elementos de análise numéricaaproximação de funções -objectivo de aproximação de funções...
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Elementos de Análise NuméricaAproximação de funções
-objectivo de aproximação de funções
-Interpolação: -interpolação polinomial
-polinómio interpolador de Newton
-polinómio interpolador de Lagrange
-”splines”
[-regressão: -regressão linear
-coeficiente de regressão
-regressão não linear]
Aproximação de funções
Pontos mais importantes:
1
Elementos de Análise NuméricaAproximação de funções
Motivação
-dados são frequentemente disponíveis como um conjunto discreto
de pontos (experiências, tabelas) ----> pretendem-se estimar valores
entre os pontos
-pretende-se uma forma simplificada de uma função complicada ----->
calculam-se os valores da função só para alguns pontos discretos no
intervalo de interesse e usar uma função mais simples (e.g. linear)
para estimar os outros valores (tabelas, gráficos de engenharia)
2
Elementos de Análise NuméricaAproximação de funções
Métodos de aproximação de funções
-pontos muito precisos (erros associados são desprezáveis) ----> a função de aproximação deve passar por cada um dos pontos----> interpolação
-pontos afectado por um erro apreciável----->o que têm importância é a tendência geral dos dados por isso a função não precisa de passar necessariamente por todos os pontos-----> regressão
interpolação
regressão
3
Elementos de Análise NuméricaAproximação de funções
Interpolação polinomial
-em princípio podemos usar qualquer função como função
interpoladora
-polinómios são excelentes candidatos, porque dados n+1 pontos, há
apenas um e só um polinómio de grau n, ou inferior, que passa em
todos os pontos: -2 pontos----> n=1 (recta)
-3 pontos----> n=2 (parábola)
-a interpolação consiste em determinar os parâmetros do polinómio de
grau n a partir de n+1 pontos dados ({x1;y1}, {x2;y2},…, {xn+1;yn+1})
sabendo que p(xi)= yi
-forma geral dos polinómios:
p x a a x a x a xnn( ) ... 0 1 2
2
4
Elementos de Análise NuméricaAproximação de funções
-aplicando os pontos conhecidos {xi;yi} resulta um sistema linear com n+1 incógnitas
Interpolação polinomial
n
1
0
n
1
0
nn
n1
n0
2nn
211
200
y
y
y
a
a
a
x
x
x
xx1
xx1
xx1
-a matriz de coeficientes é tanto mais mal condicionada tanto maior for n
-embora o polinómio p(x) seja único, ele pode ser expresso de variadas
maneiras: -polinómio de Newton-polinómio de Lagrange
5
Elementos de Análise NuméricaAproximação de funções
Polinómio interpolador de Newton (diferenças divididas finitas)
Interpolação linear (n=1): 2 pontos {x1;y1}, {x2;y2}
)xx()xx(
)yy(yy
x)xx(
)yy(ya
)xx(
)yy(a
xaay
xaay
112
121
112
1210
12
121
2102
1101
aprox. da primeira derivada 6
Elementos de Análise NuméricaAproximação de funções
Polinómio interpolador de Newton (diferenças divididas finitas)
Interpolação quadrática (n=2): 3 pontos {x1;y1}, {x2;y2}, {x3;y3}
-procuramos o interpolador na forma:p x b b x x b x x x x( ) ( ) ( )( ) 0 1 1 2 1 2
-aplicando as condições conhecidos, os parâmetros de polinómio podem ser determinadas:
p x b y x y
p x b b x x y by y
x xx y
p x b b x x b x x x x y
b
y yx x
y yx x
x xx
( ) ; )
( ) ( ) ; )
( ) ( ) ( )( )
;
1 0 1 1 1
2 0 1 2 1 2 12 1
2 12 2
3 0 1 2 1 2 3 1 3 2 3
3
3 2
3 2
2 1
2 1
3 13
(
(
( y3)7
Elementos de Análise NuméricaAproximação de funções
Polinómio interpolador de Newton (diferenças divididas finitas)
Interpolação de grau n (forma geral): n+1 pontos {x0;y0}, {x1;y1},... {xn;yn}
-procuramos o interpolador na forma:p x b b x x b x x x x b x x x x x xn n( ) ( ) ( )( ) ... ( )( )....( ) 0 1 0 2 0 1 0 1 1
onde
b y
b f x x
b f x x x
b f x x x x xn n n
0 0
1 1 0
2 2 1 0
1 2 1 0
[ , ]
[ , , ]
[ , ,..., , , ]
-a função f[ ] é chamada diferenças divididas de ordem n
8
Elementos de Análise NuméricaAproximação de funções
Polinómio interpolador de Newton (diferenças divididas finitas)
Diferenças divididas:
-ordem 0: f[ xi]=f(xi)
-ordem 1:
-ordem 2:
-ordem n:
f x xf x f x
x xi j
i j
i j
[ , ]( ) ( )
f x x xf x x f x x
x xi j k
i j j k
i k
[ , , ][ , ] [ , ]
f x x x xf x x x f x x x
x xn nn n n n
n
[ , ,..., , ][ , ,..., ] [ , ,..., ]
1 1 0
1 1 1 2 0
0
-polinómio de interpolador geral de Newton:
p x f x x x f x x x x x x f x x x
x x x x x x f x x xn n n
( ) ( ) ( ) [ , ] ( )( ) [ , , ]
( )( )...( ) [ , ,..., ]
0 0 1 0 0 1 2 1 0
0 1 1 1 0 9
Elementos de Análise NuméricaAproximação de funções
Polinómio interpolador de Newton (diferenças dividida finita)
x y
x0 y0
x1 y1
x2 y2
x3 y3
yy y
x x101 0
1 0
ordem1ª 2ª 3ª
yy y
x x212 1
2 1
yy y
x x323 2
3 2
yy y
x x21021 10
2 0
yy y
x x32132 21
3 1
yy y
x x3210321 210
3 0
-não é necessário que os pontos estejam igualmente espaçados-não é necessário que as abcissas estejam ordenadas por ordem crescente
Tabela de diferenças divididas
10
Elementos de Análise NuméricaAproximação de funções
Exemplo:
x y
1 -1
1.1 1.51
1.3 2.56
1.4 -3.1
09.2511.1
)1(51.1y10
ordem1ª 2ª 3ª
27.51.13.1
51.156.2y21
59.563.14.1
56.21.3y32
07.6613.1
09.2527.5y210
2.2061.14.1
27.559.56y321
3.35014.1
)07.66(2.206y3210
)3,1x)(1,1x)(1x()3,350()1,1x)(1x()07,66()1x(09,251)x(p
1102,3)3,117,1)(1,117,1)(117,1()3,350(
)1,117,1)(117,1()07,66()117,1(09,251)17,1(p
Elementos de Análise NuméricaAproximação de funções
Erro de interpolador de Newton
-o erro da interpolação é uma função definida por en(x)=f(x)-pn(x)
-a formula do interpolador é semelhante à do desenvolvimento de
uma função em série de Taylor
-as diferenças divididas são aproximações das derivadas de ordem
superior
-o erro associado à aproximação de Taylor:
-para o interpolador numa forma análoga:
Rf
nx xn
n
i in
( ) ( )
( )!( )
1
11
1
com xi<<xi+1
Rf
nx x x x x xn
n
n
( ) ( )
( )!( )( )...( )
1
0 11
R f x x x x x x x x x x xn n n n [ , , ,..., , ]( )( )...( )1 1 0 0 1
f x x x x xf
nn n
n
[ , , ,..., , ]( )
( )!
( )
1 1 0
1
1
12
Elementos de Análise NuméricaAproximação de funções
Erro de interpolador de Newton
-a função f(x) é geralmente incógnita, mas se mais um ponto (n+1) é disponível,o erro pode ser aproximado:
R f x x x x x x x x x x xn n n n n [ , , ,..., , ]( )( )...( )1 1 1 0 0 1
13
Elementos de Análise NuméricaAproximação de funções
14
Exemplo:
x y
1 -1
1.1 1.51
1.3 2.56
1.4 -3.1
09.25
ordem
1ª 2ª 3ª
27.5
59.56
07.66
2.206
3.350
)4,1x)(3,1x)(1,1x)(1x(2302)x(R 3
1.6 4.14
36.2
309.3
1031
230216.1
)3.350(1031y43210
4ª
819,0)4,117,1)(3,117,1)(1,117,1)(117,1(2302)17,1(R 3
Elementos de Análise NuméricaAproximação de funções
Obtenção do polinómio interpolador pelo método de Lagrange
-o método de Lagrange é uma reformulação do interpolador
Newtoniano, mas evita o cálculo das diferenças divididas finitas
-expressão geral:
p x L x f xi ii
n
( ) ( ) ( )
0onde L x
x x
x xij
i jjj i
n
( )
0
-n=1 p xx x
x xf x
x x
x xf x( ) ( ) ( )
1
0 10
0
1 01
-n=2 p xx x
x x
x x
x xf x
x x
x x
x x
x xf x
x x
x x
x x
x xf x( ) ( ) ( ) ( )
1
0 1
2
0 20
0
1 0
2
1 21
0
2 0
1
2 12
-o erro de aproximação é obtido de forma semelhante do que no caso do método Newtoniano
15
Elementos de Análise NuméricaAproximação de funções
x f(x)
0 11 72 6
Exemplo:
612
1x
02
0x7
21
2x
01
0x1
20
2x
10
1x)x(p
16
72,6612
19,0
02
09,07
21
29,0
01
09,01
20
29,0
10
19,0)9,0(p
Elementos de Análise NuméricaAproximação de funções
Interpolação com nós equidistantes
-designando por h a distância entre nós sucessivos, podemos escrever que:
x
x x h
x x h
x x nh
x
n
n
0
1 0
2 0
0
02
onde h =
xn
-diferenças divididas :
f x xf x f x
x x
f x
h[ , ]
( ) ( ) ( )1 0
1 0
1 0
0
f x x x
f x f xx x
f x f xx x
x x
f x
h[ , , ]
( ) ( ) ( ) ( )( )
2 1 0
2 1
2 1
1 0
1 0
2 0
20
22
f x x x xf x x x f x x x
x x
f x
n hn nn n n n
n
n
n[ , ,..., , ][ , ,..., ] [ , ,..., ] ( )
!
1 1 01 1 1 2 0
0
0
17
Elementos de Análise NuméricaAproximação de funções
Interpolação com nós equidistantes
-o símbolo n representa o operador de diferenças progressivas:
0
1
1
f x f x
f x f x h f x
f x f xk k
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ( ( ))
p x f xf x
hx x
f x
hx x x x h
f x
n hx x x x h x x n h
n
n
( ) ( )( )
( )( )
( )( )
( )
!( )( )...( ( ) )
00
0
20
2 0 0
00 0 0
2
1
-o resultado pode ser substituído no interpolador Newtoniano:
18
Elementos de Análise NuméricaAproximação de funções
-aplicando o facto de qualquer ponto no intervalo [xo,xn] pode ser
representado pela seguinte formula: x=x0+h
-o interpolador pode ser simplificado:
)1n)...(1(!n
)x(f
)1(!2
)x(f
!1
)x(f)x(f)x(p
0n
02
00
Rf
nh nn
nn
( ) ( )
( )!( )...( )
11
11
-o erro é dado por:
-extrapolação: estimativa do valor de f(x) fora da gama de valores dos
pontos conhecidos (perigoso)
Interpolação com nós equidistantes
19
Elementos de Análise NuméricaAproximação de funções
x y
10 -1
20 1.51
30 2.56
40 -3.1
51,2)1(51,1
ordemf 2f 3f
04,151,156,2
66,556,21,3
47,151,204,1
7,604,166,5
23,5)47,1(7,6
Exemplo:
)2)(1(!3
23,5 )1(
!2
47,151,21)x(p
21.2)23,1)(13,1(3,1!3
23,5 )13,1(3,1
!2
47,13,151,21)23(p
X=23 ; =1,3
Elementos de Análise NuméricaAproximação de funções
“Splines” (interpolação por segmentos polinomiais)
-às vezes um polinómio interpolador de grau n pode resultar em grandes
erros (exemplo: uma função geralmente suave mas com algumas
variações bruscas)
-solução: splines, aplicando polinómios de grau inferior de n (para n+1
pontos) a subconjuntos de pontos
Splines lineares (m=1):
n1-n1n1n1n
21111
10000
xx x)xx(m)x(f)x(S
xx x)xx(m)x(f)x(S
xx x)xx(m)x(f)x(S
onde m
f x f x
x xii i
i i
( ) ( )1
1
21
Elementos de Análise NuméricaAproximação de funções
“Splines” (interpolação por segmentos polinomiais)
Splines quadráticas (m=2): as derivadas de primeira ordem
contínuas nos nós (iguais)
-para cada intervalo entre os pontos, o aproximador é um polinómio
de grau 2:
-n intervalos ---> 3n incógnitas -----> precisamos 3n equações
-estas equações são:
i1-i2
iiii xx xxcxba)x(S
f x a b x c x
f x a b x c xonde i
i i i i i i
i i i i i i
( )
( )
1 1 1 1 1 1
2
1 1 12
= 2,3...n 2n-2 equações
f x a b x c x
f x a b x c xnos pontos
n n n n n n
( )
( )
0 1 1 0 1 02
2
extremos 2 equações
n-1 equaçõesb c x b c xi i i i i i 2 21 1 1 1 onde i = 2,3...n
2 01c a segunda derivada igual a zero 1 equação 22
Elementos de Análise NuméricaAproximação de funções
“Splines” (interpolação por segmentos polinomiais)
Splines cúbicas (m=3): as derivadas de primeira e segunda ordem
contínuas nos nós (iguais)
-para cada intervalo entre os pontos, o aproximador é um polinómio de
grau 3:
-n intervalos ---n> 4n incógnitas -----> precisamos 4n equações
(condições):
-valores da função iguais nos nós interiores (2n-2)
-a primeira e última funções devem passar pelos pontos extremos
respectivos (2)
-o valor das primeiras derivadas nos pontos interiores deve ser igual (n-1)
-o valor de segundas derivadas nos pontos interiores deve ser igual (n-1)
- o valor de segundas derivadas nos pontos extremos é 0 (2)
i1-i3
i2
iii xx xxd+xcxba)x(S
23
Elementos de Análise NuméricaAproximação de funções
“Splines” (interpolação por segmentos polinomiais)
-as condições anteriores resultam num sistema de eq. com 4n incógnitas
-um método alternativo resulta só num sistema tridiagonal apenas com
n-1 incógnitas
-a segunda derivada em cada intervalo é uma recta---->pode ser
representada com um interpolador de Largrange de 1º grau:
)x(fxx
xx)x(f
xx
xx)x(f i
1ii
1i1i
i1i
ii
-a expressão anterior pode ser integrada duas vezes, e o resultado é
uma função polinomial de grau 3 com duas constantes de integração
-aplicando as condições para os valores extremos no intervalo i (f(x i) e
f(xi-1)), os constantes de integração podem ser determinadas
24
Elementos de Análise NuméricaAproximação de funções
“Splines” (interpolação por segmentos polinomiais)
-o resultado:
f xf x
x xx x
f x
x xx x
f x
x x
f x x xx x
f x
x x
f x x xx x
ii
i ii
i
i ii
i
i i
i i ii
i
i i
i i ii
( )( )
( )( )
( )
( )( )
( ) ( )( )( )
( ) ( )( )( )
1
1
3
11
3
1
1
1 1
1
11
6 6
6 6
-a expressão para cada intervalo (i=1,2,...,n) só tem duas incógnitas (f´´) em vez de 4
25
Elementos de Análise NuméricaAproximação de funções
-aplicando a condição que:
e derivando a fórmula anterior:
“Splines” (interpolação por segmentos polinomiais)
f x f xi i i i1( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
x x f x x x f x x x f x
x xf x f x
x xf x f x
i i i i i i i i i
i ii i
i ii i
1 1 1 1 1 1
11
11
2
6 6
-o resultado é um sistema com n-1 equações e n+1 incógnitas-mas considerando que as segundas derivadas são zero nos pontos 1 e n, o sistema (tridiagonal) só envolve n-1 incógnitas---->pode ser resolvido para as segundas derivadas nos nós
26
Elementos de Análise NuméricaAproximação de funções
Exemplo:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
x x f x x x f x x x f x
x xf x f x
x xf x f x
i i i i i i i i i
i ii i
i ii i
1 1 1 1 1 1
11
11
2
6 6
i 0 1 2 3
xi 10 20 30 40
f(xi) -1 1,51 2,56 -3,1
03,4
876,0
56,251,110
656,21,3
10
6
51,1110
651,156,2
10
6
)30(f
)20(f
2010
1020
3002010
1020A 7,22
2003,4
10876,0A1
8,7103,410
876,020A2
239,0)30(f
0758,0)20(f
27
Elementos de Análise NuméricaAproximação de funções
f xf x
x xx x
f x
x xx x
f x
x x
f x x xx x
f x
x x
f x x xx x
ii
i ii
i
i ii
i
i i
i i ii
i
i i
i i ii
( )( )
( )( )
( )
( )( )
( ) ( )( )( )
( ) ( )( )( )
1
1
3
11
3
1
1
1 1
1
11
6 6
6 6
84,1)2023(6
10239,0
10
56,2
)2330(6
100758,0
10
51,1)2023(
106
239,0)2330(
106
0758,0)23(f 33
2
28
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