eletromagnetismo aplicado propagação de ondas guiadas linhas de transmissão aula2

LINHAS DE TRANSMISSAO PARAMETROS MODELAGEM CASOS ESPECIAIS PROBLEMAS

Eletromagnetismo Aplicado –Propagacao de Ondas GuiadasLinhas de Transmissao - 1/3

Heric Denis Fariashericdf@gmail.com

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PROPAGACAO DE ONDAS GUIADAS - LINHAS DE

TRANSMISSAO 1/3

I Sistemas de guiamento de ondas;

I Parametros das Linhas de Transmissao;

I Modelagem;

I Casos Especiais;

I Problemas.

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SISTEMAS DE GUIAMENTO DE ONDAS

As estruturas de guiamento tem o proposito de orientar apropagacao de energia de sua fonte ate a carga. Exemplos tıpicos:

I Linhas de transmissao;I Guias de onda metalicos;I Fibras opticas (guias de onda dieletricos).

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LINHAS DE TRANSMISSAO

As linhas de transmissao sao estruturas de guiamento de ondasutilizadas na transferencia de potencia e informacoes.

Esta consiste basicamente de dois ou mais condutores paralelosutilizados para conectar fontes a cargas.

A seguir serao apresentadas topologias tıpicas e as equacoes queregem o comportamento das linhas de transmissao.

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PARAMETROS DAS LINHAS DE TRANSMISSAO

As linhas de transmissao sao caracterizadas por quatro parametroseletricos

I Resistencia por unidade de comprimento – R [Ω/m];

I Indutancia por unidade de comprimento – L [H/m];

I Condutancia por unidade de comprimento – G [S/m];

I Capacitancia por unidade de comprimento – C [F/m].

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Deve se notar que:I Os parametros R, L, G e C sao parametros distribuıdos, ou seja,

estao uniformemente distribuıdos ao longo do comprimento dalinha;

I Para cada linha, os condutores sao caracterizados por σc, µc eεc = εo, e o dieletrico homogeneo que separa os condutores ecaracterizado por σ , µ e ε;

I G 6= 1/R. R e a resistencia por unidade de comprimento doscondutores enquanto G e a condutancia por unidade decomprimento devido ao dieletrico que separa os condutores;

I O valor de L considerado e o da indutancia externa por unidadede comprimento. Os efeitos da indutancia interna Lin(R/ω) saodesprezıveis em altas frequencias, nas quais opera a maior partedos sistemas de comunicacoes;

I Para cada linha,

LC = µε eGC

=σ

ε(1)

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LINHAS DE TRANSMISSAO T IPICAS

A figura apresenta as topologias tıpicas de linhas de transmissao, aseguir sao apresentados os parametros para cada uma delas

Linhas de transmissao tıpicas: (a) linha coaxial; (b) linha bifilar; (c)linha planar.

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Tabela : Parametros de linha distribuıdos, para altas frequencias∗

Parametros Linha Coaxial Linha Bifilar Linha Planar

R(Ω/m)1

2πδσc

[1a+

1b

]1

πaδσc

2wδσc

(δ a, c−b) (δ a) (δ t)

L(H/m)µ

2πln

ba

µ

πcosh−1 d

2aµdw

G(S/m)2πσ

lnba

πσ

cosh−1 d2a

σwd

C (F/m)2πε

lnba

πε

cosh−1 d2a

εwd

(w d)

* δ =1√

πf µcσc= profundidade pelicular; cosh−1 d

2a≈ ln

da

se[

d2a

]2 1.

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MODELO ELETRICO DA LINHA DE TRANSMISSAO

Circuito equivalente tipo L para um comprimento diferencial ∆z deuma linha de transmissao.

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EQUACOES DA LINHA DE TRANSMISSAO

Pela aplicacao da lei de Kirchhoff de tensao na malha externa docircuito equivalente tipo L, obtem-se

V(z, t) = R∆z I(z, t)+L∆z∂ I(z, t)

∂ tV(z+∆z, t)

− V(z+∆z, t)−V(z, t)∆z

= RI(z, t)+L∂ I(z, t)

∂ t(2)

Tomando o limite com ∆z→ 0:

−∂V(z, t)∂ z

= RI(z, t)+L∂ I(z, t)

∂ t(3)

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De forma semelhante, aplicando a lei de Kirchhoff das correntesno no n1 do circuito L, obtem-se

I(z, t) = G∆zV(z+∆z, t)+C ∆z∂V(z, t)

∂ t+ I(z+∆z, t)

− I(z+∆z, t)− I(z, t)∆z

= GV(z, t)+C∂V(z, t)

∂ t(4)

Com ∆z→ 0,

−∂ I(z, t)∂ z

= GV(z, t)+C∂V(z, t)

∂ t(5)

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Assumindo dependencia temporal harmonica, utiliza-se a notacaofasorial

V(z, t) = ℜ[Vs(z)ejωt]

I(z, t) = ℜ[Is(z)ejωt]

as equacoes 3 e 5, tornam-se:

− dVs

dz= (R+ jω L) Is (6a)

− dIs

dz= (G+ jω C) Vs (6b)

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Nas equacoes 6, Vs e Is estao acopladas. Para separa-las, toma-se asegunda derivada de Vs na equacao 6a e substitui-se na equacao 6b,assim obtem-se

d2Vs

dz2 = (R+ jω L)(G+ jω C)Vs (7)

De forma similar, utilizando a segunda derivada de Is em 6b eaplicando em 6a, obtem-se

d2Is

dz2 = (R+ jω L)(G+ jω C) Is (8)

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As equacoes 7 e 8 podem ser reescritas de seguinte forma:

d2Vs

dz2 − γ2Vs = 0 (9a)

d2Is

dz2 − γ2Is = 0 (9b)

onde γ = α + jβ =√

(R+ jωL)(G+ jωC) e a constante depropagacao, α e a constante de atenuacao e β e a constante de fase.

O comprimento de onda e a velocidade de propagacao da onda saodadas em funcao de β

λ =2π

β(10)

u =ω

β(11)

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A solucao das equacoes diferenciais leva a:

Vs(z) = V+o e−γz

−→+z+V−o eγz

−z←−(12a)

Is(z) = I+o e−γz

−→+z+ I−o eγz

−z←−(12b)

onde as setas indicam o sentido de propagacao de cada termo, i.e.positivo ou negativo de z.

A impedancia caracterıstica Zo da linha e a razao entre a onda detensao e a onda de corrente, que se propagam no sentido positivo, emqualquer ponto da linha.

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Zo e analoga a η , a impedancia intrınseca do meio onde ocorre apropagacao (ondas nao guiadas). Substituindo as equacoes 12 nasequacoes 6,

γ[V+

o e−γz−V−o eγz]= (R+ jωL)[I+o e−γz + I−o eγz] (13a)

γ[I+o e−γz− I−o eγz]= (G+ jωC)

[V+

o e−γz +V−o eγz] (13b)

igualando os coeficientes dos termos eγz e e−γz

γV+o = (R+ jωL) I+o ; −γV−o = (R+ jωL) I−o (14a)

γI+o = (G+ jωC)V+o ; −γI−o = (G+ jωC)V−o (14b)

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Das equacoes 14, obtem-se a impedancia de entrada

Zo =V+

o

I+o=

R+ jωLγ

=γ

G+ jωC=−V−o

I−o

Zo =

√R+ jωLG+ jωC

= Ro + jXo (15)

A linha de transmissao considerada ate agora e a linha com perdas,a qual e o caso geral onde consideram-se condutores imperfeitos(σc 6= ∞) e dieletricos com perdas (σ 6= 0). A seguir consideram-sedois casos especiais de linhas de transmissao, a linha sem perdas e alinha sem distorcao.

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LINHAS SEM PERDAS

Uma linha de transmissao e dita sem perdas quando os condutoresda linha sao perfeitos (σc ≈ ∞) e o meio dieletrico e sem perdas(σ = 0). Isto implica em R = G = 0, e:

α = 0, γ = jβ = jω√

LC (16)

u =1√LC

(17)

Xo = 0, Zo = Ro =

√LC

(18)

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LINHAS SEM DISTORCAO

Uma linha de transmissao e dita sem distorcao quando a constantede atenuacao α e independente da frequencia e a constante de fase β elinearmente dependente da frequencia, o que implica em R/L = G/Ce:

α =√

RG, β = ω√

LC (19)

u =1√LC

(20)

Xo = 0, Zo = Ro =

√LC

=

√RG

(21)

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Nota-se que:

I A linha sem perdas e um caso especial de linha sem distorcao;

I Uma linha sem distorcao deve ter velocidade de fase u econstante de atenuacao α independentes da frequencia;

I Qualquer linha que nao atenda as condicoes ideais de uma linhasem distorcao (R/L = G/C), provocara distorcao em um sinal debanda larga;

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PROBLEMAS

1. Uma linha de transmissao, operando a 500 MHz, temZo = 80Ω, α = 0.04 Np/m, β = 1.5 rad/m. Encontre os parametrosde linha R, L, G e C.

2. Uma linha telefonica tem R = 30Ω/km, L = 100 mH/km, G = 0e C = 20 µF/km, para f = 1 kHz obtenha a impedancia caracterısticada linha, a constante de propagacao e a velocidade de fase.

γ = α + jβ =√

(R+ jωL)(G+ jωC)

Zo =

√R+ jωLG+ jωC

u =ω

β

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