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EEL-001 – CIRCUITOS ELÉTRICOS 2008 UNIFEI,VFS, Rev. BDB
EEL-001 – CIRCUITOS ELÉTRICOS ENGENHARIA DA COMPUTAÇÃO
CAPÍTULO 3
TEOREMAS PARA CIRCUITOS
1 – INTRODUÇÃO
Neste capítulo serão abordados os
principais teoremas que permitem obter um
circuito equivalente a partir de um circuito
genérico, de modo que a tensão Vx e a
corrente Ix sejam as mesmas, tanto no
circuito original da Fig. 1.a quanto no
circuito equivalente da Fig. 1.b.
(b)
V X
IX
R X
E 1
R 1
R 2 I2
a
b
CIRCUITO GENÉRICO
(a)
CIRCUITOEQUIVALENTE
a
b
IX
R XVx
Fig.1 -
2 – TEOREMA DA SUPERPOSIÇÃO
Cada fonte é tratada independentemente e
através da soma algébrica obtém-se a
solução desejada para a determinação da
grandeza a ser calculada.
“A corrente através ou a tensão entre os
terminais de um elemento linear bilateral, é
igual a soma algébrica das correntes ou
tensões produzidas independentemente
por cada fonte”.
Para a aplicação deste teorema, cada uma
das (N – 1) fontes, de tensão ou de
corrente, deve ser adequadamente
removida e colocada em repouso, de
modo que só exista uma única (n-ésima)
fonte de excitação no circuito, e assim
sucessivamente para as outras fontes. A
Fig. 2.a ilustra como colocar em repouso
uma fonte de tensão e a Fig. 2.b ilustra
como uma fonte de corrente é colocada em
repouso.
a
b
RS
ES
a
b
c
Fonte em repouso(a)
a
b
RS
a
b
RS
Fonte em repouso
(b)
ES
RS
IS IS
a
b b
RS
Fig. 2 -
EEL-001 – CIRCUITOS ELÉTRICOS 2008 UNIFEI,VFS, Rev. BDB
Para o balanço de potência, deve-se
considerar a excitação resultante e não a
excitação parcial.
Cuidado com o balanço de potência:
Exc. 1 → Fonte E1
E 1+E 2
IL=I L1 +I L2
R L
c)
IL1IL2
R LR L
a) b)
E1 E 2
Fig. 3 -
Da Fig. 3.a, 2
L1 L L1P R .I=
Da Fig. 3.b, 2
L2 L L2P R .I=
Logo,
2 2
L1 L2 L L1 L2P P R (I I )+ = + [1]
O balanço correto é dado por,
2 2
Lt L L L L1 L2
2 2
L1 L1 L2 L2
P R . I R (I I )
I 2I I +I
= = +
= + [2]
Observar que a Eq. 2 é diferente da Eq. 1.
EEL-001 – CIRCUITOS ELÉTRICOS 2008 UNIFEI,VFS, Rev. BDB
Exemplo 1
Calcular IL pelo Teorema da Superposição:
(a)
E 1 30V
2.5[ Ω ] I1
3A 5[ Ω ]R 1
IL
2.5[ Ω ]
3A 5[ Ω ]R L
IL1
2.5[ Ω ]
5[ Ω ]R L
IL2
30[V]E
(b) (c)
FONTE E1EM REPOUSO
CHAVEFECHADA
FONTE I1EM REPOUSO
CHAVEABERTA
5[ Ω ]2.5[ Ω ]3[A] R 1
IL
(d)
12[A]
Fig. 4 -
Solução
Para a excitação devido apenas à fonte I1
vem que da Fig. 4.b,
LL1 L
L
R 2.5I R 3
R 2.5
×× = ×
+
Substituindo valores,
L1
3 2,5 3 2,5I 1 [A]
5 2,5 7,5
× ×= = =
+
Para a excitação apenas pela fonte E1, de
acordo com a Fig. 4.c,
L2
30 30I 4 [A]
2,5 5 7,5= = =
+
Portanto, a corrente total na carga é dada
por,
[A]541III L2L1Lt =+=+=
Resolvendo pelo método convencional, de
acordo com a Fig. 4.d,
Lt
5 2,5I 5 (12 3)
5 2,5
×× = × +
+
Logo,
[A]5ILt =
o que confirma o resultado obtido pelo
método da superposição.
EEL-001 – CIRCUITOS ELÉTRICOS 2008 UNIFEI,VFS, Rev. BDB
Exemplo 2
Calcular IS e IL, indicados pela Fig. 5.a, pelo
Teorema da Superposição.
E1
30V 3A 5[ Ω ]R L
(a)
3A 5[ Ω ]R L 30V 5[ Ω ]
IL1 =0
(b) (c)
3A 5[ Ω ]E=30[V]
(d)
IS IL
I1
IS1 =3[A]
FONTE E1EM REPOUSO
IS2
IL2
FONTE I1EM REPOUSO
ISIL = I L1+I L2
Fig. 5 -
Solução
Para a excitação apenas com a fonte I1,
colocando-se a fonte E1 em repouso,
obtém-se o circuito da Fig. 5.b de modo
que,
[A]3Ie0I S1L1 ==
Para a excitação com E1, colocando-se I1
em repouso, como mostrado na Fig. 5.c
vem que,
[A]65
30II S2L2 ===
Logo, para a excitação final, que é a soma
de cada excitação como mostrado na
Fig. 5.d vem que,
[A]336III SIS2S =−=−=
[A]660III L2L1L =+=+=
EEL-001 – CIRCUITOS ELÉTRICOS 2008 UNIFEI,VFS, Rev. BDB
Exemplo 3
Calcular I3, indicado na Fig. 6, pelo
Teorema da Superposição.
R 1
24 Ω
a
b
R 2
12 Ω
c
b
48V
R 3
4Ω
I3
E 2
(a)
R 1
R 2
R 3
E 1
I31
c
d
V 12
(c)
V 12
+
-E 1 54V
1
2(d)
E 2
+
-48V
R 3
4Ω(e)
R 1
R 2
R 3
E 2
I32
a
b
c
d
3
4
(d)
R 2//R 3
3Ω
R 1//R 2
8Ω
R 1
24 Ω
I32
1
2
E 2 EMREPOUSO
E 1 EMREPOUSO
E154V
I31
Fig. 6 –
Solução
Excitando pela fonte E1, colocando a fonte
E2 em repouso, obtém-se o circuito
equivalente da Fig. 6.b e Fig. 6.c.
Logo,
12
54V 3 6 [V]
24 3= × =
+
A corrente devido à fonte E1 será igual a,
1231
3
V 6I 1,5 [A]
R 4= = =
Excitando o circuito pela fonte E2,
colocando a fonte E1 em repouso, obtém-se
o circuito equivalente da Fig. 6.d e Fig. 6.e.
EEL-001 – CIRCUITOS ELÉTRICOS 2008 UNIFEI,VFS, Rev. BDB
Deste modo, a corrente devido à fonte E2
será dada por,
[A]412
48
48
48I32 ==
+=
A corrente I3 total será igual a soma das
correntes devido a cada fonte,
considerando-se o respectivo sentido.
Logo,
3 32 31I I I 4 1,5 2,5 [A]= − = − =
Observar que I3 já está no sentido da maior
corrente.
Exemplo 4
Calcular I1, indicado na Fig. 7, pelo
Teorema da Superposição.
E 1
3A4[ Ω ]
R 2
(a)
R 1
2[ Ω ]
12V
I1
E 2
6V
I1
I11
R 1
E 1
R 2
(b)
CHAVEABERTA
CHAVEFECHADA
I12
R 1R 2
(c)
E 2
I13
R 1R 2
(d)
I1
3[A]
Fig. 7 –
Solução
Da Fig. 7.b, para a excitação apenas com a
fonte E1 e colocando as outras fontes em
repouso, temos
EEL-001 – CIRCUITOS ELÉTRICOS 2008 UNIFEI,VFS, Rev. BDB
21
1
11RR
EI
+=
Substituindo valores,
[A]242
12I11 =
+=
Da Fig. 7.c, para a excitação devido apenas
à fonte E2 vem que,
21
12RR
E2I
+=
Substituindo valores,
[A]142
6I12 =
+=
Da Fig. 7.d, para a excitação apenas com a
fonte I1 vem que,
1 213 1
1 2
R RI R I
R R
×× = ×
+
Substituindo valores,
13
4I 3 2 [A]
2 4= × =
+
Para a obtenção da corrente final, deve-se
considerar o sentido relativo de cada uma
das correntes de excitação. Portanto,
1 11 12 13I I I I
2 1 2 1 [A]
= − − =
= − − = −
ou seja, o sentido da corrente I1 é idêntica
ao sentido de I12 ou I13.
Exemplo 5
Calcular IL e VL, mostrados na Fig. 8.a, pelo
Teorema da Superposição.
(c)IL2
(d)
IL3
VL
(b)
(a) FONTE 2
3A4[Ω]
IL
10[A]
4[Ω]2[Ω]
2[Ω]
4[Ω]
20[A]
20[V]
2 3
VL
4
1
FONTE 1 FONTE 3
4[Ω]2[Ω]
42 3
1
4[Ω]
4[Ω]
V1 V2 V3
40[V] 20[V] 80[V]
IL
4[Ω]2[Ω]
4[Ω]
4[Ω]
40[V]
2[Ω]
1
I'
Req=1,6[Ω
IL1
4[Ω]2[Ω]
4[Ω]
4[Ω]
20[V]
2[Ω]
1
4[Ω]2[Ω]
4[Ω]
4[Ω]
80[V]
2[Ω]
(e)
Fig. 8 -
EEL-001 – CIRCUITOS ELÉTRICOS 2008 UNIFEI,VFS, Rev. BDB
Solução
MODO 1:
Inicialmente convertem-se as fontes de
corrente para fontes de tensão como
mostrado na Fig. 8.b.
Excitação devido à fonte de tensão de 40
[V] (Fig. 8.c).
´ 40 40I
4 2 1,6 7,6= =
+ +
Logo,
L1
40 1I 1,6 1,05 [A]
7,6 8= × × =
Excitação devido à fonte de tensão de
20 [V] (Fig. 8.d).
L2
20 14 48 1I 1,57 [A]
76 14 8
×= × × =
Excitação da fonte de 80 [V] (Fig. 8.e).
L3
80I 8,42 [A]
4 4 1,5= =
+ +
Logo, para a obtenção da corrente total,
deve-se considerar os sentidos de cada
corrente de excitação. Logo,
L L1 L2 L3I I I I 1,05 1,57 8, 42 7,9 [A]= − + − = − + − = −
Portanto, o sentido de IL é o mesmo de IL2.
Retornando à Fig. 7.b com o sentido real de
IL, obtém-se a tensão VL que é a ddp entre
os nós 3 e 4. Portanto,
L 34V V 4 ( 7,9) 31,6 [V]= = × − = −
MODO 2:
4[Ω]
4[Ω]2[Ω]2 3 4
1
2[Ω] 4[Ω]
IL2
10[A]
(c)
4[Ω]
4[Ω]2[Ω]2 3 4
1
2[Ω] 4[Ω]
IL3
20A
(b)
4[Ω]10[A]
4[Ω]2[Ω]2 3 4
1
2[Ω] 4[Ω]
IL1I32
(a)
4[Ω]
10[A]
4[Ω]2[Ω]
4[Ω]
20[A]
10[A]
2 3 4
1
2[Ω]
I1
I2
I3
IL
VL
Fig. 9 -
EEL-001 – CIRCUITOS ELÉTRICOS 2008 UNIFEI,VFS, Rev. BDB
Transformando-se a fonte de tensão E2
para fonte de corrente, obtém-se o circuito
da Fig. 9.a.
Da Fig.9.b, para a excitação apenas pela
fonte I1 vem que,
12V 1,89 10 18,9 [V]= × =
1232
V 18,9I 5,25 [A]
2 1,6 3,6= = =
+
13V 1,6 5,25 8,4 [A]= × =
Logo,
L1
8 4I 1,05 [A]
8
×= =
Da Fig.8.c, para a excitação devido apenas
a fonte I2 tem-se que,
19
24Req
8
1
2
1
6
1
Req
1=⇒++=
31
24V 10 [V]
19= ×
Portanto,
L2
24 1I 10 1,57 [A]
19 8= × × =
Da Fig.8.d, para a excitação apenas com a
fonte I3 obtém-se que,
41V 20 2,31 46,2 [V]= × =
41L3
V 46,2I 8, 42 [A]
4 1,5 5,5= = =
+
Logo, ao se considerar os sentidos das
diferentes correntes de excitação, obtém-se
a corrente total IL de acordo com,
L L1 L2 L3
L
I I I I
I 1,05 1,57 8, 42 7,9 [A]
= − + −
= − + − = −
Analogamente, para a tensão VL vem que,
L 34V V 4 x 7,9 31,6 [V]= − = − = −
3 – TEOREMA DE THÉVENIN
Qualquer circuito linear de dois terminais
pode ser substituído por um circuito
equivalente, consistindo de uma fonte de
tensão e um resistor em série. A Fig. 10.a
ilustra dois circuitos genéricos A e B.
CIRCUITOA
CIRCUITOB
a
b
(a)
a
bI CIRCUITO
B+-
R th
V th
CIRCUITOA
(c)
CIRCUITOA V th
a
b
R th
MÉTODOSMALHASNÓS
(b)
Fig. 10 -
EEL-001 – CIRCUITOS ELÉTRICOS 2008 UNIFEI,VFS, Rev. BDB
Na prática desacopla-se o circuito A do
circuito B (Fig. 10.b), e através dos métodos
das malhas ou dos nós, obtém-se a tensão
em aberto. A resistência equivalente é
obtida colocando-se as fontes em repouso,
como ilustrado na Fig. 10.c:
Exemplo 6
Calcular IL pelo Teorema de Thévenin.
(b)
R1
3Ω
6Ω R2E1
9VVL
RL
IL
1Ω
a
b
(a)
3Ω
6Ω
a
b
CHAVEFECHADA
1
2
ILa
b
(c)
Vth=6V
Rth=2Ω
RL=1Ω
Fig. 11 -
Solução
Da Fig. 11.a, isola-se o circuito A do circuito
B. A seguir deve-se calcular a tensão
Thévenin:
1th ab 2
1 2
E 9V V R 6 6 [V]
R R 3 6= = × = × =
+ +
A resistência Thévenin, entre os nós a e b é
obtida colocando-se a fonte de tensão em
repouso, como mostrado na Fig. 11.b.
Logo,
1 2th
1 2
R R 3 6R 2 [Ω ]
R R 3 6
× ×= = =
+ +
A seguir, deve-se obter o circuito
equivalente mostrado na Fig. 11.c, o qual é
análogo ao circuito da Fig. 10.c. Deste
modo a corrente IL é facilmente calculada
de modo que,
[A]212
6
RR
VI
Lth
thL =
+=
+=
EEL-001 – CIRCUITOS ELÉTRICOS 2008 UNIFEI,VFS, Rev. BDB
Exemplo 7
Calcular IL pelo Teorema de Thévenin.
3Ω R2
RL
IL
6Ω
a
b
(d)
Rth
6Ω
Vth
48V
4Ω
a
b
(b)
R1
R2
2Ω
Vab12A
R1
2Ω
4Ω
R2
RL
IL
6Ω
a
b
(a)
I112A
a
b
(c)
CHAVEABERTA
R1
4Ω
2Ω
Rab
Fig. 12 -
Solução
Da Fig. 12.b isola-se o circuito no qual
deseja-se calcular Vth e Rth. Logo a tensão
Thévenin será dada por,
ab 1
th ab
V R . I 4,12 48 [V]
V V 48 [V]
= = =
= =
EEL-001 – CIRCUITOS ELÉTRICOS 2008 UNIFEI,VFS, Rev. BDB
Da Fig. 12.c obtém-se a resistência
Thévenin, sendo que a fonte de corrente
deve ser colocada em repouso. Portanto,
][Ω624RRR 21th =+=+=
Da Fig. 12.d, obtém-se o circuito
equivalente final, o qual é análogo ao
circuito da Fig. 10.c. Deste modo,
[A]466
48
RR
VI
Lth
th
L =+
=+
=
Exemplo 8 - Teorema de Thévenin
Calcular Id e Vd no diodo mostrado no
circuito da Fig. 13.a. A curva do diodo está
mostrada na Fig. 13.b.
Solução
Seguindo-se a sistemática anterior, a
resistência Rth é obtida do circuito da
Fig. 13.c.
Logo,
][Ω100R th =
Da Fig. 13.d obtém-se a tensão Thevenin
de acordo com,
[V]3010x300x100VV 3
12th === −
Logo do circuito equivalente da Fig. 13.d, na
qual, para finalidade de cálculo, o diodo é
representado por uma FCEM de 1 [V]. De
acordo com a Fig. 13.b, vem que,
th dd
V V 30 1I 193,3 [mA ]
100 50 150
− −= = =
+
EEL-001 – CIRCUITOS ELÉTRICOS 2008 UNIFEI,VFS, Rev. BDB
Id
Vd
Vd=1,0[V]
(b)
1
2
A
B
Vd
50Ω Id
100Ω
200Ω
(a)
300[mA]
200Ω
100Ω
CHAVE ABERTA 1
(c)2
200Ω
100Ω
300[mA]
1
2
+
-
300[mA]
(d)
1
2
100Ω 50Ω
Vd
Id
Vth+
-30V
1V
(e)
A
B
Fig. 13 -
EEL-001 – CIRCUITOS ELÉTRICOS 2008 UNIFEI,VFS, Rev. BDB
Exemplo 9
Calcular IL pelo Teorema de Thévenin,
2Ω
4Ω
a
b
1A16V
IL
(a)
2Ω
a
b
1A16V
(c)
V ab
1A1A
VR
1A
1A
+-
2Ω
a
b
(b)
4Ω
a
b18V
(d)
R th
V th
2Ω
R
IL
Fig. 14 –
Solução
Da Fig. 14.b,
] [2R th Ω=
Da Fig. 14.c,
th abV V 16 1 2 18 [V]= = + × =
EEL-001 – CIRCUITOS ELÉTRICOS 2008 UNIFEI,VFS, Rev. BDB
Finalmente da Fig. 14.d,
[A]3 42
18IL =
+=
Verificação
Resolvendo o circuito da Fig. 14.a pelo
Teorema da Superposição, considera-se
inicialmente a excitação pela fonte de
tensão.
Logo,
2Ω
4Ω16V
IL1
(a)
2Ω
(b)
1A
IL2
4Ω
Fig. 15 -
Da Fig. 15.a,
L1
16 8I [A]
6 3= =
Da Fig. 15.b,
L2
2 x 4 2 1I x 4 1x [A]
2 4 6 3= = =
+
Logo,
][A33
9
3
1
3
8III L2L1L ==+=+=
Este valor confere com o obtido pelo
Teorema de Thévenin.
EEL-001 – CIRCUITOS ELÉTRICOS 2008 UNIFEI,VFS, Rev. BDB
Exemplo 10
Calcular a corrente IL pelo Teorema de
Thévenin.
6Ω
IL
a
b
(a)
20V
3Ω 3Ω
5V10V
a
b(c)
3Ω 6Ω
20V 10V
V th
+
-6.I
(d)
IL
3Ω
a
b
R th 2Ω
10V
V L
5V
+
-V th
a
b(b)
3Ω 6Ω
R th
R th
I
Fig. 16 -
EEL-001 – CIRCUITOS ELÉTRICOS 2008 UNIFEI,VFS, Rev. BDB
Solução
Da Fig. 16.b,
th
3 6R 2 [ ]
3 6
×= = Ω
+
Da Fig. 16.c,
I.610Vth +−=
20 10 30I [A]
3 6 9
+= =
+
Logo,
][V109
03x610Vth =+−=
Em função do circuito equivalente da
Fig. 16.d obtém-se que,
L
10 5I 1 [A ]
2 3
−= =
+
EEL-001 – CIRCUITOS ELÉTRICOS 2008 UNIFEI,VFS, Rev. BDB
Exemplo 11
Calcular IL pelo Teorema de Thévenin.
3Ω 6Ω 3Ω
1Ω
20V 10V 5V
a
b
IL
(a)
1Ω
IL
b
a
8V
V th
R th 6/5Ω
(e)
b
a
R' eqI' eq
(d)
+
-
V th
3Ω 6Ω 3Ω
a
b(c)
3Ω 6Ω 3Ω
a
(b)b
20/3 10/6 5/3
CARGA
CARGA
Fig. 17 –
Solução
Inicialmente converte-se as fontes de
tensão da Fig. 17.a para fontes de corrente
como mostrado na Fig. 17.b. Desta nova
figura obtém-se o equivalente para a Rth,
com as fontes de corrente em repouso,
como mostrado na Fig. 17.c.
Logo,
6
5
6
212
3
1
6
1
3
1
R
1
th
=++
=++=
Portanto,
][Ω5
6R th =
Obtendo a equivalente fonte de corrente
obtém-se que,
20 10 5 40 10 10 40[A]
3 6 3 6 6 6 6Ieq = − + = − + =
A tensão Thévenin é igual a,
[V]86
40x
5
6V V abth ===
Logo, do circuito equivalente da Fig. 17.e,
L
8I 3,6 [A]
1 6 / 5= =
+
EEL-001 – CIRCUITOS ELÉTRICOS 2008 UNIFEI,VFS, Rev. BDB
Exemplo 12
O circuito da Fig. 18.a ilustra uma aplicação
do transistor, sendo que este mesmo
circuito está redesenhado para definir os
nós 1 e 2 na Fig. 18.b. A Fig. 18.c ilustra o
circuito equivalente (modelo) do transistor.
Calcular IB, IC e VCE aplicando o Teorema de
Thévenin.
Solução:
Da Fig. 18.d obtém-se o circuito que
incorpora, além do modelo do transistor, o
equivalente Thévenin entre os terminais de
base e emissor do transistor. Logo,
baseando-se no circuito da Fig. 18.b e Fig.
18.c vem que,
th
3,9V 22 2 [V]
3,9 39= × =
+
e
th
3,9 39R 3,55 [K ]
3,9 39
×= = Ω
+
Retornando-se ao circuito Base – Emissor
da Fig. 18.d, obtém-se a corrente da base
do transistor, a qual é dada por:
th BEB
th E
E - V 2 V - 0,7 VI
R (β 1) R 3,55 kΩ (141)(1,5kΩ )
1,3 V6,05 µA
3,55kΩ 211,5 k
= = =+ + +
=+ Ω
No circuito Coletor-Emissor da Fig. 18.d,
C B
CE CC C C E
I β I (140) (6,05µA) 0,85 mA
e
V V I (R R )
22 V (0,85 mA)(10 kΩ 1,5kΩ)
22 V 9,78 V 12,22 V
= = =
= − + =
= − +
= − =
EEL-001 – CIRCUITOS ELÉTRICOS 2008 UNIFEI,VFS, Rev. BDB
10K ΩR C
39K ΩIB1
2R E
1.5K Ω
IE
V CE V CC
22V
IC
3.9K Ω
(b)
B C
E
0.7V B.I B
C
EFONTE DE CORRENTE
CONTROLADA POR CORRENTE(B+1).I B
(c)
39K
3.9K
1
2
V CC
22VV 12 =V th
(e)
V th , R th
B C
E
0.7V B.I B
(B+1).I B
R C
V CC +20V
R th 1
IB
V th
RE
1.5K Ω2
V CE
10K Ω
(d)
IC
IC
IB
39 Ω
1OK Ω
V CE
3,9K Ω1,5K Ω
+
-
β =140
(a)
+22V = V CC
Fig. 18 –
EEL-001 – CIRCUITOS ELÉTRICOS 2008 UNIFEI,VFS, Rev. BDB
Exemplo 13
Calcular IL no circuito da Fig. 19.a pelo
Teorema de Thévenin.
2Ω 2 3Rth
2Ω4Ω 4Ω
(c)
(b)
2Ω 2 3
Vth
2Ω
+
-
4Ω 4Ω
40V 20V 80V
+
-I1
(a)
20A
1 2 32Ω 4Ω
IL2Ω
4Ω 4Ω
20V
10A
-
+75V Vth
Rth
5.5Ω 4ΩIL
2
3
(d)
Fig. 19 -
Solução
Inicialmente isola-se o ramo com a
resistência de 4 [Ω] na qual deseja-se obter
a corrente IL. Obtém-se deste modo a
Fig. 19.b, na qual as fontes de correntes
foram transformadas em fontes de tensão.
EEL-001 – CIRCUITOS ELÉTRICOS 2008 UNIFEI,VFS, Rev. BDB
A seguir, baseado no circuito da Fig. 19.b,
colocando-se as fontes em repouso, o
circuito para o cálculo da Rth é obtido como
mostrado na Fig. 19.c.
Logo,
th
th
2 x (2 4) 12 11R 4 4 [ ]
2 2 4 8 2
R 5,5 [ ]
+= + = + = Ω
+ +
= Ω
Da Fig. 19.b, a tensão Thévenin é calculada
como:
Na malha mostrada na Fig. 19.b,
• 1
40 20 60 15I 7,5 [A ]
4 2 2 8 2
+= = = =
+ +
No ramo da fonte de 20 [V],
• 2 2V 2 7,5 20 0 V 20 15 5[V]+ × − = ∴ = − =
No ramo da fonte de 80 [V],
• [V]80V080V 33 =∴=−
A tensão Thevenin é a própria DDP entre os
nós 3 e 2 (V3 > V2).
Th 2 3V V V 5 80 75 [V]∴ = − = − = −
Logo, do circuito equivalente da Fig. 19.d,
vem que,
L
75I 7,89 [A]
9,5= − = −
Como o potencial V3 > V2, a corrente real é
negativa em relação ao sentido original
mostrado na Fig. 19.a.
4 – TEOREMA DE NORTON
Qualquer circuito linear de dois terminais
pode ser substituído por um circuito
equivalente consistindo de uma fonte de
corrente e de um resistor em paralelo.
CIRCUITOA
a
b
CIRCUITOB
IN
IN
IN R N
b
a
CIRCUITOB
CIRCUITO A
Fig. 20 -
EEL-001 – CIRCUITOS ELÉTRICOS 2008 UNIFEI,VFS, Rev. BDB
Exemplo 14
Calcular a corrente IL pelo Teorema de
Norton no circuito da Fig. 21.a.
Solução
No Teorema de Thévenin abre-se o circuito
entre os pontos “a” e “b”. No Teorema de
Norton deve-se curto-circuitar os pontos
entre os terminais “a” e “b”, após o circuito
ou ramo, no qual deseja-se calcular a
corrente ser desconectado.
Logo, da Fig. 21.b, obtém-se a resistência
Norton (mesmo procedimento do cálculo da
resistência Thévenin), que é dada por,
1 2N
1 2
R .R 3 6R 2 [ ]
R R 3 9
×= = = Ω
+ +
Da Fig. 21.c obtém-se a corrente IN
(corrente Norton) no ramo curto-circuitado.
Logo,
[A]33
9
R
EI
1
N ===
A seguir, implementa-se o circuito
equivalente baseado no circuito da
Fig. 20.b. Este circuito está mostrado na
Fig. 21.d. Logo a corrente IL desejada é
dada por,
NL
I 3I 1,5 [A]
2 2= = =
Verificação pelo Teorema de Thévenin
Obtendo-se o equivalente Thévenin do
circuito original da Fig. 21.a obtém-se o
circuito mostrado na Fig. 22.
Logo,
2Th ab
1 2
R 6V V E 9 6 [V]
R R 3 6= = = × =
+ +
1 2
Th N
1 2
R .R 3 6 18R R 2 [Ω ]
R R 3 6 9
×= = = = =
+ +
EEL-001 – CIRCUITOS ELÉTRICOS 2008 UNIFEI,VFS, Rev. BDB
R 1
3Ω
1
2
R 2
6Ω
R L
a
b
IL
2ΩV ab
E9V
(a)
1
2b
a
R 2
R 1
(b)
R N
b
a
V ab
IL
R L2Ω
R N
2Ω3AIN
IN
IN
(d)
b
a
R 2
R 1
(b)
IN
E
Fig. 21 -
A corrente Iab é igual a,
ab
6I 1,5 [A]
2 2= =
+
Esta corrente é igual a corrente IL calculada
utilizando-se o Teorema de Thévenin.
EEL-001 – CIRCUITOS ELÉTRICOS 2008 UNIFEI,VFS, Rev. BDB
a
b
Iab
2Ω
6V V ab
Fig. 22 -
Exemplo 15
Calcular IL e VL pelo Teorema de Norton no
circuito da Fig. 23.a.
Solução
Transformando-se as fontes de tensão em
fontes de correntes obtém-se o circuito da
Fig. 23.b. Este circuito permite facilmente
calcular a corrente Norton como,
3
20
3
5
3
5
3
20
3
5
6
10
3
20I N =+−=+−=
Da Fig. 23.c, colocando-se as fontes da Fig.
23.b em repouso, obtém-se a resistência
Norton dada por,
N thR R 6/5 [Ω ]= =
Logo, o equivalente Norton será o circuito
mostrado na Fig. 23.d. Deste modo,
L
20 1 x 6/5 40I x1 x [A]
3 1 6/5 11= =
+
Logo,
LI 3,6 [A]∴ =
Portanto,
LV 1 x 3,6 3,6 [V]= =
EEL-001 – CIRCUITOS ELÉTRICOS 2008 UNIFEI,VFS, Rev. BDB
a
(b) b
IL
20/3A 10/6A 5/3A
3Ω 6Ω
3Ω
3Ω 6Ω 3Ω
1Ω20V 10V 5V
a
b
IL
(a)
V L
a
(c)b
3Ω 6Ω 3Ω R N
IL
b
a
(d)
1Ω
IN
6/5
IN
203
A
Fig. 23 -
EEL-001 – CIRCUITOS ELÉTRICOS 2008 UNIFEI,VFS, Rev. BDB
Exemplo 16
Calcular IL e VL pelo Teorema de Norton,
para o circuito mostrado na Fig. 24.a.
a
IL
b
a
(c)
4ΩIN
3A
R N
1Ω V L
(b)b
IN
3Ω 6Ω 2Ω
3A 6A
6A
a
(a)
b
6Ω
2Ω
4ΩV L
12V3A
3Ω
18V
IL
Fig. 24 -
Solução
Transformando as fontes de tensão para
fontes de correntes, obtém-se o circuito da
Fig. 24.b. Seguindo-se a sistemática
anterior obtém-se:
Resistência Norton
eq
N
N eq
1 1 1 1
R 3 6 2
1 1 2 1 3R 1 [ ]
R R 6
= + +
+ += = ∴ = Ω
Corrente Norton
[A]32
123
3
18IN −=−−=
Logo do equivalente Norton da Fig. 24.c,
calcula-se o valor de IL,
L
L
4 . 1I .4 x 3
4 1
3I 0,6 [A ]
5
= −+
= − = −
O sentido real de IL é oposto em relação ao
adotado, logo,
LV 4 x ( 0.6) 2,4 [V]= − = −
EEL-001 – CIRCUITOS ELÉTRICOS 2008 UNIFEI,VFS, Rev. BDB
Exemplo 17
Calcular IL pelo Teorema de Norton, para o
circuito mostrado na Fig. 25.a.
(c)
4Ω
5.5Ω
2
3
IL
-15011
A
(b)
4Ω2Ω6Ω
40V
+
-I1
+
-
20V
I280V
+
-
2 3
I1 - I2
(a)
4Ω
2Ω
4Ω
2Ω 4Ω
10A 20A
1 2 3
20V
Fig. 25 -
Solução
O primeiro passo é isolar o ramo da
resistência de 4 [Ω] no qual deseja-se
calcular a corrente IL. A seguir entre os nós
2 e 3 é aplicado um curto, de modo que o
circuito equivalente para o cálculo de IN e
RN seja o mostrado na Fig. 25.b. Deve ser
observado que as fontes de corrente do
circuito da Fig. 25.a foram transformadas
em fontes de tensão no circuito da Fig.
25.b.
Da Fig. 25.b,
NR 5,5 [ ]= Ω
Também da Fig. 25.b, pelo método das
malhas vem que,
1 2 1
2 2 1
40+20 2(I I ) 6 I 0
80 4 I 2( I I ) 20 0
+ − + =
+ + − − =
Logo,
1 2
1 2
8I 2I 60
2 I 6 I 60
− = −
− + = −
1 2
1 2
4I I 30
I 3I 30
− = −
− + = −
A corrente I2 é igual a,
2
4 30
1 30 150I [A]
4 1 11
1 3
− − − = = −
− −
Logo,
[A]11
150II 2N −==
Da Fig. 25.c, já com o equivalente Norton
incorporado obtém-se que,
L1
150 5,5 x 4I 4 x 7,89 [A]
11 9,5× = − = −
Deve-se observar, contudo, que a corrente
IL possui um sentido real contrário ao
mostrado na Fig. 25.a.
EEL-001 – CIRCUITOS ELÉTRICOS 2008 UNIFEI,VFS, Rev. BDB
5 – TEOREMA DE MILLMAN
“Qualquer número de fontes de tensão em
paralelo pode ser reduzida a apenas uma”.
a
4Ω 2Ω 8Ω
4Ω
24V 12V 48V
a
b
IL
(a)
E1 E2 E3
RL
b
a
RLReqIeq
(c)
IL
IL
b
a
(d)
Req
Veq
RL
(b) b
R1 R2 R3 RL
I1 I2 I3
IL
Fig. 26 -
EEL-001 – CIRCUITOS ELÉTRICOS 2008 UNIFEI,VFS, Rev. BDB
Transformando o circuito da Fig. 26.a para o
circuito da Fig. 26.b vem que,
eq 1 2 3I I I I= − + [3]
e
321eq R
1
R
1
R
1
R
1++=
[4]
Da regra de transformação de fontes de
tensão para fontes de corrente vem que,
3
33
2
22
1
11
R
EI
R
EI
R
EI ===
As correntes acima permitem a obtenção
do circuito da Fig. 26.c, o qual é novamente
convertido na equivalente fonte de tensão
da Fig. 26.d.
Logo,
eqeqeq I.RV = [5]
Com base no circuito equivalente da
Fig. 26.d vem que,
eq
L
eq L
VI
R R=
+ [6]
Exemplo 18
Calcular a corrente IL pelo teorema de
Millman, considerando o circuito da Fig.
26.a.
Solução
Substituindo valores vem que,
][A68
48I
[A]62
12I
[A]64
24I
3
2
1
==
==
==
Logo,
eq 1 2 3I I I I 6 6 6 6 [A]= − + = − + =
A resistência equivalente é calculada como,
eq
eq
1 1 1 1 2 4 1 7
R 4 2 8 8 8
R 8 / 7 [ ]
+ += + + = =
∴ = Ω
eq eq eq
8 48V R I 6 = [V]
7 7= = ×
Portanto, da Eq. 6 obtém-se que,
L
48/7 4I [A]
8/7 4 3= =
+
EEL-001 – CIRCUITOS ELÉTRICOS 2008 UNIFEI,VFS, Rev. BDB
DUAL DO TEOREMA DE MILLMAN
a bI1 I2 I3
R 1 R 2R 3
R L
(a)
IL
a bR 1 R 2 R 3
V 1 V 2 V 3
R L
(b)
IL
R L
V eq R eqa b
(c)
IL
a b
Ieq
R eq
R L
IL
(d)
Fig. 27 -
Da Fig. 27.b,
333222111 I.RVI.RVI.RV ===
Logo,
321eq VVVV ++= [7]
EEL-001 – CIRCUITOS ELÉTRICOS 2008 UNIFEI,VFS, Rev. BDB
e
321eq RRRR ++= [8]
Da Fig. 27.c, transformando a fonte de
tensão para fonte de corrente,
eqeqeq R/VI = [9]
Logo no circuito equivalente da Fig. 27.d
vem que,
Leq
eq
eqLRR
R.II
+= [10]
6 – TEOREMA DE MILLER
O Teorema de Miller é um princípio de
equivalência muito útil que pode ser
aplicado em qualquer port de um circuito
linear que esteja conectado a outro port via
um elemento transversal. O teorema de
Miller é desenvolvido aqui para circuitos
resistivos.
De acordo com o teorema de Miller, a
resistência RX no circuito da Fig. 28.a, pode
ser modelada por uma resistência paralela
equivalente RA mostrada na Fig.28.b. Esse
circuito modela o comportamento do circuito
original visto dos terminais do port A. Para o
circuito equivalente ser uma representação
exata do circuito real, o valor de RA deve ser
devidamente escolhido.
(a)
iA iBR X
+ +
- -
Port BvBPort A vA
Port A vA
+
-
+
-
iA iB
Port BvBR A R B
(b)
Fig. 28 -
Circuito original: a característica v-i do
port A é dada por,
BXAA vRiv += [11]
A Eq. 11 também pode ser expressa na
forma:
X
BAA
R
vvi
−= [12]
Circuito Equivalente: a característica v-i do
port A na rede equivalente da Fig. 30.b, é
dada por
AAA R/vi = [13]
Para que as redes das Figs. 30.a e 30.b
sejam equivalentes ao port A, as
características v x i dadas pelas Eqs. [12] e
[13], devem ser as mesmas. Estas
características v x i podem ser idênticas
escolhendo-se RA de modo que,
EEL-001 – CIRCUITOS ELÉTRICOS 2008 UNIFEI,VFS, Rev. BDB
A
A
X
BA
R
V
R
vv=
−
Logo,
AB
X
BA
AXA
/vv-1
R
vv
vRR =
−= [14]
Para este valor de RA, a equação v x i no
port A da rede equivalente é
X
BA
A
BA
X
A
A
AA
R
vv
v
vv
R
v
R
vi
−=
−== [15]
Esta equação é idêntica à característica
v x i da rede real, como dada pela Eq. [12].
Analogamente para o port B,
B
A
X
B
V
V1
RR
−
= [16]
Se RA e RB são escolhidos de acordo com
as Eqs. [14] e [16], as redes equivalentes da
Fig. 28.b serão equivalentes à rede original
vista de cada um de seus dois ports. O
teorema de Miller pode ser aplicado
somente a redes que tenham a topologia da
Fig. 28.a, e requer um conhecimento das
razões vA/vB.
7 – MÁXIMA TRANSFERÊNCIA DE
POTÊNCIA
Seja o circuito da Fig. 29, o qual está
retratando uma carga RL recebendo
potência de um circuito representado pelo
equivalente Thévenin VS e Rt.
R t
+-
IS
IS
R LVS
PSP L
EQUIVALENTE THEVENIN
Fig. 29 -
A potência entregue pela fonte é dada por,
SSS I.VP = [17]
A potência recebida pela carga é igual a,
2
SLL I.RP = [18]
A corrente no circuito é calculada como,
Lt
SS
RR
VI
+= [19]
Logo,
( )2
S2
Lt
LL V.
RR
RP
+=∴ [20]
EEL-001 – CIRCUITOS ELÉTRICOS 2008 UNIFEI,VFS, Rev. BDB
( ) ( )( )4
Lt
LLt
2
Lt2
S
L
L
RR
.RRR2RR.V
dR
dP
+
+−+= [21]
Para se obter a máxima transferência de
potência,
tL
L
L RR0dR
dP=⇒= [22]
Portanto,
L
2
S2
S2
L
LLmáx
R.4
VV
)R.(2
RP == [23]
Deve-se observar que,
Rt → Rth
Vs → Vth
Com base na Eq. 23, para diversos valores
de RL em função de Rt obtêm-se os
seguintes valores:
• 2
RR t
L =
t
S
tt
SS
R
V.
3
2
/2RR
VI =
+=
2 2 2
t S S SL 2
t t t
R V V V4 2 4P .
2 9 R 9 R 9 4.R= × × = × = ×
2
SL
Ss tS
t
VP 2 1η% x 100% .
V2P 9 RV
3 R
1100¨% 33,3%
3
= = × =
× ×
= × =
• tL RR =
t
S
S2R
VI =
t
2
SL
R.4
VP
M=
Este valor corresponde ao máximo valor de
PL.
2
S
StS
t
V 1 1η% 100% 100% 50%
V4.R 2V
2.R
= × × = × =
×
• tL R2R =
t
2
S
t
2
S
2
t
2
StL
R.4
V.
9
8
R
V.
9
2
R.9
V.R.2P ===
2
S
StS
t
V2 1η% . 100
V9 RV
3.R
2100 % 66,6%
3
= × × =
×
= × =
EEL-001 – CIRCUITOS ELÉTRICOS 2008 UNIFEI,VFS, Rev. BDB
A Fig. 30 ilustra graficamente a variação de
diversas grandezas em função de RL.
30
10
20
40
50
5
8
7
6
4
3
2
1
5 10 15 20 25 309
V C (v) IC (A)P L(W)
Imax =E th /R L=6.67A
IC
R L=R th=9 Ω
00RL( Ω )
P L
VC100
92 E th
2
Imax
2
Fig. 30 -
Exemplo 19
Obtenha o valor de RL para que exista a
máxima transferência de potência da fonte
para a carga para o circuito da Fig. 31.a.
10 Ω
-+
C 4Ω
R L2A40 Ω10V
(a)
-+
C
2A10V
(b)
a
b
10 Ω 4Ω
40 Ω
(c)
+-
12 Ω
b
a
8V R L
Fig. 31 -
Solução
Inicialmente isola-se a carga RL do restante
do circuito de modo a se obter o equivalente
Thévenin. Resolvendo para o circuito da
Fig. 31.b, obtém-se que,
[V]8Vth =
e
] [12R th Ω=
Logo da Fig. 31.c e da Eq. 22,
][Ω12RR thL ==
EEL-001 – CIRCUITOS ELÉTRICOS 2008 UNIFEI,VFS, Rev. BDB
8 – CASOS ESPECIAIS / FONTES
CONTROLADAS (DEPENDENTES)
Fontes controladas ou Fontes dependentes
são fontes controladas por tensão/corrente
que são partes de um dado circuito. A
tensão terminal ou corrente terminal
depende da tensão ou da corrente definida
pelas fontes independentes em outros
elementos (ramos/nós) do circuito.
Exemplo 20
Obtenha o circuito equivalente Thévenin
para o circuito da Fig. 32.
Solução
Abrindo o circuito entre os nós “a” e “b” na
Fig. 32.a, obtém-se que,
OC a bV V 6 i= =
Aplicando KVL na malha da fonte de 20 [V]
vem que,
20 - 6i 2i - 6i 0+ =
Logo,
i = 2 [A]
EEL-001 – CIRCUITOS ELÉTRICOS 2008 UNIFEI,VFS, Rev. BDB
-+
10 Ω
20V
(b)
+-6Ω
+ -
2i
+
-6Ω
i
a
b
+ -
ISCi1 i2
-+
10 Ω
20V
(a)
+-6Ω
+-i
v=2i
+
-6
i
Fonte de TensãoControlado por Corrente
a
bCIRCUITO 1
CIRCUITO2
(c)
+-
13.6 Ω
b
a
12VCIRCUITOTHEVENIN CIRCUITO
2
CIRCUITO 1
Fig. 32 -
Portanto a tensão Thévenin é igual a,
th OC abV V V 6 . i 6 . 2 12 [V]= = = = =
A seguir deve-se obter a corrente Norton
entre os nós a e b.
Malha 1:
1 2 1 1 2
1 2 1
1 2
1 2
6(I I ) 6I 2(I I ) 20 0
4(I I ) 6I =20
10I 4I 20
5I 2I 10
− + − − − =
− +
− =
− =
Malha 2:
2 2 1
1 2
1 2
10I 6(I I ) 0
6I 16I =0
3I 8I 0
+ − =
− +
− =
Onde,
EEL-001 – CIRCUITOS ELÉTRICOS 2008 UNIFEI,VFS, Rev. BDB
1 2
SC N 2
i (I I )
I =I =I
= −
Resolvendo para I2=IN=Isc obtém-se que,
2
5 10
3 0 30 15I = [A]
5 2 34 17
3 8
− = =− −
−
[A]136
120II SCN ==
Logo, a resistência Thévenin é dada por,
thth
N
V 12R 13,6 [Ω ]
I 120/136= = =
Deste modo o circuito equivalente Thévenin
será o mostrado na Fig. 32.c.
Exemplo 21
Obtenha o circuito equivalente Norton para
o circuito da Fig.33.a.
Solução
Abrindo o circuito entre os terminais a e b,
como na Fig. 33.a, vem que a corrente i
para a condição de operação com circuito
aberto entre os nós a e b é dada por,
250i25(10i)VV abOC −=−==
Aplicando KVL na malha com a fonte de
5 [V] vem que,
0 250i500i5 =−+−
[A] 0,020 5/250i ==
Portanto,
mA][20i =
EEL-001 – CIRCUITOS ELÉTRICOS 2008 UNIFEI,VFS, Rev. BDB
(c)
CIRCUITO 1
50Ω
b
a
CIRCUITO2
IN=I SC =0.1A
-+5V
(b)
500 Ω
+
-
a
b
+
-i
V ab
10i25 Ω
ISC
-+
5V
(a)
500 Ω
+ -i
+
-
a
b
+
-i
V ab V ab
10i
Fonte de TensãoControlada por Tensão
Fonte de CorrenteControlada por Corrente
25 Ω
CIRCUITO1
Fig. 33 -
Logo,
th oc ab
-3
V V V 250 .i
250 x 20 x 10 5 [V]
= = = − =
= − = −
Da Fig. 33.b obtém-se a corrente IN ou ISC
do nó a para o nó b.
Logo,
i10ISC −=
A nova corrente i (não possui o mesmo
valor obtido anteriormente) e deve ser
novamente obtido da malha da fonte de
5 [V], para a nova condição de operação,
que é a condição de curto-circuito entre os
nós a e b.
00500i5 =++−
]A[ 01,0500/5i ==
Portanto,
N SCI I 10 i 0,1 [A]= = − = −
Finalmente,
th oct
N SC
V V 5R 50 [Ω ]
I I 0,1
−= = = =
−
EEL-001 – CIRCUITOS ELÉTRICOS 2008 UNIFEI,VFS, Rev. BDB
ANEXO I
TEOREMA DA FONTE DE ABSORÇÃO
O Teorema da absorção da fonte tem duas
formas duais: o teorema da absorção da
fonte de tensão e o teorema da absorção da
fonte de corrente.
-Teorema da Absorção da Fonte de Tensão
Estabelece que se existir num ramo, com
corrente I, uma fonte de tensão controlada
por essa mesma corrente I, a fonte pode ser
substituída por uma simples resistência de
valor igual ao fator controlante da fonte.
A demonstração é muito simples. Uma
impedância Z retratada na prática por uma
resistência R, percorrida por uma corrente I,
origina a mesma tensão que a fonte ZI
possui nos seus terminais. A Fig. I.1 ilustra
a aplicação deste teorema.
+
-
I
R[ Ω ]RI
I
Fig. I.1 -
-Teorema da Absorção da Fonte de
Corrente
Estabelece que se existir num ramo,
submetido a uma tensão V, uma fonte de
corrente controlada por essa mesma tensão
V, a fonte pode ser substituída por uma
simples condutância de igual valor ao fator
controlante da fonte.
A demonstração é igualmente simples. Uma
admitância Y submetida a uma tensão V,
resulta em uma corrente Y.V.
Y.V
I
V V
Y Ω1[ ]
R=1/Y
Fig. I.2 -
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