cálculo aplicado i · conteúdo do curso funções reais de uma variável real. limites....
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Cálculo Aplicado I
Humberto José Bortolossi
Departamento de Matemática Aplicada
Universidade Federal Fluminense
Parte 1
22 de abril de 2013
Parte 1 Cálculo Aplicado I 1
Apresentação do curso
Parte 1 Cálculo Aplicado I 2
Conteúdo do curso
Funções reais de uma variável real.Limites.Continuidade.Derivadas.Estudo da variação de funções.Integração.
Parte 1 Cálculo Aplicado I 3
Bibliografia
James Stewart. Cálculo, volume 1, Quinta edição, EditoraThomson Pioneira, 2006.
Parte 1 Cálculo Aplicado I 4
Bibliografia
George B. Thomas. Cálculo, volume 1, Décima segundaedição, Editora Addison-Wesley, 2012.
Parte 1 Cálculo Aplicado I 5
Bibliografia
Howard Anton. Cálculo – Um Novo Horizonte, volume 1, Oi-tava edição, Editora Bookman, 2006.
Parte 1 Cálculo Aplicado I 6
Outras informações
Página WEB do curso: http://www.professores.uff.br/hjbortol/.Clique no link DISCIPLINAS no menu à esquerda.
Conteúdo: cronograma dia a dia, lista de execícios, materialextra, notas das provas.
Não deixe de consultar os horários de monitoria no GMA.
Vamos definir agora um horário de atendimento para estaturma.
Parte 1 Cálculo Aplicado I 7
Outras informações
Página WEB do curso: http://www.professores.uff.br/hjbortol/.Clique no link DISCIPLINAS no menu à esquerda.
Conteúdo: cronograma dia a dia, lista de execícios, materialextra, notas das provas.
Não deixe de consultar os horários de monitoria no GMA.
Vamos definir agora um horário de atendimento para estaturma.
Parte 1 Cálculo Aplicado I 8
Outras informações
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Conteúdo: cronograma dia a dia, lista de execícios, materialextra, notas das provas.
Não deixe de consultar os horários de monitoria no GMA.
Vamos definir agora um horário de atendimento para estaturma.
Parte 1 Cálculo Aplicado I 9
Datas das provas
1a VE 22/05/2013 (peso 2)
2a VE 26/06/2013 (peso 2)
3a VE 05/08/2013 (peso 3)
VR 09/08/2013
VS 14/08/2013
Frequência mínima: 75%.
Parte 1 Cálculo Aplicado I 10
Datas das provas
1a VE 22/05/2013 (peso 2)
2a VE 26/06/2013 (peso 2)
3a VE 05/08/2013 (peso 3)
VR 09/08/2013
VS 14/08/2013
Frequência mínima: 75%.
Parte 1 Cálculo Aplicado I 11
Revisão: funções reais
Parte 1 Cálculo Aplicado I 12
O que é uma função?
Parte 1 Cálculo Aplicado I 13
O que é uma função?
Uma função real f é uma lei a qual, para cada elemento xem um subconjunto D de R, faz corresponder exatamente umelemento chamado f (x), em um subconjunto C de R.
D é denominado de domínio e C de contradomínio da função f .
Definição
Exemplo
f : R → Rx 7→ f (x) = 2 x
Parte 1 Cálculo Aplicado I 14
O que é uma função?
Uma função real f é uma lei a qual, para cada elemento xem um subconjunto D de R, faz corresponder exatamente umelemento chamado f (x), em um subconjunto C de R.
D é denominado de domínio e C de contradomínio da função f .
Definição
Exemplo
f : R → Rx 7→ f (x) = 2 x
Parte 1 Cálculo Aplicado I 15
Exemplo
Exemplo
f : R → Rx 7→ f (x) = 2 x
f (0) = 0, f (2) = 4, f (a + b) = 2 (a + b), f (�) = 2�.
f (p + h)− f (p)
h=
2 (p + h)− 2 ph
=2 p + 2 h − 2 p
h= 2.
Parte 1 Cálculo Aplicado I 16
Exemplo
Exemplo
f : R → Rx 7→ f (x) = 2 x
f (0) = 0, f (2) = 4, f (a + b) = 2 (a + b), f (�) = 2�.
f (p + h)− f (p)
h=
2 (p + h)− 2 ph
=2 p + 2 h − 2 p
h= 2.
Parte 1 Cálculo Aplicado I 17
Exemplo
Exemplo
f : R → Rx 7→ f (x) = 2 x
f (0) = 0, f (2) = 4, f (a + b) = 2 (a + b), f (�) = 2�.
f (p + h)− f (p)
h=
2 (p + h)− 2 ph
=2 p + 2 h − 2 p
h= 2.
Parte 1 Cálculo Aplicado I 18
Exemplo
Exemplo
f : R → Rx 7→ f (x) = 2 x
f (0) = 0, f (2) = 4, f (a + b) = 2 (a + b), f (�) = 2�.
f (p + h)− f (p)
h=
2 (p + h)− 2 ph
=2 p + 2 h − 2 p
h= 2.
Parte 1 Cálculo Aplicado I 19
Exemplo
Exemplo
f : R → Rx 7→ f (x) = 2 x
f (0) = 0, f (2) = 4, f (a + b) = 2 (a + b), f (�) = 2�.
f (p + h)− f (p)
h=
2 (p + h)− 2 ph
=2 p + 2 h − 2 p
h= 2.
Parte 1 Cálculo Aplicado I 20
Exemplo
Exemplo
f : R → Rx 7→ f (x) = 2 x
f (0) = 0, f (2) = 4, f (a + b) = 2 (a + b), f (�) = 2�.
f (p + h)− f (p)
h=
2 (p + h)− 2 ph
=2 p + 2 h − 2 p
h= 2.
Parte 1 Cálculo Aplicado I 21
Exemplo
Exemplo
f : R → Rx 7→ f (x) = 2 x
f (0) = 0, f (2) = 4, f (a + b) = 2 (a + b), f (�) = 2�.
f (p + h)− f (p)
h=
2 (p + h)− 2 ph
=2 p + 2 h − 2 p
h= 2.
Parte 1 Cálculo Aplicado I 22
Exemplo
Exemplo
f : R → Rx 7→ f (x) = 2 x
f (0) = 0, f (2) = 4, f (a + b) = 2 (a + b), f (�) = 2�.
f (p + h)− f (p)
h=
2 (p + h)− 2 ph
=2 p + 2 h − 2 p
h= 2.
Parte 1 Cálculo Aplicado I 23
Lembram-se dos diagramas de Venn?
CD
Parte 1 Cálculo Aplicado I 24
Lembram-se dos diagramas de Venn?
CD
Parte 1 Cálculo Aplicado I 25
Lembram-se dos diagramas de Venn?
(Ir para o GeoGebra)
Parte 1 Cálculo Aplicado I 26
Uma outra representação para funções
(entrada) (saída)
Parte 1 Cálculo Aplicado I 27
Cuidado!
f : D → Cx 7→ y = f (x)
Aqui x é um número real no domínio D!
Aqui f (x) é um número real no contradomínio C! f (x) ∈ Cchama-se o valor assumido pela função f no ponto x ∈ D.
Aqui f é uma função real que a cada número real xno domínio D associa um único número real f (x) nocontradomínio C!O correto é dizer “a função f ” e não “a função f (x)” (ou“a função y = f (x)”). Contudo, por simplicidade, livros epessoas costumam usar as formas incorretas. Exemplo: dizer“a função y = 2 x” ao invés de “a função f : R → R tal quey = f (x) = 2 x”.
Parte 1 Cálculo Aplicado I 28
Cuidado!
f : D → Cx 7→ y = f (x)
Aqui x é um número real no domínio D!
Aqui f (x) é um número real no contradomínio C! f (x) ∈ Cchama-se o valor assumido pela função f no ponto x ∈ D.
Aqui f é uma função real que a cada número real xno domínio D associa um único número real f (x) nocontradomínio C!O correto é dizer “a função f ” e não “a função f (x)” (ou“a função y = f (x)”). Contudo, por simplicidade, livros epessoas costumam usar as formas incorretas. Exemplo: dizer“a função y = 2 x” ao invés de “a função f : R → R tal quey = f (x) = 2 x”.
Parte 1 Cálculo Aplicado I 29
Cuidado!
f : D → Cx 7→ y = f (x)
Aqui x é um número real no domínio D!
Aqui f (x) é um número real no contradomínio C! f (x) ∈ Cchama-se o valor assumido pela função f no ponto x ∈ D.
Aqui f é uma função real que a cada número real xno domínio D associa um único número real f (x) nocontradomínio C!O correto é dizer “a função f ” e não “a função f (x)” (ou“a função y = f (x)”). Contudo, por simplicidade, livros epessoas costumam usar as formas incorretas. Exemplo: dizer“a função y = 2 x” ao invés de “a função f : R → R tal quey = f (x) = 2 x”.
Parte 1 Cálculo Aplicado I 30
Cuidado!
f : D → Cx 7→ y = f (x)
Aqui x é um número real no domínio D!
Aqui f (x) é um número real no contradomínio C! f (x) ∈ Cchama-se o valor assumido pela função f no ponto x ∈ D.
Aqui f é uma função real que a cada número real xno domínio D associa um único número real f (x) nocontradomínio C!O correto é dizer “a função f ” e não “a função f (x)” (ou“a função y = f (x)”). Contudo, por simplicidade, livros epessoas costumam usar as formas incorretas. Exemplo: dizer“a função y = 2 x” ao invés de “a função f : R → R tal quey = f (x) = 2 x”.
Parte 1 Cálculo Aplicado I 31
Cuidado!
f : D → Cx 7→ y = f (x)
Aqui x é um número real no domínio D!
Aqui f (x) é um número real no contradomínio C! f (x) ∈ Cchama-se o valor assumido pela função f no ponto x ∈ D.
Aqui f é uma função real que a cada número real xno domínio D associa um único número real f (x) nocontradomínio C!O correto é dizer “a função f ” e não “a função f (x)” (ou“a função y = f (x)”). Contudo, por simplicidade, livros epessoas costumam usar as formas incorretas. Exemplo: dizer“a função y = 2 x” ao invés de “a função f : R → R tal quey = f (x) = 2 x”.
Parte 1 Cálculo Aplicado I 32
Cuidado!
f : D → Cx 7→ y = f (x)
Aqui x é um número real no domínio D!
Aqui f (x) é um número real no contradomínio C! f (x) ∈ Cchama-se o valor assumido pela função f no ponto x ∈ D.
Aqui f é uma função real que a cada número real xno domínio D associa um único número real f (x) nocontradomínio C!O correto é dizer “a função f ” e não “a função f (x)” (ou“a função y = f (x)”). Contudo, por simplicidade, livros epessoas costumam usar as formas incorretas. Exemplo: dizer“a função y = 2 x” ao invés de “a função f : R → R tal quey = f (x) = 2 x”.
Parte 1 Cálculo Aplicado I 33
Cuidado!
f : D → Cx 7→ y = f (x)
Aqui x é um número real no domínio D!
Aqui f (x) é um número real no contradomínio C! f (x) ∈ Cchama-se o valor assumido pela função f no ponto x ∈ D.
Aqui f é uma função real que a cada número real xno domínio D associa um único número real f (x) nocontradomínio C!O correto é dizer “a função f ” e não “a função f (x)” (ou“a função y = f (x)”). Contudo, por simplicidade, livros epessoas costumam usar as formas incorretas. Exemplo: dizer“a função y = 2 x” ao invés de “a função f : R → R tal quey = f (x) = 2 x”.
Parte 1 Cálculo Aplicado I 34
Cuidado!
f : D → Cx 7→ y = f (x)
Aqui x é um número real no domínio D!
Aqui f (x) é um número real no contradomínio C! f (x) ∈ Cchama-se o valor assumido pela função f no ponto x ∈ D.
Aqui f é uma função real que a cada número real xno domínio D associa um único número real f (x) nocontradomínio C!O correto é dizer “a função f ” e não “a função f (x)” (ou“a função y = f (x)”). Contudo, por simplicidade, livros epessoas costumam usar as formas incorretas. Exemplo: dizer“a função y = 2 x” ao invés de “a função f : R → R tal quey = f (x) = 2 x”.
Parte 1 Cálculo Aplicado I 35
Cuidado!
f : D → Cx 7→ y = f (x)
Aqui x é um número real no domínio D!
Aqui f (x) é um número real no contradomínio C! f (x) ∈ Cchama-se o valor assumido pela função f no ponto x ∈ D.
Aqui f é uma função real que a cada número real xno domínio D associa um único número real f (x) nocontradomínio C!O correto é dizer “a função f ” e não “a função f (x)” (ou“a função y = f (x)”). Contudo, por simplicidade, livros epessoas costumam usar as formas incorretas. Exemplo: dizer“a função y = 2 x” ao invés de “a função f : R → R tal quey = f (x) = 2 x”.
Parte 1 Cálculo Aplicado I 36
Cuidado!
f : D → Cx 7→ y = f (x)
Aqui x é um número real no domínio D!
Aqui f (x) é um número real no contradomínio C! f (x) ∈ Cchama-se o valor assumido pela função f no ponto x ∈ D.
Aqui f é uma função real que a cada número real xno domínio D associa um único número real f (x) nocontradomínio C!O correto é dizer “a função f ” e não “a função f (x)” (ou“a função y = f (x)”). Contudo, por simplicidade, livros epessoas costumam usar as formas incorretas. Exemplo: dizer“a função y = 2 x” ao invés de “a função f : R → R tal quey = f (x) = 2 x”.
Parte 1 Cálculo Aplicado I 37
Cuidado!
f : D → Cx 7→ y = f (x)
Aqui x é um número real no domínio D!
Aqui f (x) é um número real no contradomínio C! f (x) ∈ Cchama-se o valor assumido pela função f no ponto x ∈ D.
Aqui f é uma função real que a cada número real xno domínio D associa um único número real f (x) nocontradomínio C!O correto é dizer “a função f ” e não “a função f (x)” (ou“a função y = f (x)”). Contudo, por simplicidade, livros epessoas costumam usar as formas incorretas. Exemplo: dizer“a função y = 2 x” ao invés de “a função f : R → R tal quey = f (x) = 2 x”.
Parte 1 Cálculo Aplicado I 38
Cuidado!
f : D → Cx 7→ y = f (x)
Aqui x é um número real no domínio D!
Aqui f (x) é um número real no contradomínio C! f (x) ∈ Cchama-se o valor assumido pela função f no ponto x ∈ D.
Aqui f é uma função real que a cada número real xno domínio D associa um único número real f (x) nocontradomínio C!O correto é dizer “a função f ” e não “a função f (x)” (ou“a função y = f (x)”). Contudo, por simplicidade, livros epessoas costumam usar as formas incorretas. Exemplo: dizer“a função y = 2 x” ao invés de “a função f : R → R tal quey = f (x) = 2 x”.
Parte 1 Cálculo Aplicado I 39
Cuidado!
f : D → Cx 7→ y = f (x)
Aqui x é um número real no domínio D!
Aqui f (x) é um número real no contradomínio C! f (x) ∈ Cchama-se o valor assumido pela função f no ponto x ∈ D.
Aqui f é uma função real que a cada número real xno domínio D associa um único número real f (x) nocontradomínio C!O correto é dizer “a função f ” e não “a função f (x)” (ou“a função y = f (x)”). Contudo, por simplicidade, livros epessoas costumam usar as formas incorretas. Exemplo: dizer“a função y = 2 x” ao invés de “a função f : R → R tal quey = f (x) = 2 x”.
Parte 1 Cálculo Aplicado I 40
Cuidado!
f : D → Cx 7→ y = f (x)
Aqui x é um número real no domínio D!
Aqui f (x) é um número real no contradomínio C! f (x) ∈ Cchama-se o valor assumido pela função f no ponto x ∈ D.
Aqui f é uma função real que a cada número real xno domínio D associa um único número real f (x) nocontradomínio C!O correto é dizer “a função f ” e não “a função f (x)” (ou“a função y = f (x)”). Contudo, por simplicidade, livros epessoas costumam usar as formas incorretas. Exemplo: dizer“a função y = 2 x” ao invés de “a função f : R → R tal quey = f (x) = 2 x”.
Parte 1 Cálculo Aplicado I 41
Cuidado!
f : D → Cx 7→ y = f (x)
Aqui x é um número real no domínio D!
Aqui f (x) é um número real no contradomínio C! f (x) ∈ Cchama-se o valor assumido pela função f no ponto x ∈ D.
Aqui f é uma função real que a cada número real xno domínio D associa um único número real f (x) nocontradomínio C!O correto é dizer “a função f ” e não “a função f (x)” (ou“a função y = f (x)”). Contudo, por simplicidade, livros epessoas costumam usar as formas incorretas. Exemplo: dizer“a função y = 2 x” ao invés de “a função f : R → R tal quey = f (x) = 2 x”.
Parte 1 Cálculo Aplicado I 42
Cuidado!
f : D → Cx 7→ y = f (x)
Aqui x é um número real no domínio D!
Aqui f (x) é um número real no contradomínio C! f (x) ∈ Cchama-se o valor assumido pela função f no ponto x ∈ D.
Aqui f é uma função real que a cada número real xno domínio D associa um único número real f (x) nocontradomínio C!O correto é dizer “a função f ” e não “a função f (x)” (ou“a função y = f (x)”). Contudo, por simplicidade, livros epessoas costumam usar as formas incorretas. Exemplo: dizer“a função y = 2 x” ao invés de “a função f : R → R tal quey = f (x) = 2 x”.
Parte 1 Cálculo Aplicado I 43
Revisão: imagem de uma função real
Parte 1 Cálculo Aplicado I 44
O que é a imagem de uma função real?
Parte 1 Cálculo Aplicado I 45
O que é a imagem de uma função real?
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :
Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.
Definição
Exemplo
f : R → Rx 7→ f (x) = 2 x
Parte 1 Cálculo Aplicado I 46
O que é a imagem de uma função real?
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :
Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.
Definição
Exemplo
f : R → Rx 7→ f (x) = 2 x
Parte 1 Cálculo Aplicado I 47
O que é a imagem de uma função real?
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :
Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.
Definição
Exemplo
f : R → Rx 7→ f (x) = 2 x
Parte 1 Cálculo Aplicado I 48
O que é a imagem de uma função real?
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :
Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.
Definição
Exemplo
f : R → Rx 7→ f (x) = 2 x
Parte 1 Cálculo Aplicado I 49
O que é a imagem de uma função real?
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :
Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.
Definição
Exemplo
f : R → Rx 7→ f (x) = 2 x
1 pertence a imagem de f? Sim, pois f (1/2) = 1!
Parte 1 Cálculo Aplicado I 50
O que é a imagem de uma função real?
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :
Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.
Definição
Exemplo
f : R → Rx 7→ f (x) = 2 x
1 pertence a imagem de f? Sim, pois f (1/2) = 1!
Parte 1 Cálculo Aplicado I 51
O que é a imagem de uma função real?
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :
Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.
Definição
Exemplo
f : R → Rx 7→ f (x) = 2 x
2 pertence a imagem de f? Sim, pois f (1) = 2!
Parte 1 Cálculo Aplicado I 52
O que é a imagem de uma função real?
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :
Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.
Definição
Exemplo
f : R → Rx 7→ f (x) = 2 x
2 pertence a imagem de f? Sim, pois f (1) = 2!
Parte 1 Cálculo Aplicado I 53
O que é a imagem de uma função real?
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :
Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.
Definição
Exemplo
f : R → Rx 7→ f (x) = 2 x
√3 pertence a imagem de f? Sim, pois f (
√3/2) =
√3!
Parte 1 Cálculo Aplicado I 54
O que é a imagem de uma função real?
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :
Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.
Definição
Exemplo
f : R → Rx 7→ f (x) = 2 x
√3 pertence a imagem de f? Sim, pois f (
√3/2) =
√3!
Parte 1 Cálculo Aplicado I 55
O que é a imagem de uma função real?
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :
Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.
Definição
Exemplo
f : R → Rx 7→ f (x) = 2 x
b ∈ R pertence a imagem de f? Sim, pois f (b/2) = b!
Parte 1 Cálculo Aplicado I 56
O que é a imagem de uma função real?
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :
Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.
Definição
Exemplo
f : R → Rx 7→ f (x) = 2 x
b ∈ R pertence a imagem de f? Sim, pois f (b/2) = b!
Parte 1 Cálculo Aplicado I 57
O que é a imagem de uma função real?
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :
Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.
Definição
Exemplo
f : R → Rx 7→ f (x) = 2 x
Moral: Imagem de f = R!
Parte 1 Cálculo Aplicado I 58
O que é a imagem de uma função real?
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :
Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.
Definição
Exemplo
f : R → Rx 7→ f (x) = x2
2 pertence a imagem de f? Sim, pois f (√
2) = 2!
Parte 1 Cálculo Aplicado I 59
O que é a imagem de uma função real?
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :
Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.
Definição
Exemplo
f : R → Rx 7→ f (x) = x2
2 pertence a imagem de f? Sim, pois f (√
2) = 2!
Parte 1 Cálculo Aplicado I 60
O que é a imagem de uma função real?
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :
Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.
Definição
Exemplo
f : R → Rx 7→ f (x) = x2
Temos que f (√
2) = 2. Note, também, que f (−√
2) = 2.
Parte 1 Cálculo Aplicado I 61
O que é a imagem de uma função real?
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :
Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.
Definição
Exemplo
f : R → Rx 7→ f (x) = x2
Temos que f (√
2) = 2. Note, também, que f (−√
2) = 2.
Parte 1 Cálculo Aplicado I 62
O que é a imagem de uma função real?
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :
Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.
Definição
Exemplo
f : R → Rx 7→ f (x) = x2
Para que y ∈ Imagem de f basta um x ∈ D tal que f (x) = y !
Parte 1 Cálculo Aplicado I 63
O que é a imagem de uma função real?
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :
Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.
Definição
Exemplo
f : R → Rx 7→ f (x) = x2
0 pertence a imagem de f? Sim, pois f (0) = 0!
Parte 1 Cálculo Aplicado I 64
O que é a imagem de uma função real?
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :
Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.
Definição
Exemplo
f : R → Rx 7→ f (x) = x2
0 pertence a imagem de f? Sim, pois f (0) = 0!
Parte 1 Cálculo Aplicado I 65
O que é a imagem de uma função real?
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :
Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.
Definição
Exemplo
f : R → Rx 7→ f (x) = x2
−1 pertence a imagem de f? Não, pois ∀x ∈ R, f (x) = x2 ≥ 0 e −1 < 0!
Parte 1 Cálculo Aplicado I 66
O que é a imagem de uma função real?
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :
Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.
Definição
Exemplo
f : R → Rx 7→ f (x) = x2
−1 pertence a imagem de f? Não, pois ∀x ∈ R, f (x) = x2 ≥ 0 e −1 < 0!
Parte 1 Cálculo Aplicado I 67
O que é a imagem de uma função real?
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :
Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.
Definição
Exemplo
f : R → Rx 7→ f (x) = x2
−1 pertence a imagem de f? Não, pois ∀x ∈ R, f (x) = x2 ≥ 0 e −1 < 0!
Parte 1 Cálculo Aplicado I 68
O que é a imagem de uma função real?
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :
Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.
Definição
Exemplo
f : R → Rx 7→ f (x) = x2
−1 pertence a imagem de f? Não, pois ∀x ∈ R, f (x) = x2 ≥ 0 e −1 < 0!
Parte 1 Cálculo Aplicado I 69
O que é a imagem de uma função real?
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :
Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.
Definição
Exemplo
f : R → Rx 7→ f (x) = x2
b ≥ 0 pertence a imagem de f? Sim, pois f (√
b) = b!
Parte 1 Cálculo Aplicado I 70
O que é a imagem de uma função real?
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :
Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.
Definição
Exemplo
f : R → Rx 7→ f (x) = x2
b ≥ 0 pertence a imagem de f? Sim, pois f (√
b) = b!
Parte 1 Cálculo Aplicado I 71
O que é a imagem de uma função real?
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :
Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.
Definição
Exemplo
f : R → Rx 7→ f (x) = x2
b < 0 pertence a imagem de f? Não, pois ∀x ∈ R, f (x) = x2 ≥ 0 e b < 0!
Parte 1 Cálculo Aplicado I 72
O que é a imagem de uma função real?
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :
Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.
Definição
Exemplo
f : R → Rx 7→ f (x) = x2
b < 0 pertence a imagem de f? Não, pois ∀x ∈ R, f (x) = x2 ≥ 0 e b < 0!
Parte 1 Cálculo Aplicado I 73
O que é a imagem de uma função real?
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :
Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.
Definição
Exemplo
f : R → Rx 7→ f (x) = x2
b < 0 pertence a imagem de f? Não, pois ∀x ∈ R, f (x) = x2 ≥ 0 e b < 0!
Parte 1 Cálculo Aplicado I 74
O que é a imagem de uma função real?
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :
Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.
Definição
Exemplo
f : R → Rx 7→ f (x) = x2
b < 0 pertence a imagem de f? Não, pois ∀x ∈ R, f (x) = x2 ≥ 0 e b < 0!
Parte 1 Cálculo Aplicado I 75
O que é a imagem de uma função real?
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :
Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.
Definição
Exemplo
f : R → Rx 7→ f (x) = x2
Moral: Imagem de f = [0,+∞)!
Parte 1 Cálculo Aplicado I 76
Determinar a imagem de uma função pode ser difícil!
Qual é a imagem da função f abaixo?
f : R → Rx 7→ f (x) = x4 + x3 + x2 + x + 1
Imagem de f =
1695 + (−135 + 20√
6)3√
135 + 60√
6 + (−49 + 24√
6) 3√
(135 + 60√
6)2
2304,+∞
= [ 0.6735532234764100089 . . . ,+∞).
Veremos mais adiante no curso como as ferramentas de Cálculopodem ajudar a resolver questões deste tipo!
Parte 1 Cálculo Aplicado I 77
Determinar a imagem de uma função pode ser difícil!
Qual é a imagem da função f abaixo?
f : R → Rx 7→ f (x) = x4 + x3 + x2 + x + 1
Imagem de f =
1695 + (−135 + 20√
6)3√
135 + 60√
6 + (−49 + 24√
6) 3√
(135 + 60√
6)2
2304,+∞
= [ 0.6735532234764100089 . . . ,+∞).
Veremos mais adiante no curso como as ferramentas de Cálculopodem ajudar a resolver questões deste tipo!
Parte 1 Cálculo Aplicado I 78
Determinar a imagem de uma função pode ser difícil!
Qual é a imagem da função f abaixo?
f : R → Rx 7→ f (x) = x4 + x3 + x2 + x + 1
Imagem de f =
1695 + (−135 + 20√
6)3√
135 + 60√
6 + (−49 + 24√
6) 3√
(135 + 60√
6)2
2304,+∞
= [ 0.6735532234764100089 . . . ,+∞).
Veremos mais adiante no curso como as ferramentas de Cálculopodem ajudar a resolver questões deste tipo!
Parte 1 Cálculo Aplicado I 79
Determinar a imagem de uma função pode ser difícil!
Qual é a imagem da função f abaixo?
f : R → Rx 7→ f (x) = x4 + x3 + x2 + x + 1
Imagem de f =
1695 + (−135 + 20√
6)3√
135 + 60√
6 + (−49 + 24√
6) 3√
(135 + 60√
6)2
2304,+∞
= [ 0.6735532234764100089 . . . ,+∞).
Veremos mais adiante no curso como as ferramentas de Cálculopodem ajudar a resolver questões deste tipo!
Parte 1 Cálculo Aplicado I 80
Determinar a imagem de uma função pode ser difícil!
Qual é a imagem da função f abaixo?
f : R → Rx 7→ f (x) = x4 + x3 + x2 + x + 1
Imagem de f =
1695 + (−135 + 20√
6)3√
135 + 60√
6 + (−49 + 24√
6) 3√
(135 + 60√
6)2
2304,+∞
= [ 0.6735532234764100089 . . . ,+∞).
Veremos mais adiante no curso como as ferramentas de Cálculopodem ajudar a resolver questões deste tipo!
Parte 1 Cálculo Aplicado I 81
Determinar a imagem de uma função pode ser difícil!
Qual é a imagem da função f abaixo?
f : R → Rx 7→ f (x) = x4 + x3 + x2 + x + 1
Imagem de f =
1695 + (−135 + 20√
6)3√
135 + 60√
6 + (−49 + 24√
6) 3√
(135 + 60√
6)2
2304,+∞
= [ 0.6735532234764100089 . . . ,+∞).
Veremos mais adiante no curso como as ferramentas de Cálculopodem ajudar a resolver questões deste tipo!
Parte 1 Cálculo Aplicado I 82
Revisão: gráfico de uma função real
Parte 1 Cálculo Aplicado I 83
O que é o gráfico de uma função real?
Parte 1 Cálculo Aplicado I 84
O que é o gráfico de uma função real?
O gráfico de uma função real f : D → C é o subconjunto depontos (x , y) ∈ R2 tais que x ∈ D e y = f (x):
Gráfico de f = {(x , y) ∈ R2 | x ∈ D e y = f (x)}.
Definição
Parte 1 Cálculo Aplicado I 85
O que é o gráfico de uma função real?
(Ir para o GeoGebra)
Parte 1 Cálculo Aplicado I 86
Como construir o gráfico de uma função real?
Cuidado: usar tabelas pode não ser suficiente!para se construir gráficos de funções!
Parte 1 Cálculo Aplicado I 87
Como construir o gráfico de uma função real?
Cuidado: usar tabelas pode não ser suficiente!para se construir gráficos de funções!
Parte 1 Cálculo Aplicado I 88
Como construir o gráfico de uma função real?
Cuidado: usar tabelas pode não ser suficiente!para se construir gráficos de funções!
Parte 1 Cálculo Aplicado I 89
Como construir o gráfico de uma função real?
Veremos mais adiante no curso como as ferramentas de Cálculopodem ser usadas para se construir gráficos de funções!
Parte 1 Cálculo Aplicado I 90
Toda curva é gráfico de uma função real?
A resposta é não!
Toda reta vertical corta o gráfico de uma função no máximo em 1 ponto!
Parte 1 Cálculo Aplicado I 91
Toda curva é gráfico de uma função real?
A resposta é não!
Toda reta vertical corta o gráfico de uma função no máximo em 1 ponto!
Parte 1 Cálculo Aplicado I 92
Toda curva é gráfico de uma função real?
A resposta é não!
Toda reta vertical corta o gráfico de uma função no máximo em 1 ponto!
Parte 1 Cálculo Aplicado I 93
Exemplo
Parte 1 Cálculo Aplicado I 94
Exemplo
Parte 1 Cálculo Aplicado I 95
Revisão: domínio natural (efetivo) deuma função real
Parte 1 Cálculo Aplicado I 96
Domínio efetivo (natural) de uma função
Quando uma função real é definida apenas pela sua lei deassociação, convenciona-se que o seu domínio é o maiorsubconjunto de R para o qual é possível avaliar a função eo seu contradomínio é R.
Convenção
Exemplo: f (x) =1x
.
O domínio efetivo (natural) de f é D = R− {0}.
Parte 1 Cálculo Aplicado I 97
Domínio efetivo (natural) de uma função
Quando uma função real é definida apenas pela sua lei deassociação, convenciona-se que o seu domínio é o maiorsubconjunto de R para o qual é possível avaliar a função eo seu contradomínio é R.
Convenção
Exemplo: f (x) =1x
.
O domínio efetivo (natural) de f é D = R− {0}.
Parte 1 Cálculo Aplicado I 98
Domínio efetivo (natural) de uma função
Quando uma função real é definida apenas pela sua lei deassociação, convenciona-se que o seu domínio é o maiorsubconjunto de R para o qual é possível avaliar a função eo seu contradomínio é R.
Convenção
Exemplo: f (x) =1x
.
O domínio efetivo (natural) de f é D = R− {0}.
Parte 1 Cálculo Aplicado I 99
Domínio natural de uma função
Qual é o domínio efetivo (natural) de f (x) =1√
2 x − 4?
2 x − 4 > 0 ⇔ 2 x > 4 ⇔ x >42⇔ x > 2.
Resposta: o domínio efetivo (natural) de f é
D = {x ∈ R | x > 2} = ]2,+∞[ = (2,+∞).
Parte 1 Cálculo Aplicado I 100
Domínio natural de uma função
Qual é o domínio efetivo (natural) de f (x) =1√
2 x − 4?
2 x − 4 > 0 ⇔ 2 x > 4 ⇔ x >42⇔ x > 2.
Resposta: o domínio efetivo (natural) de f é
D = {x ∈ R | x > 2} = ]2,+∞[ = (2,+∞).
Parte 1 Cálculo Aplicado I 101
Domínio natural de uma função
Qual é o domínio efetivo (natural) de f (x) =1√
2 x − 4?
2 x − 4 > 0 ⇔ 2 x > 4 ⇔ x >42⇔ x > 2.
Resposta: o domínio efetivo (natural) de f é
D = {x ∈ R | x > 2} = ]2,+∞[ = (2,+∞).
Parte 1 Cálculo Aplicado I 102
Domínio natural de uma função
Qual é o domínio efetivo (natural) de f (x) =1√
2 x − 4?
2 x − 4 > 0 ⇔ 2 x > 4 ⇔ x >42⇔ x > 2.
Resposta: o domínio efetivo (natural) de f é
D = {x ∈ R | x > 2} = ]2,+∞[ = (2,+∞).
Parte 1 Cálculo Aplicado I 103
Domínio natural de uma função
Qual é o domínio efetivo (natural) de f (x) =1√
2 x − 4?
2 x − 4 > 0 ⇔ 2 x > 4 ⇔ x >42⇔ x > 2.
Resposta: o domínio efetivo (natural) de f é
D = {x ∈ R | x > 2} = ]2,+∞[ = (2,+∞).
Parte 1 Cálculo Aplicado I 104
Domínio natural de uma função
Qual é o domínio efetivo (natural) de f (x) =1√
2 x − 4?
2 x − 4 > 0 ⇔ 2 x > 4 ⇔ x >42⇔ x > 2.
Resposta: o domínio efetivo (natural) de f é
D = {x ∈ R | x > 2} = ]2,+∞[ = (2,+∞).
Parte 1 Cálculo Aplicado I 105
Domínio natural de uma função
Qual é o domínio efetivo (natural) de f (x) =1√
2 x − 4?
2 x − 4 > 0 ⇔ 2 x > 4 ⇔ x >42⇔ x > 2.
Resposta: o domínio efetivo (natural) de f é
D = {x ∈ R | x > 2} = ]2,+∞[ = (2,+∞).
Parte 1 Cálculo Aplicado I 106
Domínio natural de uma função
Qual é o domínio efetivo (natural) de f (x) =1√
2 x − 4?
2 x − 4 > 0 ⇔ 2 x > 4 ⇔ x >42⇔ x > 2.
Resposta: o domínio efetivo (natural) de f é
D = {x ∈ R | x > 2} = ]2,+∞[ = (2,+∞).
Parte 1 Cálculo Aplicado I 107
Domínio natural de uma função
Qual é o domínio efetivo (natural) de f (x) =1√
2 x − 4?
2 x − 4 > 0 ⇔ 2 x > 4 ⇔ x >42⇔ x > 2.
Resposta: o domínio efetivo (natural) de f é
D = {x ∈ R | x > 2} = ]2,+∞[ = (2,+∞).
Parte 1 Cálculo Aplicado I 108
Domínio natural de uma função
Qual é o domínio efetivo (natural) de f (x) =1√
1− 2 x − 6x − 1
?
CUIDADO!
1− 2 x − 6x − 1
> 0 ⇔ 1 >2 x − 6x − 1
⇔ 2 x − 6x − 1
< 1
AQUI!
⇔ 2 x − 6 < x − 1
⇔ 2 x − x < −1 + 6
⇔ x < 5.
Existe algo de errado neste desenvolvimento? Sim!
Parte 1 Cálculo Aplicado I 109
Domínio natural de uma função
Qual é o domínio efetivo (natural) de f (x) =1√
1− 2 x − 6x − 1
?
CUIDADO!
1− 2 x − 6x − 1
> 0 ⇔ 1 >2 x − 6x − 1
⇔ 2 x − 6x − 1
< 1
AQUI!
⇔ 2 x − 6 < x − 1
⇔ 2 x − x < −1 + 6
⇔ x < 5.
Existe algo de errado neste desenvolvimento? Sim!
Parte 1 Cálculo Aplicado I 110
Domínio natural de uma função
Qual é o domínio efetivo (natural) de f (x) =1√
1− 2 x − 6x − 1
?
CUIDADO!
1− 2 x − 6x − 1
> 0 ⇔ 1 >2 x − 6x − 1
⇔ 2 x − 6x − 1
< 1
AQUI!
⇔ 2 x − 6 < x − 1
⇔ 2 x − x < −1 + 6
⇔ x < 5.
Existe algo de errado neste desenvolvimento? Sim!
Parte 1 Cálculo Aplicado I 111
Domínio natural de uma função
Qual é o domínio efetivo (natural) de f (x) =1√
1− 2 x − 6x − 1
?
CUIDADO!
1− 2 x − 6x − 1
> 0 ⇔ 1 >2 x − 6x − 1
⇔ 2 x − 6x − 1
< 1
AQUI!
⇔ 2 x − 6 < x − 1
⇔ 2 x − x < −1 + 6
⇔ x < 5.
Existe algo de errado neste desenvolvimento? Sim!
Parte 1 Cálculo Aplicado I 112
Domínio natural de uma função
Qual é o domínio efetivo (natural) de f (x) =1√
1− 2 x − 6x − 1
?
CUIDADO!
1− 2 x − 6x − 1
> 0 ⇔ 1 >2 x − 6x − 1
⇔ 2 x − 6x − 1
< 1
AQUI!
⇔ 2 x − 6 < x − 1
⇔ 2 x − x < −1 + 6
⇔ x < 5.
Existe algo de errado neste desenvolvimento? Sim!
Parte 1 Cálculo Aplicado I 113
Domínio natural de uma função
Qual é o domínio efetivo (natural) de f (x) =1√
1− 2 x − 6x − 1
?
CUIDADO!
1− 2 x − 6x − 1
> 0 ⇔ 1 >2 x − 6x − 1
⇔ 2 x − 6x − 1
< 1
AQUI!
⇔ 2 x − 6 < x − 1
⇔ 2 x − x < −1 + 6
⇔ x < 5.
Existe algo de errado neste desenvolvimento? Sim!
Parte 1 Cálculo Aplicado I 114
Domínio natural de uma função
Qual é o domínio efetivo (natural) de f (x) =1√
1− 2 x − 6x − 1
?
CUIDADO!
1− 2 x − 6x − 1
> 0 ⇔ 1 >2 x − 6x − 1
⇔ 2 x − 6x − 1
< 1
AQUI!
⇔ 2 x − 6 < x − 1
⇔ 2 x − x < −1 + 6
⇔ x < 5.
Existe algo de errado neste desenvolvimento? Sim!
Parte 1 Cálculo Aplicado I 115
Domínio natural de uma função
Qual é o domínio efetivo (natural) de f (x) =1√
1− 2 x − 6x − 1
?
CUIDADO!
1− 2 x − 6x − 1
> 0 ⇔ 1 >2 x − 6x − 1
⇔ 2 x − 6x − 1
< 1
AQUI!
⇔ 2 x − 6 < x − 1
⇔ 2 x − x < −1 + 6
⇔ x < 5.
Existe algo de errado neste desenvolvimento? Sim!
Parte 1 Cálculo Aplicado I 116
Domínio natural de uma função
Qual é o domínio efetivo (natural) de f (x) =1√
1− 2 x − 6x − 1
?
CUIDADO!
1− 2 x − 6x − 1
> 0 ⇔ 1 >2 x − 6x − 1
⇔ 2 x − 6x − 1
< 1
AQUI!
⇔ 2 x − 6 < x − 1
⇔ 2 x − x < −1 + 6
⇔ x < 5.
Existe algo de errado neste desenvolvimento? Sim!
Parte 1 Cálculo Aplicado I 117
Estudo do sinal
2 x − 6x − 1
< 1 ⇔ 2 x − 6x − 1
−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)
x − 1< 0 ⇔ x − 5
x − 1< 0
Domínio efetivo (natural) de f = {x ∈ R | 1 < x < 5} = ]1,5[ = (1,5).
Parte 1 Cálculo Aplicado I 118
Estudo do sinal
2 x − 6x − 1
< 1 ⇔ 2 x − 6x − 1
−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)
x − 1< 0 ⇔ x − 5
x − 1< 0
Domínio efetivo (natural) de f = {x ∈ R | 1 < x < 5} = ]1,5[ = (1,5).
Parte 1 Cálculo Aplicado I 119
Estudo do sinal
2 x − 6x − 1
< 1 ⇔ 2 x − 6x − 1
−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)
x − 1< 0 ⇔ x − 5
x − 1< 0
Domínio efetivo (natural) de f = {x ∈ R | 1 < x < 5} = ]1,5[ = (1,5).
Parte 1 Cálculo Aplicado I 120
Estudo do sinal
2 x − 6x − 1
< 1 ⇔ 2 x − 6x − 1
−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)
x − 1< 0 ⇔ x − 5
x − 1< 0
Domínio efetivo (natural) de f = {x ∈ R | 1 < x < 5} = ]1,5[ = (1,5).
Parte 1 Cálculo Aplicado I 121
Estudo do sinal
2 x − 6x − 1
< 1 ⇔ 2 x − 6x − 1
−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)
x − 1< 0 ⇔ x − 5
x − 1< 0
Sinal de
x { 5
Sinal de
x { 1
Sinal de
(x { 5)/(x { 1)
Domínio efetivo (natural) de f = {x ∈ R | 1 < x < 5} = ]1,5[ = (1,5).
Parte 1 Cálculo Aplicado I 122
Estudo do sinal
2 x − 6x − 1
< 1 ⇔ 2 x − 6x − 1
−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)
x − 1< 0 ⇔ x − 5
x − 1< 0
Sinal de
x { 5
Sinal de
x { 1
Sinal de
(x { 5)/(x { 1)
Domínio efetivo (natural) de f = {x ∈ R | 1 < x < 5} = ]1,5[ = (1,5).
Parte 1 Cálculo Aplicado I 123
Estudo do sinal
2 x − 6x − 1
< 1 ⇔ 2 x − 6x − 1
−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)
x − 1< 0 ⇔ x − 5
x − 1< 0
Sinal de
x { 5
Sinal de
x { 1
Sinal de
(x { 5)/(x { 1)
Domínio efetivo (natural) de f = {x ∈ R | 1 < x < 5} = ]1,5[ = (1,5).
Parte 1 Cálculo Aplicado I 124
Estudo do sinal
2 x − 6x − 1
< 1 ⇔ 2 x − 6x − 1
−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)
x − 1< 0 ⇔ x − 5
x − 1< 0
Sinal de
x { 5
Sinal de
x { 1
Sinal de
(x { 5)/(x { 1)
Domínio efetivo (natural) de f = {x ∈ R | 1 < x < 5} = ]1,5[ = (1,5).
Parte 1 Cálculo Aplicado I 125
Estudo do sinal
2 x − 6x − 1
< 1 ⇔ 2 x − 6x − 1
−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)
x − 1< 0 ⇔ x − 5
x − 1< 0
Sinal de
x { 5
Sinal de
x { 1
Sinal de
(x { 5)/(x { 1)
Domínio efetivo (natural) de f = {x ∈ R | 1 < x < 5} = ]1,5[ = (1,5).
Parte 1 Cálculo Aplicado I 126
Revisão: estudo do sinalde uma função real
Parte 1 Cálculo Aplicado I 127
Estudo do sinal
IMPORTANTE!
Nos exemplos que acabamos de estudar, vimos que paraencontrar o domínio efetivo (natural) de função, foi necessáriosaber resolver uma inequação.
Saber resolver corretamente inequações é uma habilidadefundamental que você deverá dominar, pois ela será usada emvários momentos em nosso curso (estudo do crescimento econvexidade de funções reais via derivadas)!
Parte 1 Cálculo Aplicado I 128
Estudo do sinal: outro exemplo
x − 51− x
< 0
Sinal de
x { 5
Sinal de
1 { x
Sinal de
(x { 5)/(1 { x )
S = {x ∈ R | x < 1 ou x > 5} =]−∞,1[∪]5,+∞[= (−∞,1)∪(5,+∞).
Parte 1 Cálculo Aplicado I 129
Estudo do sinal: outro exemplo
x − 51− x
< 0
Sinal de
x { 5
Sinal de
1 { x
Sinal de
(x { 5)/(1 { x )
S = {x ∈ R | x < 1 ou x > 5} =]−∞,1[∪]5,+∞[= (−∞,1)∪(5,+∞).
Parte 1 Cálculo Aplicado I 130
Estudo do sinal: outro exemplo
x − 51− x
< 0
Sinal de
x { 5
Sinal de
1 { x
Sinal de
(x { 5)/(1 { x )
S = {x ∈ R | x < 1 ou x > 5} =]−∞,1[∪]5,+∞[= (−∞,1)∪(5,+∞).
Parte 1 Cálculo Aplicado I 131
Inequações envolvendo funções quadráticas
x2 − 6 x + 8x − 5
< 0
Sinal dex2 − 6 x + 8
Sinal dex − 5
Sinal de(x2 − 6 x + 8)/(x − 5)
2
22
4
4
5
5
S = {x ∈ R | x < 2 ou (x > 4 e x < 5)} =]−∞,2[ ∪ ]4,5[.
Parte 1 Cálculo Aplicado I 132
Inequações envolvendo funções quadráticas
x2 − 6 x + 8x − 5
< 0
Sinal dex2 − 6 x + 8
Sinal dex − 5
Sinal de(x2 − 6 x + 8)/(x − 5)
2
22
4
4
5
5
S = {x ∈ R | x < 2 ou (x > 4 e x < 5)} =]−∞,2[ ∪ ]4,5[.
Parte 1 Cálculo Aplicado I 133
Inequações envolvendo funções quadráticas
x2 − 6 x + 8x − 5
< 0
Sinal dex2 − 6 x + 8
Sinal dex − 5
Sinal de(x2 − 6 x + 8)/(x − 5)
2
22
4
4
5
5
S = {x ∈ R | x < 2 ou (x > 4 e x < 5)} =]−∞,2[ ∪ ]4,5[.
Parte 1 Cálculo Aplicado I 134
Inequações envolvendo funções quadráticas
x2 − 6 x + 8x − 5
< 0
Sinal dex2 − 6 x + 8
Sinal dex − 5
Sinal de(x2 − 6 x + 8)/(x − 5)
2
22
4
4
5
5
S = {x ∈ R | x < 2 ou (x > 4 e x < 5)} =]−∞,2[ ∪ ]4,5[.
Parte 1 Cálculo Aplicado I 135
Inequações envolvendo funções quadráticas
x2 − 6 x + 8x − 5
< 0
Sinal dex2 − 6 x + 8
Sinal dex − 5
Sinal de(x2 − 6 x + 8)/(x − 5)
2
22
4
4
5
5
S = {x ∈ R | x < 2 ou (x > 4 e x < 5)} =]−∞,2[ ∪ ]4,5[.
Parte 1 Cálculo Aplicado I 136
Inequações envolvendo funções quadráticas
x2 − 6 x + 8x − 5
< 0
Sinal dex2 − 6 x + 8
Sinal dex − 5
Sinal de(x2 − 6 x + 8)/(x − 5)
2
22
4
4
5
5
S = {x ∈ R | x < 2 ou (x > 4 e x < 5)} =]−∞,2[ ∪ ]4,5[.
Parte 1 Cálculo Aplicado I 137
Inequações envolvendo funções quadráticas
x2 − 6 x + 8x − 5
< 0
Sinal dex2 − 6 x + 8
Sinal dex − 5
Sinal de(x2 − 6 x + 8)/(x − 5)
2
22
4
4
5
5
S = {x ∈ R | x < 2 ou (x > 4 e x < 5)} =]−∞,2[ ∪ ]4,5[.
Parte 1 Cálculo Aplicado I 138
Inequações envolvendo funções quadráticas
x2 − 6 x + 8x − 5
< 0
Sinal dex2 − 6 x + 8
Sinal dex − 5
Sinal de(x2 − 6 x + 8)/(x − 5)
2
22
4
4
5
5
S = {x ∈ R | x < 2 ou (x > 4 e x < 5)} =]−∞,2[ ∪ ]4,5[.
Parte 1 Cálculo Aplicado I 139
Inequações envolvendo funções quadráticas
x2 − 6 x + 8x − 5
< 0
Sinal dex2 − 6 x + 8
Sinal dex − 5
Sinal de(x2 − 6 x + 8)/(x − 5)
2
22
4
4
5
5
S = {x ∈ R | x < 2 ou (x > 4 e x < 5)} =]−∞,2[ ∪ ]4,5[.
Parte 1 Cálculo Aplicado I 140
Inequações envolvendo funções quadráticas
x2 − 6 x + 8x − 5
< 0
Sinal dex2 − 6 x + 8
Sinal dex − 5
Sinal de(x2 − 6 x + 8)/(x − 5)
2
22
4
4
5
5
S = {x ∈ R | x < 2 ou (x > 4 e x < 5)} =]−∞,2[ ∪ ]4,5[.
Parte 1 Cálculo Aplicado I 141
Inequações envolvendo funções quadráticas
x2 − 6 x + 8x − 5
< 0
Sinal dex2 − 6 x + 8
Sinal dex − 5
Sinal de(x2 − 6 x + 8)/(x − 5)
2
22
4
4
5
5
S = {x ∈ R | x < 2 ou (x > 4 e x < 5)} =]−∞,2[ ∪ ]4,5[.
Parte 1 Cálculo Aplicado I 142
Inequações envolvendo funções quadráticas
x2 − 6 x + 8x − 5
< 0
Sinal dex2 − 6 x + 8
Sinal dex − 5
Sinal de(x2 − 6 x + 8)/(x − 5)
2
22
4
4
5
5
S = {x ∈ R | x < 2 ou (x > 4 e x < 5)} =]−∞,2[ ∪ ]4,5[.
Parte 1 Cálculo Aplicado I 143
Inequações envolvendo funções quadráticas
x2 − 6 x + 8x − 5
< 0
Sinal dex2 − 6 x + 8
Sinal dex − 5
Sinal de(x2 − 6 x + 8)/(x − 5)
2
22
4
4
5
5
S = {x ∈ R | x < 2 ou (x > 4 e x < 5)}
=]−∞,2[ ∪ ]4,5[.
Parte 1 Cálculo Aplicado I 144
Inequações envolvendo funções quadráticas
x2 − 6 x + 8x − 5
< 0
Sinal dex2 − 6 x + 8
Sinal dex − 5
Sinal de(x2 − 6 x + 8)/(x − 5)
2
22
4
4
5
5
S = {x ∈ R | x < 2 ou (x > 4 e x < 5)} =]−∞,2[ ∪ ]4,5[.
Parte 1 Cálculo Aplicado I 145
Inequações envolvendo funções quadráticas
E quando a função quadrática nãopossui raízes reais?
f (x) = x2 − x + 1
(Note que ∆ = (−1)2 − 4 · (1) · (1) = −3 < 0)−4 −2 2 4 x
2
4
6
y
0
Sinal dex2 − x + 1
Qual é a solução da inequação x2 − x + 1 < 0? Resposta: S = ∅.
Qual é a solução da inequação x2 − x + 1 > 0? Resposta: S = R.
Parte 1 Cálculo Aplicado I 146
Inequações envolvendo funções quadráticas
E quando a função quadrática nãopossui raízes reais?
f (x) = x2 − x + 1
(Note que ∆ = (−1)2 − 4 · (1) · (1) = −3 < 0)
−4 −2 2 4 x
2
4
6
y
0
Sinal dex2 − x + 1
Qual é a solução da inequação x2 − x + 1 < 0? Resposta: S = ∅.
Qual é a solução da inequação x2 − x + 1 > 0? Resposta: S = R.
Parte 1 Cálculo Aplicado I 147
Inequações envolvendo funções quadráticas
E quando a função quadrática nãopossui raízes reais?
f (x) = x2 − x + 1
(Note que ∆ = (−1)2 − 4 · (1) · (1) = −3 < 0)
−4 −2 2 4 x
2
4
6
y
0
Sinal dex2 − x + 1
Qual é a solução da inequação x2 − x + 1 < 0? Resposta: S = ∅.
Qual é a solução da inequação x2 − x + 1 > 0? Resposta: S = R.
Parte 1 Cálculo Aplicado I 148
Inequações envolvendo funções quadráticas
E quando a função quadrática nãopossui raízes reais?
f (x) = x2 − x + 1
(Note que ∆ = (−1)2 − 4 · (1) · (1) = −3 < 0)−4 −2 2 4 x
2
4
6
y
0
Sinal dex2 − x + 1
Qual é a solução da inequação x2 − x + 1 < 0? Resposta: S = ∅.
Qual é a solução da inequação x2 − x + 1 > 0? Resposta: S = R.
Parte 1 Cálculo Aplicado I 149
Inequações envolvendo funções quadráticas
E quando a função quadrática nãopossui raízes reais?
f (x) = x2 − x + 1
(Note que ∆ = (−1)2 − 4 · (1) · (1) = −3 < 0)−4 −2 2 4 x
2
4
6
y
0
Sinal dex2 − x + 1
Qual é a solução da inequação x2 − x + 1 < 0? Resposta: S = ∅.
Qual é a solução da inequação x2 − x + 1 > 0? Resposta: S = R.
Parte 1 Cálculo Aplicado I 150
Inequações envolvendo funções quadráticas
E quando a função quadrática nãopossui raízes reais?
f (x) = x2 − x + 1
(Note que ∆ = (−1)2 − 4 · (1) · (1) = −3 < 0)−4 −2 2 4 x
2
4
6
y
0
Sinal dex2 − x + 1
Qual é a solução da inequação x2 − x + 1 < 0?
Resposta: S = ∅.
Qual é a solução da inequação x2 − x + 1 > 0?
Resposta: S = R.
Parte 1 Cálculo Aplicado I 151
Inequações envolvendo funções quadráticas
E quando a função quadrática nãopossui raízes reais?
f (x) = x2 − x + 1
(Note que ∆ = (−1)2 − 4 · (1) · (1) = −3 < 0)−4 −2 2 4 x
2
4
6
y
0
Sinal dex2 − x + 1
Qual é a solução da inequação x2 − x + 1 < 0? Resposta: S = ∅.
Qual é a solução da inequação x2 − x + 1 > 0?
Resposta: S = R.
Parte 1 Cálculo Aplicado I 152
Inequações envolvendo funções quadráticas
E quando a função quadrática nãopossui raízes reais?
f (x) = x2 − x + 1
(Note que ∆ = (−1)2 − 4 · (1) · (1) = −3 < 0)−4 −2 2 4 x
2
4
6
y
0
Sinal dex2 − x + 1
Qual é a solução da inequação x2 − x + 1 < 0? Resposta: S = ∅.
Qual é a solução da inequação x2 − x + 1 > 0? Resposta: S = R.
Parte 1 Cálculo Aplicado I 153
Regra de ouro para se resolver inequações
Para resolver uma inequação do tipou(x)
v(x)<
r(s)
s(x)
basta, primeiro, usando propriedades válidas dos númerosreais, convertê-la em uma inequação equivalente da forma
f (x)
g(x)< 0,
com f e g funções que podem ser expressas como produtosde funções cujos sinais são fáceis de se obter. Depois, bastausar o esquema do quadro de sinais para fazer estudar o sinalde f (x)/g(x).
Parte 1 Cálculo Aplicado I 154
Revisão: leitura gráfica do domínio eda imagem de uma função real
Parte 1 Cálculo Aplicado I 155
Leitura gráfica: domínio e imagem
Como saber se um número real a pertence ao domínio de uma função f?Resposta: verifique se a reta vertical x = a intercepta ou não o gráfico de f .
Como saber se um número real b pertence à imagem de uma função f?Resposta: verifique se a reta horizontal y = b intercepta ou não o gráfico de f .
(Ir para o GeoGebra)
Parte 1 Cálculo Aplicado I 156
Leitura gráfica: domínio e imagem
Como saber se um número real a pertence ao domínio de uma função f?Resposta: verifique se a reta vertical x = a intercepta ou não o gráfico de f .
Como saber se um número real b pertence à imagem de uma função f?Resposta: verifique se a reta horizontal y = b intercepta ou não o gráfico de f .
(Ir para o GeoGebra)
Parte 1 Cálculo Aplicado I 157
Leitura gráfica: domínio e imagem
Como saber se um número real a pertence ao domínio de uma função f?Resposta: verifique se a reta vertical x = a intercepta ou não o gráfico de f .
Como saber se um número real b pertence à imagem de uma função f?Resposta: verifique se a reta horizontal y = b intercepta ou não o gráfico de f .
(Ir para o GeoGebra)
Parte 1 Cálculo Aplicado I 158
Leitura gráfica: domínio e imagem
Como saber se um número real a pertence ao domínio de uma função f?Resposta: verifique se a reta vertical x = a intercepta ou não o gráfico de f .
Como saber se um número real b pertence à imagem de uma função f?Resposta: verifique se a reta horizontal y = b intercepta ou não o gráfico de f .
(Ir para o GeoGebra)
Parte 1 Cálculo Aplicado I 159
Leitura gráfica: domínio e imagem
Como saber se um número real a pertence ao domínio de uma função f?Resposta: verifique se a reta vertical x = a intercepta ou não o gráfico de f .
Como saber se um número real b pertence à imagem de uma função f?Resposta: verifique se a reta horizontal y = b intercepta ou não o gráfico de f .
(Ir para o GeoGebra)
Parte 1 Cálculo Aplicado I 160
Leitura gráfica: domínio e imagem
Como saber se um número real a pertence ao domínio de uma função f?Resposta: verifique se a reta vertical x = a intercepta ou não o gráfico de f .
Como saber se um número real b pertence à imagem de uma função f?Resposta: verifique se a reta horizontal y = b intercepta ou não o gráfico de f .
(Ir para o GeoGebra)
Parte 1 Cálculo Aplicado I 161
Leitura gráfica: domínio e imagem
Qual é o domínio da função f cujo gráfico é dado abaixo?(Supondo que a figura exibe todo o gráfico da função!)
−2 −1 1 2 3 4 5
x
−20
20
40y
0
Parte 1 Cálculo Aplicado I 162
Leitura gráfica: domínio e imagem
Qual é o domínio da função f cujo gráfico é dado abaixo?(Supondo que a figura exibe todo o gráfico da função!)
−2 −1 1 2 3 4 5
x
−20
20
40y
0
Parte 1 Cálculo Aplicado I 163
Leitura gráfica: domínio e imagem
Resposta: o domínio da função f é o conjunto D = [−1,4](Supondo que a figura exibe todo o gráfico da função!)
−2 −1 1 2 3 4 5
x
−20
20
40y
0
Parte 1 Cálculo Aplicado I 164
Leitura gráfica: domínio e imagem
Resposta: o domínio da função f é o conjunto D = [−1,4](Supondo que a figura exibe todo o gráfico da função!)
−2 −1 1 2 3 4 5
x
−20
20
40y
0
Parte 1 Cálculo Aplicado I 165
Leitura gráfica: domínio e imagem
Qual é a imagem da função f cujo gráfico é dado abaixo?(Supondo que a figura exibe todo o gráfico da função!)
−2 −1 1 2 3 4 5
x
−20
20
40y
0
Parte 1 Cálculo Aplicado I 166
Leitura gráfica: domínio e imagem
Resposta: é o intervalo no eixo y indicado na figura!(Supondo que a figura exibe todo o gráfico da função!)
−2 −1 1 2 3 4 5
x
−20
20
40y
0
Parte 1 Cálculo Aplicado I 167
Leitura gráfica: domínio e imagem
Qual é o domínio da função f cujo gráfico é dado abaixo?
−2 −1 1 2 3 4 5
x
−20
20
40y
0
Parte 1 Cálculo Aplicado I 168
Leitura gráfica: domínio e imagem
Qual é o domínio da função f cujo gráfico é dado abaixo?
−2 −1 1 2 3 4 5
x
−20
20
40y
0
Parte 1 Cálculo Aplicado I 169
Leitura gráfica: domínio e imagem
Resposta: não é possível determinarpois apenas uma parte do gráfico está sendo apresentada!
−2 −1 1 2 3 4 5
x
−20
20
40y
0
Parte 1 Cálculo Aplicado I 170
Leitura gráfica: domínio e imagem
Qual é a imagem da função f cujo gráfico é dado abaixo?
−2 −1 1 2 3 4 5
x
−20
20
40y
0
Parte 1 Cálculo Aplicado I 171
Leitura gráfica: domínio e imagem
Resposta: não é possível determinarpois apenas uma parte do gráfico está sendo exibida!
−2 −1 1 2 3 4 5
x
−20
20
40y
0
Parte 1 Cálculo Aplicado I 172
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