT

dv

VvT

ddw

R

RdwVwt

R

rdwV

RBVlBVldBxVv

.....2

..2.1...cos...

......

max

maxmax

max

θπ

π

θ

=

===→=

=== ∫

Page 105: Eletromagnetismo - Joseph a. Edminister Volume 1

105

da figura tiramos

=⇒= −

R

d

R

d 1sensen θθ , logo

= −

R

dRB

T

dv 1

max sen.....2 π

8.3) Ache a fem induzida num fio reto que se move per-pendicular a um campo magnético uniforme B com umavelocidade v como na figura. O campo magnético está res-trito ao raio R das peças polares de um imã. Fonte:[1]

Fig. Prob. 8-3aFonte:[1]

Sol:

( ) 22...22... rRBVlBVldBxVv −=== ∫

, pois

Fig. Prob. 8-3bFonte:[1]

Page 106: Eletromagnetismo - Joseph a. Edminister Volume 1

106

de onde temos pelo Teorema de Pitágoras:

22222 rRllrR −=⇒+=

8.4) Um aro condutor com único raio gira perpendicular B(figura). O campo magnético está restrito ao raio R das pe-ças polares de um imã. Um circuito externo faz contato como eixo e o raio de escovas. (a) Se o aro for girado Nrs-1, achea fem induzida no circuito. (b) Se uma corrente I passaratravés do circuito, ache o torque no aro. (c) Se a correntefluir como indicado, o torque será no sentido horário ouanti-horário? Fonte:[1]

Fig. Prob. 8-4aFonte:[1]

Sol:

Letra (a)

( ) lBVldBxVv ... == ∫

RR

l .2

..2 ππ == e RNRwV .. == ; pois ( )sradNw /=

( )VoltRBNRBRNlBVv 2......... ππ ===

Page 107: Eletromagnetismo - Joseph a. Edminister Volume 1

107

Letra (b)

BxmT

= , BAITAIm ... =⇒=

da figura tiramos a área

Fig. Prob. 8.4b

)(...2

1.

2.

22

.

22

2

NmRBIBR

IT

RRRA

==⇒

==

8.5) (a) Um disco fino de cobre de 300mm de diâmetro estásituado com o plano normal a um campo magnético uni-forme e constante B=600mT. Se o disco girar 30rs-1, ache afem desenvolvida nos terminais conectados às escovas comomostra a figura. Uma escova faz contato com o eixo. Estearranjo é chamado de gerador de disco de Faraday. (b) Se ocampo magnético variar com o tempo, como dado porB=B0senwt, onde B0=600mT e w=2πx5 rads-1, ache a femdesenvolvida nos terminais. Fonte:[1]

Page 108: Eletromagnetismo - Joseph a. Edminister Volume 1

108

Fig. Prob. 8-5Fonte:[1]

Sol:

Letra (a)Dados: mmRd 3002 == ; 1.30 −= srw ; mTB 600=

( )

mTB

smRwV

mRR

l

lBVldBxVvfem

600

/5,4.

47,0.2

..2

...

===

===

=== ∫ππ

)(27,1.. VlBVv ==

Letra (b)

Dados: 1.5.2 −= srxw π ; mTB 6000 = onde wtBB sen0=

( ) ( )

)(.10cos.8,1827,1cos......

..sen.....

..

0

0

VtabwtbawBlBVv

bawtBt

lBVsdt

BldBxVv

S

π−=−=

∂∂−=

∂∂−= ∫∫

Page 109: Eletromagnetismo - Joseph a. Edminister Volume 1

109

8.6) Ache a indutância mútua entre um fio longo e umaespira retangular de fio como mostra a figura. Fonte:[1]

Fig. Prob. 8-6Fonte:[1]

Sol:

)(ln.2

..

.2

....

..2

..

,

ln..2

ln.2

...

.

1

2

1

221

1

2212121

2

1

Wbr

rlI

r

drlIdrl

r

IsdB

pois

r

rI

NNM

r

rlI

I

NNsdB

ldH

NNNNM

r

r πµ

πµ

πµ

π

π

==⇒

=⇒

==ℜ

=

∫∫∫∫∫

∫∫∫

e, ∫ =⇒==⇒r

IHIrHldH

...2...2..

ππ ϕϕ

e, r

IHBHB

..2

...

πµµµ ϕϕ ==→=⇒

Page 110: Eletromagnetismo - Joseph a. Edminister Volume 1

110

8.7) Uma barra condutora reta, presa a um peso, estásuspensa por molas metálicas num campo magnético uni-forme B como na figura. O comprimento da barra é de500mm. Ache a corrente I (grandeza e sentido) necessáriapara equilibrar a barra e o peso se B=2T e a massa da barrae do peso for de 5kg.Fonte:[1]

Fig. Prob. 8-7Fonte:[1]

Sol:

( ) ( )lIxBFdlIxBdF .. =→=

lB

gmIlIBmglIBF

gmFF

mgFFmgFF

el

elelel

.

.....

..2

200

=→=→=

==

=→=+−→=∑

( )AlB

gmI 49

.

. ==→

Page 111: Eletromagnetismo - Joseph a. Edminister Volume 1

111

8.8) Levitação magnética. Uma barra condutora estreita comum peso é suspensa por um par de molas em um campomagnético uniforme (como mostra a figura do problema8.9) O comprimento da barra é de 500mm e B=2T. Se I=60A,encontre a máxima massa da barra e do peso que pode fazê-la “boiar” ou levitar. Fonte:[2]

Sol:

( )( )kg

g

lIBm

lIBmglIBFlBxIF

12,6..

.....

==→

=→=→=→

8.9) Ache a densidade de corrente de deslocamento de umcampo magnético no ar dado por

(a) ( )xwtHH y .sen.0 β−= ,

(b) ( ) ( )ywtxHzywtxHxH zx .cos.2sen.sen.2sen.^^

ββ −+−=

Fonte:[1]

Sol:

JHx

→=∇

Jy

H

x

Hz

x

H

z

Hy

z

H

y

Hx xyzxyz

=

∂−∂

∂+

∂∂−

∂∂+

∂−

∂∂

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

. ^^^

Letra (a)

( )( )

( )xtwHzJ

xwtHzJJzx

HJHx y

..cos..

..cos...

.

0

^

0

^^

ββ

ββ

−−=→

−−=→=∂

∂→=∇

Page 112: Eletromagnetismo - Joseph a. Edminister Volume 1

112

Letra (b)

Jy

Hz

x

Hy

y

HxJHx yzz

.

.

.

.

.

. ^^^

=

∂−+

∂∂−+

∂→=∇

( )[ ]ywtxHxJ z .sen.2sen.^

ββ −−=→

( )[ ] ( )[ ]ywtxHzyywtxH xz .cos.2sen...cos.2cos.2^^

βββ −+−−

8 Referências para estudo da teoria

8 Referência para estudo da teoria:KRAUS, John D ; CARVER, Keith R. Eletromagnetismo Editora Guanabara Dois, 1978.⇒ capítulo 8 (oito)

KRAUS, John D. Eletromagnetics McGraw-Hill International Editions, 1991⇒ capítulo 10 (dez)

Page 113: Eletromagnetismo - Joseph a. Edminister Volume 1

113

CAPÍTULO 9

RELAÇÃO ENTRE A TEORIADOS CIRCUITOS E DO CAMPO:

EQUAÇÕES DE MAXWELL

9.1) (a) Partindo da lei de Ampère, obtenha a equação deMaxwell na forma integral baseada nesta lei. (b) Obtenha arelação pontual ou diferencial correspondente, aplicando oTeorema de Stokes. Fonte:[1]

Sol:

Letra (a)

∫ ∫∫

+=+== .).()(.. 000 sd

dt

dqJiiildB deslcond

µµµ

∫ ∫ ∫∫ ==

∂∂→=→= desli

dr

dqsd

t

D

dt

dqsdD

td

dqsdD

..

..

..

∫ ∫∫∫∫ ∫∫

∂∂+=

∂∂+= sd

t

DJsd

t

DsdJldB

..

..

.

... 00 µµ

Page 114: Eletromagnetismo - Joseph a. Edminister Volume 1

114

∫ ∫∫

∫ ∫ ∫∫∫∫

∂∂+=⇒

∂∂+=→

∂∂+=

sdt

DJdlH

sdt

DJld

Bsd

t

DJldB

..

..

..

...

.

..

1

00 µµ

Letra (b)

∫ ∫∫

∂∂+= sd

t

DJdlH

..

..

( )

t

DJHx

sdt

DJsdHx

.

.

..

..

∂∂+=∇⇒

∂∂+=∇∫∫ ∫∫

9.2) (a) Partindo da lei de Faraday, obtenha a equação deMaxwell na forma integral baseada nesta. (b) Obtenha arelação pontual ou diferencial correspondente aplicando oteorema de Stokes. Fonte:[1]

Sol:

Letra (a)

∫∫= sdBm

.ψ , mas dt

dv mψ−= e ∫= ldEv

.

∫ ∫∫∫∫ ∂∂−=→−= sd

t

BldEsdB

dt

dv

.

...

Page 115: Eletromagnetismo - Joseph a. Edminister Volume 1

115

Letra (b)

∫ ∫∫ ∂∂−= sd

t

BldE

.

..

( )

t

BEx

sdt

BsdEx

.

.

.

..

∂∂−=∇

∂∂−=∇∫∫ ∫∫

9.3) (a) Partindo da lei de Gauss para os campos elétricos,obtenha a expressão de Maxwell na forma integral baseadanesta lei. (b) Obtenha a relação pontual ou diferencial cor-respondente. Fonte:[1]

Sol:

Letra (a)

∫ ∫ ∫ =→=→= qsdDqsdEqsdE

.)..(. εε

Letra (b)

ρ

ρρ

=∇⇒

=∇→=→=∫ ∫ ∫∫∫ ∫∫∫∫∫∫D

dvdvDdvsdDqsdD

.

.)..(...

9.4) (a) Partindo da lei de Gauss aplicada aos campos mag-néticos, obtenha a expressão de Maxwell na forma integralbaseada nesta lei. (b) Obtenha a relação pontual ou diferen-cial correspondente. Fonte:[1]

Page 116: Eletromagnetismo - Joseph a. Edminister Volume 1

116

Sol:

Letra (a)

∫∫=S

m sdB

.ψ , mas na superfície fechada temos ∫ =S

sdB 0.

Letra (b)

( ) 0.0..0. =∇→=∇→= ∫∫∫∫ BdvBsdBvS

9.5) Porque as equações de Maxwell não são completamen-te simétricas?Fonte:[1]

Sol:

∫∫ ∫∫∫

∫ ∫∫

∫ ∫∫

=∇→==

=∇→==∂∂−=∇→

∂∂−==

∂∂+=∇→

∂∂+==

0.,0.

.,..

.

.,

.

..

.

.,.

.

..

BousdB

DoudvsdD

t

BExousd

t

BldEv

t

DJHxousd

t

DJldHF

m

el

S

mm

ψ

ρρψ

Observe que:

A lei de Gaus do campo elétrico ∫ ∫∫∫ == qdvsdD .. ρ

(ou

ρ=∇ D

. ) indica a existência de cargas elétricas isoladas

(“monopólos elétricos”).

Page 117: Eletromagnetismo - Joseph a. Edminister Volume 1

117

E a lei de Gaus do campo magnético ∫ = 0. sdB

(ou 0. =∇ B

)indica a inexistência de cargas magnéticas isoladas(“monopólos magnéticos”)

⇒ Conclusão: As equações de Maxwell não são simétricasporque cargas magnéticas isoladas não existem (enquantocargas elétricas isoladas existem).

9.6) Um condutor cilíndrico longo de raio R e σ=∞ conduzuma corrente I=I0senwt . Como função do raio r (para r<R er>R) ache (a) a densidade de corrente de condução(b) a den-sidade de corrente de deslocamento Jd(r) e (c) a densidadede fluxo magnético B(r). Considere d<r. Fonte:[1]

Sol:

Letra (a)

AJsdJI .. == ∫∫

, dS

dI

S

IJ s =

∆∆= →∆ .

.lim 0

lEldEv .. == ∫

, mas, pela lei de ohm, temos: IRv .=

AR

lEJAJRlEIRlE

.

...... =→=→=⇒ , EJ

.σ=

A

lR

AR

l

AR

l

E

JE

AR

lJ

....

. σσ =→=→=→=

para Rr ≤≤0

wtII sen.0= ⇒ wt

R

IJRJwtI

RJdsJsdJI

sen.

..sen.

....

202

0

2

=→=

=== ∫∫ ∫∫

ππ

π

Page 118: Eletromagnetismo - Joseph a. Edminister Volume 1

118

para, Rr ≥ 00 =→= JI

Letra (b)

0=dJ , pois se faz no meio como σ=∞ 0=⇒ dJ r∀

Letra (c)

para Rr ≤≤0 IRHsdt

DJldH '..2..

.

.. π ⇒=⇒

∂∂+=∫ ∫∫

r

IBIr

B

..2

'.'..2. 0

0 πµπ

µ=⇒=⇒

mas 2

22)()( .'...'.

=⇒=⇒= >< R

rIIrIRIJJ RrRr ππ

20

2

20

..2

..

..2

..

R

rIB

R

rIB

πµ

πµ =⇒=

para Rr >

∫ ∫∫

∂∂+= sd

t

DJldH

..

..

temos 0.

. =∂∂⇒

t

D

r

IB

IrB

IrHsdJldH

..2

.

..2...2...

0

0

πµ

πµ

π

=⇒

=→=→=∫ ∫∫

Page 119: Eletromagnetismo - Joseph a. Edminister Volume 1

119

9.7) Um capacitor de placas paralelas de raio R e separaçãod tem uma voltagem aplicada no centro dada porV=V0.senwt. Como função do raio r (para r<R) ache (a) adensidade de corrente de deslocamento Jd(r) e (b) o campomagnético H(r). Considere d<R. Fonte:[1]

Sol:

Letra (a)

Use wtVV sen0= em dt

dVCi = , e temos que :

wwtCVdt

dVCi .cos0== ,

d

AC

.ε= , ∫∫= sdJi

.

wwtVd

AwwtVCAJ .cos.

..cos.. 00

ε==wt

d

VwJ

wwtVd

AAJ

cos..

.cos..

.

0

0

ε

ε

=

=

Letra (b)

wtd

VwrH

rwt

d

VwH

rJHrJrH

sdJildH

cos.2

...

2.cos

..2

....2.

..

00

2

εε

ππ

=→=

=→=

==∫ ∫∫

Page 120: Eletromagnetismo - Joseph a. Edminister Volume 1

120

9.8) Mostre que ∫ ∫ ∂∂=

∂∂

S

ldt

Asd

t

B

..

..

.

.

Fonte:[1]

Sol:

( )∫∫ ∇=S

S

sdAxsdB

.. ; pois AxB

∇= , aplicando o teorema de

Stokes temos:

( ) ∫∫ =∇Sdeperiferia

SldAsdAx

....

..

, logo:

∫∫∫∫ ∂∂=

∂∂⇒=

SdeperiferiaS

SdeperiferiaS

ldAt

sdBt

ldAsdB........

...

..

ldt

Asd

t

B

S

..

..

.

.∫∫ ∂

∂=∂∂

9.9 ) Demonstre que o potencial vetor magnético para doisfios compridos, retos e paralelos, que conduzem à mesmacorrente, I, em sentidos opostos é dado por

^

1

20 .ln.2

.n

r

rIA

=

πµ

Fonte:[7]

Sol:^

0000 .

2)2(

.4

.

4.42

1

2

1 r

drnI

r

rdIrd

r

sdJdv

r

JA

r

r

r

rv

==== ∫∫∫∫∫∫ πµ

πµ

πµ

πµ

Page 121: Eletromagnetismo - Joseph a. Edminister Volume 1

121

^

1

20 .ln.2

.n

r

rIA

=⇒

πµ

9.10) Mostre que a expressão para a indutância em baixa

freqüência ∫= dll

AL .

reduz-se para um circuito condutor

à fórmula de indutância em baixa freqüência de Neuman

∫ ∫= ldl

ldL

.'

.40

πµ

. Fonte:[1]

Sol:

∫= ldI

AL

. , mas ∫=v

dvr

JA .

.40

πµ

,logo:

( )

( )∫∫ ∫∫

∫ ∫∫∫

=

=

==

lddlIlI

lddlsdJlI

L

lddll

sdJ

Ild

I

dvrJ

L

S

v

v

'...4

'.....4

'..

..4.

..4

00

0

0

πµ

πµ

πµ

πµ

,

mas ∫=S

sdIJ

. , então ∫ ∫=⇒ ldl

dlL

'

.40

πµ

9.11) Uma linha de transmissão de dois de comprimento ltem uma distância D entre os condutores (centro a centro)e raio do condutor a. Os condutores são tubos de paredesfinas. Recorrendo à figura, aplique a fórmula de indutância

Page 122: Eletromagnetismo - Joseph a. Edminister Volume 1

122

de baixa freqüência de Neuman (Prob. 9.9) para mostrar

que a indutância da linha é a

DlL ln

.0

πµ= (H) Fonte:[1]

Fig. Prob. 9.11Fonte:[1]

Sol:

=

== ∫∫∫ ∫ l

a

Ddl

r

drld

l

dlL

lD

a.2.ln.2

.4".2.

'.2

.4.

'

.40

0

00

πµ

πµ

πµ

a

DlL ln

.0

πµ=⇒ (H)

9.12) Suponha que um capacitor de placas paralelas circu-lares tenha um raio R de 30mm e que a distância entre asplacas seja 5,00mm. Uma fem senoidal de 60Hz e valor má-ximo 150V é aplicada entre as placas. Calcule Bm®, o valormáximo do campo magnético induzido para r=R. Fonte:[5]

Sol:

( )

dt

dERB

dt

dERRB

dt

REdRB

dt

dldB E

.2

.......2.

......2....

2

2

εµπµεπ

πεµπφεµ

=→=

=→=∫

Page 123: Eletromagnetismo - Joseph a. Edminister Volume 1

123

mas xVEldEV /. =→−= ∫

dt

dV

x

RB

.2

..εµ=→

wtwVdt

dVwtVV MM cos..sen. =→=

x

wtwVR

dt

dV

x

RB M

.2

cos.....

.2

.. εµεµ == ,

como wtB cos~ , para B máximo temos que Ter coswt má-ximo, ou seja:

x

wtwVRB MM

M .2

cos.....εµ= , 1cos =

Mwt

x

fVR

x

fVR

x

wVRB MMM

M

.....

.2

..2....

.2

.... πεµπεµεµ ===

dados: 70 10..4 −== πµµ (H/m), pF85,80 == εε , R=30mm,

x=5,00mm, VM=150V, f=60Hz; temos:

pTBM 89,1=

9.13) Prove que a corrente de deslocamento num capacitorde placas paralelas pode ser escrita do seguinte modo:

dt

dVCid = Fonte:[5]

Page 124: Eletromagnetismo - Joseph a. Edminister Volume 1

124

Sol:

dt

dEA

dt

dEds

dt

sdEd

dt

di SEd ....

.

. εεεφε ==

== ∫∫∫

,

mas xVEldEV /. =→−= ∫

dt

dVC

dt

dV

x

Aid == .ε

; pois x

AC

.ε=

9.14) No exemplo 1 (Livro do resnick, volume 3, página 296),mostre que a densidade de corrente de deslocamento Jd, parar<R, é dada por

dt

dEJd .0ε=

Fonte:[5]

Sol:

Continuando a partir do desenvolvido no problema 9.12,temos:

( )

dt

dEJ

dt

dE

A

i

dt

dEA

dt

xVdA

dt

dV

x

A

dt

dVCi

dd

d

..

../

...

εε

εεε

=⇒=

====

Page 125: Eletromagnetismo - Joseph a. Edminister Volume 1

125

9.15) Um capacitor de placas paralelas quadradas, de 1,0mde lado, como mostra a figura, está sendo carregado poruma corrente de 2,0A que chega a uma das placas e sai daoutra placa.(a) Calcule a corrente de deslocamento entre asplacas do capacitor. (b) Determine dE/dt nesta região.(c)Calcule a corrente de deslocamento através do quadradotracejado indicado na figura. (d) Determine φB.dl ao longodeste percurso quadrado. Fonte:[5]

Fig. Prob. 9-15Fonte:[5]

Sol:

(a) Aic 2=

(b) A

i

dt

dE

dt

dEAii c

dc ..

00 ε

ε =⇒==

dados: Aic 2= , pF85,80 =ε e 21mA = ; temos:

mVdt

dE/10.3,2 11=⇒

(c) dt

dEAid .0ε=

Page 126: Eletromagnetismo - Joseph a. Edminister Volume 1

126

dados: mH /10..4 70

−= πµ , pF85,80 =ε , 25,0 mA = e da

letra (b) mVdt

dE/10.3,2 11= ; logo, temos: Aid 5,0= .

(d)

dSE i

dt

dEA

dt

sdEd

dt

dldB ....

.

..... 0000000 µεµεµφεµ ==

==∫∫

dados: Aid 5,0= e mH /10..4 70

−= πµ

TmldB µ63,0. =⇒ ∫

9.16) Em 1929, M.R. Van Cauweberghe conseguiu medirdiretamente, pela primeira vez, a corrente de deslocamentoid entre as placas de um capacitor de placas paralelas, comoestá sugerido na figura. Para isso, ele utilizou placas circu-lares, cujo raio efetivo era de 40cm e cuja capacitância era1,0x10-10F. O valor máximo, Vm, da diferença de potencialaplicada era de 174KV, à freqüência de 50Hz. (a) Qual foi acorrente de deslocamento máxima obtida entre as placas?(b) Qual a razão da escolha de uma diferença de potencialtão elevada?[A delicadeza destas medidas é tamanha queelas só forma aceitas diretamente mais de 60 anos depoisde Maxwell Ter enunciado o conceito da corrente de deslo-camento! A referência é o Journal de Physique, 8, 303 (1929)].Fonte:[5]

Page 127: Eletromagnetismo - Joseph a. Edminister Volume 1

127

Fig. Prob. 9-16Fonte:[5]

Sol:

(a) de 9.12, que já foi calculado temos:

dt

dVCid = , mas wtVV M sen.=

wVCwtwVCiwtwCVi MMMMdMd ..cos...cos.. ==→=

fVCi MMd ..2.. π=

dados: FxC 10101 −= , KVVM 174= e Hzf 50= ; logo, teremos:

mAiMd 47,5=

(b) da equação obtida na letra (a), vemos que a corrente de

deslocamento( di ) é diretamente proporcional a tensão má-

Page 128: Eletromagnetismo - Joseph a. Edminister Volume 1

128

xima aplicada( MV ), e a capacitância(C ) também, sabendoque os valores de capacitância são geralmente pequenos daordem de micros( µ ), nanons( n ) e picos( p ) faraday, paraproduzir corrente mensurável precisaríamos de uma ten-são elevada de modo a minimizar o valor da capacitância,conforme mostra a equação abaixo, obtida no item anterioranalisando o valor de pico na corrente alternada.

fVCi MMd ..2.. π=

9.17) O capacitor da figura consiste de duas placas circula-res de raio R=18cm. A fonte de tensão possui femV=Vm.senwt, onde Vm=220V e w=130rad/s. O valor máxi-mo da corrente de deslocamento é dado por id=7,6µA. Des-preze a distorção do campo elétrico nas bordas das placas.(a) Calcule o valor máximo da corrente i. (b) Determine ovalor máximo de dφE/dt, onde φE é o fluxo do campo elétri-co através da região entre as placas. (c) Qual a distância dentre as placas? (d) Calcule o valor máximo do módulo de Bentre as placas a uma distância r=11cm do centro. Fonte:[5]

Fig. Prob. 9-17Fonte:[5]

Sol:

(a) como AiiiiMdMcdc .6,7 µ==→=

(b) 0

0.ε

φφε Md

M

EEd

i

dt

d

dt

di =⇒=

Page 129: Eletromagnetismo - Joseph a. Edminister Volume 1

129

dados: AiMd .6,7 µ= e pF85,80 =ε ; logo, teremos:

sKVmdt

d

M

E /76,858=⇒ φ

(c)

( )

d

M

d

M

MM

d

i

wVR

i

wVAx

wtwVx

A

dt

wtVd

x

A

dt

dVCi

.......

cos....sen..

200

00

πεε

εε

==→

===

dados: pF85,80 =ε , cmR 18= , VVM 220= , sradw /130=

e Aid .6,7 µ=

mmx 39,3=→

(d) de 9.15, temos:

20

..2

..)(

R

rirB d

πµ= )( Rr ≤

dados: pF85,80 =µ , Aid .6,7 µ= , cmr 11= e cmR 18= ;

logo, teremos: pTrB 17,5)( =

9.18) Uma longa barra cilíndrica condutora, de raio R, estácentrada ao longo do eixo x, conforme indicado na figura.A barra possui um corte muito fino em x=b. Uma correntede condução i, aumentando no tempo e dada por ti .α= ,percorre a barra para a direita; α é uma constante de

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proporcionalidade (positiva). No instante t=0 não existecarga nas faces do corte próximas de x=b. (a) Determine omódulo da carga nessas faces em função do tempo. (b) Usea eq.I na tabela 2, página298, volume 3 do resncik, para de-terminar E no intervalo entre as faces , em função do tem-po. (c) Use a eq.IV na tabela 2, página298, volume 3 doresncik, para obter B(r) no intervalo entre as faces para r<R.Fonte:[5]

Fig. Prob. 9-18Fonte:[5]

Sol:

(a) ∫ ==t t

dtttq0

2

2

.''.

αα )(C

(b) 0

20 ..

.επε R

qE

qsdE

S

=→=∫

, mas 2

. 2tq

α= ; logo:

....2

.2

0

2

R

tE

επα=→ )/( mV ou )/( CN

(c) ∫ =dt

dldB Eφεµ ... 00

; mas 2... rEsdEE πφ == ∫

e

∫ = rBldB ..2.. π

, logo:

dt

dErB

dt

dErrB .

2

.......2. 002

00

εµπεµπ =→= ,

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( )dt

td

R

rB

2

20

00

...2.

2

..

επαεµ=

20

.2

..

R

rtB

παµ=⇒

9 Referências para estudo da teoria

9 Referência para estudo da teoria:KRAUS, John D ; CARVER, Keith R. Eletromagnetismo Editora Guanabara Dois, 1978.⇒ capítulo 9 (nove)

KRAUS, John D. Eletromagnetics McGraw-Hill International Editions , 1991⇒ capítulo 11 (onze)

HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; MERRIL, John.. Fundamentosde Física 3 – Eletromagnetismo LTC-Livros Técnicos e Científicos Editora S.A., 1994.⇒ capítulo 37 (trinta e sete)

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BIBLIOGRAFIA CONSULTADA

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[2] KRAUS, John D. Eletromagnetics. McGraw-Hill Inter-national Editions , 1991.

[3] HAYT, William H. Eletromagnetismo, Rio de Janeiro:LTC Livros Técnicos e Científicos LTDA, 1995.

[4] EDMINISTER, Joseph A. Eletromagnetismo, São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 1980.

[5] HALLIDAY, David; RESNICK, Robert. Fundamentosde Física 3 Eletromagnetismo, Rio de Janeiro: LTCLivros Técnicos e Científicos LTDA, 1994.

[6] HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jear.Fundamentos de Física 4 Ótica e Física Moderna, Riode Janeiro: LTC Livros Técnicos e Científicos LTDA, 1994.

[7] REITZ,John R; MILFORD, Frederick J.;CHRISTY, RobertW. Fundamentos da Teoria Eletromagnética, Rio deJaneiro: Campus LTDA. , 1980.

[8] GRANVILLE, W.A.; SMITH P.F.; LONGLEY W. R.Elementos de Cálculo Diferencial e Integral. ÂmbitoCultural Edições LTDA., 1992.

[9] ABUNAHMAN, Sérgio A. Equações Diferenciais. ÉricaEditora e Gráfica LTDA,1989.

[10] SPIEGEL, Murray R. Transformadas de Laplace.Editora Mcgraw-Hill LTDA, 1971.

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[11] MUNEM, Mustafa A.; FOULIS, David J. Cálculo volu-me 1. Editora Guanabara S.A. , 1978.

[12] MUNEM, Mustafa A.; FOULIS, David J. Cálculo volu-me 2. Editora Guanabara S.A. , 1978.

[13] GUIDORIZZI, Hamilton L. Um curso de cálculo volu-me 3. Livros Técnicos e Científicos Editora S. A., 1994.

[14] GUIDORIZZI, Hamilton L. Um curso de cálculo volu-me 4. Livros Técnicos e Científicos Editora S. A., 1994.

[15] Giovanni, José Ruy ; Bonjorno, José Roberto. Matemática3. Editora FTD S.A.

[16] Luiz, Aldir M. Manual de Problemas ResolvidosElementos de Física 3 Halliady, Resnick. LTC.

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Apêndice

Biografia resumida dos autores

Marcelo Lyra Brandão nasceu em vitória, Espírito Santo,em 1958. Formou-se em Engenharia Elétrica pela Universi-dade Federal do Espírito Santo, em 1982, recebeu o tíyulode Mestre em Engenharia Elétrica pela PUC-RJ, em 1985 e ode Doutor em Engenharia Elétrica pela UNICAMP, em 1998.Atualmente é professor adjunto 3 (três) do Departamentode Engenharia de Eletricidade da Universidade Federal doMaranhão(DEE-UFMA), ministrando as seguintes discipli-nas no curso de graduação em Engenharia Elétrica:Eletromagnetismo, Laboratório de Eletromagnetismo,Eletromagnetismo Aplicado e no curso de graduação emCiência da Computação ministra a disciplina ProcessosEstocásticos. É também professor do Programa de Pós-gra-duação Stricto Sensu(mestrado e doutorado) do curso deEngenharia Elétrica da Universidade Federal do Maranhão,ministrando a disciplina Processos Estocásticos. Já foi pro-fessor também das disciplinas: Circuitos Elétricos, Telefo-nia, Antenas, Princ;ipios de Microondas e Ondas Eletromag-néticas. Tem 2(dois) artigos publicados, um no IEEEPTL em1997, e outro no LEOS-IEEE Conference Procceding em 1996.

Rogério Moreira Lima Silva nasceu em São luís, Maranhão,em1976. Atualmente cursa Engenharia Elétrica pela Univer-sidade Federal do Maranhão, e também estagia naTELEMAR-MA na Engenharia(provisionamento), na áreade comunicação de dados.

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