determinantes - os matemáticososmatematicos.com.br/docs/determinantes.pdf · seja a uma matriz...

DETERMINANTES

DETERMINANTES Determinante é um número real associado a

uma matriz quadrada.

Notação: det A ou |A|. Determinante de uma Matriz Quadrada de 1ª Ordem:

Seja a matriz A = (a11). O determinante de A será o

próprio elemento a11.

Exemplo:

A = ( 3 ) , logo | A | = 3

Determinante de uma Matriz Quadrada de 2ª Ordem:

Seja a matriz de 2ª ordem:

|A| =

a11 a12

a21 a22

O determinante associado à matriz A é o

número real obtido pela diferença entre o

produto dos elementos da diagonal

principal e o produto dos elementos da

diagonal secundária.

a11 a12

a21 a22

= a11 · a22 – a12 · a21

53

27A det A = 7 ·5 – 2 ·3 = 29

Exemplo:

Determinante de uma Matriz Quadrada de 3ª Ordem:

Neste caso utilizamos um processo prático chamado Regra de Sarrus.

Seja A uma matriz quadrada de ordem 3:

1º) Repetimos a 1ª e a 2ª colunas à direita da matriz.

2º) Multiplicando os termos entre si, seguindo os traços em diagonal e

associando o sinal indicado dos produtos, temos:

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A

Sendo uma matriz quadrada de ordem n 2, dizemos que o cofator de é o produto de pelo determinante da matriz que se obtém de A, com a supressão da linha i e da coluna j.

Determinante de uma Matriz Quadrada de ordem n 2 :

Teorema de Laplace

O determinante de matriz quadrada de ordem n 2 é igual à soma dos produtos dos elementos de uma fila (linha ou

coluna) qualquer pelos respectivos cofatores.

Dessa forma, para calcularmos o determinante usando a regra de Laplace, escolhemos uma linha ou coluna e o

determinante será a soma do produto dos elementos desta linha ou coluna pelos respectivos cofatores.

)( jiaA

)( jia ji )1(

Exemplo: Calcule o determinante da matriz ,

usando o teorema de Laplace.

125

410

312

A

Solução:

Primeiro devemos escolher uma linha, por exemplo, a 1ª :

det A = a11 A11 + a12 A12 + a13 A13

det A = 2 . ( -1)1+1 . 1 2

4 1

+ (-1) . ( -1)1+2 .

1

4 0

5 + 3 . ( -1)1+3 .

2-

1 0

5

det A = 2 . 1. (1+8) + (-1).(-1).(0-20) + 3 . 1 . ( 0 –5)

det A = 18 – 20 – 15

det A = - 17

Propriedades dos determinantes

1. Um determinante será nulo quando possuir uma fila

formada só por zeros ou duas filas paralelas iguais ou

proporcionais

det A = 0 0

3 5 = (0) (5) – (0) (3)0 = = 0 – 0 ‏

1 3 5

3 0 –5

1 3 5

det A =

det A = 0 ‏det A = – ( 0 + 45 – 15 ) ‏( 15 – 45 + 0 )

2. Se trocarmos entre si a posição de duas filas paralelas,

o determinante mudará o sinal.

1 3 5

3 0 –5

2 1 2

det A =

‏det A = – ( 0 – 5 + 18 ) ‏( 30 – 15 + 0 )

det A = –28 (– 15 )‏ det A = – ( 13 )‏

2 1 2

3 0 –5

1 3 5

det A = ( 0 + 18 – 5 )‏( 15 + 30 – 0 ) – = ‏

det A = 28 ( 13 )‏( 15– ) – ‏

3. Se multiplicarmos uma das filas de uma matriz

quadrada por um número k, o seu determinante ficará

multiplicado por k.

det A = 2 4

3 5 = (10) – (12) = –2

det B = 6 12

3 5 = (30) – (36) = –6

k = 3

det B = kdet A

det B = 3(–2) = –6

4. Da propriedade 3, decorre que: det ( kAn ) = kndet An.

A2 = 2 4

3 5 3A2 =

6 12

9 15

det ( 3A2) = 6 12

9 15 = (90) – (108) = –18

det ( 3A2 ) = 32det A2 = 9(–2) = –18

k = 3

5. det A = det AT

1 3 5

3 0 –5

2 1 2

det A =

‏det A = – ( 0 – 5 + 18 ) ‏( 30 – 15 + 0 )

det A = –28 (– 15 )‏ det A = – ( 13 )‏

1 3 2

3 0 1

5 –5 2

det AT =

‏det AT = – ( 0 – 5 + 18 ) ‏( 15 + 30 – 0 )

det AT = –28 (– 15 )‏ det AT = – ( 13 )‏

Matriz Transposta de A

6. det ( A B ) = det A det B

A = 2 4

3 5 B =

3 10

1 2

A B = 2 4

3 5

3 10

1 2

;

= 10 28

14 40

det ( A B ) = 400 – 392 = 8

det A det B = (–2) (–4) = 8

7. det In = 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

det I3 = det I3 = 1

8. O determinante de matrizes triangulares e de matrizes

diagonais se resume ao produto dos elementos da

diagonal principal.

5 3 2

0 –2 1

0 0 3

det A = det A = 5 (–2) 3 = –30

Matriz Identidade de Ordem n

Cálculo do determinante através da triangulação

de uma matriz

Propriedade 8: O determinante de matrizes triangulares e de matrizes

diagonais se resume ao produto dos elementos da diagonal principal.

Propriedade 9: Teorema de Jacobi

Seja A uma matriz quadrada, se multiplicarmos todos os elementos de uma fila (linha ou coluna) por um mesmo número, e somarmos os resultados dos elementos aos seus correspondentes de outra fila (linha ou coluna), obteremos outra matriz B. Entretanto, podemos afirmar que o det A = det B. Isto é, o determinante não se altera.

Matriz inversa

Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Essa matriz possuirá

inversa (A–1) se, e somente se, seu determinante for diferente de

zero.

A–1 A = A A–1 = I det A 0.

1. det A–1 = 1

det A , det A 0

2. Se A possuir inversa, essa será única.

Observações: