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Controle ótimo quadráticoSistemas Lineares
Controle ótimo quadrático
Santa Maria, junho de 2012
Josemar de Oliveira QuevedoLucas Vizzotto Bellinaso
Prof. Dr. Vinícius Montagner
Controle ótimo quadráticoSistemas Lineares
2
Tópicos
• Introdução• Controle ótimo quadrático: equacionamento• Escolha de Q e R• Exemplo de projeto
– Projeto mal feito– Projeto bem feito
• Simulação de um conversor Buck• Conclusões
Controle ótimo quadráticoSistemas Lineares
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Introdução
• Realimentação de estados:– Obtenção da resposta desejada para o sistema através do cálculo
do ganho K, onde u = R – K x.– Funciona se o sistema for controlável.
• Controle ótimo quadrático:– Técnica empregada para cálculo do ganho K.
u
Controle ótimo quadráticoSistemas Lineares
4
Controle ótimo quadrático Desenvolvimento matemático
• Consiste na minimização de um índice de desempenho quadrático J.
• As matrizes Q e R devem ser Hermitianas e definidas positivamente:– Q = Q’ e R = R’– v’Qv ≥ 0 e v’Rv ≥ 0 , onde v é um vetor como x e u.
• Se o sistema for controlável, a minimização de J sempre torna o sistema estável.
' '
0 0
,J L x u dt x Qx u Ru dt
Controle ótimo quadráticoSistemas Lineares
5
Controle ótimo quadráticoDesenvolvimento matemático
Sendo u = - Kx, pode-se obter:
' ' '
0 0
'J x Qx u Ru dt x Q K RK xdt
' ' ' ' 'd
x Q K RK x x Px x Px x Pxdt
x A BK x
'' ' 'x Q K RK x x A BK P P A BK x
Se houver uma matriz P Hermitiana que:
Do sistema realimentado substitui-se:
O que leva a: ' 'A BK P P A BK Q K RK
Controle ótimo quadráticoSistemas Lineares
6
Controle ótimo quadrático Desenvolvimento matemático
Sendo Q + K’RK sempre positivo, pela segunda Lei de Liapunov, se o sistema for estável, então existe P que satisfaça:
A BK P P A BK Q K RK
Se e separando os termos em K da equação acima:
1 11 ' 0A P PA PBR B P Q TK T B P TK T B P
Pode-se obter que a minimização de J em relação a K requer:
1 1 '0TK T B P K R B P
'R T T
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Controle ótimo quadrático Desenvolvimento matemático
• O cálculo de K é resumido nas seguintes etapas:– Encontrar P definida positivamente que satisfaça a
equação reduzida de Ricatti:
– Calcular K com a seguinte equação:
' 1 ' 0A P PA PBR B P Q
1 'K R B P
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Escolha de Q e R
• Matriz Q: – Relativa à importância do erro de cada estado do sistema.– Normalmente definida na forma diagonal, para que a
importância de cada estado seja definida de forma independente.
– Exemplo: q1 refere-se à importância do erro de x1. Quando maior q1, mais rápido será reduzido o erro de x1.
1
2
3
0 0
0 0
0 0
q
Q q
q
Controle ótimo quadráticoSistemas Lineares
9
Escolha de Q e R
• Matriz R: – Relativa à energia necessária para cada entrada.– Normalmente definida na forma diagonal, para que cada entrada
seja tratada independentemente.– Exemplo: r1 refere-se à energia absorvida da entrada u1.
– Quanto maior é r1, menor é a energia absorvida de u1, e mais lento é o controle dependente dessa entrada.
– Quanto menor r1 maiores os ganhos relativos à entrada u1.
1
2
0
0
rR
r
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Escolha de Q e RComando do Matlab
• Para obter o ganho K no software Matlab, utiliza-se o seguinte comando:
K = lqr(A,B,Q,R) ou K = lqr(sys,Q,R)
• Exemplo:
A = [1 2 ; 3 4];B = [1 ; 0];Q = [10 0; 0 1];R = 1;K = lqr(A,B,Q,R)
Valor de K obtido no Matlab: K = [13.0812 22.4926]
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Exemplo de projeto: modelagem do sistema
Figura 1 - Sistema RLC proposto
• R=50Ω;• C=220uF;• L=886μH;• Vc (referência)=50V
uL
C R
iL
vc
L
c
L
c
L
i
vy
u
Li
v
L
CRCi
01
1
0
01
11vc
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12
Exemplo de projeto: sistema ampliado
• Sistema aumentado:
Figura 2 – Diagrama de blocos do sistema a ser controlado
Cxrdte
Cxryre
ruL
dte
i
v
L
CRC
dte
Lic
v
L
c
1
0
0
0
1
0
001
001
011
.
Controle ótimo quadráticoSistemas Lineares
13
Exemplo de projeto: controlabilidade
• Controlabilidade:
– Valores numéricos da matriz aumentada
0
7,1128
0
001
007,1128
055,45490
aum
aum
B
A
aumaumaumaumaum BABABC 2
9
93
96
100051,000
107904,5010128,1
104664,01013,50
C
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Exemplo de projeto: definição de Q e R
• Projeto adequado:– Objetivo: buscar a resposta que alie os menores
ganhos, menor energia de controle e resposta mais rápida do controlador sobre a planta.
• Ganhos: K = [-0,0223 11,1723 -79,0569];• Pólos = [-505 -12195].
800
500000000
01000000
001
R
Q
Controle ótimo quadráticoSistemas Lineares
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Exemplo de projeto: definição de Q e R
Aaum = [A zeros(2,1);-C 0]; Baum = [B;0];Q = [1 0 0;0 100000 0; 0 0 5000000]; R = [800];Kah = lqr(Aaum,Baum,Q,R)K = Kah(1:2)Kl = -Kah(3); AA = [A-B*K B*Kl;-C 0];BB = [0;0;1]; CC = [C 0]; DD = [0];
t = 0:0.0001:0.12;[y,x,t] = step(AA,BB,CC,DD,1,t);[y2,X,t] = step(A,B,C,D,1,t);x1 = [1 0 0]*x'; x2 = [0 1 0]*x'; x3 = [0 0 1]*x'; subplot(2,2,1); plot(t,x1,'LineWidth',2); gridhold onplot(t,y2,'r');subplot(2,2,2); plot(t,x2,'LineWidth',2); gridsubplot(2,2,3); plot(t,x3,'LineWidth',2); griderro=1-x1;subplot(2,2,4); plot(t,erro);grid
% tensão de saída% corrente% erro integrado
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Exemplo de projeto: definição de Q e R
Figura 3 - Resposta do sistema – projeto adequado
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.120
0.5
1
1.5
2x1 (tensão) versus t
t Sec
x1
x1 (tensão)Vc malha aberta
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.120
0.005
0.01
0.015
0.02x2 (corrente) versus t
t Sec
x2
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.120
0.005
0.01
0.015
0.02x3 (erro integrado) versus t
t Sect
x3
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.120
0.5
1erro
t Sec
erro
Tempo de acomodação: 40 ms
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Exemplo de projeto: definição de Q e R
Figura 4 – Resposta em frequência do sistema – projeto adequado
-150
-100
-50
0
50
Mag
nitu
de (
dB)
101
102
103
104
105
106
-180
-135
-90
-45
0
Phas
e (d
eg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
Sistema em malha abertaSistema controlado
Controle ótimo quadráticoSistemas Lineares
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Exemplo de projeto: definição de Q e R
• Projeto inadequado:– Atribuir valores à matriz Q que priorizem os estados
menos relevantes para a resposta do sistema. • Valores elevados reduzem o erro em relação à referência, mas
aumentam o esforço de controle.• Valores reduzidos aumentam o erro e diminuem o esforço de
controle;
– Reduzir ou elevar demasiadamente os valores da matriz R;
• A redução resulta em ganhos que tenham magnitude que podem não ser implementáveis na prática;
• O aumento eleva o erro.
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Exemplo de projeto: definição de Q e R
• Exemplo: priorização dos estados menos relevantes para a resposta do sistema na matriz Q.
– Ganhos: K = [30,3201 15,9441 -3,1623];– Pólos = [-9043,3 + j*8974,3; -9043,3 – j*8974,3]. 1
1000
0100
001000
R
Q
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.5
1
1.5
2x1 (tensão) versus t
t Sec
x1
x1 (tensão)Vc malha aberta
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.5
1
1.5
2x 10
-3 x2 (corrente) versus t
t Sec
x2
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1x3 (erro integrado) versus t
t Sect
x3
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.9
0.92
0.94
0.96
0.98
1erro
t Sec
erro
)
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Exemplo de projeto: definição de Q e R
Figura 5 – Resposta em frequência - priorização dos estados menos relevantes para a resposta do sistema na matriz Q
-150
-100
-50
0
50
Mag
nitu
de (
dB)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)10
210
310
410
510
6-180
-135
-90
-45
0
Phas
e (d
eg)
Sistema em malha abertaSistema controlado
Controle ótimo quadráticoSistemas Lineares
21
Exemplo de projeto: definição de Q e R
• Exemplo: Valores muito reduzidos para a matriz R.– Ganhos: K = [38,4 1000,2 -7071,1];– Pólos = [-300; -1,1287*10^6].
1.0
500000000
01000000
001
R
Q
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.120
0.5
1
1.5
2x1 (tensão) versus t
t Sec
x1
x1 (tensão)Vc malha aberta
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.120
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03x2 (corrente) versus t
t Sec
x2
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.120
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01x3 (erro integrado) versus t
t Sect
x3
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
erro
t Sec
erro
)
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Figura 6 – Resposta em frequência – redução excessiva dos valores da matriz R
-200
-150
-100
-50
0
50
Mag
nitu
de (
dB)
101
102
103
104
105
106
107
108
-180
-135
-90
-45
0
Phas
e (d
eg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
Sistema em malha abertaSistema controlado
Controle ótimo quadráticoSistemas Lineares
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Exemplo de projeto: definição de Q e R
• Exemplo: Valores muito elevados para a matriz R.– Ganhos: K = [-0.0118 0.6362 -5 ];– Pólos = [-404,5+j*2229,6; -404,5-j*2229,6].
200000
500000000
01000000
001
R
Q
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.5
1
1.5
2x1 (tensão) versus t
t Sec
x1
x1 (tensão)Vc malha aberta
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.005
0.01
0.015
0.02x2 (corrente) versus t
t Sec
x2
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.05
0.1
0.15
0.2x3 (erro integrado) versus t
t Sect
x3
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1erro
t Sec
erro
)
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Exemplo de projeto: definição de Q e R
Figura 7 – Resposta em frequência – aumento excessivo dos valores da matriz R
-80
-60
-40
-20
0
20
40
Mag
nitu
de (
dB)
102
103
104
105
-180
-135
-90
-45
0
Phas
e (d
eg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
Sistema em malha abertaSistema controlado
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Exemplo de projeto: definição de Q e R
• Comparação dos projetos:
Tabela 1 – Comparação das características dos projetos
pólos ganhos p1 p2 k1 k2 klSistema em malha aberta - 4,55 + j*2264,6 -4,55 - j*2264,6 --- --- ---Projeto adequado -505 -12195 -0,0223 11,1723 -79,0569priorização inadequada dos estados em Q -9043,3 +j*8974,3 -9043,3 -j*8974,3 30,3201 15,9441 -3,1623Redução excessiva dos valores de R -300 -1128700 38,4 1000,2 -7071,1
Aumento excessivo dos valores de R -404,5+j*2229,6 -404,5-j*2229,6 -0,0118 0,6362 -5
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Simulação: conversor Buck
Figura 8 – Conversor buck simulado sob condições nominais
Controle ótimo quadráticoSistemas Lineares
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Simulação: conversor Buck
• Condições nominais:
Figura 9 – Resposta do conversor operando em malha aberta (vermelho), e com o LQR (azul)
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Simulação: conversor Buck
Figura 10 – Resposta do erro e erro integrado
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Simulação: conversor Buck
Figura 11 – Conversor buck simulado com redução de 50% da carga
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Simulação: conversor Buck
• Redução de 50% da carga:
Figura 12 – Resposta do conversor operando em malha aberta (vermelho), e com o LQR (azul)
Controle ótimo quadráticoSistemas Lineares
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Simulação: conversor Buck
Figura 13 – Conversor buck simulado com aumento de 100% da carga
Controle ótimo quadráticoSistemas Lineares
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Simulação: conversor Buck
• Aumento de 100% da carga:
Figura 14 – Resposta do conversor operando em malha aberta (vermelho), e com o LQR (azul)
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Simulação: conversor Buck
Figura 15 – Conversor buck simulado com variação da referência
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Simulação: conversor Buck
• Variação da tensão de referência de 50 V para 70 V:
Figura 16 – Resposta do conversor para a variação da referência
Controle ótimo quadráticoSistemas Lineares
35
Simulação: conversor Buck
Figura 17 – Conversor buck alimentado por retificador monofásico
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Simulação: conversor Buck
• Conversor buck alimentado por retificador monofásico:
Figura 18 – Tensão de saída em azul, tensão de entrada em vermelho. (a) malha fechada (b) malha aberta
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Conclusões
• O controle LQR oferece uma forma metódica de cálculo dos ganhos de realimentação de estados a partir da minimização de um fator de desempenho quadrático J;
• A resposta do sistema depende dos valores projetados para as matrizes Q e R, as quais determinam a importância relativa do erro e da quantidade de energia necessária no processo de controle, respectivamente;
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Conclusões
• As matrizes Q e R são definidas empiricamente, portanto, estão sujeitas a diferentes respostas, que serão tão boas quanto maior a faixa de valores testados, permitindo assim definir a configuração que melhor se encaixa para um dado projeto;
• O projeto do controlador aplicado ao conversor Buck visou obter uma resposta que levasse o nível de tensão de saída para o valor desejado com reduzida demanda de energia e rápida resposta dos estados do sistema;
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Conclusões
• Vantagens do conversor LQR: – Permite a minimização da energia demandada
pelo sistema, resultando em melhor rendimento do sistema de controle;
• Desvantagens do conversor LQR: – Limitação da técnica relacionada à maneira
aleatória de definição dos ganhos do controlador, sendo difícil definir a condição ótima de ganhos.
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40
Considerações finais
• Josemar de Oliveira Quevedo:– josemar.oliveira.quevedo@gmail.com
• Lucas Vizzotto Bellinaso:– lbellinaso@gmail.com
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