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CálculoNoções de limites e introdução à derivadas
Física para Ciências Biológicas
Aula 03 – 31/08/2020
Limite de funções• Propriedade inerente a todas as funções - dependendo do ponto
• Objetivo: observar como a função se comporta pontualmente
Exemplo:
𝑓 𝑥 =2𝑥2 − 6𝑥
𝑥 − 3, 𝑥 ≠ 3
Olhemos para os valores de 𝑥 ao redor e muito próximos de 𝑥 = 3
𝒙 𝒇(𝒙)
2,99 5,98
2,999 5,998
2,9999 5,9998
2,99999 5,99998
𝒙 𝒇(𝒙)
3,01 6,02
3,001 6,002
3,0001 6,0002
3,00001 6,00002
𝒙 < 𝟑 𝒙 > 𝟑
Em ambos os casos, 𝑓(𝑥)está tendendo a 6
lim𝑥→3
𝑓(𝑥) = 6
𝑓 𝑥 =2𝑥2 − 6𝑥
𝑥 − 3→ 𝑓 𝑥 =
2𝑥 𝑥 − 3
(𝑥 − 3)= 2𝑥 → 𝑓 3 = 2 ∙ 3 = 6
Forma convencional: Redução de função
3 6
6
𝑓 𝑥 = 2𝑥
𝑥
𝑦
Pela direita
Pela esquerda
𝑓(𝑥)
𝑓(𝑥)
𝑥 → 3 pela esquerda
lim𝑥→3−
𝑓(𝑥)
𝑥 → 3 pela direita
lim𝑥→3+
𝑓(𝑥)
A função 𝑓(𝑥) não é definida em 𝑥 = 3 e, ainda assim, possui limite quando 𝑥 → 3
Importante: o que nos interessa é o conjunto devalores que 𝑓 pode assumir na vizinhança de 𝑎,não o valor particular de 𝑓(𝑥 = 𝑎)
Exemplo:
𝑓 𝑥 = ቊ2𝑥 + 1, 𝑥 ≠ 14, 𝑥 = 1
lim𝑥→1
𝑓(𝑥) = lim𝑥→1
(2𝑥 + 1) = 3 ≠ 𝑓(1)
𝑓(𝑥)
2𝑥 + 1
𝑥1
1
2
3
4
Há casos em que mesmo que a função 𝑓(𝑥) sejadefinida em um ponto 𝑎, não necessariamenteexiste um limite quando 𝑥 → 𝑎
Exemplo
𝑓 𝑥 = ቊ2𝑥 + 1, 𝑥 ≥ 12𝑥 − 1, 𝑥 < 1
lim𝑥→1−
𝑓(𝑥) = lim𝑥→1
(2𝑥 − 1) = 1
lim𝑥→1+
𝑓(𝑥) = lim𝑥→1
(2𝑥 + 1) = 3
Limites laterais DIFERENTES
lim𝑥→1
𝑓(𝑥) não existe
𝑓(𝑥)
𝑥1
1
2
3
−1
Exemplo
A população, em milhares, de uma colônia de bactérias 𝑡 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 após
a introdução de uma toxina é dada pela função:
𝑓 𝑡 = ቊ𝑡2 + 7, 𝑡 < 5−8𝑡 + 72, 𝑡 ≥ 5
a) Construa um esboço do gráfico de 𝑓(𝑡);
b) Calcule o tempo que a colônia leva para se extinguir;
c) Informe o lim𝑡→5
𝑓(𝑡).
a)𝑓 𝑡 = ቊ
𝑡2 + 7, 𝑡 < 5−8𝑡 + 72, 𝑡 ≥ 5
𝑓 𝑡 (𝑚𝑖𝑙ℎ𝑎𝑟𝑒𝑠)
𝑡 (𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠)
b) A colônia será extinguida quando 𝑓 𝑡 = 0
c) lim𝑡→5
𝑓(𝑡)
Pela esquerda: lim𝑡→5−
𝑓(𝑡) = lim𝑡→5
𝑡2 + 7 = 25 + 7 = 32
Pela direita: lim𝑡→5+
𝑓(𝑡) = lim𝑡→5
−8𝑡 + 72 = −40 + 72 = 32
Portanto, 𝑓(𝑡) possui limite quando 𝑡 → 5
lim𝑡→5
𝑓(𝑡) = 32
𝑡 ≥ 5 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 → lim𝑡→9
−8𝑡 + 72 = 8 ∙ 9 + 72 = 0 → 𝑡 = 9 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠
Outro caso possível é de a função 𝑓(𝑥) não ser definida no ponto 𝑎 e
tampouco ter lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
Exemplo:
𝑓 𝑥 = ቊ𝑥, 𝑥 < 24, 𝑥 > 2
Esquerda: lim𝑥→2−
𝑓(𝑥) = 2
Direita: lim𝑥→2+
𝑓(𝑥) = 4
𝑓(𝑥)
𝑥2
2
4
6
−2
Propriedades operatórias Sejam 𝑓(𝑥) e 𝑔(𝑥) tal que seus limites valham
lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿 lim𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) = 𝑀
1. lim𝑥→𝑎
[𝑓 𝑥 ± 𝑔 𝑥 ] = lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) ± lim𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) = 𝐿 ±𝑀
2. lim𝑥→𝑎
[𝑓 𝑥 ∙ 𝑔 𝑥 ] = lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) ∙ lim𝑥→𝑎
𝑔 𝑥 = 𝐿 ∙ 𝑀
3. lim𝑥→𝑎
𝑓 𝑥
𝑔 𝑥=
lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
lim𝑥→𝑎
𝑔(𝑥)=
𝐿
𝑀, desde que 𝑀 ≠ 0
4. lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)𝑛 = lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)𝑛= 𝐿𝑛, para 𝑛 = 1, 2, 3 … → 𝑛 𝜖 ℕ∗
5. lim𝑥→𝑎
𝑛 𝑓(𝑥) = 𝑛 lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) =𝑛𝐿, 𝑛 𝜖 ℕ∗ 𝑒 𝑓 𝑥 ≥ 0 (Se 𝐿 < 0, 𝑛 é impar)
6. lim𝑥→𝑎
[ln 𝑓 𝑥 ] = ln lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = ln 𝐿 , Se 𝐿 > 0
Exemplos
1. lim𝑥→3
(𝑥2 + 2𝑥) = lim𝑥→3 𝑥² + lim𝑥→3 2𝑥 = 9 + 8 = 17
2. lim𝑥→
𝜋
4
[2sen 𝑥 cos 𝑥 ] = 2 lim𝑥→𝜋
4𝑠𝑒𝑛(𝑥) lim𝑥→
𝜋
4cos(𝑥) =
= 2𝑠𝑒𝑛𝜋
4𝑐𝑜𝑠
𝜋
4= 1
3. lim𝑥→0
2𝑥+1
2𝑥−1=
lim𝑥→0
(2𝑥+1)
lim𝑥→0
(2𝑥−1)= −1
lim𝑥→2
𝑥 − 2
𝑥2 − 4= lim
𝑥→2
(𝑥 − 2)
(𝑥 − 2)(𝑥 + 2)=
lim𝑥→2
𝑥 + 1
𝑥 − 2=lim𝑥→2
𝑥 + 1
lim𝑥→2
𝑥 − 2=3
0
𝑦
𝑥
Este limite NÃO existe
lim𝑥→2
1
𝑥 + 2=1
4
→ ∄
4.
5.
Continuidade de Limites
Definição:Seja f uma função definida em um intervalo 𝐼 eseja 𝑎 𝜖 𝐼. Dizemos que a função é contínua noponto 𝑎 se 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎).
Condições para que f seja contínua:
1. 𝑓 é definida para 𝑥 = 𝑎
2. Existe lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
3. lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎)
ExemploNuma floresta tropical da África a temperatura 𝑇 (°𝐶) varia conforme o
mês do ano (𝑚), segundo a função
𝑇 𝑚 = ቐ𝑚 + 1, 1 ≤ 𝑚 ≤ 33𝑚 − 3, 3 < 𝑚 ≤ 54𝑚 − 10, 5 < 𝑚 ≤ 12
a) Esboce o gráfico da função 𝑇
b) A função é descontínua em m = 3? E em m = 5? E em m = 7?
𝑇 𝑚 = ቐ𝑚 + 1, 1 ≤ 𝑚 ≤ 33𝑚 − 3, 3 < 𝑚 ≤ 54𝑚 − 10, 5 < 𝑚 ≤ 12
𝑻(°𝑪)
𝑚ê𝑠 (𝑚)
m = 3
1. 𝑇 3 = 3 + 1 = 4
2. lim𝑚→3
𝑇(𝑚)
lim𝑚→3−
𝑇(𝑚) = 4
lim𝑚→3+
𝑇(𝑚) = 6
Condições para que 𝒇 seja contínua:1. 𝑓 é definida para 𝑥 = 𝑎2. Existe lim
𝑥→𝑎𝑓(𝑥)
3. lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎)
𝑇 𝑚 = ቐ𝑚 + 1, 1 ≤ 𝑚 ≤ 33𝑚 − 3, 3 < 𝑚 ≤ 54𝑚 − 10, 5 < 𝑚 ≤ 12
m = 5
1. 𝑇 5 = 15 − 3 = 12
2. lim𝑚→5
𝑇(𝑚)
lim𝑚→5−
𝑇(𝑚) = 12
lim𝑚→5+
𝑇(𝑚) = 10
m = 7
1. 𝑇 7 = 28 − 10 = 18
2. lim𝑚→7
𝑇(𝑚)
lim𝑚→7−
𝑇(𝑚) = 18
lim𝑚→7+
𝑇(𝑚) = 18
3. lim𝑚→7
𝑇(𝑚) = 𝑇 7 = 18
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