edii14 [2012.1] Árvores b e b+

Prof. Kenia Kodel

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Árvores B e B+

Extrato

UFS - DComp - Prof. Kenia Kodel 2

O que é árvore?

árvore nó grau folha nível ramo raiz altura

Conhece os termos ao lado?

Árvore: Terminologia

árvore binária

árvore binária de pesquisa

aplicações de árvores

vantagens

árvores balanceadas

Árvore...

O que você sabe sobre...

As árvores B são árvores cujos critérios de organização (crescimento / armazenamento de dados) as conservam balanceadas.

Apresentam crescimento bottom up – das folhas para a raiz.

Árvore B

Cada nó de uma árvore B tem mais de uma entrada e múltiplas descendências.

Em cada entrada é mantido registro de dados; apesar de nestes slides serem apresentadas apenas as chaves de busca.

astro caju

Árvore B

O tamanho dos nós das árvores B é determinado pela capacidade de armazenamento da memória principal.

astro caju

Árvore B

Para alguns estudiosos, as árvores B nasceram da paginação (blocos de nós) das árvores binárias de busca.

Árvore B

Numa árvore B de ordem x:1.Todos os nós, exceto a raiz, devem

armazenar de x a 2x dados.2.A raiz deve armazenar de 1 a 2x

dados.3.Todo nó ou é folha ou tem k+1

descendentes, onde k é o número de dados mantidos no nó.

4.Todas as folhas devem apresentar-se num mesmo nível.

Árvore B

Segue uma árvore B de ordem 1, entretanto, vale esclarecer que as árvores B, na prática, são usadas para armazenar grande quantidade de dados; apresentando, em geral, ordens elevadas.

Árvore B

astro caju

Numa árvore B de ordem x:

1. Todos os nós, exceto a raiz, devem armazenar de x a 2x dados.

2. A raiz deve armazenar de 1 a 2x dados.

3. Todo nó ou é folha ou tem k+1 descendentes, onde k é o número de dados mantidos no nó.

4. Todas as folhas devem apresentar-se num mesmo nível.

astro caju

Importante observar que, sendo uma árvores B de ordem x, seus nós devem ser compostos por 2x entradas para dados e 2x+1 apontadores.

Árvore BNuma árvore B de ordem

x:1. Todos os nós, exceto

a raiz, devem armazenar de x a 2x dados.

Como efetuar consulta em

árvore B?

astro boca caju gota zebra

cajá loja

ConsultaEfetuar consultas nesta árvore B?

Consultacajá gato

Efetuar consultas nesta

árvore B?

Como efetuar inclusão em árvore B?

Inclusãocajá gato

Como efetuar a inclusão do dado loja

na árvore dada?

astro caju

Inclusão

Como efetuar a inclusão dos dados boca e loja na

árvore dada?

É possível estudar o processo de inserção de dados em árvores B através da construção, por exemplo, de uma árvore de ordem 1 composta por: caju1, cajá2, astro3, boca4, loja5, gato6, gota7, zebra8.

Inclusão

2 cajá caju

Inserindo cajá:

Há o deslocamento do primeiro valor

para manter a estrutura ordenada.

Inclusão

cajá caju2

3 cajá caju

Inserindo astro:

Observa-se o estouro da capacidade de armazenamento do nó implicando na necessidade de crescimento da estrutura.

Inclusão

cajá caju2

3 cajá

Inserindo astro:

astro caju

Houve estouro da capacidade de armazenamento do nó e consequente crescimento bottom up da estrutura.

Inclusão

3 cajá

Inserindo boca e loja:

astro caju

4 e 5 cajá

astro boca caju loja

Inclusão

Na inclusão de boca, compara-se esta com a raiz, sendo menor, segue-se pela esquerda. Compara-se a nova palavra com o valor encontrado: astro, sendo maior, segue pela direita, havendo espaço, faz-se a inclusão.

4 e 5 cajá

Inclusão

Inserindo gato:

6 cajá gato

Inclusão

Há o estou da capacidade de armazenamento do nó composto por caju||loja, então o elemento mediano gato é remetido ao nível ascendente – crescimento bottom up.

Inclusão

Inserindo gota:

7 cajá gato

astro boca caju gota loja

6 cajá gato

Inclusão

Inserindo zebra:

7 cajá gato

astro boca caju gotazebr

6 cajá gato

astro boca caju gota loja

Inclusão

Inserindo zebra:

7 cajá gato

7 cajá loja

Inclusão

cajá loja

O estouro do nó gota||loja provoca o estouro do nó ascendente cajá||gato.

Inclusão

Como efetuar exclusão em

árvore B?

cajá loja

Exclusão

Como efetuar a exclusão do dado

boca na árvore dada?

astro caju gota loja

cajá loja

Exclusão

Como efetuar a exclusão do dado

gato na árvore dada?

O estudo da exclusão em árvores B

pode ser efetuado pelo

acompanhamento do processo de

execução desta operação; partindo,

por exemplo, da árvore antes

construída.

Exclusão

cajá loja

Importante ressaltar que, em toda e qualquer operação de manipulação de dados mantidos em árvore B, é indispensável preservar suas características.

Exclusão

cajá loja

Excluindo boca:

Este constitui um caso trivial, não provoca

nenhuma alteração na estrutura da árvore.

Exclusão

cajá loja

Excluindo cajá:

A simples remoção da palavra violaria a definição de árvore B. Então este é substituído pelo seu antecessor imediato – o nó mais a direita do ramo da esquerda.

ExclusãoNuma árvore B de ordem x:1. Todos os nós, exceto a raiz,

devem armazenar de x a 2x dados.

cajá loja

Excluindo cajá:

Exclusão

Somente o antecessor imediato pode substituir

um nó excluído?

cajá loja

Excluindo caju:

Neste, o elemento não tem antecessor imediato, então faz-se uso do nó ascendente: cajá.

astro boca cajá

cajáX

astro boca cajá

astro boca cajá gota zebra

boca loja

Árvore final:

... ...

JÁ VISTO

astro caju gota zebra

cajá loja

Excluindo zebra:

Neste caso o elemento não tem antecessor imediato, então faz-se uso do nó ascendente, no caso: loja.

Exclusão

cajá loja

Excluindo zebra:

Este elemento – loja – também não tem antecessor imediato,então faz-se uso do nó ascendente, no caso: gato.

Exclusão

cajá gato

Excluindo zebra:

Este elemento – gato – não tem antecessor imediato nem nó ascendente, então há a combinação de nós.

Exclusão

cajá gato

Exclusão

Quando aplicar árvores B?

Esquematizar a construção de uma árvore B de ordem 2.

Exercício

Propor e esquematizar 5 exclusões a serem efetuadas sobre a árvore obtida em resposta à questão anterior de forma a aplicar os 4 casos vistos no estudo desta operação.

Exercício

Descrever consulta a ser efetuada sobre a árvore obtida em resposta à questão 17: (a) de item existente (b) de item inexistente.

Exercício

Quando aplicar árvores B?

Exercício

Consiste numa variante da árvore B

que, como sugere o nome, apresenta

vantagens em relação à estrutura

original.

Árvore B+

Geralmente as árvores B+ apresentam

menor profundidade que as árvores B com

mesmos dados, pois nas B+ há aumento

do número de entradas mantidas por nó.

Árvore B+

O tamanho dos nós é determinado pela

capacidade da memória principal. Nas B+ só

as chaves são mantidas nos nós não terminais,

assim tem-se árvores com maior número de

entradas por nó e menos profundidade, pois

as chaves constituem apenas um subconjunto

dos registros completos.

Árvore B+

Nas árvores B+ os registros completos são

armazenados exclusivamente nas folhas.

Os nós não terminais atuam como índices

de acesso aos dados contidos nos nós

terminais.

Árvore B+

Então, em resumo, uma árvore B+ é uma árvore B em que os registros de dados são mantidos nos nós folhas e os nós não terminais constituem somente chaves que servem como índices de acesso aos dados.

Árvore B+

Índices

O processamento linear é garantido pelos links que mantêm os nós folhas dispostos em sequência.

Índices

Árvore B+

Para manutenção da ordenação dos

dados de uma árvore B+ não é

necessário movimentação de nós.

É possível efetuar processamento

direto ou sequencial sobre os dados

mantidos em árvores B+.

Árvore B+

Índices

Como efetuar inserção em árvores B+?

Na inserção de dados em árvores B+ os registros são armazenados nos nós folhas e as chaves são incluídas no nós índices com um ponteiro, ou caminho, para o respectivo nó terminal.

Árvore B+

É possível estudar o processo de

inserção de dados em árvores B+

através da construção, por exemplo,

de uma árvore composta pelas chaves:

801 – 502 – 983 – 904 – 605 – 656 – 707 –

558 – 649.

Árvore B+

Considera-se uma árvores B+ de ordem 2.

1 Incluindo 80:

Árvore B+

2 Incluindo 50:80

50... 80...

3 e 4 Incluindo 98 e 90:80

50... 80... 90... 98...

Árvore B+

A inserção em árvores B+ segue os processo trivial de inclusão em árvore de pesquisa: dados menores ou iguais ao nó pai são mantidos no ramo esquerdo e os maiores, à direita deste.

Árvore B+

5 Incluindo 60:80

50... 80... 90... 98...

Esta implica em estouro do nó 50|80 e provoca os encaminhamentos da chave mediana para o nó ascendente e do 80 para próximo espaço.

Árvore B+

5 Incluindo 60:

50... 60... 80... 90... 98...

50... 80... 90... 98...

Árvore B+

6 Incluindo 65:

50... 60... 65... 80... 90... 98...

50... 60... 80... 90... 98...

Árvore B+

7 Incluindo 70:

60 70 80

50... 60... 65... 70... 80... 90... 98...

50... 60... 65... 80... 90... 98...

8 Incluindo 55:60 70 80

50... 60... 65... 70... 80... 90... 98...

55 60 70 80

50... 55... 65... 70... 75... 80... 90... 98...60...

Árvore B+

9 Incluindo 64:55 60 70 80

50... 55... 65... 70... 75... 80... 90... 98...60...

55 60 70 80

50... 55... 70... 75... 80... 90... 98...60... 64... 65...

Árvore B+

9 Incluindo 64:

50... 55... 70... 75... 80... 90... 98...60... 64... 65...

55 60 70 80

50... 55... 70... 75... 80... 90... 98...60... 64... 65...

55 60 70 80

Árvore B+

A inserção de 64 provoca o estouro do nó 65||70 e o encaminhamento de 65 ao nó ascendente que, por sua vez, implica no estouro do nó 55||60||70||80 e consequente encaminhamento de 65 ao nível ascendente, com crescimento da estrutura.

Árvore B+

Índices

Como efetuar remoção em árvores B+?

Em função da forma de organização das

árvores B+, nem toda exclusão provoca

alterações nas duas áreas de composição

da estrutura de dados e de índices.

Árvore B+

A remoção de nós da área de

dados é equivalente à remoção em

estruturas lineares.

Já a exclusão na área de índices é

similar a que ocorre em árvores B.

Árvore B+

50... 55... 70... 75... 80... 90... 98...60... 64... 65...

55 60 70 80

Discutir remoção das chaves 55 e 60 da estrutura dada abaixo:

Árvore B+

Esquematize a inclusão dos nós 51, 76, 77, 78, 200, 300 e 150 na estrutura dada a seguir:

50... 55... 70... 75... 80... 90... 98...60... 64... 65...

55 60 70 80

Exercício

Esquematize a exclusão dos nós 55,

60, 65 e 78 da estrutura obtida em

resposta à questão anterior.

Exercício

Descreva a operação de consulta em árvore B+.

Exercício

Pesquise definição, operações e

aplicação de estrutura tipo árvore

distinta das estudadas até então.

Exercício

Descreva os passos gerais da operação de

consulta em árvores digitais de pesquisa.

Exercício

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Classificação Externa

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