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GE-814: Introdução à Avaliação Operacional

Objetivo

Que a audiência se familiarize com a

Análise de Variância (ANOVA) e o

delineamento de um único fator.

Roteiro

ANOVA

Delineamento de um único fator

Roteiro

ANOVA

Delineamento de um único fator

Definição

A análise de variância (ANOVA) é um

método para testar a igualdade de mais

de três médias populacionais, baseado

na análise de variâncias amostrais.

Por que não usar teste-t?

Por que não fazer múltiplas

comparações usando o teste-t?

Chance de incorretamente identificar a

diferença das médias (erro tipo I) é

aumentada para 1-(1-α)n

Por exemplo: para 4 sistemas (n=6

[12,13,14,23,24,34], α=0.05), a proba-

bilidade de falsa rejeição é de 26%

ANOVA

As hipóteses da ANOVA são as seguintes:

Um outro modo de se colocar estas hipóteses

é ( ):

0 1 2

1

: ...

: , para pelo menos um par ( , )

a

i j

H

H i j

0 1 2

1

: ... 0

: 0, para pelo menos um

a

i

H t t t

H t i

i it

Notações

Tratamento

(nível) Observações Total Média

1 11y 12y ... 1ny 1y

1y

2 21y 22y ... 2ny 2y 2y

...

...

...

...

...

... ...

a 1ay 2ay ... any ay ay

Total 1y 2y ny y y

1

1 1

, 1, 2, ... ,

, ,

n

ii ij i

j

a n

ij

i j

yy y y i a

n

yy y y N an

N

ANOVA

O nome Análise de Variância é devido ao fato

de que nós decompomos a variância total (SST)

em 2 partes.

Pode ser mostrado que:

2

1 1

( )a n

T ij

i j

SS y y

2 2 2

1 1 1 1 1

( ) ( ) ( )a n a a n

T ij i ij i

i j i i j

SS y y n y y y y

SSTratamentos

≠ entre média dos tratamentos e

média geral

SSErro

≠ entre obs dentro dos

tratamentos e a média

tratamentos

ANOVA

SSErro

Variância devido ao acaso ou fatores

desconhecidos

SSTratamentos

Variância devido à fonte explicada ou fatores

conhecidos

2 2 2

1 1 1 1 1

( ) ( ) ( )a n a a n

T ij i ij i

i j i i j

SS y y n y y y y

SSTratamentos

≠ entre média dos tratamentos e

média geral

SSErro

≠ entre obs dentro dos

tratamentos e a média

tratamentos

Média Quadrada dos Erros

Substituindo o modelo na

equação acima temos:

Que após desenvolvimentos nos mostra que:

2 2 2

1 1 1 1 1

1( )

ij i

a n a n a

ij i

i j i j iErrosErros

y y y ynSS

MSN a N a N a

ij i ijy t e

2

2

1 1 1 1

1 1( ) ( )

a n a n

Erros i ij i ij

i j i j

E MS E t e t eN a n

2( )ErrosE MS

Média Quadrática dos Tratamentos

Através de uma abordagem similar à

anterior, podemos mostrar que:

2

1

2 1

( )

1

( )1

a

i

iTratamentos

a

i

iTratamentos

n y y

MSa

n t

E MSa

Logo, se a hipótese nula for verdadeira, tanto

a Média Quadrática dos Erros quanto a

Média Quadrática dos Tratamentos irão ser

estimadores não tendenciosos da variância.

Média Quadrática dos Tratamentos

2 2 21 0( )

1 1

a

i

iTratamentos

n t

E MSa a

Estatística F

Caso a hipótese nula seja verdadeira, a razão:

terá uma distribuição F.

Se:

Deveremos rejeitar H0

0Tratamentos

Erros

MSF

MS

0 , 1,a N aF F

Efeitos da Variabilidade

Efeitos da Variabilidade

Estimativa dos parâmetros

Para se construir o modelo, utiliza-se a

seguinte fórmula:

i it y y

Suposições

Valem as seguintes suposições quando testamos a hipótese de que três ou mais amostras provêm de populações com a mesma média:

1) as populações têm distribuições normais

2) as populações têm o mesmo desvio-padrão

3) as amostras são aleatórias e mutuamente independentes

4) as diferentes amostras provêm de populações classificadas em apenas uma característica

Exemplo

Os resultados a seguir são de um experimento com

quatro tipos diferentes de caixas (“containers”) em

que foram comparadas suas resistências à

compressão (em lb):

tipo de

caixa força de compressão (lb)

média da

amostra

desvio-padrão

da amostra

1 655,5 788,3 734,3 721,4 679,1 699,4 713,00 46,55

2 788,3 772,5 786,9 686,1 732,1 774,8 756,78 40,19

3 734,3 639,0 696,3 671,7 717,2 727,1 697,60 36,62

4 721,4 628,7 542,4 559,0 586,9 520,0 593,07 73,27

grande média 690,11

J: quantidade de medidas

I: f

ato

res

(ou t

rata

mento

s)

Variação entre amostras (MSTratamentos)

Variação dentro das amostras (MSErros)

ANOVA do Exemplo

Roteiro

ANOVA

Delineamento de um único fator

Delineamento de um único fator

O EMAER solicitou que seu grupo

realize estudos para avaliar qual

aeronave a III FAE deva enviar para o

exercício Red Flag de modo a melhor

representar o povo brasileiro, ou seja,

qual aeronave do acervo da III FAE

possui melhor média no emprego de

bombas?

Dados

AT-26 A-29 F-5M A-1

51 59 40 37 50 56 41 34 57 45 40 40 54 50 34 38 55 51 38 36

Tabela da ANOVA

Fonte da

Variação

Graus de

Liberdade

Soma

Quadrada

Média

Quadrada

Estatís-

tica F

Trata-

mentos

Erro

Expe-

rimental

Total SSTra +

SSErro

2

1

( )a

i

i

n y y

2 2

1 1 1

1ij i

a n a

i j i

y yn

1a

N a

1N

2

1

( )

1

a

i

i

n y y

a

2 2

1 1 1

1ij i

a n a

i j i

y yn

N a

Tra

Erro

MS

MS

( 1, )F a N a

Cálculos

2 2 2

1

2 2 2 2 2 2 2

1 1 1

( ) 5[(53,4 45,3) ... (37 45,3) ] 1135

1 1[51 50 ... 36 ] [267 ... 185 ]

5

42380 42176,8 203,2

ij i

a

Tra i

i

a n a

Erro

i j i

SS n y y

SS y yn

AT-26 A-29 F-5M A-1 Total

51 59 40 37 187 50 56 41 34 181 57 45 40 40 182 54 50 34 38 176 55 51 38 36 180

Total ( iy ) 267 261 193 185 906

Média ( iy ) 53,4 52,2 38,6 37 45,3

Tabela da ANOVA

Fonte da

Variação

Graus de

Liberdade

Soma

Quadrada

Média

Quadrada

Estatística

F

Aeronave 3 1135 378,3 29,8 3,24

Erro

Expe-

rimental

16 203,2 12,7

Total 19 1138,2

0,05(3,16)F

Tabela da ANOVA

Fonte da

Variação

Graus de

Liberdade

Soma

Quadrada

Média

Quadrada

Estatística

F

Aeronave 3 1135 378,3 29,8 3,24

Erro

Expe-

rimental

16 203,2 12,7

Total 19 1338,2

0,05(3,16)F

Observe que

1 1

2 2

3 3

4 4

,

53, 4 45,3 8,1

52, 2 45,3 6,9

38,6 45,3 6,7

37,0 45,3 8,3

8,1 26

6,9 2945,3

6,7 5

8,3 1

ij i ij i i

ij

y t e t y y

t y y

t y y

t y y

t y y

se AT

se Ay

se F M

se A

1

0n

i

i

t

Modelo

Conclusão parcial

Existe pelo menos uma aeronave cuja

média difere das demais!

Para se saber qual, o teste indicado é o

teste de Tukey.

R

-5 0 5 10 15 20

Xa

v-A

29

Xa

v-F

5A

29

-F5

Xa

v-A

1A

29

-A1

F5

-A1

95% family-wise confidence level

Differences in mean levels of aeronave

Conclusões

As aeronaves A-1 e F-5M não

possuem diferença estatística entre

si, sendo melhores que as

aeronaves A-29 e AT-26, que não

possuem diferença estatística entre

si.

Exercício 1

O EMAER solicitou que seu grupo

realize estudos para avaliar qual

dos seguintes mísseis deve ser

adquirido pelo COMAER dados os

resultados da Miss Distance de 12

lançamentos realizados nas

campanhas de testes.

Exercício 1

A-Darter Piranha Python 69,27 56,01 68,4 88,11 72,18 88 83,11 69,97 85,97

118,29 97,83 116,53 98,67 83,99 102,83

147,52 130,47 142,52 64,26 51,29 64,25 80,61 62,16 80,96 78,11 64,89 80,24

110,66 95,61 110,53 91,58 79,13 96,12

139,38 125,38 139,61

Exercício 2

Abaixo encontram-se o número de erros feitos em cinco

sucessivos dias por mecânicos realizando manutenção na

turbina da aeronave A-1.

Teste, ao nível de significância α=0,05, se as diferenças entre

os mecânicos podem ser atribuídas ao acaso

Mecânico I

Mecânico II

Mecânico III

Mecânico IV

6 14 10 9 14 9 12 12 10 12 7 8 8 10 15 10 11 14 11 11

Exercício 3

Abaixo, encontram-se listados as perdas de massa

nas engrenagens de 8 radares TRS-2230 durante o

período de um ano com o uso de três diferentes

lubrificantes.

Lub A: 12.2, 11.8, 13.1, 11.0, 3.9, 4.1, 10.3, 8.4

Lub B: 10.9, 5.7, 13.5, 9.4, 11.4, 15.7, 10.8, 14.0

Lub C: 12.7, 19.9, 13.6, 11.7, 18.3, 14.3, 22.8, 20.4

Teste, com um α=0,10, se as diferenças entre os

lubrificantes podem ser atribuídas ao acaso.

Estime os parâmetros do modelo utilizado na análise

deste experimento.

Roteiro

ANOVA

Delineamento de um único fator

Objetivo

Que a audiência se familiarize com a

Análise de Variância (ANOVA) e o

delineamento de um único fator.

GE-814: Introdução à Avaliação Operacional