cbpf-mo-ool/sl fissÃo nuclear - ipen
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CBPF-MO-OOl/Sl
FISSÃO NUCLEAR
por
T. Kodama
Centro Brasileiro de Pesquisas Físicas - CBPF/CNPq Av. Wenceslau Braz, 71, fundos 22290 - Rio de Janeiro - Rd - WASIl
„ ,•; FISSÃO, .NUCLEAR ; . ; , . t , .,
.-., -.<:,-• T . K o dama... 0 f , ; :
Cent ro B r a s i l e i r o de Pesqu i sa s F í s i c a s
T . I n t r o d u ç ã o
Foi em f i n s de 1938 que os d o i s qu ímicos alemães 0 .
Hahn e F. Strassmann observaram de maneira c o n c l u s i v a , ao con
t r a r i o , das e x p e c t a t i v a s da é p o c a , que os p rodu tos r a d i o a t i v o s re
s u l t a n t e s do bombardeamento de u r â n i o por neutrons não eram e l e
mentos t r an su ran iOS j me-;, sim núc leos de massa i n t e r m e d i á r i a ^ .
Este f a t o f o i i n t e r p r e t a d o pe 1 a f í s i c a a u s t r í a c a L . Mei t n e r , ex.
- c o l a b o r a d o r a de Hahn que t inha f u g i d o da Alemanha, e p e l o seu
s o b r i n h o 0 . F r i s c h como d i v i s ã o do n ú c l e o pai ( u r â n i o ) em do i s
núc leos f i l h o s de massas aproximadamente i g u a i s . E l e s chamaram
e s s e fenômeno de f i s s ã o nu l e a r , em a n a l o g i a com a f i s s ã o de cê
l u l a s .
Os p r i m e i r o s moc.-los t e ó r i c o s de f i s s ã o n u c l e a r foram
p u b l i c a d o s no ano s e g u i n t e por Y , F r e n k e l , e por N . Bohr e J . A .
W h e e l e r . A t e o r i a de Bohr e Whee le r baseada no modelo da g o
ta l i q u i d a do n ú c l e o , o f e r e c e u uma base de compreensão do f e n ô
meno, cuja e s s ê n c i a e ainda v a l i d a a t é h o j e .
P e l a s c i r c u n s t â n c i a s p o l i t i c a s da época e p e l o f a t o
de que a f i s s ã o n u c l e a r r e p r e s e n t o u a p r i m e i r a p o s s i b i l i d a d e de
ace s so ao uso da e n e r g i a n u c l e a r para a humanidade, os a s p e c
to s t e c n o l ó g i c o s foram s e m p r e e n f a t i z a d o s , mesmo após a Guer ra .
Não obs t an t e i s t o , foram encon t r ados v á r i o s fenôme
nos i n t e r e s s a n t e s , a s s o c i a d o s ao p r o c e s s o d e , f i s s ã o , e -ao mes
mo tempo- foram d e s e n v o l v i d o s , métodos t e ó r i c o s capazes de t r a
t a r os núc leos em e s t a d o s de y-an.de d e f o r m a ç ã o . Desse modo, o
i n t e r e s s e dos f í s i c o s n u c l e a r e s , mo t ivados p r i n c i p a l m e n t e pe la
procura de e l e m e n t o s s t ipe rpesados , r e t o r n o u ao v e l h o problema
da f i s s ã o . I s t o o c o r r e u nas décadas de 60 e 70 , nas q u a i s , do
l ado e x p e r i m e n t a 1 , f o i d e s c o b e r t a a e x i s t ê n c i a de i sômeros de
f i s s ã o ' e , do l ado t e ó r i c o , f o i e s t a b e l e c i d o o método de re -
n o r m a l i z a ç ã o de S t r u t i nsky 4 ^ .
C á l c u l o s e x t e n s i v o s foram f e i t o s com a s u p e r f í c i e de
p o t e n c i a l por d i v e r s o s m é t o d o s , e o problema de a s s i m e t r i a dos
f ragmentos de f i s s ã o , que permaneceu durante l o n g o ' tempo como
um m i s t é r i o , f o i , p e l o menos q u a l i t a t i v a m e n t e , e x p l i c a d o "por in
terméd i o da e x i s t ê n c i a de uma e s t r u t u r a f i na da s u p e r f í c i e do
p o t e n c i a l . 0 d e s e n v o l v i m e n t o t e ó r i c o se es tendeu na área " dos
núc leos l onge da l i n h a de e s t a b i l i d a d e 3 e dos e l e m e n t o s super
p e s a d o s , e s t i m u l a n d o consequentemente o e s tudo e x p e r i m e n t a l das
r e a ç õ e s de Tons p e s a d o s .
Nos ú l t i m o s anos , a "Ts i ca N u c l e a r e s t a en t rando em
uma nova e r a : Com as r e a ç õ e s cli Tons pesados de a,lta e n e r g i a ,
esperamos compreender a dinâmica da m a t é r i a n u c l e a r , e i s s o s e »
r á , conforme e x p r e s s ã o de D. S c o t t " ' , "o pequeno passo em dire_
ção ao cosmos, e ãs e s t r e l a s " .
Apre sen t amos , nes tas n o t a s , uma b r e v e e p e d a g ó g i c a
r e v i s ã o sobre o p r o c e s s o de f i s s ã o n u c l e a r do ponto de v i s t a ma
croscÓpi co-mi c r o s c õ p i c o . As d i s c u s s õ e s sob re a e s t r u t u r a dos
n í v e i s t r a n s i e n t e s ou cana i s de f i s s ã o são comple tamente omi -
t i d a s 5 ' . '
3-
Na S e c . 2» d i s c u t i m o s » p r i n c i p a l m e n t e , a s p r o p r i e d a
des b á s i c a s da f i s s ã o espontânea e mostramos como o modelo da
g o t a l í q u i d a f u n c i o n a . Na S e c . 3 , e x p l i c a m o s o mecanismo do
su rg imen to da c o r r e ç ã o de camada na b a r r e i r a de p o t e n c i a l de
d e f o r m a ç ã o , e demonstramos como o e f e i t o ê* r e i e v a n t e para a
• a s s i m e t r i a de massa e para a e x i s t ê n c i a dos isÔmeros de f i s s ã o .
Na S e ç . 4^ - t r a t amos o problema da dinâmica da f i s s ã o e di s cuti_
omos como c á l c u l o s recém d e s e n v o l v i d o s , como por e x e m p l o , o mé
todo de i n t e g r a l d e - t r a j e t ó r i a e a aprox imação s e m i - c l ã s s i c a ,
poderão se r a p l i c a d o s .
2- D e s c r i ç ã o Convenci onal do P r o c e s s o de F i s s ã o
A imagem mais i n t u i t i v a do p r o c e s s o de f i ssão ê a A
d ê D u m I : g $ t a d ' i g i i a , d i v i d i n d o - s e èm d o i s . No caso da go ta dVf-
. :^ü3í| ' : !o bmetíani§m !o-qüè p rovoca a d i v i s ã o é* e n t e n d i d o como procesi,
- so - 'Be ' ^Bmpi t i çSò ; en t r e o peso da p r o p r i a g o t a e 'sua t ensão su-
: p é f í i c í a l i 1 : No^caso do n ú c l e o , um mecani smo a n á l o g o pode s e r
c o n s i d e r a d o , onde o e f e i t o do peso da g o t a deve se r s u b s t i t u í -
' dò ' pé la ' ' f iWçâ Cbulbmbiána do n ú c l e o .
Para d i s c u t i r q u a n t i t a t i v a m e n t e a di nâmi ca da f i ssão ,
e n e c e s s á r i o i n t r o d u z i r um- con jun to de v a r i a v e i s c h a m a d o s c o
ordenadas c o l e t i v a s . Estas Coordenadas , de um 1 a d o , devem re -
p r e s e n t a r d e s t a d o f i naT-tiâ f i s s a o , i o s i s t ema de d o i s
^ f r a g m e n t o s , e de o u t r o l a d o , devem r e p r e s e n t a r o e s t a d o do nú
c l e o p a i . A coordenada mais i m p o r t a n t e e aque la que d e s c r e v e o
"'grau dè l i b e r d a d e do movimento r e l a t i v o dos f r a g m e n t o s . Para
i l u s t r a r , vamos c o n s i d e r a r o caso u n i - d i m e n s i o n a l , èm qüè o nú
4
O O o
Gi i s ao.*.
V
• C J CO C O
c ~ (I c
J
o o
c l e o pai ( A , Z ) v f i s s i o n a em d o i s núc leos f i l h o s ( A y , Z ^ ) e ( A 2 » .
Z g ) . Imaginamos en tão uma' f a m í l i a de' s u p e r f í c i e s que r e p r e s e n
tam a forma do núc l eo duran te a f i s s ã o , como mostrada na F i g . l .
A' cada etapa-, do d e s e n
v o l v i m e n t o da fo rma , a s soc iamos
uni parâmetro e . Este parâmetro
pode s e r u t i l i z a d o como v a r i á v e l
•drnSmi campara d e s c r e v e r a f i s s ã o ,
Quando :e ê pequeno , e l e é r e l a -
ci onado l i n e a r m e n t e cora o parârae
t r o de deformação £ . Naturalmen_
t e , e x i s t e m v ã r i as maneiras de
se es tabe: 1 ecer^ expTi ?c:i tamente " a
f a m í l i a de formas n u c l e a r e s . I s -
t o c o n s t i t u i uma das, ambiguida, -
des i n t r í n s e c a s na t e o r i a de fis_
s ã o . A p e s a r des ta ambiguidade ,
podemos d i s c u t i r as p r o p r i e d a d e s basi cas do mecanismo de, f i s -
s ã o , pe lo menos qual i ta t i vãmente ,,; .
Como ponto de p a r t i da , são .va i i das ! ;,as segui ntes, re -
c e l t a s . : . ', •
1. Cons idera - se o n ú c l e o como uma g o t a 1 T q u i d a , com formas, geo
m é t r i c a s dadas, na Fl,g..+i , 1 , .. .
2 . C a l c u l a - s e a e n e r g i a p o t e n c i a l a s s o c i a d a a v a r i á v e l As
c o n t r i b u i ç õ e s vêm da e n e r g i a Coulombiana e da e n e r g i a de ,su_
p e r f i c i e . -. ,
3 . De te rmina- se a i nérc.ia ; com r ,o .núcleo, t r a t a d o como um f l u i d o
i n c o m p r e s s í v e l e i r r a t a c i o n a l .
; F i g . : T / ' A família de formas nucle ares envolvidas no processo de f issão?) . A coordenada e represen_ ta o desenvolvimento da forma.
- 5 -
Para pequenas deformações, ê* conveniente e s p e c i f i c a r a forma
do núcleo pela equação
R = R(6,<J>) = R Q ( e ) {1 + e Y 2 0 ( 6 , < i > ) } ( 1 )
Neste caso , a energia de deformação, associada com o parâmetro
e , ê calculada como
W - Edef<*> - ?H 0 >(1 -x )e Z < 2 >
onde x é o parâmetro de f i ss i onabi1 idade , defi ni do por
v _ 1 C a c l á A
s "
"i s j o n 9 ;r
H 6 U D Oñ 2 ?
E^ 0 ^ e E ^ são , re spec t i vãmente, as energias de s u p e r f í c i e
e de Coulomb do núcleo na forma « s f e r i ca; a e a são os co
e f i c i e n t e s dos termos correspondentes na fórmula de massa de
gota 1Tqui da .
Na verdade, a Eq. ( 2 ) Ó dada como a soma da energi a
de tensão superf i c i a i ^ ~ E^° ^ e Z e da energi a Cou1ombi ana
- 1 E<°> x ê . 2rr S
Para grandes va lores de e , a energi a de tensão super
f i c i a l tende a uma c o n s t a n t e , v i s t o que, após a ' separação
( c i s s ã o ) dos fragmentos , a área tota 1 da conf iguração é cons -
t a n t e . As curvas de potenc ia l em função de e são i 1 ustradas es_
quemati camente na F i g . 2 . Obvi amenté, quando x > 1, o núcleo
-± C Lssão
i
I A,Z) - E ( A . , Z\) - E (As, 2
^ 200 M e V
Fig . 2. Dependência esquemática da energia potencial em relação a % para
núcleo pesado (A ~ 240). A 1 i.nha.continua ê para x < 1 e a linha
tracejada e para x > T.
e i n s t á v e l c o n t r a deformação e . í , i n t e r e s s a n t e no ta r que , de fa
t ò , os núc leos têm maior p r o b a b i l i d a d e de f i s s ã o quando os v a l o
r e s de x f i cam mais p róx imos de 1 . Na F i g . 3 , ê mostrada a sis_
t e m á t i c a ' das mei a s - v i das obse rvadas de f i s s ã o e s p o n t â n e a .
Thj
230 Th J.
Fig . 3. A sistemática das meias-vidas observadas de fissão espontânea 8}
_7-
Como mostrado na F i g . 2 , surge uma b a r r e i r a de p o t e n c i al para
x < 1, p r o v e n i e n t e do p r o c e s s o de competi ção e n t r e as f o r ç a s
nuc lea res ( d e c u r t o a l c a n c e ) e Cou 1ombiana (de l o n g o a l c a n c e ) .
As a l t u r a s da b a r r e i r a foram medidas e x p e r i m e n t a l m e n t e ^ para
a lguns n ú c l e o s , u t i l i z a n d o - s e o p r o c e s s o de f i s s ã o i n d u z i d a
( F i g . 4 ) . São m o s t r a d a s , também na F i g . 4 , as a l t u r a s das ba r
r e i r a s c a l c u l a d a s p e l o modelo de g o t a l i q u i d a , i n c l u i n d o e f e i
tos de e s t r u t u r a de camada 1 ^^ . Vemos q u e , apesar da extrema
s i m p l i c i d a d e do m o d e l o , o a s p e c t o b á s i c o do fenômeno de f i s -
são é bem r e p r o d u z i d o p e l o modelo de g o t a l i q u i d a .
E n t r e t a n t o , a lguns problemas não são e x p l i c a d o s p o r
e s t e m o d e l o . 0 problema mais i m p o r t a n t e é o da a s s i m e t r i a em
massa dos f r a g m e n t o s , obse rvada na f i s s ã o de ba ixa e n e r g i a ou
na f i s s ã o espon tãnea na r e g i ã o dos a c t i nTdeos ( v e r F ig . 5 ) . 0
mecanismo m a c r o s c ó p i c o ( e n e r g i a de s u p e r f í c i e + e n e r g i a Cou 1om
b i a n a ) sempre f a v o r e c e a s epa ração s i m é t r i c a dos f r agmentos
Além des t a d i f i c u l d a d e b á s i c a , podemos c i t a r o u t r a s , t a i s como
o d e s v i o s i s t e m á t i c o da mei a - v i da dos i s ó t o p o s , como se pode
v e r na F i g . 3 , e a e s t r u t u r a supercomplexa dos n í v e i s do núcleo
t r a n s i e n t e , obse rvada na seção de choque para r e a ç ã o do t i p o
( n , f ) .
Foi S w i a t e c k i quem p r i m e i r a m e n t e chamou a a t e n ç ã o
para a i m p o r t â n c i a do e f e i t o da e s t r u t u r a m i c r o s c ó p i c a do nú
c l e o sobre a f i s s ã o n u c l e a r , e s p e c i a l m e n t e quanto ã c o r r e ç ã o
de camada nas massas n u c l e a r e s ^ . E le mostrou e x p l i c i t a m e n t e
que a d i s c r e p â n c i a e n t r e o l o g a r i t m o da m e i a - v i d a obse rvada e
a curva suave na F i g . 2 ê l i n e a r m e n t e p r o p o r c i o n a l â d i f e r e n ç a
yvjTiassa observada e x p e r i m e n t a l m e n t e e / c a l cu 1 ada p e l o mode! o 'entre . ' o N
-i?
- 9 -
2T Z3&0
•is 2
50 r
2S
ó'
28 50 « 2 H
235 Fig. 5. Distribuição es ta t í s t i ca dos fragmentos de fissão do U induzida
por neutron térmico 11)
de g o t a l i q u i d a .
Os a c o n t e c i m e n t o s r e l e v a n t e s para o en tend imen to do
e f e i t o da e s t r u t u r a m i c r o s c ó p i c a no fenômeno de f i s s ã o foram
3 )
a d e s c o b e r t a dos i someros de f i s s ã o por Pol i kanov e t al . , e
a r e a l i zação de c á l c u l o s de s u p e r f i c i e de p o t e n c i a 1, usando-se o método macroscop i co-mi c r o s c ó p i co
4 , 1 2 )
Na s eção s e g u i n t e , o x p l i c a r e m o s o método m a c r o s c ó p i c o
-mi c r o s c ó p i co e mostraremos como os problemas c i t a d o s foram re_
so l v i d o s .
3 . Método M a c r o s c o p i c o - M i c r o s c ó p i c o
O método mai s r i g o r o s o para ca 1 cu 1 ar o p o t e n c i al em
função da deformação s e r i a o método m i c r o s c ó p i c o , t i p o H a r t r e e
- F o c k . Mas t a l abordagem f i c a p r o i b i t i v a m e n t e compl icada ..p.ara.
grande numero de massa A e , mesmo quando a p l i c a d a , não d a r i a ne
c e s s a r i amente o v a l o r da e n e r g i a com p r e c i s ã o dese jada ( < £ M e V ) ,
d e v i d o i f a l t a de i n fo rmações sob re a i n t e r a ç ã o e f e t i v a e n t r e nu_
c l e o n s . Por o u t r o l a d o , sabemos que o modelo da g o t a l í q u i d a ,
apesar do c a r á t e r s e m i - e m p í r i c o , da uma es t i m a t i va da e n e r g i a
com p r e c i s ã o b a s t a n t e r a z o á v e l ( e r r o r e l a t i v o < 0 ,8%) e , ao
mesmo tempo, p e r m i t e c o n s t r u i r f a c i l m e n t e uma imagem i n t u i t i v a
da f i s s ã o .
Em 1963, S w i a t e c k i , em vez de c a l c u l a r a e n e r g i a t o -
t a l , s u g e r i u um método para c a l c u l a r a c o r r e ç ã o sobre a formula
s e m i - e m p í r i ca causada p e l a e s t r u t u r a mi c r o s c õ p i ca do nu c l e o ' 3 ^ .
Seja AE t a l c o r r e ç ã o , i . e .
AE = E > - E ~ obs macro
onde, E . v é* a massa n u c l e a r obse rvada e massa de termi o D s macro —
nada .pela fórmula de massa s e » i - e m p í r i c a > : .,0-pon to .•• f u-ndamen ta 1
do método m a c r o s c ó p i c o - m i c r o s c Ó p i c o é ; s u è s v t i t w í r -;::AE ¿ ;não o- pro
p r i o E, p e l o v a i or :'^':^Q^ef¿' ' rca.ljCUiíadpi p#.r • ...unt ;mpde}l o :;fl:«a1 quer .
Ass im , a e n e r g i a,, t o t a 1 c a í c i i T a d a £ c a ^ pode ser-escr;i-:tav como
E c a l ~ " c a l + A E m o d e l o
macro modelo 1 ;
onde E" c a^ é a p a r t e mac roscóp i ca da e n e r g i a no modelo m i c r o s
c ó p i c o . Em ou t ra s p a 1 a v r a s , r e n o r m a l i zamos a e n e r g i a macroscÓpi
„11-
c a E c a y clo "cSl cu'Td mi c r o s c o p i Co Ha base 'tf¥" formula semi~empT~
r i c a . '•'"'• ;
0 modelo mais s i m p l e s para e s t i m a r A E
m o c | e ] 0 ^ 0 m 0 ~
del o de gas de Fermi , o que f o i p r o p o s t o por Myers e Swi a t e -
cki 10)
Para i l u s t r a r o mecanismo do método mac roscõp i co -mi
c r o s c o p í c o ( , vamos v e r como o.•modelo' de gas- de Fermi funciona'";
Consideremos o gas-,de Fermiycom número t o t a l " desar
t i c u l a s i g u a l a N. 0 e s p e c t r o de p a r t í c u l a s imples do gSs ; ( e s
p e c t r o "homogéneo") para o n-és imo n í v e l é
Por o u t r o l a d o » o e s p e c t r o nao-homogéneo , c o r r e s p o n d e n t e ao sis_
tema num poco de p o t e n c i a l , e da forma
E n h ( n ) - E. M, , < n < M ' i - 1 _ " i ( 7 )
onde M.. é o i - é s imo número mag ico (camada, f e c h a d a ) do s i s t ema
Fig . 6. Os espectros homogéneo e nao-homogéneo,
I d e n t i f i c a n d o A E m o ¿ e } 0
c o m o a d i f e r e n ç a das e n e r g i a s t o t a i s
c a l c u l a d a s p e l o s d o i s e s p e c t r o s E n h e E^, temos
A£ N
n = 0 E h ( n ) d n ( 8 )
0
A Eq. ( 8 ) e baseada na i d e i a de que o e s p e c t r o de gás de Fermi
r e p r e s e n t a a p r o p r i e d a d e média do s i s tema de N nucleons .E c l a
ro que a c o r r e ç ã o AE^ p , como função de N, tem a forma mos t r a -
jf\ J w i *
Fig . 7. A dependência de AE F em relação a N. M.'s são os números magi
cos 1 .
da na F i g . 7, que ê j u s t amen te a forma o b s e r v a d a . d e AE, em fun
ção d e N, para núc l eo no e s t a d o fundamenta l ,
S t r u t i nsky g e n e r a l i z o u ^ a i d e i a de Swi a t e c k i e f o r
mulou um método para ca l cu l a r AE . , . i n c l u s i v e no caso de rn o a e i o
núcleos d e f o r m a d o s . Como j á v i m o s » a o r igem da c o r r e ç ã o de cama
da vem da d i f e r e n ç a nas d i s t r i b u i ções de n í v e i s do caso não-ho-
mogêneo (agrupamento dos nTvei s ) e d o caso homogêneo ( V e r F i g .
8 ) . Se ja E ^ S J e " ] a e n e r g i a do i - é s i m o n í v e l de p a r t í c u l a sim
p i e s , c a l c u l a d a com• o poço de p o t e n c i a 1 cuja deformação é espe
y •< n. y ff .;
F i g V 8 . 0 mecanismo de correção de'camada. v { , j t
c i f i c a d a p e l o pa râmet ro e . A e n e r g i a t o t a l do s i s tema de N
p a r t í c u l a s é *
t o t
N = 2 y E.
1 1
= 2 dE E g ( E ) ( 9 )
onde, g ( E ) = | ô ( E ~ E ^ ) e a dens,,i dade, de n i v e i sM»» Xq » a e n e r g i a
de Fermi do s i s t ema e o f a t o r Z vem do s p i n . Seja g ( E ) a den
s i d a d e de n í v e i s dp es.pe.ctro_ howogfê.nep. c o r r e s p o n d e n t e ao s i s t e
ma.. Então» a 'corre.,ção de, .çama;c|a .A fFm.oC|.e..}o - c a ^ c u ^ a d a ; c o m o r
AE model o
AE model o
O •2jq B 9dE . . .Eg( :&>6t22 dE oE .§(;•&;) ~,
- 1 4 -
onde A e ca lcu lado pela conservação de numero de neutrons ou
de protons ,
dE g(E) = 2 dE g(E) = N ou Z (11
A densidade de n í v e i s homogênea g(E) e obtida de g(E) a t r a
vés do procedimento de suavi zação . S trut i nsky 4 ^ propôs um mêto_
do de suavização que c o n s i s t e na convolução de g(E) com a fun_
çao de peso
E~ " "T p
f ( E ) - 1 - 1 G Y l a . E 1 .-.r-o;. ( 1 2 )
g(E) = | dE' g ( E ' ) f ( E - E ' ) ( 1 3 )
onde y ê um parâmetro a j u s t á v e l e os a_.'s são determinados pe
la condição
- E 2 p ' — I e J a. E 1 + K dE = 5 k 0 k = 0 , l , . ! . . p (14 )
/ F j i
, • • . 14) A ordem p do pol inómio e estimada como sendo em torno de 6 ' ,
- - 151 . , .
Vários c á l c u l o s foram f e i t o s por d iversos grupos ' , que u t i l i
zaram d i f e r e n t e s parametrizações da deformação. Os resu l tados
são bastante s a t i s f a t õ r i o s . Para o estado fundamental , os cãlcu
los de AE reproduzem os va lores observados com erro máximo de
2 MeV (ver F i g . 9 ) . E n t r e t a n t o , va le a pena lembrar que o meto-
~ 5
¡40 160 200 220 240 260 280 SOO 320 340 MASS NUMB?R A
Fig . 9 . A E o b s (acima), A E m o d e l o
1 5 ) ( c e n t r o ) , e A E o b s - A E m o d e l o ( b a i x o ) .
t odo s e m i - f e n o m e n o l 5 g i c o de gás de Fermi de Myers-Swi a t e c k i tam
bem rep roduz com a mesma p r e c i s ã o o comportamento da e n e r g i a do
e s t a d o fundamental dos n ú c l e o s ,
A vantagem do método de S t r u t i n s k y é que e l e p e r m i t e
c a l c u l a r A E
m o d e i o P a r a qua lque r d e f o r m a ç ã o . Nes te mé todo , a va_
r i a ç ã o de AE em r e i ação ao parâmet ro de de fo rmação e e fa -
c i I m e n t e c o n h e c i d a , uma v e z conhec ido o modo como as e n e r g i a s de
p a r t í c u l a s i m p l e s v a r i am em função de e . A deformação do poço
de p o t e n c i a l p rovoca o l e v a n t a m e n t o da d e g e n e r e s c ê n c i a dos m -
v e i s . "K medida em que a de formação aumenta, os n í v e i s se r e - o r -
denam, de modo t a l q u e , para c e r t o s v a l o r e s de d e f o r m a ç ã o , o c o r -
- l e
rem re-agrupamentos de n T v e i s , dando surgimento a novas cama -
das fechadas . Tal s i tuação 5 mostrada na F i g . 10, onde os rn -
ve i s de o s c i l a d o r harmônico t r i -dimensi onal são p l o t a d o s em fuji
ção da deformação e.
^ a * ' C o' cirí-*., c/c
0 QO 'oi " " J " cie o.e " o '
Fig. 10. NTveis de oscilador harmônico em função da deformação
A F ig . 10 mostra nit idamente que os números mágicos mudam em re
1 ação â deformação. 0 caso de um c a l c u l o com potencia l mais rea,
i T s t i co ê mostrado na F i g . 11 .
Quando à correção AE(e) e superposta ã curva de de
formação do modelo de gÔta-1Tqui da, a curva de potenc ia l f i c a
modulada conforme mostra a F i g . 1 2 .
A e x i s t ê n c i a de isõmeros de f i s s ã o ê agora fac i lmente
entendida . Com e f e i t o , o lhando-se a F i g . 1 2 , os es tados isoméri_
cos de f i s s ã o são i d e n t i f i c a d o s como sendo os nTveis quase-1 iga_
dos assoc iados ao segundo poço da curva.
- 1 7 -
Fig . 11. Níveis de neutrons para núcleos pesados em função da deformação de
quadrupolo, tais como calculados por Nilsson e t a l ^ . A linha gros 250
sa representa o estado fundamental do Cf (N = 152 ) .
\
~/._ „!L\J\..> 'iwmevtco
X \ \
> \> i . . .
Fig . 12. C u r v a do potenciar incluindo o e f e i t o microscópico AE.
- 1 8 -
Ate a g o r a , r e s t r i n g i m o s nossa d i s c u s s ã o ao caso un i
d i m e n s i o n a l , ou s e j a , um ún ico parâmet ro para e s p e c i f i c a r a de
formação n u c l e a r . A fim de d i s c u t i r o fenômeno de a s s i m e t r i a em
massa, temos que aumentar o número de graus de l i b e r d a d e no mo
v imento c o l e t i v o . Como mencionamos a n t e r i o r m e n t e , o e f e i t o
m a c r o s c ó p i c o f a v o r e c e a f i s s ã o s i m é t r i c a . P o r t a n t o , o fenômeno
de f i s s ã o a s s i m é t r i c a deve ser e x p l i c a d o p e l o e f e i t o m i c r o s c ó
p i c o .
0 c a l c u l o de AE . , , : n c l y i r d o o grau de l i b e r d a -
de de d i v i s ã o a s s i m é t r i c a do l ú c i o o , mos cr aram que de f a t o t a l
1 2 )
e f e i t o e x i s t e . Na F i g . 13 , mostramos o r e s u l t a d o de Nix ; , on
de se obse rvo um reba ixamento do p o t e n c i a l para d i v i s ã o assime
t r i c a em r e l a ç ã o 5 d i v i s ã o s i m é t r i c a . £ i n t e r e s s a n t e notar que
Distonce Be.fweon Mass Ceníers r (Units of R Q )
Fig . 13, Superfícies de energias potenciais do U (acima) e Fm ( b a i x a ) , os contornos são :especi ' ' ados em termos de energia (MeV).
- " 9 -
t a l r eba ixamen to é c o n s i s t e n t e ••cdm '.-o f a t o de que o v a l o r o b s e r
vado da a l t u r a da segunda b e r r e i ra é s i s t e m a t i c a m e n t e aba ixo do
v a l o r ca l cu l a d o , para d i v i s ã o s i m é t r i c a , da- segunda barre i ra .En_
t ^ e t a n t o , esperamos que e a s s i m e t r i a dinr nu? para i s ó t o p o s bem
p e s a d o s , porcue o e f e i t o m a c r o s c ó p i c o c r e s c e com A e , p o r t a n t o ,
nes te caso o e f e i t o . m j c r o s c é p i c o ( e f e i t o de p a r t í c u l a s i m p l e s )°
permanece aproximedamente c o n s t a n t e .
4 . D i na m i c a d a _JF i s js ã o
Ma S e c . 3 , d i scu t i -nos a p r o p r i e d a d e da s u p e r f í c i e de
p o t e n c i a l em termos de coordenadas c o l e t i v a s . Sabemos que o f e
nômeno de F i s s ã o e e s s e n c i a l m e n t e um o r o c e s s o s e m i - c l á s s i c o . Po
demos, e n t ã o , no caso u n i d i m e n s i o n a l , a p M c a r a .. . aprox imação
WKB, por e x e m p l o , pa»*a c a l c u l a r a c o n s t a n t e de d e c a i m e n t o . En -
t r e t a n t o , no caso de dimensão maior do que um, p rec i samos de um
mb todo mais s o f i s t i c a d o . A g e n e r a l i z a ç ã o da aprox imação WKB pa
ra mais do que ume dimensão nãc ê t r i v i a l . Para d i s c u t i r a f i s
são a s s i m é t r i c a , porém, t.al-.-.gç.neral i z a ç ã o e e s s e n c i a l . Além d i s_
s.o, p e l o s dados e x p e r i m e n t a i s , sabemos que os f rSgn ien tos ,de f i s
são são a l t amen te exC>H:a:dp;S:;,T!;:p.rpyocando e. emi ssão- der ^ a ^ t í c u las
.p rontas . E i m p o r t a n t e ; ^ p o r t a n t o , para o es tudÔÍJtfa? f i s s ã o , anal i
sar a d i s t r i b u i ç ã o dos núc leos f i l h o s l o c o a p ô s ' a c i s s ã o . . I s t o
e , p r e c i sa"ios e n f r e n t a r o problema do mecanismo d inâmico da f is_
5 ão . '•' : u - : <"- . - í : : , . .
Sejam •' f éí o | ; • 0 /(,c o. o r de n a d a s c o l e t i v a s que- desc revem
as fornias do núcVé^-a^rorpr/i.ad.as â f i s s ã o . 0 Hami T t o n i ano do s i s_
toma tem a f oriríá ' S m ^ o ••. v ; : , ,. \, :-
-20-
H c = T c + V c ( e ) ( 1 6 )
onde V é o p o t e n c i a l para o mov imen to , conforme f o i d i s c u t i d o
na S e c . 2 . A i n t e r a ç ã o e n t r e os graus de l i b e r d a d e c o l e t i v o s e
os graus de l i b e r d a d e i n t e r n o s f o r n e c e , no movimento c o l e t i v o ,
um mecanismo de dissipação, como no caso de r e a ç õ e s de Tons pe
s a d o s . A q u i , não en t ra remos no assunto da d i s s i p a ç ã o , e -s imples
mente di s c u t i remos o termo H c .
A p a r t e da e n e r g i a c i n é t i c a T c do Hami 1 ton i ano no mo_
de 1 o c l á s s i c o tem a forma
T c = ÈM Ê ( 1 7 )
onde É é a d e r i v a d a tempora l da v a r i á v e l c o l e t i v a ( v e t o r ) , M,
a m a t r i z de i n é r c i a . Em termos de momentum,
T c = P M _ 1 P ( 1 8 )
E v e n t u a l m e n t e , a m a t r i z de i n é r c i a M pode depender das c o o r d e
nadas e . Em g e r a l , M não è d i a g o n a l ( a c o p l a m e n t o c i n é t i c o das
v a r i ã v e i s ) .
Estudos sobre os parâmet ros de i n é r c i a para f i s s ã o ,
i n f e l i z m e n t e , não são tão bem e s t a b e l e c i d o s como no caso do po
t e n c i a l . I s t o p o r q u e , além do f a t o de os v a l o r e s dos parâmetros
de i n é r c i a não serem medidos e x p e r i m e n t a l m e n t e , temos que u t i
l i z a r a t e o r i a m i c r o s c ó p i c a para c a l c u l a r M, sem a ajuda de es_
t i m a t i v a s f e i t a s com modelos m a c r o s c ó p i c o s . A e s t i m a t i v a p e l o
modelo h i d r o d i n â m i c o de um f l u i d o i n c o m p r e s s í v e l e i r r o t a c i o -
nal dá normalmente • 1/10 1/5 v e z e s menor que o v a l o r encon-
- 2 1 -
t r a d o p e l o estudo m i c r o s c ó p i c o ^ . Em p a r t i c u l a r , o e f e i t o de
emparelhamento m o d i f i c a s u b s t a n c i a l m e n t e a: na tu reza c i n é t i c a do,,
s i s t ema ( s u p e r f l u i d e z ) , p rovocando uma a l t e r a ç ã o dos v a l o r e s dos
parâmet ros de i n e r c i a em r e l a ç ã o aos o b t i d o s p e l o modelo h i d r o
d i n á m i c o .
No' t r a t amen to m i c r o s c ó p i c o , os parâmet ros de i n é r c i a
são c a l c u l a d o s , i d e n t i f i c a n d o - s e a p a r t e da energ i a t o t a l que,
contém ¿ do s i s tema submet ido a um p o t e n c i a l cuja de fo rmaçãova
r i a l e n t a m e n t e , como sendo a e n e r g i a c i n é t i c a T . 0 c a l c u l o
p e r t u r b a t i vo em 1- ordem conduz a formula de " c r a n k i n g " de In_
g l i s 1 8 ) . ; ., y r r . v
Além da d i f i c u l d a d e de se o b t e r os parâmet ros de i né>
c i a , e x i s t e o problema de q u a n t i z a ç ã o do si s tema, quando t a i s
parâmet ros de i n é r c i a dependem de coordenadas e . I s t o e r e l a -
c i o n a d o com o problema de o rdenação de o p e r a d o r e s não comuta -
v e i s . No p roced imen to de q u a n t i z a ç ã o t r a d i c i o n a l , o ope rador
T c o r r e s p o n d e n t e ao T da Eq. ( 1 8 ) ê dado por
T = - í5 — I v (v^èTeTR M " 1 ¥ ) ( 1 9 )
onde detM é o d e t e r m i n a n t e da m a t r i z M, e ¥ , o g r a d i e n t e
em r e l a ç ã o a e . 0 problema da d inâmica de f i s s ã o , e n t ã o , re -
duz-se ao problema de se r e s o l v e r a equação de Schrõdi nger
* 2 1
/ detR" ( / 3 e T l f M ~ W i | / ) + V = E if> ( 2 0 )
com condi çã"o de c on to r no a p r o p r i a d a , onde 4» = i | » (e ) é a fun
ção de onda do e s t a d o c o l e t i v o .
-22
Hofmann4" 1 propôs um método de c a l c u l a r , no caso b i - . .
d i m e n s i o n a l , a" pro&abi 1 idade:-de - f i s s ã o » l e v a n d o - s e em consi .de- .
r ação o' mecanismo de e x c i t a ç ã o • dos f r agmen tos , Tal método con
s i s t e em e s s e n c i a l m e n t e i n t r o d u z i r .o " c a mi nho d e . f i s são" . . ; _ po _(
plano e-i-e?!. ao I c n ^ o do qur l se a p l i c a , e n t ã o , a aproximação, . .
WK8. Â"o mesmo : ;tera :po, a f i m C--. c o n s i d e r a r as e x c i t a ç õ e s z^* * n~
t r o d u z - s e a -pr c . i t v c?o de n -i, paravo,-grau, de l i b e r d a d e perp,en.
di cu 1 cr c. * • : r ' , Il.í...
U i : ''. E n t r e t a n t o , para processos- que -oco r r em na r e g i ã o , ; de...
e n e r g i a c l a s s i c a m e n t e p r o i b i d a » , c o t . o .-no-caso de túnel amento, . .o.
p r ó p r i o c o n c e i t o de "c aninho sa to rna a m b í g u o * ^ . '. •'
O,. \ o r " ' ' o i ra f j n l t ~ o s i s t ema I, usar a i n t e -
— 211 g r a l de tra.ir , v i * » l sl ~o r i s . c n « z i d o por Feynmann. ' .
A arcpl 1 atéz 'de"- pr&.oabi l i ^ a c a ; - í < ( e ^ , , ; t^; eg,,...t|j;.) ...[:;...da.
c o n f i g u r a ç f ó in i c i a l e.V: -no% temp-o: • t ^ o p a m a .conf i gwraçãp, , . f j ; -
nal "Cg '" no tempo t p õ dada í - G . m a l R f i r r t e . [ p o r . ; ,- :
r e 3
A A
( ] a f e - ¥ c ) d t j> . ( 2 i )
t
íVo onde ( v &} Tf7] denota i n t e o r a l f u n c i o n a l sobre" as fun-
çÕes f. = rtf'(t) com f ( ' - . n ) - % o ' f ( t ' B ) ' = f g . A amp'Ti'tude K
corií3m tr-.».s os ' v f o r u o e o o s f';a mecânicé. quân t i c a do- s i s tema- . in
f e l i z m e n t e , pcrÓm, ox i s i . . - u p o o t o c o g o r a i de c a l c u l a r a in_
t egra l de t r a j e t ó r i a s . Especo f i casronte , como a :mediday de" uma
t r a j e t ó r i a e ( . t ) depende a o s parâmet ros 'de i n é r c i a , temos que
t e r c e r t o cu idado no' ca 1 cu 1 o 'da " i ' n t e g r a l f unci onaT . ; ' Nes te ca -
s o , eB \jc ~l e d e f i i í i d a c e v o ' ' ' •
- 2 3 t
.Cr
'/ V f.. ' ( 2 2 )
onde At = ( t ß - t A ) / N e =e t = t A + k . A t
t ;<
Contudo» a Eq. ( 2 1 ) e u t i 1 para d i s c u t i r a e s t r u t u r a
da ampl i tude q u â n t i c a , p a r t i c u l a r m e n t e quando a aproximação se
m i - c l a s s i c a e a p l i c á v e l . M i T l e r ^ u t i l i z o u e x t e n s i v a m e n t e •• á-
aprox imação s e m i - c l as s i ca para a amp1i tude de t r a n s i ç ã o , Eq.
( 2 1 ) . A aprox imação s e m i - c l a s s i c a r e s i d e na expansão da ação f t p ' „ a
i n t e g r a l L d t em t o r n o da t r a j e t ó r i a c l á s s i c a a t e 2-
ordem em r e l a ç ã o a v a r i a ç ã o 5c. = e ( t ) - e ( t ) , onde e c ( t ) e
a t r a j e t ó r i a c l á s s i c a e , a segui r - , na a p l i c a ç ã o da i n t e g r a l . - 1
Gaussiana para o 29 termo da e x p a n s ã o . A s s i m , a ampl i tude - K
e r e p r e s e n t a d a em termos de quan t idades c l á s s i c a s que s a t i s f a
zem as r e l a ç õ e s o b t i d a s pe l a equação de movimento c l a s s i c o .
E s c r e v e n d ò : a ação c l á s s i c a como
* ( e A , c B ) = L dt
i t E = e c ( t ) ( 2 3 )
M i l l e r o b t e v e a. e x p r e s s ã o da aprox imação semi - c l ass i ca da am
pi i t u d e , ' "" ""• - -
• k S - C ( c A , C B - ) " -
1/2 e x p s . ( 2 4 ) :
Uma a p l i c a ç ã o i n t e r e s s a n t e d e s t e método e c a l c u l a r ' a "
- 2 4 «
c o n s t a n t e de deca imen to de um e s t a d o p reparado no tempo t A = 0.
Seja ^ q ( c ) a função de onda i n i c i a l do e s t a d o c o l e t i v o » que
é o a u t o - e s t a d o de e n e r g i a do s i s t ema sem o canal de deca imen
t o . A ampli tude de e n c o n t r a r o s i s t e m a , no tempo t , ainda no
e s t a d o não d e c a í d o e
f f * Efjt A n < d ( t ) =. J d e B j de A * J ( e B ) K ( c A,0; e B , t ) U > 0 ( e A ) e" ( 2 5 )
onde Ejj é a e n e r g i a do s i s t e m a . P o r t a n t o , podemos d e f i n i ,
c o n s t a n t e de deca imen to X por
dP dT
onde P ~ | A n ^ | . 0 ponto i m p o r t a n t e , na hora de a p l i c a r a
aproximação • semi . -c láss ica para o p r o c e s s o c l a s s i c a m e n t e p ro i bi_
d o , e e s t e n d e r o c o n c e i t o de t r a j e t ó r i a a t e ao domínio comple
xo da v a r i á v e l e e do tempo t . Es te f a t o pode s e r e n t e n d i d o
quando olhamos a t r a j e t ó r i a c l á s s i c a do ponto de v i s t a do pri n_
c T p i o da mínima a ç ã o . No p r i n c i p i o da mínima a ç ã o , a t r a j e t ó
r i a c l á s s i c a e de te rmi nada p e l a equação
A I P . E dt = 0 i
onde A é a v a r i a ç ã o , mantendo-se a e n e r g i a t o t a l c o n s t a n t e . No
ponto de r e t o r n o c l ã s s i c o , apa rece um "branchi ng p o i n t" da fun
ção e •= c ( t ) no p lano c o m p l e x o . Consequentemente , e x i s t e m tra
j e t ó r i a s " c l á s s i c a s " , no domínio complexo das v a r i á v e i s e do
tempo, que l i gam os d o i s pontos e A e e & . M i l l e r mos
t r o u ^ que t a i s t r a j e t Ó r i as c l ã s s i cas complexas reproduzem o
f a t o r f a m i l i a r de p e r e t r a ç ã o de b a r r i r a , e n t c u r i o s o
no ta r que a e x t e n s ã o a n a l í t i c a da . t r a j e t ó r i a , no,, plano, complexo
para o caso de e n e r g i a a b a i x o da b a r r e i r a e q u i v a l e e s s e n c i a l ~
mente a t r o c a r o s i n a l do p o t e n c i a l na e q u <i ç ã o de movimento . ís_
to d e s 1 o c a as t r a j e t o r ' a s ' e n e r g i a ba ixa em d i r e ç ã o ã r e
g i ã o de p o t e n c i a l maior (.- r-r H g , K ) t o que aparentemente^ e
c o n t r a r i o a i d e i a de "caminho" de f i s s ã o a d i a b á t i c a . Ao mesmo
tempo, o c a l c u l o de parâmetros de i n é r c i a , t i p o "cranki n g " , de
ve s e r r e - i n v e s t i g a d o no c o n t e x t o de t r a j e t ó r i a s c o m p l e x a s , t
d e s e j á v e l r e a l i za r um estu do c o m p a r a t i v o dos v á r i o s métodos rie
F ig . 14 - As t ra je tór ias para energia abaixo da barreira.
dinâmica da f i s s ã o , i n c l u i n d o o e f e i t o da m a t r i z de i n é r c i a .Co
mo se v e , o prob1 ema da di nâmi ca de f i s s ã o es tã ai nda bem l o n
ge de s e r e n t e n d i d o com c l a r e z a .
Nes tas n o t a s , estudamos a lguns a s p e c t o s da f i s s ã o nu
- 2 6 -
c l e a r , p r i n c i p a l m e n t e a f i s s ã o e s p o n t â n e a , r e l a c i o n a d o s com as
coordenadas c o l e t i v a s ( v a r i á v e i s m a c r o s c ó p i c a s ) . Mu i tos ou t ros
a s p e c t o s i m p o r t a n t e s , con tudo ,não foram menc ionados . E s p e c i a l
mente , os processos n u c l e a r e s que envolvem o canal de f i s s ã o ,
por exemplo (y,f), ( n , f ) , (d , p f ) e t c . T a i s p r o c e s s o s c o n s t i tu
em uma v a s t a area de pesqu i sa para o e s tudo da e s t r u t u r a nucle
ar nos e s t a d o s t r a n s i e n t e s " " ,
A c r e d i t a m o s que , a t r a v é s do es tudo da f i s s ã o , v a r i a s
s u r p r e s a s , quanto ao mecanismo n u c l e a r , poderão ainda ser rev
1 adas .
G o s t a r i a de a g r a d e c e r aos P r o f s . K . C . Chuno e R . A . I "
S. Nazare th pe l a l e i t u r a cu idadosa do t e x t o e p e l a s s u g e s t õ e s ,
e s p e c i a l m e n t e ao K . C . Chung p e l a s c o r r e ç õ e s de P o r t u g u ê s . Agro
deço também aos P r o f s . L . C . Gomes* e O . A . P . Tava re s p e l o i n t e
r e s s e nas d i s c u s s õ e s .
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