conversão de energia iii - prof. dr. joão américo vilela...

Conversão de Energia III

Aula 4.2

Máquinas de Relutância Variável

Prof. João Américo Vilela

Departamento de Engenharia Elétrica

Bibliografia

Conversão de Energia III

FITZGERALD, A. E., KINGSLEY Jr. C. E UMANS, S. D. Máquinas Elétricas: com

Introdução à Eletrônica De Potência. 7ª Edição, AMGH Editora LTDA, 2014.

Capítulo 8 – Máquinas de relutância variável e motores de passo

Capítulo 3 – Princípio de Conversão Eletromecânica de Energia

Bim, Edson.

Máquinas Elétricas e Acionamento. Editora Elsevier, 2009.

Capítulo 3 – Princípio de Conversão Eletromecânica de Energia

Conversão de Energia III

Determinação da Força e Conjugado a partir da coenergia

Coenergia é uma manipulação matemática que permite obter

a força diretamente como uma função da corrente.

Tomando como base a equação definida anteriormente.

( ) ( )xWixiW cmpcmp ,,' −=

A coenergia e definida como uma função de i e x tal que:

A dedução de coenergia é obtida usando a diferencial de i.λ

( ) didiid += .

( ) dxfdixdW cmpcmp −= ,

( ) ( ) ( ) ( )dxfdididixdWidxidW cmpcmpcmp −−+=−= ,.,'

( ) dxfdixidW cmpcmp += ,'

Conversão de Energia III

Determinação da Força e Conjugado a partir da coenergia

Coenergia é uma função com duas variáveis independentes i e x. Sua

diferencial pode ser expressa como:

dxx

Wdi

i

WxidW

i

cmp

x

cmp

cmp

+

=

''),('

( )

x

cmp

i

xiW

=

,'

( )

i

cmp

cmpx

xiWf

=

,'

Onde a derivada parcial foi obtida mantendo x

constante.

Onde i foi mantido constante para se obter a

derivada parcial.

( ) dxfdixidW cmpcmp += ,'

Como i e x são variáveis independentes as equações acima devem ser

iguais para todos os valores de di e dx. Assim, igualando os termos,

tem-se:

Conversão de Energia III

Determinação da Força e Conjugado a partir da coenergia

Coenergia é uma função com duas variáveis independentes i e x. Sua

diferencial pode ser expressa como:

( ) +=b

cmp

a

cmpcmp dWdWxiW2caminho2caminho

00 '','

( ) ( ) ',','0

dixixiW

i

cmp =

Por analogia ao calculo da energia temos o

calculo da coenergia.

ixL = )(( ) 2)(2

1,' ixLxiW cmp =

Em sistema magnéticos lineares a coenergia é dada por:

Sendo:

Conversão de Energia III

Determinação da Força e Conjugado a partir da coenergia

A força pode ser determinada pela derivada parcial da coenergia

( ) 2)(2

1,' ixLxiW cmp =

É a mesma equação para calculo da força obtida utilizando a energia.

Os dois métodos devem apresentar a mesma resposta.

O calculo da força a partir da coenergia essa energia deve ser explicita

em função de i.

( )

dx

xdLiixL

xx

xiWf

ii

cmp

cmp

)(

2)(

2

1,' 22 =

=

=

Conversão de Energia III

Determinação da Força e Conjugado a partir da coenergia

Se o sistema for magneticamente linear (somente considerando a

permeabilidade do entreferro, que é uma constante)

O conjugado e obtido por analogia ao calculo da força que é a derivada

parcial da coenergia por x:

( )

i

cmp

cmp

iWT

=

,'

( ) 2)(2

1,' iLiW cmp =

Em um sistema de deslocamento mecânica rotacional, a coenergia pode

ser expressa em termo da corrente e do deslocamento angular θ.

( ) ( ) ',','0

diiiW

i

cmp =

d

dLifcmp

)(

2

2

=Sendo:

Conversão de Energia III

Determinação da Força e Conjugado a partir da coenergia

Pode se mostrar que a energia magnética armazenada também pode ser

expressa em termos da densidade de energia do campo magnético

integrado no seu volume V.

dVB

WV

cmp

= .2

2

Para materiais magnéticos moles (em que B=0 quando H=0) e com

permeabilidade constantes. Pode-se calcular a energia com segue:

dVdBHWV

B

cmp

=

0

'

Conversão de Energia III

Determinação da Força e Conjugado a partir da coenergia

dVH

WV

cmp = 2

.'

2

Em termos de teoria de campo, para materiais magnéticos moles (em que

B=0 quando H=0) e com permeabilidade constantes (B=µ.H). Pode-se

calcular a coenergia com segue:

dVdHBWV

H

cmp

=

0

0

'

Conversão de Energia III

O relé mostrado na figura abaixo é construído de material de

permeabilidade infinita com um êmbolo móvel. A altura do êmbolo é muito

maior que ao comprimento do entreferro (h>>g). Encontre a força no

êmbolo em função de x quando a bobina é acionada por um controlador

que produz uma corrente em função de x dada por:

Exercício

][)( Ad

xIxi o

=

Conversão de Energia III

Exercício

g

ANxL

gap

=

2)(

2

0

A indutância depende somente do entreferro (permeabilidade infinita).

−=−=

d

xdlxdlAgap 1)(

( )g

dxdlNxL

−=

2

1)(

2

0

O relé mostrado na figura abaixo é construído de material de

permeabilidade infinita com um êmbolo móvel. A altura do êmbolo é muito

maior que ao comprimento do entreferro (h>>g). Encontre a força no

êmbolo em função de x quando a bobina é acionada por um controlador

que produz uma corrente em função de x dada por:

Conversão de Energia III

O relé mostrado na figura abaixo é construído de material de

permeabilidade infinita com um êmbolo móvel. A altura do êmbolo é muito

maior que ao comprimento do entreferro (h>>g). Encontre a força no

êmbolo em função de x quando a bobina é acionada por um controlador

que produz uma corrente em função de x dada por:

Exercício

][)( Ad

xIxi o

=

( )g

dxdlNxL

−=

2

1)(

2

0

dx

xdLifcmp

)(

2

2

=( )

−

=

g

dxdlN

dx

d

d

xIo

2

1

2

12

0

2

dd

x

g

dlNIf ocmp

1

4

22

0

2

−=

22

0

2

4

−=

d

x

g

lNIo

Conversão de Energia III

Determinação da Força e Conjugado a partir da coenergia

Em sistema linear (sem saturação) a energia e a coenergia são

numericamente iguais.

22

2

1

2

1Li

L=

A representação da energia pelo fluxo concatenado que é

a representação pela energia e pela corrente que é a

representação pela coenergia.

A indutância relaciona características elétrica com magnéticas, mas se o

circuito magnético saturar (não linear) a relação deixa de ser verdadeira.

iWW cmpcmp =+ '

Conversão de Energia III

Determinação da Força e Conjugado a partir da coenergia

A força produzida por um campo magnético não pode depender se foi

calculada a partir da energia ou da coenergia. Ambos os métodos devem

fornecer o mesmo resultado.

( )

x

xWf

cmp

cmp

−=

,

A variação Δx produz uma variação de Δi que

produz uma variação da energia -ΔWcmp.

Com base na equação de força acima temos que:

fcmp=(área sombreada )/ Δx

Conversão de Energia III

Determinação da Força e Conjugado a partir da coenergia

A força também pode ser calculada pela derivada parcial da coenergia

para corrente constante.

A variação Δx produz a variação Δλ que produz a

variação da coenergia ΔW’cmp.

Com base na equação de força acima temos que:

fcmp=(área sombreada )/ Δx

( )

i

cmp

cmpx

xiWf

=

,'

Conversão de Energia III

Determinação da Força e Conjugado a partir da coenergia

A área das duas figuras sombreadas é diferente pelo triangulo abc de

lados Δi e Δλ de modo que no limite Δx → 0 as áreas são iguais. Assim, a

força produzida pelo campo magnético não depende de a determinação

ser feita a partir da energia ou coenergia.

Conversão de Energia III

O circuito magnético mostrado na figura abaixo é feito de aço de alta

permeabilidade. O rotor está livre para girar em torno de um eixo vertical.

As dimensões estão mostradas na figura.

a) Deduza uma expressão para o conjugado, que atua no rotor, em

termos da dimensões e do campo magnético dos dois entreferros.

Assuma que a relutância do aço seja desprezível e despreze o efeito

do espraiamento.

b) A densidade máxima de fluxo nas porções sobrepostas dos

entreferros está limitada a 1,65T para evitar saturação excessiva do

aço. Calcule o conjugado máximo para r1 = 2,5cm, h = 1,8cm e

g=3mm.

Exercício

Conversão de Energia III

a) Deduza uma expressão para o conjugado, que atua no rotor, em

termos da dimensões e do campo magnético dos dois entreferros.

Assuma que a relutância do aço seja desprezível e despreze o efeito

do espraiamento.

Exercício

Calcular a coenergia em função do ângulo do rotor

g

iNH g

.2

.= 0=

→=

aço

aço

aço

BH

dVH

WV

cmp = 2

.'

2 Se H é constante basta

multiplicar pelo volume.

VH

Wg

cmp =2

.'

2

0Volume do entreferro

que está submetido a

densidade de campo.

Conversão de Energia III

a) Deduza uma expressão para o conjugado, que atua no rotor, em

termos da dimensões e do campo magnético dos dois entreferros.

Assuma que a relutância do aço seja desprezível e despreze o efeito

do espraiamento.

Exercício

Calcular a coenergia em função do ângulo do rotor

+= ).5,0(..2 1 grhgV

( )

+

= ).5,0(..2

.2

..

2' 1

2

0 grhgg

iNW cmp

Volume de dois

entreferros.

( )g

grhiNW cmp

.4

).5,0.(...' 1

2

0 +=

Conversão de Energia III

a) Deduza uma expressão para o conjugado, que atua no rotor, em

termos da dimensões e do campo magnético dos dois entreferros.

Assuma que a relutância do aço seja desprezível e despreze o efeito

do espraiamento.

Exercício

Calculo do torque:

( ) ( )g

grhiNiWT

i

cmp

cmp.4

).5,0.(...,'1

2

0 +=

=

Considerando a corrente constante o torque

é constante e atua no sentido de aumentar o

ângulo de sobreposição θ do rotor e as

faces polares do estator.

Conversão de Energia III

a) A densidade máxima de fluxo nas porções sobrepostas dos

entreferros está limitada a 1,65T para evitar saturação excessiva do

aço. Calcule o conjugado máximo para r1 = 2,5cm, h = 1,8cm e

g=3mm.

Exercício

( )g

grhiNTcmp

.4

).5,0.(... 1

2

0 +=

0

BH g = ]/[10.31,1

10..4

65,1 6

7mA==

−

).5,0.(... 1

2

0 grhgHT gcmp +=

( )( ) )10.3.5,010.5,2.(10.8,1.10.3.10.31,1.10..4 3223267 −−−−− += cmpT

].[09,3 mNTcmp =