capitulo3_modelagem_parte1
Post on 07-Oct-2014
26 Views
Preview:
TRANSCRIPT
SERVIÇO PÚBLICO FEDERAL
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO
INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA
DIRETORIA DE ENSINO
CURSO DE ENGENHARIA DE CONTROLE E AUTOMAÇÃO
CAPÍTULO 3: MODELAGEM DE SISTEMAS FÍSICOS
11
CAPÍTULO 3: MODELAGEM DE SISTEMAS FÍSICOSParte - I
Disciplina: Análise de Sistemas Lineares
Professora: Rejane de Barros Araújo
Agenda Função de Transferência
Diagrama de Blocos
Profa. Msc. Rejane de BarrosSERVIÇO PÚBLICO FEDERAL
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO
INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA
DIRETORIA DE ENSINO
CURSO DE ENGENHARIA DE CONTROLE E AUTOMAÇÃO
22
Sistemas Mecânicos
Sistemas Elétricos
Modelagem no Espaço de Estados
Aproximações Lineares de Sistemas Físicos
Análise com Matlab
Função de Transferência
Profa. Msc. Rejane de Barros
É uma função algébrica que relaciona a saída do sistema com sua
entrada;
33
O comportamento do Sistema é analisado através da sua Função de
Transferência, porque esta contém todos os parâmetros que definem o
modo de operação do sistema;
A Função de Transferência viabiliza a separação da entrada e saída
do sistema em três partes distintas, diferente das equações diferenciais;
Função de Transferência
Profa. Msc. Rejane de Barros
A função permite combinar algebricamente as representações
matemáticas dos subsistemas de modo a se obter uma representação
global do sistema;
4
)()()(
)()()(
01
1
101
1
1 trbdt
trdb
dt
trdbtca
dt
tcda
dt
tcda
m
m
mm
m
mn
n
nn
n
n +++=+++−
−
−−
−
− KL
global do sistema;
Equação Diferencial:
c(t) saída e r(t) entrada
ai e bi e a forma da equação diferencial representam o sistema
Profa. Msc. Rejane de Barros
Aplicando Laplace:
Função de Transferência
++++ −− )()()( 0
1
1 sCasCsasCsa n
n
n
n L Condição inicial envolvendo c(t)
55
Admitindo todas as condições iniciais iguais a zero:
++++= −− )()()( 0
1
1 sRbsRsbsRsb m
m
m
m K Condição inicial envolvendo r(t)
( ) ( ) )()( 0
1
10
1
1 sRbsbsbsCasasa m
m
m
m
n
n
n
n +++=+++ −−
−− LL
Profa. Msc. Rejane de Barros
Separa-se a entrada, a saída e o sistema, encontrando-se a Função de
Transferência Condições iniciais nula;
Função de Transferência
( )1)( bsbsbsC mm +++ −
66
Função de Transferência por meio de um diagrama de blocos;
( )( )01
1
0
1
1)()(
)(
asasa
bsbsbsG
sR
sCn
n
n
n
m
m
m
m
+++
+++==
−−
−−
L
L
R(s) C(s)( )( )01
1
0
1
1
asasa
bsbsbn
n
n
n
m
m
m
m
+++
+++−
−
−−
L
L )()()( sGsRsC =
Profa. Msc. Rejane de Barros
Função de Transferência – Entradas do SistemaEntrada Impulsiva
A entrada impulsiva é definida de modo que num certo instante o sinal
de entrada r(t) assume um valor elevado, tendendo a infinito e permanece
nesta situação em um intervalo de tempo muito pequeno, tendendo a
77
nesta situação em um intervalo de tempo muito pequeno, tendendo a
zero;r(t)
t
Profa. Msc. Rejane de Barros
Função de Transferência – Entradas do SistemaEntrada Impulsiva
Esta entrada é chamada de r(t) = δ(t) e é impossível de se reproduzir
fielmente na prática;
88
Transformada de Laplace deste sinal é: R(s) = 1;
Profa. Msc. Rejane de Barros
Função de Transferência – Entradas do SistemaEntrada Degrau
É a mais utilizada no estudo de qualidade dos sistemas, por mostrar
uma boa visão transitória do sistema e ser fácil de se implementar na
prática;
99
prática;
Assume um valor zero até um instante t inicial e passa a assumir um
valor 1 após este instante, continuamente;
Com a entrada r(t) = H(t), pode-se analisar o comportamento da saída
de um sistema que num certo instante recebe um comando de entrada e
irá responder a esse comando
Profa. Msc. Rejane de Barros
Função de Transferência – Entradas do SistemaEntrada Degrau
O sistema ao responder ao comando de entrada, passará por um
período de tempo chamado Transitório e irá se estabilizar numa outra
situação chamada de Regime Permanente;
1010
Qualidade do Sistema: Regime Transitório e Regime Permanente;r(t)
t
SsR
1)( =
K
S
KsR =)(
Profa. Msc. Rejane de Barros
Função de Transferência – Entradas do SistemaEntrada Rampa
A entrada rampa representa a integral da entrada degrau;
Assume um valor nulo até o instante t = 0 e seu valor cresce
proporcionalmente com o tempo;
1111
proporcionalmente com o tempo;
Entrada: r(t) = t . H(t);
2
1)(S
sR =
r(t)
t
Profa. Msc. Rejane de Barros
Função de Transferência – Entradas do SistemaEntrada Senoidal
Serve para estudar o comportamento do sistema quando aplicamos
num certo instante uma entrada senoidal;
Esta entrada é nula até o instante t = 0 e um seno de frequência w após
1212
este instante;
0 2 4 6 8 10 12 14-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
22)(
wS
wsR
+=
Profa. Msc. Rejane de Barros
Função de Transferência
Exemplo 1: Obtenha a função de transferência representada por:
)()(2)(
trtcdt
tdc=+
1313
Exemplo 2: Utilize o resultado do exemplo 1 para obter a resposta c(t),
a uma entrada r(t) = u(t), um degrau unitário, admitindo condições iniciais
nulas;
dt
Profa. Msc. Rejane de Barros
Função de Transferência
Exemplo 3: Obtenha a função de transferência, G(s) = C(s)/R(s),
correspondente à equação diferencial.
rdrrd
cdccdcd
34573223
++=+++
1414
Exemplo 4: Obtenha a equação diferencial correspondente à função de
transferência
rdt
dr
dt
rdc
dt
dc
dt
cd
dt
cd34573
223++=+++
26
12)(
2 ++
+=
ss
ssG
Profa. Msc. Rejane de Barros
Função de Transferência
Exemplo 5: Obtenha a resposta a uma rampa para um sistema cuja
função de transferência é
( )( ))( =
ssG
1515
( )( )84)(
++=
ss
ssG
Profa. Msc. Rejane de Barros
Diagrama de Blocos
Os diagramas em blocos podem ser usados para representar cada
subsistemas, e o arranjo agrupado e conectado, num sistema como um
todo;
1616
Seta: é usada para representar o sentido do fluxo de sinal;
Bloco: é um símbolo de operação matemática sobre o sinal de
entrada do bloco que produz a saída. É representado normalmente
por função de transferência;
Ponto de soma: o círculo com uma cruz é o símbolo que indica
uma operação de soma. O sinal mais ou menos determina se o sinal
deve ser adicionado ou subtraído
Profa. Msc. Rejane de Barros
Diagrama de Blocos
Ponto de junção: é um ponto a partir do qual o sinal proveniente de
um bloco vai para outros blocos ou pontos de soma.
1717
+
-
Ponto de Soma
)(sG
Seta
Bloco Ponto de Junção
Profa. Msc. Rejane de Barros
Diagrama de BlocosAssociação em Cascata
Um sistema tem elementos em cascatas se dois ou mais elementos
estão num mesmo ramo direto, então a função de transferência G(s) do
sistema é G(s) = C(s)/R(s)
18
)(1 sG
R(s) )()(
)(
1
2
sRsG
sX =
)(2 sG)()()(
)(
12
1
sRsGsG
sX =
)(3 sG)()()()(
)(
123 sRsGsGsG
sC =
)()()( 123 sGsGsG
R(s) C(s)
Profa. Msc. Rejane de Barros
Diagrama de BlocosAssociação com Realimentação
+
-
C(S))(sG
R(S) +
+
C(S))(sG
R(S)
19
)(sH
Realimentação Negativa
)(sH
Realimentação Positiva
Função de transferência - dedução
Profa. Msc. Rejane de Barros
Diagrama de BlocosAssociação em Cascata com Realimentação
+
-
C(S))(1 sG
R(S))(2 sG
20
)(sH
C(S)+
-
)()( 21 sGsG
)(sH
R(S)
)()()(1
)()()(
12
12
sHsGsG
sGsGsG
+=
Profa. Msc. Rejane de Barros
Diagrama de BlocosAssociação em Paralelo
Num sistema com blocos em paralelo os sinais se somam no ponto de
soma:
C(S))(1 sGR(S) + C(S))(1 sGR(S) +
21
Função de transferência - dedução
)(1 sG
)(2 sG
R(S) +
+
)(1 sG
)(2 sG
R(S) +
-
Profa. Msc. Rejane de Barros
Diagrama de BlocosSimplificando
22
Profa. Msc. Rejane de Barros
Diagrama de BlocosSimplificando
23
Profa. Msc. Rejane de Barros
Diagrama de Blocos
Exemplo 6: Simplifique o seguinte diagrama de blocos
24
Profa. Msc. Rejane de Barros
Diagrama de Blocos
Exemplo 6: Continuação
25
Profa. Msc. Rejane de Barros
Diagrama de Blocos
Exemplo 6: Continuação
26
Profa. Msc. Rejane de Barros
Diagrama de Blocos
Exemplo 7: Calcule a Função de Transferência do sistema desenhado a
seguir, sendo a entrada R(S) e a saída C(S).
C(S)
27
+
-
R(S) G(S) +
-H(S) C(S)
Z(S)
Y(S)
Profa. Msc. Rejane de Barros
Diagrama de Blocos
Exemplo 8: Calcule a Função de Transferência dos sistemas
desenhados a seguir, sendo a entrada R(S) e a saída C(S).
R(S) G1(S) + G2(S)C(S)
28
G1(S)-
G2(S)
H(S)
+
-
R(S)+
-
C(S)
4s
)1(
1
+ss
Profa. Msc. Rejane de Barros
Funções de TransferênciaCircuitos Elétricos
Modelagem matemática de circuitos elétricos;
Três componentes lineares passivos: resistores, capacitores e indutores;
29
Lei de Kirchhoff;
Escreve-se as equações diferenciais;
Transformada de Laplace;
Função de Transferência.
Profa. Msc. Rejane de Barros
Funções de TransferênciaCircuitos Elétricos
Componente Tensão-Corrente
Corrente-Tensão
Tensão-Carga
ImpedânciaZ(s)=V(s)/I(s)
AdmitânciaY(s) =
I(s)/V(s)
∫1
1 tdv )( 1 1
30
∫=1
0
)(1
)( ττ diC
tv
)()( tRitv =
dt
tdiLtv
)()( =
dt
tdvCti
)()( =
)(1
)( tvR
ti =
∫=1
0
)(1
)( ττ dvL
ti
)(1
)( tqC
tv =
dt
tdqRtv
)()( =
2
2 )()(
dt
tqdLtv =
Cs
1
R
Ls
Cs
RG
1=
Ls
1
Profa. Msc. Rejane de Barros
Exemplo 9: Obtenha a função de transferência que relaciona a tensão
no capacitor Vc(s), à tensão de entrada V(s), para o circuito da figura.
Funções de TransferênciaCircuitos Elétricos
31
Profa. Msc. Rejane de Barros
Metodologia mais simples:
Obtém-se a Transformada de Laplace das equações na coluna
tensão-corrente (condições iniciais nulas);
Funções de TransferênciaCircuitos Elétricos
32
Impedância
)(1
)( sICs
sVc = )()( sRIsVR = )()( sLsIsVL =
)()(
)(sZ
sI
sV=
Profa. Msc. Rejane de Barros
Metodologia mais simples:
Desenhe o circuito original mostrando todas as variáveis temporais,
como v(t), i(t), vL(t) e vc(t), na forma de transformada de Laplace V(s),
Funções de TransferênciaCircuitos Elétricos
33
I(s), VL(s) e Vc(s);
Substitua os valores dos componentes pelos valores de suas
impedâncias;
Refazer exemplo 9: com impedâncias
Exemplo 9:
Análise dos nós
Análise das malhas
Profa. Msc. Rejane de Barros
Análise das Malhas
Substituir os valores dos elementos passivos por suas impedâncias
Substituir todas as fontes e variáveis temporais por suas
Funções de TransferênciaCircuitos ElétricosCircuito Complexos
34
transformadas de Laplace
Admitir uma corrente transformada e um sentido de corrente em
cada malha
Escrever a lei de Kirchhoff das tensões referente a cada malha
Resolver as equações simultâneas para a saída
Formar a função de transferência
Profa. Msc. Rejane de Barros
Análise dos nós
Substituir os valores dos elementos passivos por suas impedâncias
Substituir todas as fontes e variáveis temporais por suas
Funções de TransferênciaCircuitos ElétricosCircuito Complexos
35
transformadas de Laplace
Admitir uma corrente transformada e um sentido de corrente em
cada malha
Escrever a lei de Kirchhoff das correntes para cada nó
Resolver as equações simultâneas para a saída
Formar a função de transferência
Profa. Msc. Rejane de Barros
Exemplo 10:
Dado o circuito mostrado na figura, obtenha a FT I2(s)/V(s)
pela análise das malhas
Funções de TransferênciaCircuitos ElétricosCircuito Complexos
36
Dado o circuito mostrado na figura, obtenha a FT Vc(s)/V(s)
pela análise dos nós
Profa. Msc. Rejane de Barros
Exemplo 11: Determine a FT Vc(s)/V(s) para o circuito da figura,
utilizando a análise dos nós e o circuito transformado pela fonte de
corrente.
Funções de TransferênciaCircuitos Elétricos
37
Profa. Msc. Rejane de Barros
Exemplo 12: Determine a FT I3(s)/V(s) para o circuito da figura.
Funções de TransferênciaCircuitos Elétricos
38
Profa. Msc. Rejane de Barros
O Amplificador Operacional da figura possui as seguintes características:
Entrada diferencial, v2(t) – v1(t);
Alta impedância de entrada, Ze = ∞ (ideal)
Funções de TransferênciaCircuitos Elétricos
Amplificadores Operacionais
39
Baixa impedância de saída, Zs = 0 (ideal)
Alto ganho de amplificação constante, A = ∞ (ideal)
A saída vs(t) é obtida por:
( ))()()( 12 tvtvAtvs −=
Profa. Msc. Rejane de Barros
Amplificador Operacional Inversor
Quando v2(t) é aterrada
A saída vs(t) é obtida por:
Funções de TransferênciaCircuitos Elétricos
Amplificadores Operacionais
40
)()( 1 tAvtvs −=
Profa. Msc. Rejane de Barros
Amplificador Operacional Inversor
Se duas impedâncias forem conectadas ao amplificador operacional
não-inversor. Tem-se:
Funções de TransferênciaCircuitos Elétricos
Amplificadores Operacionais
41
Se a impedância de entrada do amplificador é alta, então pela
lei de Kirchhoff das correntes Ia(s) = 0 e I1(s) = - I2(s);
Como o ganho A é alto, v1(t) = 0
)(
)()(
1
1sZ
sVsI e=
)(
)()(
2
2sZ
sVsI s−=−
)(
)(
)(
)(
1
2
sZ
sZ
sV
sV
e
s −=
Profa. Msc. Rejane de Barros
Amplificador Operacional Não-Inversor
Pela figura, tem-se:
Funções de TransferênciaCircuitos Elétricos
Amplificadores Operacionais
( ))()()( 1 sVsVAsV es −=
42
Aplicando um divisor de tensão
Dedução da equação
( ))()()( 1 sVsVAsV es −=
)()()(
)()(
21
11 sV
sZsZ
sZsV s+=
)(
)()(
)(
)(
1
21
sZ
sZsZ
sV
sV
e
s +=
Profa. Msc. Rejane de Barros
Exemplo 13: Obtenha a FT Vs(s)/Ve(s) para os circuitos das figuras.
Funções de TransferênciaCircuitos Elétricos
Amplificadores Operacionais
43
Profa. Msc. Rejane de Barros
Exemplo 14: Obtenha a FT G(s) = VL(s)/V(s) para o circuito da figura.
Resolva o problema pela análise das malhas e dos nós
Funções de TransferênciaCircuitos Elétricos
44
Profa. Msc. Rejane de Barros
Exemplo 15: Se Z1(s) é a impedância de um capacitor de 10µF e Z2(s)
é a impedância de um resistor de 100kΩ, obtenha a FT G(s) = Vs(s)/Ve(s),
caso esses componentes sejam utilizados com
Funções de TransferênciaCircuitos Elétricos
45
Amplificador operacional inversor
Amplificador operacional não-inversores
top related