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Cap. 10. Interiores Estelares.Transporte de energia: convecção.

Modelos estelares.A Sequência Principal

AGA 0293, Astrofísica Estelar

Jorge Meléndez

Equações básicas do interior estelar

Equilíbrio hidrostático

Conservação de massa

Gradiente de luminosidade

Gradiente radiativo de temperatura

= ??? Gradiente convectivo de temperatura

ou

Transporte de energia: convecçãoA convecção é 3D: hidrodinâmica. Devido a limitações, os modelos estelares são 1D (dependem só de raio r) e o tratamento da convecção é simplificado.

Granule

Rising gas Sinking gas

Altura de escala da variação da pressão HP

Definição:

Para r = Hp P = P0 e –1 = P0 / e

ln P = – r / HP

Considerando HP constante:

Adotando P = P0 para r = 0:

A altura de escala é a distância para uma quantidade diminuir por um fator de e

→ dP/P = – dr/HP

Altura de escala da variação da pressão HP

Definição:

Lembrando que

dP/dr = – g

HP = P/g

1/HP = (–1/P)(– g)

Exemplo 10.4.1. Estimar o valor da altura de escala de pressão (HP) no Sol. Usar uma pressão

média = PC/2 e usar a densidade média do Sol.

HP = P/g

Cálculos mais detalhados mostram:

Primeira lei da termodinâmica

Mudança da energia interna de um

elemento de massa

Energia térmica recebida (calor acrescentado)

Energia cedida pelo elemento ao entorno na forma de trabalho

No texto, as mudanças da energia acima são por unidade de massa

dU = dQ - dW

Primeira lei da termodinâmica:

As mudanças da energia acima são por unidade de massa

dU = dQ - dW

Gás:m, P

Gás:m, P

A

Força pelo gás: F = P Adr

Pis

tão Trabalho pelo gás = F dr

Trabalho por unidade de massa: dW = F dr/m

dW = PA dr/m= PdVV: volume específico

(volume/massa) ou V = 1/

dU = dQ - PdV

Energia interna para um gás ideal monoatômico neutro (sem ionização)

Energia total interna por unidade de massa é:

U = (energia média/partícula) x (número de partículas/massa)

é a massa média de uma partícula no gás

onde

Para um gás ideal:

A energia interna:

n: número de moles por unidade de massaR = 8,314472 J mole-1 K-1 (cte. univ. gases)

1 mole = NA partículas, NA = 6,02214199x1023

(número de Avogadro)

Calores específicosA mudança de calor é expressada em termos do calor específico C (quantidade de calor requerida para elevar a temperatura de uma unidade de massa de material por intervalo de unidade de temperatura):

Calor específico a pressão constante

Calor específico a volume constante

Para um gás ideal monoatômico:

razão dos calores específicos a pressão e volume constantes

Definição do parâmetro :

Gás neutro ou completamente ionizado monoatômico: = 5/3 = 1,67

Gás diatômico: = 7/5 = 1,40

Gás poliatômico: = 4/3 = 1,33

Ionização acontecendo ~ 1

Mudança da energia interna dU em função do calor específico CV

Primeira lei da termodinâmica: dU = dQ - PdV A volume constante: dU = dQ

dU = CV dT

Lei do gás adiabático

Processo adiabático:

Primeira lei da termodinâmica:

dU = – PdV

dQ = 0

dU = dQ – PdV

Lembrando dU = CV dT

Gás adiabático:

PV = nRTLei do gás ideal:

Diferenciando: PdV + V dP = RT dn + nR dT

Para n = cte: PdV + V dP = nR dT

CV P dV + CV V dP = -nR PdV

dV P (CV +nR) = -CV V dP

dV P CP = -CV V dPFator comum dV P

Lembrando que para um gás ideal:

Gás ideal: dV P CP = – CV V dP

Lembrando a definição do parâmetro :

dV P = – V dP

Lei do gás adiabático

dV/V = – dP/P

PV = KResolvendo, temos a lei do gás adiabático: K: constante

lnV = lnP -1

O é chamado de “ adiabático” e define as simples equações de estado acima

Lei do gás adiabático

PV = K

K: constante

PV = nRTLei do gás ideal:

P=K’T K’: constante

P P V = K P

(nRT) = K P

T (n R / K ) = P

T (n R / K )1/( = P

Velocidade do som adiabática:

Exemplo 10.4.2. Estimar a velocidade adiabática no interior do Sol.Usar uma pressão média = PC/2, densidade média do

Sol, e considerar gás monoatômico neutro ( = 5/3)

Tempo para onda de som atravessar o Sol:

Gradiente de temperatura adiabático

Para estudar a convecção, consideremos uma bolha que sobe e se expande adiabaticamente (dQ = 0)

Qual o gradiente de temperatura dT/dr?

V: volume específico (volume/massa), V = 1/

PV = K

P= K

Diferenciando: dP/dr = K d/drdP/dr = K d/dr

Como P = K

Gradiente de temperatura adiabático

Gradiente de temperatura adiabático

Diferenciando:

Gás ideal:

Considerando constante:

Como:

Gradiente de temperatura adiabático:

Gradiente de temperatura adiabático

Usando a eq. de equilíbrio hidrostático:

e a lei do gás ideal:

Critério para convecção estelar

i: inicial

f: final

s: entorno b: bolha

Se a densidade final da bolha b for menor que no entorno s convecção

Se a densidade final da bolha b for maior que no entorno s estável

f(b) >

f(s)

f(b) <

f(s)

Critério para convecção estelar

Usando uma expansão de Taylor para determinar a densidade final da bolha b e do entorno s:

Supondo densidade inicial similar na bolha e no entorno:

e

f(b) <

f(s)

Critério para convecção estelaract: actualQuer dizer o

gradiente real de

temperatura O termo da esquerda é o gradiente de temperatura adiabático:

Como T diminui com o aumento do raio (dT/dr < 0), no valor absoluto a desigualdade é revertida: Se o gradiente de temperatura for

super-adiabático convecção

É possível demonstrar:

Critério para convecção estelarOutras formas de escrever o critério de convecção:

Considerando um gás monoatômico ( = 5/3) /(-1) = 5/3 / (5/3 – 3/3) = 5/3 / (2/3) = 5/2 = 2,5.

Gás monoatômico convecção: d ln P / d ln T < 2,5

Gradiente adiabático de TGradiente radiativo de T

Convecção:1) Opacidade alta2) Regiões onde acontece ionização ( pequeno ~ 1)3) Dependência muito forte da geração de energia com T

Convecção: a aproximação do comprimento de mistura

percurso da bolha convectiva até ficar termalizada

HP: escala

de pressão

Parâmetro livre :

Comparação entre modelos e observações, 0,5 < < 3

Fluxo convectivo

=

Se todo o fluxo for carregado pela convecção:

: entra na velocidade média convectiva; 0 < < 1Diferença no

gradiente de temperatura:

Exemplo 10.4.3. Estimar o gradiente de temperatura adiabático e a velocidade convectiva na base da zona convectiva. Usar = 1, = ½

Usando:

Usando:

10.5 Modelos estelares

Equilíbrio hidrostático

Conservação de massa

Gradiente de luminosidade

Gradiente radiativo de temperatura

Gradiente convectivo de temperatura

ou

Relações constitutivas

Aproximadamente gás ideal+ pressão de radiação

Interpolado em tabelas. Formulas aproximadas para opacidade do contínuo

Por exemplo:

Calculo mais sofisticado: usando cadeias de reação para cada isótopo

Condições de contorno

Teorema de Vogt-RussellA massa e composição da estrela determinam seu raio, luminosidade e estrutura interna, assim como a sua evolução.

Gêmeas solares são estrelas da sequência principal com massa e composição química similares ao Sol. Como elas seguem o mesmo caminho evolutivo que o Sol, podemos usar gêmeas solares de várias idades para estudar o passado e futuro do Sol

Modelagem numérica

Código StatStar: modelo estelar simples baseado no material do livro (apêndice L)

Link:

http://wps.aw.com/aw_carroll_ostlie_astro_2e/48/12319/3153834.cw/index.html

Código livre mais completo para estudo da estrutura e evolução das estrelas: MESA

http://mesa.sourceforge.net

• 70% massa de H (X ~ 0.7), metais < 3% (Z = 0 – 0,03); o resto é He (Y ~ 0,3)

• Supor composição inicial homogênea

• Quais as reações nucleares inicialmente favorecidas? p-p: baixa massa, CNO: alta massa

• Limite aproximado para uma estrela:

0,08 < M < 90

A sequência principal

Limite de luminosidade de Eddington

Qual a máxima luminosidade para manter a estrela em equilíbrio?

Em alguns casos a pressão de radiação pode dominar sobre a pressão do gás

Importante em estrelas massivas

A sequência principal

M ~ 0,1 - 102 Msol

L ~ 5x10-4 a 106 Lsol

Teff

= 2000 – 40 000 K na sequência principal

M K G F A B O

(c) Bruna Barroso Gomes

Tem

per

atu

ra [

K]

Sem Provinha?