cristalografia.ppt

2. Cristalografia2.1. Estruturas cristalinas Sistemas cristalinos Reticulados de Bravais Estrutura cúbica simples Estrutura cúbica de corpo centrado Estrutura cúbica de face centrada Estrutura Hexagonal compacta

2.2. Direções e Planos Cristalográficos

Direções cristalográfica (índices de Miller)

Planos cristalográficos

2.3. Notação de Miller-Bravais para direções e

planos do sistema hexagonal

2.4. Densidade atômica linear e planar

2.5. Direções e planos compactos

2.6. Posições intersticiais do reticulado

Conteúdo Programático

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2.1. Estruturas cristalinas Arranjo atômico dos materiais: sem ordenamento (gases) ordem a curta distância (cerâmicos e polímeros = material amorfo) ordem a longa distância (metais, cerâmicos, semicondutores)

Os pontos de rede (átomos) possuem um arranjo alumínio magnésio

periódico de tal forma que os vizinhos de cada ponto seja idênticos. Estrutura cristalina é uma regular repetição de um arranjo atômico cristalino Estrutura cristalina depende tamanho forma arranjo dos átomos

célula unitária

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2. Cristalografia

2.1.1. Sistemas cristalinos

Célula unitária é a menor divisão da rede cristalina

Parâmetros da rede cristalina

a, b, c = comprimentos interatômicos

, , = ângulos entre os eixos cristalográficos As estruturas cristalinas no espaço tridimensional se formam apenas em 7 formas geométricas diferentes. (comprovação por difração de raios-X)

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2. Cristalografia

2.1.2. Reticulados de Bravais

Arranjo espacial dos átomos nas células unitárias

Existem 14 possibilidades de reticulados

Representação por pontos ou pelo modelo das esferas rígidas

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2. Cristalografia

2.1.3. Estrutura cúbica simples No de átomos/célula = 8 x 1/8 = 1 No de coordenação = 6 Fator de Empacotamento Atômico = FEA = volume do átomo = 4/3 . . R3

parâmetro de rede = a Achar relação a = f (R ) volume da célula = a3 a = 2R FEACS = 0,52

Densidade = = no de avogadro = 6,02.1023 átomos/mol

2.1.4. Estrutura cúbica de corpo centrado No de átomos/célula = 8 x 1/8 + 1 = 2 No de coordenação = 8 FEA Relação a = f (R ) D = R +2R +R d2 = a2 + a2

FEACCC = 0,68

unitária célula da volume

átomo) do (volume x ula)átomos/cél (no

)(n x unitária) célula da (volume

átomo) do atômica (massa x ula)átomos/cél (no

o

deAvogadro

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2. Cristalografia

3

4Ra

2.1.5. Estrutura cúbica de face centrada

No de átomos/célula

= 8 x 1/8 + 6 x 1/2 = 4

No de coordenação = 12

FEA Relação a = f (R ) d = R +2R +R d2 = a2 + a2

FEACFC = 0,74

Exemplos: -Fe, V, Cr, Mo e W Seqüência de empilhamento dos planos compactos (111) = ABC ABC ABC ……

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2. Cristalografia

2

4Ra

2.1.6. Estrutura hexagonal compacta

No de átomos/célula = 12 x 1/6 + 2 x 1/2 + 3 = 6 No de coordenação = 12 FEAHC = 0,74

Seqüência de empilhamento dos planos compactos (111) = AB AB AB ……

Célula Unitária do HC No de átomos/célula = 4 x 1/12 + 4 x 1/6 + 1 = 2 No de coordenação = ? (8) FEAHS = ?

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2. Cristalografia

2.1.6. Estrutura hexagonal compacta

Cálculo do FEAHC

ABase = 3 x área ACDE = 3 x CD x BC

CD = a = 2R

Relação entre c e a para caso ideal: Os átomos JLMK estão juntos e formam um tetraedro JM = JK = a = 2.R O átomo M está na metade da altura entre as faces inferior/superior MH = c/2 O triângulo JHM átomo M está na metade da altura entre as faces inferior/superior

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2. Cristalografia

HC volume

R.34

x 6 3FEA

2

32.R.30cos..2 0 RBC

3.62

32.R.).2.(3 2RRABaseHC

222222

2)(......)()()(

c

JHaMHJHJM

2.1.6. Estrutura hexagonal compacta

Cálculo do FEAHC

Relação entre c e a para caso ideal: O comprimento JH é considerado como:

Substituindo:

Retornando ao cálculo do FEA:

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2. Cristalografia

Raca

c

cacJHa

.2.633,1.633,1......633,13

8

232)(

22222

3......

2

3

JH

a/230cos 0 a

JH

3

2

.633,1.3.12

.3..6..6

RV

cRcAreaV

célulaHC

ACDEcélulaHC

74,0.(1,633).R312.

R.34

x 6

3

3

FEA

2.2. Índices de Direções e Planos Cristalográficos

Sistema de coordenadas para identificar pontos, direções e planos da rede cristalina

Índices de Miller para direções e planos do sistema cúbico (3 eixos coordenados x, y , z)

Índices de Miller-Bravais para direções e planos do sistema hexagonal

(4 eixos coordenados a1, a2, a3, c)

2.2.1. Direções cristalográficas

Determine dois pontos pertencentes a direção desejada

Projetar os comprimentos a, b e c nos eixos coordenados

(Fazer a diminuição entre o ponto inicial -seta- menos ponto final)

Números h, k e l são os menores valores inteiros (x ou )

Direção negativa representada pelo sinal “-” sob o número

Notação individual = [ h k l ]

família de direções = < h k l >

Exemplo <100> = possui 6 direções = [100], [010], [001] [100], [010], [001]

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2. Cristalografia

2.2.2. Planos cristalográficos Determinar pontos do plano que interceptam os eixos

coordenados x, y, z.

Pode-se alterar a origem para facilitar a visualização

Fazer os inversos Números h, k e l menores valores inteiros

Notação individual = (h k l) família de direções (equivalência) =

{h k l} Exemplo

<100> = possui 3 planos = [100], [010], [001]

planos equivalentes ou paralelos [100], [010], [001]

Determine os planos na figura ao lado.

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2. Cristalografia

2.3. Notação para células hexagonais

Notação (índices de Miller-Bravais)

Sistema de coordenadas com 4 eixos (a1, a2, a3 e c)

individual = [h k i l] e (h k i l)

família de direções e planos (equivalência) = <h k i l> e {h k i l}

Devido a geometria espacial deste sistema: h +k = -i

As regras utilizadas são similares ao do sistema de 3 eixos.

Conversão entre os sistemas de três (h´ k´ l´) e quatro eixos coordenados (h k i l): h = 1/3 (2h´ - k´) k = 1/3 (2k´ - h´) i = - (h+k) l = l´ Devido a geometria espacial deste sistema: h +k = -i Mostre numa célula unitária: planos basais {0001} planos prismáticos do tipo I : {10-10} planos prismáticos do tipo II: {11-20} planos piramidais do tipo I: {10-11} planos piramidais do tipo II: {11-21}

Determine o número de planos para cada família de planos acima

Fazer exercícios dos livros: Reed-Hill e Padilha.

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2. Cristalografia

2.3. Células hexagonais

Utilizar o esquema da figura abaixo para direções de Miller-Bravais Devido a geometria espacial deste sistema: h +k = -i Regra para mostrar uma determinada direção: deslocar o ponto central no sentido de cada eixo (a1, a2 e a3) a ligação do ponto inicial ao ponto deslocado indica a direção Se o índice “c” for diferente de 0, a direção estará fora do plano do papel, e deve ser corrigido através da elevação do ponto deslocado do valor de “c”

Regra para identificar o índice

desenhe a direção no sistema de 3 eixos e

determine o índice utilize as equações de

conversão de 3 para 4 eixos

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2. Cristalografia

2.4. Densidade Atômica Linear - DAL

• Análogo ao fator de empacotamento atômico, que corresponde à densidade volumétrica de

átomos, podemos definir a densidade linear atômica (DAL)

Densidade Atômica Linear =DAL =

DAL Callister = Número de Raios na Direção/Comprimento da direção

• ExemploCalcule a DAL das direções <100> na rede CFCNo de interceptados = ½ + ½ = 1Para CFC => a = 4R/ 2 Comprimento da direção = a = 4R/ 2DAL = 1 x 2/4R = 0,354/R átomos/nm

CallisterNúmero total de átomos = 1 + 1 = 2Comprimento total de átomo = 2 x Raio de 1 átomo = 2RComprimento da Direção = a com a = 4R/ 2DAL = 2R/a = 2R/ 2R 2 = 1/ 2 = 0,707 (sem unidades)

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2. Cristalografia

nm

átomoshkll direção da ocompriment

direção pela dosintercepta átomos de de no

][

2.4. Densidade Atômica Linear - DAL

Densidade Atômica Linear =DAL =

Direções CCC ( a = 4R/ 3)

<100> DAL = 1 /a = 3/4R = 0,433/R

<110> DAL = 1/a 2 = 3/4R = 0,306/R

<111> DAL = 2 /a 3 = 2/2R = 0,5/R

Direções CFC ( a = 4R/ 2)

<100> DAL = 1 / a = 2/4R = 0,354/R

<110> DAL = 2/a 2 = 2/2R = 0,707/R

<111> DAL = 1/a 3 = 2/4R 3 = 0,204/R

DETERMINE OS VALORES SEGUNDO O CallisterÁREA DE MATERIAIS E FABRICAÇÃO UFPE – CTG – DEMEC – Curso de Pós-graduação em Engenharia Mecânica 15

2. Cristalografia

nm

átomoshkll direção da ocompriment

direção pela dosintercepta átomos de de no

][

2.5. Densidade Atômica Planar - DAP

Densidade Atômica Planar =DAP =

DAP Callister = DAP acima, mas mútiplica a fração átomos por R2 (admensional).

• ExemploCalcule a DAP dos planos {100} na rede CFCFração de átomos no plano = ¼ x 4 + 1 = 2 átomosPara CFC => a = 4R/ 2 Área do Plano = a2 = 8R2

DAL = 2/8R2 = 1/4R2 = 0,25/R2 átomos/nm2

CallisterFração de átomos no plano = ¼ x 4 + 1 = 2 átomosPara CFC => a = 4R/ 2 Área do Plano = a2 = 8R2

DAL = 2(R2)/8R2 = /4 = 0,785 (admensional)

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2. Cristalografia

2][ plano do área

plano ao epertencent átomos dos fração

nm

átomoshklp

2.5. Densidade Atômica Planar ( DAP)

Densidade Atômica Planar =

Planos CCC ( a = 4R/ 3)

{100} DAP = (¼ x 4) /a2 = 1/16R2/3 = 0,188/R2

{110} DAP = (¼ x 4 + 1)/a . a 2 = 2/a2 2 = 2/(16R22)/3

DAP = 6/162R2 = 0,265/R2

{111} DAP = (1/6 x 3)/(b.h)/2 = (1/2)/ (16. 3/6) . R2

DAP = 3/16. 3. R2 = 0,108/R2

b = a 2

h2 = (b/2)2 + a2 h2 = (a2.2/4) + a2 h = 3/ 2 . a

A = (a 2) . ( 3/ 2 . a)/2A = ( 3/2) . a2 = (16. 3/6) . R2

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2. Cristalografia

2][ plano do área

plano ao epertencent átomos dos fração

nm

átomoshklp

2.5. Densidade Atômica Planar ( DAP)

Densidade Atômica Planar =

Planos CFC ( a = 4R/ 2)

{100} DAP = (¼ x 4 + 1) /a2 = 2/16R2/2 = 0,250/R2

{110} DAL = (¼ x 4 + 1/2 x 2 )/a . a 2 = 2/a2 2 = 2/(16R22/2) DAL = 4/16.2R2 = 0,177/R2

{111} DAL = (1/6 x 3 +1/2 x 3 )/ b.h/2 = (2)/ (16. 3/6) . R2

DAL = 2/4. 3. R2 = 0,289/R2

b = a 2

h2 = (b/2)2 + a2 h2 = (a2.2/4) + a2 h = 3/ 2 . a

A = (a 2) . ( 3/ 2 . a)/2A = ( 3/2) . a2 = (4. 3) . R2 DETERMINE OS VALORES SEGUNDO O Callister

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2. Cristalografia

2][ plano do área

plano ao epertencent átomos dos fração

nm

átomoshklp

2.6. Alotropia, Anisotropia

Seqüência de empilhamento dos planos compactos Estruturas CFC e HC possuem FEA iguais (0,74) CFC os planos compactos são {111} e seqüência é ABCABCABC... HC os planos compactos são {0001} e seqüência é ABABAB... Se o no de coordenação e do FEA são iguais para as estruturas CFC e HC, então

materiais com estas estruturas terão propriedades semelhantes?

Alguns materiais podem se apresentar no estado sólido com diferentes estruturas.

Este mudança é chamada de transformação alotrópica. Ela é normalmente acompanhada por variação de

temperatura (Fe é CCC para baixas temperaturas e CFC para altas temperaturas).

Estas diferenças no arranjo atômico das direções e dos planos compactos dos

cristais promovem variações das propriedades em função da direção da medição

Material isotrópico apresenta propriedades idênticas em qualquer direção

cristalográfica da medição Material anisotrópico é aquele cujas propriedades dependem da direção

cristalográfica da medição

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2. Cristalografia

2.7. Sistemas de Escorregamento

• As redes CFC e HC são as mais densas do ponto de vista volumétrico (FEA = 0,74).• No entanto, existem planos e direções com valores diferentes de DAP e DAL.• Para cada rede existe um certo número de planos e direções compactos, ou seja, que

apresentam maiores valore de DAP e DAL.• As direções compactas estão contidas em planos compactos.• Estes planos e direções serão fundamentais na deformação mecânica dos

materiais, pois o processo ocorre normalmente através do deslizamento de planos.• O deslizamento é mais provável em planos e direções compactas porque nestes

casos a distância que a rede precisa se deslocar é mínima.• Dependendo da simetria da estrutura, outros sistemas de deslizamento podem

estar presentes.

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2. Cristalografia

2.8. Sistemas de Escorregamento

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2. Cristalografia

2.9. Posições Intersticiais

Posições intersticiais

Seqüência de empilhamento dos planos compactos

Estruturas CFC e HC possuem FEA iguais (0,74)

HC os planos compactos são {0001} e seqüência é ABABAB...

CFC os planos compactos são {111} e seqüência é ABCABCABC...

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