capacitores e indutores
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1
CAPACITÂNCIA E INDUTÂNCIA
Dois elementos passivos quearmazenam energia:Capacitores e Indutores
INTRODUÇÃO
CAPACITORESArmazenam energia através do campo elétrico (energiaeletrostática) Modelo de elemento de circuito (variaçã o datensão).
INDUTORESArmazenam energia através do campo magnéticoModelo de elemento de circuito (variação da corrente)
COMBINAÇÃO DE INDUTORES E CAPACITORESCombinação de elementos em série/paralelo.
CIRCUITOS RC, RL, RLC e AMP-OPCircuitos integradores e diferenciadoresEquações integro-diferenciais
CAPACITORES
Eletrolíticos e de estado sólido
Cerâmicos
Multiplacas cerâmico
2
CAPACITORES
Axial Radial
Capacitores variáveis com dielétrico de arCourtesy of Johnson Manufacturing Co.
Testando dielétrico de um capacitor
Ohmímetro: identifica dielétrico deteriorado (capacitores de papel e eletrolítico)
Dielétrico rompido, qualidade de isolação diminui de modo que a resistência entre as placas se torna relativamente pequena.
3
Resumo:
CAPACITORES Capacitores típicos
Capacitor básico de placas paralelas
REPRESENTAÇÃO DO CIRCUITO
USO DA CONVENÇÃO PASSIVA
DE ELEMENTO
4
Normalmente os valores de capacitância são pequenosem geral Microfarad (µF). Usualmente, para circuitosintegrados, na ordem de nano e pico Farad (nF e pF).
d
AC
ε=
284
12
103141.610016.1
1085.855 mA
AF ×=⇒
××= −
−
TAMANHO PARA UM CAPACITOR AR (GAP-AR) EQUIVALENTE
gap in material ofconstant Dielectric ε
Distribuição das linhas de campo
Efeito de borda: reduz a capacitância
Sem efeito de borda: ideal - prática
Robert L. BoylestadIntroductory Circuit Analysis, 10ed.
Copyright ©2003 by Pearson Education, Inc.Upper Saddle River, New Jersey 07458
All rights reserved.
5
Ex.: Determinar a capacitância para cada caso.
FF
d
AC µµε
05,02
1,0 ===
FFxd
AC µµε
50)20(5,2 ===
FFxd
AC µµε
15)5(3 ===
FpFxd
AC µε
16,0)1000()8/1(
45 ===
Robert L. BoylestadIntroductory Circuit Analysis, 10ed.
Copyright ©2003 by Pearson Education, Inc.Upper Saddle River, New Jersey 07458
All rights reserved.
CAPACITORES
Circuito simples de carga com duas placas.
6
Lei básica para carga: )( CVfQ =Lei de Coulumb, capacitores lineares: CCVQ =
C é a CAPACITÂNCIA do dispositivo e tem unidadeem
voltage
charge
Um Farad(F) é a capacitância do dispositivo quepode armazenar um Coulomb de carga a cada Volt.
Volt
CoulombFarad =
EXEMPLO Tensão através de um capacitor de 2 microFarads “segura” 10mC de carga
VQC
VC 500010*1010*2
11 36
=== −−
Capacitância em Farads, carga em Coulombsresulta tensão em Volts Capacitores podem ser perigosos!!!
Representação linear p/ capacitor.
Michael Faraday
O capacitor é um elementopassivo, logo segue aconvenção passiva.
Capacitores somente armazenam e trocamEnergia eletrostática. Não criam energia.
Representação de circuito linear
)()( tdtdv
Cti =
7
Se a tensão varia a carga tembém varia, logo háum deslocamento de corrente através do capacitor
CC CVQ = Lei p/ capacitância
Pode-se expressar a tensão no capacitorem termos da corrente através do mesmo
QC
tVC
1)( = ∫
∞−
=t
C dxxiC
)(1
Lei p/ capacitância em termos da integral
dt
dVC
dt
dQi CC ==
… Ou pode-se expressar a correnteEm termos da tensão no capacitor
Lei da capacitância em termos da derivada
A implicação matemáticapara a integral, defineque...
ttVtV CC ∀+=− );()(
Tensão através do capacitor DEVEser contínua.
Implicação a partir da derivada??
0=⇒= CC iConstVComportamento DC ou estado inicial
Um capacitor inicialmente atua como um CIRCUITO ABERTO
CAPACITOR COMO ELEMENTO DE CIRCUITO
−
+
Cv
Ci
)()( tdt
dvCti c
C =
∫∞−
=t
CC dxxiC
tv )(1
)(
∫∫∫ +=∞−∞−
t
t
tt
0
0
∫ ∫∞−
+=0
0
)(1
)(1
)(t t
tCCC dxxi
Cdxxi
Ctv
∫+=t
t
CCC dxxiC
tvtv0
)(1
)()( 0
O fato da tensão ser definida através deuma integral tem importantes implicações...
RR
RR
Riv
vR
i
=
= 1
Lei de Ohm
)( Oc tv
elsewhereti 0)( =
CURRENT THE DETERMINE
FC µ5=
)()( tdtdv
Cti =
mAsV
Fi 20106
24][105 3
6 =
×××= −
−
mA60−
EXEMPLO
8
CAPACITOR COMO ELEMENTO ARMAZENADOR DE ENERGIA
)()()( titvtp CCC =Potência Instantânea
)()( tdt
dvCti c
C =
dt
dvtCvtp c
CC )()( =
C
tqdxxi
Ctv C
t
CC
)()(
1)( == ∫
∞−
)()(1
)( tdt
dqtq
Ctp C
CC =
Energia é a integral da potência
∫=2
1
)(),( 12
t
tCC dxxpttw
Se t1 é menos infinito, tem-se a“energia armazenada em t 2.”
Se os limites são ± ∞, tem-se a“energia total armazenada.”
= )(2
1)( 2 tv
dtd
Ctp CC
)(21
)(21
),( 12
22
12 tCvtCvttw CCC −=
= )(211
)( 2 tqdtd
Ctp cC
)(1
)(1
),( 12
22
12 tqC
tqC
ttw CCC −=
W−
+
Cv
Ci
Energia armazenada de 0 - 6 ms
][)24(*][10*521
)6,0( 226 VFwC−=
Carga armazenada em 3ms
)3()3( CC Cvq =
)0(21
)6(21
)6,0( 22CCC CvCvw −=
CVFqC µ60][12*][10*5)3( 6 == −
“Energia total armazenada?” ....
“Carga total armazenada?” ...
Carga em Coulombs,capacitância em Faradsentão a energia é dada em?
FC µ5=
EXEMPLO
9
VOLTAGETHE FIND .4 FC µ=
20 ≤≤ t
mst 42 ≤<][1082)( 3 Vttv −×+−=
0;)(1
)0()(0
>+= ∫ tdxxiC
vtvt
2;)(1
)2()(2
>+= ∫ tdxxiC
vtvt
V(0) = 0
POWER THE FIND .4 FC µ=
tti 3108)( −×=
mstttp 20,8)( 3 ≤≤=
mst 42 ≤<elsewheretp ,0)( =
V(0) = 0
10
elsewheretp ,0)( =
ENERGIA
mstttp 20,8)( 3 ≤≤=
mst 42 ≤<
EXTENSÃOCURRENT THE DETERMINE
FC µ2=)()( t
dtdv
Cti =
=
×××= −
−
sV
Fi 36
102
12102
×−××= −
−
sV
Fi 36
104
12102
11
Energia armazenada em um tempo t )(2
1)( 2 tCvtE C= =)240/1(E
−
2sin130*][10*2
2
1 226 πF J
Carga armazenada em um dado tempo )()( tCvtq CC = =)120/1(Cq 0])[sin(*][10*2 6 =− VC π C
Corrente através do capacitor )(tdt
dvCi C
C = =)120/1(Ci )cos(120*130*10*2 6 ππ−A
Potência elétrica no capacitor em um dado instante )()()( titvtp CCC =
Energia armazenada em um dado intervalo
W
)(21
)(21
),( 12
22
12 tCvtCvttw CC −= J
FC µ2=
)120(sin130)( ttv π=−
+)(tv
QUAIS VARIÁVEIS SÃO CALCULADAS?
PROBLEMA
−
+
Cv
Ci
C
FC µ2=
][0;0
0;)(
5.0
mAt
teti
t
C
<≥
=−
Corrente no capacitor
Tensão em determinado t
dxxiC
tvt
CC )(1
)( ∫∞−
= =)0(Cv ][0 V
Tensão em t quando a tensão em to<t é conhecida ∫+=t
t
CCC dxxiC
tvtv0
)(1
)()( 0
=)2(Cv ∫−+
2
0
5.01)0( dxe
Cv x
C
2
0
5.06 5.0
1
10*2
1
−= −−
xe ( ) 616
10*6321.015.0
1
10*2
1 =−= −− e V
Carga em um dado t )()( tCvtq CC = =)2(Cq 6321.0*2 C
Tensão em função do tempo dxxiC
tvt
CC )(1
)( ∫∞−
= 0;0)( ≤= ttvC ∫−+=
tx
CC dxeC
vtv0
5.01)0()(
<≥−
=−
0;0
0);1(10)(
5.06
t
tetv
t
C VPotência elétrica no capacitor )()()( titvtp CCC =
Energia armazenada no capacitor em t )(21
)( 2 tCvtw C=
W
J
Energia “total” armazenada no capacitor )(21 2 ∞= CT Cvw 6266 10)10(*10*2
21 == −
Tw J
EXEMPLO Corrente conhecida ...
12
PROBLEMA
sec)(mt
5 10
Calcular a tensão em função do tempo
Corrente é zero para t<0, tem-se:
⇒<< sec50 mt tsAts
At
msA
tiC ]/[10*310
103
515
)( 33
6−
−
−=== µ
][10*4
10*3)(0)0(
06
3
VxdxtVVt
CC ∫−
−=⇒= ][10*50];[
810*3 32
3
stVt −<<=
Em particular ][8
75][
8
)10*5(*10*3)5(
233
mVVmsVC ==−
][10)(105 Atimst C µ−=⇒<<
∫−
−−
−−+=⇒=
t
CC dxsAtVmVmsV310*5
66
3
]/)[10*10(10*4
1810*75
)(][875
)5(
( ) ][10*1010*5;][10*54
10
8
10*75)( 333
3
stVttVC−−−
−<<−−=Carga armazenada: 5ms
)()( tCVtq CC =
][8
10*75*][10*4)5(
36 VFmsq
−−=
][)2/75()5( nCmsq =
Energia total armazenada
2
2
1CCVE = ][
8
10*2510*4*5.0
236 JET
=
−−
Dados: corrente e capacitância
0;0)( ≤= ttVC
( )
>−
≤<−−
<<
≤
=
][10;8
25
][105;54
10
8
75
50;8
30;0
)(
2
mst
mstt
mstt
t
tVc][mV
Descrição formal dos pontos de um sinal
13
CARACTERÍSTICAS IMPORTANTES: CAPACITOR IDEALCARACTERÍSTICAS IMPORTANTES: CAPACITOR IDEAL
1. Só há fluxo de corrente através de um capacitor, se a tensão em seus terminais variar com o tempo. Capacitor é um circuito aberto para CC;
2. Uma quantidade finita de energia pode ser armazenada em um capacitor mesmo que a corrente através dele seja zero, como no caso em que a tensão em seus terminais é constante;
3. É impossível promover uma mudança finita na tensão nos terminais de um capacitor em um intervalo de tempo nulo, demandaria uma corrente infinita;
4. Capacitor não dissipa energia, somente armazena –modelo matemático do dispositivo (no caso real, o modelo tem uma resistência finita associada ao dielétrico a ao encapsulamento).
1. Só há fluxo de corrente através de um capacitor, se a tensão em seus terminais variar com o tempo. Capacitor é um circuito aberto para CC;
2. Uma quantidade finita de energia pode ser armazenada em um capacitor mesmo que a corrente através dele seja zero, como no caso em que a tensão em seus terminais é constante;
3. É impossível promover uma mudança finita na tensão nos terminais de um capacitor em um intervalo de tempo nulo, demandaria uma corrente infinita;
4. Capacitor não dissipa energia, somente armazena –modelo matemático do dispositivo (no caso real, o modelo tem uma resistência finita associada ao dielétrico a ao encapsulamento).
Linhas de fluxo podemextender além do Indutorcriando efeito indutivo“desgarrado”
Circuito representativopara um indutor
O fluxo variável com o tempocria um contator EMF, provocando a tensão nosterminais do dispositivo.
INDUTORES USO DA CONVENÇÃO PASSIVA
14
IndutoresJoseph Henry
Tipos de indutores
Toroidal de potência
Montagem de superfície
Encapsulados
De filtro de alta corrente (24 µH a 60 A) Núcleo de ar
Filtro de alta corrente (40 µH a 5 A)
15
Tipo: De núcleo abertoValores Típicos:3 mH a 40 mHAplicações: Usado em filtros passa-baixa. Encontrado em circuitos de alto-falantes.
Tipo: ToroidalValores Típicos:1 mH a 30 mHAplicações: Usado em linhas de transmissão para filtrar transientes e reduzir interferências eletromagnéticas. Encontrado em muitos eletrodomésticos.
Tipo: CilíndricoValores Típicos:3 µH a 1 mHAplicações: Usado em linhas de transmissão de alta corrente.
Tipo: Linha de retardoValores Típicos:10 µH a 50 µHAplicações: Usado em receptores de televisão em cores para corrigir diferenças de tempo entre os sinais de cor e o sinal de branco e preto.
Tipo: Com derivaçõesValores Típicos:0,6 mH a 50 mHAplicações: Usado em filtros de linha, fontes de alimentação chaveadas, carregadores de baterias e outros equipamentos eletrônicos.
Tipo: De RFValores Típicos:10 µH a 50 µHAplicações: Usado em receptores de rádio e televisão e em circuitos de comunicação. Encontrados em circuitos de AM, FM e UHF.
Tipo: EncapsuladoValores Típicos:0,1 µH a 100 µHAplicações: Usado em uma grande variedade de circuitos com osciladores, filtros passa-baixa e outros.
Tipo: Para montagem em superfícieValores Típicos:0,01 µH a 100 µHAplicações: Encontrado em muitos circuitos eletrônicos que exigem componentes em miniatura para que sejam montados emplacas de circuito impresso com multicamadas.
Tipo: AjustávelValores Típicos:1 µH a 100 µHAplicações: Indutor variável usado em osciladores e outros circuitos de RF de transceptores e receptores de rádio e televisão.
RESUMO
UM FLUXO MAGNÉTICO VARIANTE NO TEMPOINDUZ UMA TENSÃO
dt
dvL
φ= Lei da indução
INDUTORES ARMAZENAM ENERGIA ELECTROMAGNETICA.PODEM SER ALIMENTADOS E ARMAZENAR ENERGIA NOCIRCUITO, MAS NÃO PODEM CRIAR ENERGIA.DEVEM RESPEITAR A CONVENÇÃO PASSIVA.
PARA UM INDUTOR LINAR O FLUXO ÉPROPORCIONAL A CORRENTE
⇒= LLiφdt
diLv L
L =FORMA DIFERENCIALDA LEI DA INDUÇÃO
A CONSTANTE DE PROPORCIONALIDADE, L, ÉCHAMADA DE INDUTÂNCIA DO COMPONENTE
INDUCTÂNCIA É MEDIDA EM UNIDADE DEhenry (H). DIMENSIONALMENTE
secAmp
VoltHENRY=
Seguindo o sinal da convenção passiva
16
dt
diLv L
L =Forma diferencial da Lei da Indução
∫∞−
=t
LL dxxvL
ti )(1
)(Forma Integral da Lei da Indução
00 ;)(1
)()(0
ttdxxvL
titit
t
LLL ≥+= ∫
Conseqüência direta da forma Integral ttiti LL ∀+=− );()( Corrente DEVE ser continua
Conseqüência direta da forma diferencial 0. =⇒= LL vConsti Comportamento DC
Potência e Energia armazenadas
)()()( titvtp LLL = W )()()( titdt
diLtp L
LL =
= )(2
1 2 tLidt
dL
)(2
1)(
2
1),( 1
22
212 tLitLittw LL −= Energia armazenada no intervalo
pode ser positiva ou negativa
)(21
)( 2 tLitw LL =“Energia armazenada em t”DEVE ser não-negativa. ELEMENTO PASSIVO!!!
∫
=2
1
)(2
1),( 2
12
t
tLL dxxLi
dtd
ttw J Corrente em Amps, Indutância em Henrysenergia em Joules
L=10mH. ENCONTRAR A TENSÃO
=××= −
−
sA
s
Am 10
102
10203
3
−=sA
m 10
)()( tdtdi
Ltv =
A DERIVADA DE UMA LINHA RETA É UMACONSTANTE
≤<−≤≤
=elsewhere
mstsA
mstsA
dtdi
0
42)/(10
20)/(10
mVVtvHL
sAtdtdi
10010100)(1010
)/(10)( 3
3=×=⇒
×=
= −
−
ENERGIA ARMAZENADA ENTRE 2 AND 4 ms
)2(21
)4(21
)2,4( 22LL LiLiw −=
233 )10*20(10*10*5.00)2,4( −−−=w J
O VALOR É NEGATIVO POR QUE OINDUTOR ESTA FORNECENDO ENERGIAPREVIAMENTE ARMAZENADA
EXEMPLO
17
2
)(Vv
2 )(st
L=0.1H, i(0)=2A. OBTER i(t), t>0
∫+=t
dxxvL
iti0
)(1
)0()(
20;2)(2)(0
≤<=⇒= ∫ ttdxxvxvt
stttiHL 20;202)(1.0 ≤≤+=⇒=
stititxv 2);2()(2;0)( >=⇒>=
Energia inicial armazenada no Indutor
== 2)2]([1.0*5.0)0( AHw ][2.0 J
“Energia total armazenada no indutor”
JAHw 2.88)42(*][1.0*5.0)( 2 ==∞
Energia armazenada entre 0 e 2 sec
)0(21
)2(21
)0,2( 22LL LiLiw −=
22 )2(*1.0*5.0)42(*1.0*5.0)0,2( −=w
][88)0,2( Jw =
CÁLCULOS DA ENERGIAPROBLEMA
22 )(st
)(Ai42
)(2
1)(
2
1),( 1
22
212 tLitLittw LL −= Energia armazenada no
Intervalo pode ser negativa ou positiva
OBTER A TENSÃO ATRAVÉS L, E A ENERGIAARMAZENADA (EM FUNÇÃO DO TEMPO)
)(tv
PARA ENERGIA ARMAZENADA NO INDUTOR
)(twL
NOTAR QUE A ENERGIA ARMAZENADAEM QUALQUER TIMPO É NÃO NEGATIVA-ELEMENTO PASSIVO-
EXEMPLO
18
EXEMPLO
VOLTAGETHE DETERMINE
mHL 10=)()( t
dtdi
Ltv =
mVv 100−=
××××= −
−−
sA
Hv 3
33
102
1020][1010
L=200mH
OBTER A CORRENTE
0)0(0;0)( =⇒<= ittv
0;)(1
)0()(0
>+= ∫ tdxxvL
itit
)(ti
)(ti
EXEMPLO
19
ENERGIA
POWER
)(ti
L=200mH
)(tp
)(tw
ENERGIA NUNCA É NEGATIVA.O DISPOSITIVO É PASSIVO
OBTER A POTÊNCIA
OBTER A ENERGIA
L=5mHOBTER A TENSÃO
)()( tdtdi
Ltv =
msmA
m1
20= )/(12
2010sAm
−−=
Vv
m
0
0
==
)/(34
100sAm
−−=
mVmstsAHv 10010);/(20)(105 3 =<≤××= −
mVv 50−=
mVv 50−=
20
CARACTERÍSTICAS IMPORTANTES: INDUTOR IDEALCARACTERÍSTICAS IMPORTANTES: INDUTOR IDEAL
1. Só há tensão nos terminais de um indutor, se a corrente através dele variar com o tempo. Indutor é um curto circuito para CC;
2. Uma quantidade finita de energia pode ser armazenada em um indutor mesmo que a tensão em seus terminais seja zero, como no caso em que a corrente através dele é constante;
3. É impossível promover uma mudança finita na corrente através de um indutor em um intervalo de tempo nulo, demandaria uma tensão infinita;
4. Indutor não dissipa energia, somente armazena – modelo matemático do dispositivo (no caso real, o modelo tem uma resistência finita em série - enrolamento).
1. Só há tensão nos terminais de um indutor, se a corrente através dele variar com o tempo. Indutor é um curto circuito para CC;
2. Uma quantidade finita de energia pode ser armazenada em um indutor mesmo que a tensão em seus terminais seja zero, como no caso em que a corrente através dele é constante;
3. É impossível promover uma mudança finita na corrente através de um indutor em um intervalo de tempo nulo, demandaria uma tensão infinita;
4. Indutor não dissipa energia, somente armazena – modelo matemático do dispositivo (no caso real, o modelo tem uma resistência finita em série - enrolamento).
ESPECIFICAÇÕES DO CAPACITOR
VALUESSTANDARD IN
RANGE ECAPACITANC mFCFp 50≈≈
VV 5003.6 −RATINGS CAPACITOR STANDARD
%20%,10%,5 ±±±TOLERANCE STANDARD
EXEMPLO
%20100 ±= nFC
DADA A FORMA DE ONDA DA TENSÃODETERMINAR A VARIAÇÃO NA CORRENTE
FORMA ONDA TENSÃO
)()( tdtdv
Cti =
nAs
VF 600
23
3)3(10100 9 −=
−−−× −
current Nominal
nA300
nA300
21
VALUESSTANDARD IN
RANGES INDUCTANCE mHLnH 1001 ≤≈≤≈
AmA 1≈−≈RATINGS INDUCTOR STANDARD
%10%,5 ±±TOLERANCE STANDARD
ESPECIFICAÇÃO DO INDUTOR
EXEMPLO
%10100 ±= HL µ
DADO A FORMA DE ONDA DA CORRENTEDETERMINAR A VARIAÇÃO NA TENSÃO
)()( tdtdi
Ltv =
FORMA DE ONDA CORRENTE
sµ
××××= −
−−
SA
Hv 6
36
1020
1020010100
vi
iv
LC
→→→
22
ELEMENTOS IDEAIS E PRÁTICOS
ELEMENTO IDEALMODELOS INCLUINDO RESISTÊNCIASDE FUGA - PRÁTICO
)(ti
−
+
)(tv
)()(
)( tdtdv
CR
tvti
leak
+=
MODELO DE “FUGA”CAPACITOR
)(ti
−
+
)(tv
)()()( tdtdi
LtiRtv leak +=
MODELO DE “FUGA”INDUTORES
−
+)(tv
−
+)(tv
)(ti )(ti
)()( tdtdv
Cti =
)()( tdtdi
Ltv =
CAPACITORES ASSOCIADOS EM SÉRIE
NOTAR A SIMILARIDADE COM A ASSOCIAÇÃOPARALELA DE RESISTORES.
21
21
CC
CCCs +
=
Combinação em sériecom dois capacitores
Fµ6 Fµ3 =SCFµ2
23
Fµ2
Fµ1
6123 ++=
SOMA ALGÉBRICA DAS TENSÕES INICIAIS
POLARIDADE É DETERMINADA PELA REFERÊNCIADE CADA TENSÃO
VVV 142 −−+=
EXEMPLO
DETERMINAR O CAPACITOREQUIVALENTE E A TENSÃOINICIAL
OU PODEMOS REDUZIR EM DOIS TERMOS
Fµ30
C
+- −
+V8
V12
MESMA CORRENTE. CONECTADOS PARA UM MESMO PERIODO DE TEMPO
MESMA CARGA EM AMBOS CAPACITORES
CVFQ µµ 240)8)(30( ==
−
+V4
EXEMPLO Dois capacitores descarregados são conectados como abaixo .Encontrar a capacitância desconhecida.
Fµ12
1C FIND
CVFQCVQ µµ 72)6)(12( ==⇒=
−
+V18
FVC
C µµ4
1872
1 ==
24
CAPACITORES ASSOCIADOS EM PARALELOS
)()( tdtdv
Cti kk =
)(ti
EXEMPLO
PC
EXTENSÃO
Fµ6
Fµ2
Fµ3
Fµ4
Fµ12
→eqC
Fµ4
Fµ3FCeq µ23=
25
F4 ARECAPACITORSALL µOBTER A CAPACITÂNCIA EQUIVALENTE
Fµ8
Fµ8
eqC Fµ8
Fµ8
Fµ4
Fµ1232
332
838 =+
PROBLEMA
SE TODOS OS CAPACITORES TEM O MESMO VALOR, C,DETERMINAR OS CAPACITORES EQUIVALENTES EM CADA CASO .PROBLEMAS
26
Todos capacitores iguaisa C=8 microFarads
EQC
______=ABC
Exemplos de interconecções
INDUTORES ASSOCIADOS EM SÉRIE
)()( tdtdi
Ltv kk =
)()( tdtdi
Ltv S=
EXEMPLO
=eqL H7
27
INDUTORES ASSOCIADOS EM PARALELO
)(ti
INDUCTORES COMBINAM SIMILARMENTE AOS RESISTORES
EXEMPLO
mH4 mH2
∑=
=N
jj titi
100 )()( AAAAti 1263)( 0 −=+−=
EXTENSÃO
mH2
mH2
NA DÚVIDA…REDESENHAR!
a
b
cd
mH4
mH2mH2
mH4
eqL
a
b
c
d
IDENTIFICAR OS NÓS
TROCAR OS NÓS EM CIRCUITOS FECHADOS
a
b
cd
CONNECTAR OS COMPONENTES AOS NÓS
mH6
mHmHmHmHLeq 4.42)4||6( =+=
TODOS OS INDUTORES IGUAIS A 4mH
28
TODOS INDUTORES SÃO 6mH
NÓS PODEM TER FORMAS COMPLICADAS.LEMBRAR DA DIFERENÇA ENTRE OLAYOUT FÍSICO E AS CONECÇÕESELÉTRICAS
6||6||6
a
b
c
a
b
c
SELECIONA-SE O LAYOUT
a
b
c
mH2
mH6
mH6
mH6
eqL
[ ] mHLeq 724
61448
66||)26(6 =+=++=
mHLeq 766=
L-C
29
CIRCUITOS COM AMPOP E RC
⇒∞=A
)(0 −+ −=⇒= vvAvR OO
O AMPOP IDEALO AMPOP IDEALO AMPOP IDEALO AMPOP IDEAL
⇒∞=iR∞=∞==⇒ ARR iO ,,0IDEAL
O INTEGRADOR – AMPOP e RC
0=+v
ASSUMINDO CONDIÇÕES IDEIAS
)(0
)(
_
_
∞==
∞== +
iRi
Avv
30
O DIFERENCIADOR – AMPOP e RC
1R
2i
1i
0=+v
−− =+ iiiv 21:KCL@CONDIÇÕES IDEAIS
)(0
)(
_
_
∞==
∞== +
iRi
Avv 02
1 =+Rv
i O
∫∞−
+=t
dxxiC
iRtv )(1
)( 11
111
KVL
)(2
1 Rv
i o−=o1 vof terms in i replace
)(111
111 t
dtdv
Cidtdi
CR =+
)(11211 t
dtdv
CRvdtdv
CR oo −=+
EXEMPLO
)(112 t
dtdv
CRvo −=
ATORDIFFERENTIIDEAL
FCkR µ2,1 12 =Ω= WITH ATORDIFFERENTIIDEAL TO INPUT
sV
m3105
10−×
=
sFCR 36312 102102101 −− ×=××Ω×=
sFVQ
F
QsV
sQV
AV
=×Ω⇒=
×===Ω
SL ANALYSIDIMENSIONA
31
EXEMPLO FCkR µ2.0,5 21 =Ω= WITH INTEGRATOR ANTO INPUT
∫−=t
ioo dxxvCR
vtv021
)(1
)0()(
INTEGRATOR
sFVQ
F
QsV
sQV
AV
=×Ω⇒=
×===Ω
SL ANALYSIDIMENSIONA
DISCHARGEDINITIALLY IS CAPACITOR
sCR 321 10−=
31 1020)(:1.00 −×=<< tvst ( )∫ ××==⇒ −
t
o sVtdxxvty0
31 1020)()( ( )sVy ××=⇒ −3102)1.0(
31 1020)(:2.01.0 −×−=<< tvst ( )∫ ×−×−×=+=⇒ −−
t
oo sVtdxxvyty1.0
331 )1.0(1020102)()1.0()(
)(1
)(21
tyCR
tv oo =
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