composição iterada de transformadas de laplace
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Composição Iterada de Transformadas de Laplace
Composição Iterada de Transformadas de Laplace
Novos Talentos em Matemática ‐Manuel Martins ‐ 21 Maio 2013 1
Manuel Martinssegundo o programa Novos Talentos em Matemática
sob a orientação do prof. Semyon YakubovichFaculdade de Ciências da Universidade do Porto
onde, limites de integração em ∪ ∞, ∞, é núcleo da Transformada
Exemplo: Transformada de Laplace, Fourier, Mellin, Stieltjes…
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Noção de Transformada
Uma transformada integral é um operador que envia uma função de variávelreal, numa nova função (de uma nova variável , geralmente ∈ ) queé um integral em da forma:
,
≡ , ∈ , Re
Condições suficientes para a existência de :• função contínua (ou tem no máximo um número finito de descontinuidades)• é do tipo exponencial, ie,
, quandot → ∞, ∈ (Notação de Landau)
∃ , 0taisquesempre que : ⇔
Exemplo: Calcular 1 . Está definida para que valores de ?
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Transformada de Laplace
Def:
Dada uma função existe uma e uma só função tal que ≡ ; ,isto é, existe uma e uma só transformada inversa.
∗ ≡ , ∈ , Res
Caso particular:Quando
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Transformada de Mellin
Def:
Γ → função Gama Re 0
É uma função do tipo especial. Generaliza a função factorial ao semiplanocomplexo. Tem inúmeras aplicações em Probabilidades, Teoria de Números,Análise, e por aí fora…
∗ ≡ , ∈ , Res ,
, ∈
Transformada Inversa de Mellin
∗ 12
∗
Re
Im
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Transformada de Mellin
Def:
Para qualquer dentro da banda Res ,o valor do integral da transformada inversa é o mesmopelo Teorema de Cauchy.Neste trabalho, consideramos apenas as funções queadmitem transformada de Mellin numa faixa quecontém a reta , ∈ , ie, fixamos
Se , são duas funções que admitem transformada de Mellin ∗ , ∗
respectivamente, então
12
∗ 1 ∗
Aplicado à transformada de Laplace, com ; e usando o facto que Γ , temos outra forma de escrever a transformada
12
∗ 1 Γ/
/
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Teorema de Convolução de Mellin
Conceitos Iniciais‐ Transformada de Laplace
‐ Transformada de Mellin
‐ Função Gama
Γ
‐ Teorema de Convolução de Mellin aplicado a Laplace
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Recapitulando…
12
∗ 1 Γ
Faz sentido falar da composição de transformadas de Laplace?
∘ ⋯∘ ⋯
Esta transformada está bem definida ∀ ? Qual será o seu núcleo? Existe uma fórmula geral para ? Existe a correspondente transformada inversa?
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O que será ?
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Abordagem ingénua
Caso 2
Compor duas transformadas de Laplace de uma função e escrever como umatransformada da função original (isto é, encontrar o núcleo).
;
Como a transformada de Laplace aplica‐se a funções de variável real, ao aplicartransformada a , restringe‐se a variável a . Mais ainda, daqui em diante, avariável da função obtida por uma transformada composta de Laplace de qualquergrau assume‐se sempre como real.
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Abordagem ingénua (caso )
≡
Logo
É necessário avaliar este integral intermédio→
01 1
desdequeq 0
→ transformadadeStieltjes
Abordagem ingénua (caso )
1
Fazendoamudançadevariável ⇔ ⟹1
Fazendoamudançadevariável ⇔ ⟹ 1
1 1
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1
→ IntegralExponencialoutrafunçãoespecial…
12
∗ 1 Γ
Então
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Aplicando o Teorema de Convolução
;
12
∗ 1 Γ/
/
12
∗ 1 Γ/
/1
1
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Aplicando o Teorema de Convolução
Fazendoamudançadevariável ⇔ ⟹1
Γ 1
Juntando ao integral 1 , tem‐se:
12
∗ 1 Γ/
/Γ 1
Caso 3
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Aplicando o Teorema de Convolução
12
∗ 1 Γ Γ 1/
/2
12
∗ 1 Γ Γ 1/
/
Fazendoamudançadevariável ⇔ ⟹1
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Aplicando o Teorema de Convolução
Γ
Juntando ao integral 2 , tem‐se:
12
∗ 1 Γ Γ 1 Γ/
/
Consideremos a partir de
12
∗ 1 Γ Γ 1 Γ/
/
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Alternância de
De igual forma, para , somos conduzidos à resolução de ,o mesmo calculado para e é igual a Γ . Em relação à transformada anterior, atransformada calculada desta forma, contém mais um termo Γ e otermo na variável da imagem é .
Este método conduz à resolução do integral “intermédio” que éexactamente o mesmo calculado para e é igual a Γ 1 . Em relação àtransformada anterior, a transformada calculada desta forma, contémmais um termo Γ 1 e o termo na variável da imagem é .
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Alternância de
Portanto, ao calcular à custa da iteração anterior origina um factor Γ 1 sefor par e um factor Γ se for ímpar.Numa fórmula geral de surgem alternadamente factores Γ 1 e Γe no final surge ou , consoante a paridade de .
fatoresnototal
Notação: SejaΨ Γ Γ 1 s Γ s Γ 1 s ⋯
12
∗ 1/
/Ψ
12
∗ 1 Ψ/
/
Para calcular a transformada de grau de uma certa função :‐ Calcular ou procurar numa tabela de Transformadas ∗
‐ Avaliar o integral de linha escrito acima (resíduos, computacionalmente,...)
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Fórmula Geral
Se for par:
Se for ímpar:
12
∗ 1/
/Ψ sSeja
∗ 1 Ψ s
∗ 12
∗ 1Ψ 1 s
/
/
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Fórmula da Transformada Inversa (caso ímpar)
Logo, aplicando a Transformada Inversa de Mellin a ambos os membros:
⟺ ∗∗ 1
Ψ 1 s
⟺ ∗ 1∗
Ψ s
⟺ ∗ ∗ 1 Ψ s ⟺
12
∗ 1 Ψ/
/Seja
Fazendoamudançadevariável 1 ⇔ 1 ⟹ 1, tem se:
12
∗/
/Ψ 1 ∗ Ψ
Logo, aplicando a Transformada de Mellin a ambos os membros:
∗ ∗ Ψ
∗ ;12
∗
Ψ
/
/
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Fórmula da Transformada Inversa (caso par)
Finalmente
⟺ ∗∗
Ψ
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FIM
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